精品解析：北京师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

北京师大附中2026-2027学年高三（上）开学测试 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得,又因， 则. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断. 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 4. 正方体中，错误的是（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：A项，通过证明四边形是平行四边形，即可证明结论；B项，通过，，即可证明平面；C项，通过证明平面，平面，即可证明结论；D项，假设垂直，得出平面，结合几何知识得出矛盾，即可得出结论. 解法二：建立空间直角坐标系，求平面、平面和平面的法向量，利用空间向量判断线、面关系. 【详解】解法一：由题意，在正方体中， A项， ，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确； B项，由几何知识得，，， ，平面，平面， ∴平面，故B正确； C项， ∵，平面，平面，∴平面， 由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，，∴平面平面，C正确； D项， 假设平面平面，则交线为，此时有， ∴平面， ∵平面，∴， 连接，， 由几何知识得，，则，故 在中，由几何知识得，， ∴三角形为等边三角形，，矛盾， 故D错误. 解法二：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，， 可得，，，， 对于A：因为，可得，故A正确； 对于B：根据正方体的性质可知平面 ，故B正确； 对于C：设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于D：由题意可知：平面的一个法向量， 因为，可知平面与平面不垂直，故D错误. 5. 已知向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 6. 已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对称性可得曲线方程，求出准线方程即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于直线对称， 所以将互换后可得抛物线方程为，即， 所以的准线方程为， 故选：C. 7. 已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先写出数列的通项公式，然后根据指数函数的单调性确定充分性，再根据通项公式及单调性确定必要性不成立. 【详解】由题意可得， 且，则，且单调递增， 则数列为递增数列，充分性成立； 若数列为递增数列，， 则或，必要性不成立； “且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 8. 已知是数列的前n项的和，且，，则（ ） A. 68 B. 56 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果. 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 9. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） A. 2026年 B. 2027年 C. 2028年 D. 2029年 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列出不等式，两边取常用对数，化简求解即可. 【详解】设从2025年开始经过年后算力首次突破7500PetaFLOPS， 则，即， 两边同时取常用对数得，即， 化简得， 因为取整数，所以，， 所以，年首次突破7500PetaFLOPS. 10. 已知为定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的对称性与函数的轴对称性质，结合二次函数对称轴公式和已知函数值联立求解参数. 【详解】已知是定义在上的偶函数，故对任意，恒成立； 由，得，把换成，得即， 将中的换成，得. 因此，即的图像关于直线对称. 当时，是二次函数，其对称轴公式为， 由关于对称，得，解得. 在中，令，则， 又，所以 由对称性可知，代入得， 即，解得. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 展开式中的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理得到展开式的通项公式即可求解. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为， 当时，，因此的系数为. 12. 在中，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 13. 双曲线的渐近线方程为__________；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得. 【详解】由，故其渐近线方程为； 令，由题意可得，即有，解得， 故，即. 故答案为：；. 14. 箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论. 【详解】由题意， 第一空： 箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。 设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球， 有放回抽取，每次取到非黄球的概率为， 三次都没取到黄球的概率：. 第二空： 设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球， ， ∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：， ， ∴， ∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是. 15. 