27.2 反比例函数的图象和性质 题型专练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版（2024）九年级上册 27.2 反比例函数的图象和性质 题型专练 【题型1】反比例函数的图象 【典例】如图，反比例函数y=的图象大致是 （      ） A． B． C． D． 【举一反三1】已知反比例函数y=的图象如图所示，则实数m的取值范围在数轴上应表示为 A． B． C． D． 【举一反三2】在反比例函数图象上有两点，，，，则的取值范围是__________. 【举一反三3】(课本练习P61　T2)在同一个平面直角坐标系中画出函数与的图象. 【题型2】反比例函数图象经过的象限 【典例】已知反比例函数y＝的图象过点P(1，3)，则该反比例函数图象位于 （      ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第四象限 D．第三、第四象限 【举一反三1】在平面直角坐标系中，反比例函数经过点，则反比例图象所在象限为（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【举一反三2】函数的图象是__________，分别位于第__________象限． 【举一反三3】若反比例函数的图象在第一、三象限，写出一个满足条件的的值为__________． 【举一反三4】用描点法画出反比例函数的图象． 【题型3】反比例函数图象上点的坐标特征 【典例】若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】已知反比例函数y=的图象在第二、四象限，请写出一个符合题意的m的值是__________ . 