对于函数现有下列结论： ①任取，都有； ②函数在上先增后减 ③函数有3个零点： ④若关于x的方程有且只有两个不同的实根，，则 其中正确结论的序号为_______________（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据题意得当时，函数的最大值为，最小值为，①正确，当，函数先增后减，②错误，画出函数图象知③正确，根据对称性知④正确，得到答案. 【详解】函数 当时，函数的最大值为，最小值为，所以任取，都有恒成立，①正确； 当，，故， 函数先增后减，②正确； 取，即， 同②，计算得到，画出函数图象，如图所示： 根据图象知，函数有3个零点，故③正确； 有且只有两个不同的实根，根据图象知，根据对称性知，故④正确； 故答案为：①②③④. 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点，对称性，意在考查学生的对于函数性质的综合应用能力，画出图像是解题的关键，属于难度题. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 若，，所以， 则，， 则. 17. 在中，为锐角，且． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）若选条件①②，；若选条件①③，；若选条件②③，不存在 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式可得，结合同角三角关系可得的值； （2）若选条件①②或选条件①③：利用三角恒等变换可得，利用正弦定理解三角形即可；若选条件②③：利用余弦定理运算求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 为锐角，得，可得， 所以. 【小问2详解】 若选条件①②：因为，且，则， 可知角确定，且已知，所以存在且唯一确定， 则， 由正弦定理可知，所以； 若选条件①③：因为，且，则， 可知角确定，且已知，所以存在且唯一确定， 则， 由正弦定理可知，所以； 若选条件②③：由余弦定理可得：， 即，整理可得， 因为，可知方程无实数解， 所以不存在. 18. 为评估国内AI大模型的使用效果，某评测机构从国内众多AI大模型中随机抽取9个AI大模型，并从基础能力、中文特性和专业能力三个维度对这9个AI大模型进行评测，评测结果如下表所示． AI大模型 大模型a 大模型b 大模型c 大模型d 大模型e 大模型f 大模型g 大模型h 大模型i 基础能力得分 65 67 70 58 66 53 49 64 中文特性得分 74 76 80 68 75 63 59 77 专业能力得分 56 60 73 63 70 59 54 66 66 综合得分 65.0 67.7 74.3 63.0 70.3 58.3 54.0 69.0 70.0 综合得分是基础能力得分、中文特性得分和专业能力得分的算术平均数（精确到0.1）．其中和都是正整数． （1）若，从这9个AI大模型中随机取1个大模型，求这个大模型的专业能力得分大于基础能力得分的概率； （2）从大模型，，，中随机取2个大模型，从大模型，，，中随机取2个大模型，记这4个大模型中“综合得分超过65分”的大模型的个数为，求的分布列； （3）记这9个大模型的基础能力得分和中文特性得分的方差分别为，，若，写出的值．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 （3）【解析】 【分析】（1）分析可知，结合可得，再利用古典概型运算求解即可； （2）分析可知随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，结合古典概型以及组合数求相应概率和分布列； （3）根据平均数和方差公式整理可得，结合运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，则， 且和都是正整数，则是正整数，所以， 若，所以. 设这个大模型的专业能力得分大于基础能力得分为事件A， 则样本空间，，可得，， 所以这个大模型的专业能力得分大于基础能力得分的概率为. 【小问2详解】 大模型，，，中综合得分超过65分有，， 大模型，，，中综合得分超过65分有，， 可知随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，则有： ； ； ； ； ； 所以的分布列为 0 1 2 3 4 【小问3详解】因为基础能力得分的平均数为， 方差； 中文特性得分的平均数为， 方差； 若，即， 整理可得， 又因为，即，可得，即， 联立方程，解得， 所以的值为67. 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，求函数的最小值； （3）若在上恒成立，求实数的值． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出在处切线斜率，结合切点坐标，用点斜式写出切线方程即可； （2）对导函数再次求导，分析单调性，进而求得的最小值； （3）将分式不等式恒成立进行等价转化，构造函数研究单调性，联立两个恒成立条件即可求得参数的值。 【小问1详解】 因为，所以，又因为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意知，所以， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在取到最小值为. 【小问3详解】 因为当时，，所以原不等式等价于， 即对所有恒成立. 设，所以， 故在上单调递减，所以，因此； 又对所有恒成立，故， 因此. 20. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解； （2）法一：构造差函数，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当，确定界点；再结合界点分类讨论即可； （3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则求解. 【小问1详解】 ， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为， 解得； 故. 【小问2详解】 由（1）知，， 则 ， 故题意可转化为对任意恒成立， 法一：令，， 则， 当时，由且， 则，即， 则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立， 则，解得； 当时，不成立； 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减， 又当时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 法二： 不等式可转化为， 即对任意恒成立， 当时，不成立； 当时，设，， 当时，由，可知， ， 这与对任意恒成立矛盾； 当时，， ， 由，故在上单调递增， 故在上存在唯一零点，设为， 且当时，，即， 此时不等式不成立； 当时，， 则在上单调递增， 由，故， 故不等式，即恒成立， 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 法一：设， 则 ， 令， 则， 其中，，. 当时，， 则在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，设 ， 由，可知且， 则，可知在上单调递增， 故，即， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，此时，又， 则存在正实数，使得，， 则在上单调递减，则， 即当，，不满足题意； 综上所述，，即的最小值为. 法二：由可得 ， 则，即， 则， 由，可知，则， 故原不等式可转化为， 由， 设，， 则， 设，，令， 则，， 由， 再令， ，故在上单调递增， 故，则，故在上单调递增， 所以，即， 故在上单调递减， 又由洛必达法则可知， 故要使当时，恒成立，则， 即的最小值为. 21. 已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点． （1）当直线与轴垂直时，求直线的方程； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知点关于轴对称且，利用勾股定理可得直线的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，，直线的斜率存在时，联立直线和椭圆方程再根据可得，即，再由求出点，代入椭圆方程即可得，即可求得的取值范围为 【小问1详解】 当直线与轴垂直时，设其方程为． 由点关于轴对称，且，由勾股定理可知不妨设， 将点的坐标代入椭圆的方程，得，解得． 所以直线的方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知． 当直线的斜率存在时，设其方程为． 由 得． 由，得． 设，，则，． 因为，所以． 所以． 整理得． 所以． 解得，从而． 设，其中． 则． 将代入椭圆的方程，得． 所以，即． 因为，所以，即． 综上的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2026-2027学年高三（上）开学测试 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 正方体中，错误的是（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 5. 已知向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知是数列的前n项的和，且，，则（ ） A. 68 B. 56 C. D. 9. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） A. 2026年 B. 2027年 C. 2028年 D. 2029年 10. 已知为定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 展开式中的系数为__________． 12. 在中，，，，则__________． 13. 双曲线的渐近线方程为__________；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则__________． 14. 箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 15. 对于函数现有下列结论： ①任取，都有； ②函数在上先增后减 ③函数有3个零点： ④若关于x的方程有且只有两个不同的实根，，则 其中正确结论的序号为_______________（写出所有正确命题的序号） 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 17. 在中，为锐角，且． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 为评估国内AI大模型的使用效果，某评测机构从国内众多AI大模型中随机抽取9个AI大模型，并从基础能力、中文特性和专业能力三个维度对这9个AI大模型进行评测，评测结果如下表所示． AI大模型 大模型a 大模型b 大模型c 大模型d 大模型e 大模型f 大模型g 大模型h 大模型i 基础能力得分 65 67 70 58 66 53 49 64 中文特性得分 74 76 80 68 75 63 59 77 专业能力得分 56 60 73 63 70 59 54 66 66 综合得分 65.0 67.7 74.3 63.0 70.3 58.3 54.0 69.0 70.0 综合得分是基础能力得分、中文特性得分和专业能力得分的算术平均数（精确到0.1）．其中和都是正整数． （1）若，从这9个AI大模型中随机取1个大模型，求这个大模型的专业能力得分大于基础能力得分的概率； （2）从大模型，，，中随机取2个大模型，从大模型，，，中随机取2个大模型，记这4个大模型中“综合得分超过65分”的大模型的个数为，求的分布列； （3）记这9个大模型的基础能力得分和中文特性得分的方差分别为，，若，写出的值．（结论不要求证明） 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，求函数的最小值； （3）若在上恒成立，求实数的值． 20. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，，求的最小值． 21. 已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点． （1）当直线与轴垂直时，求直线的方程； （2）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $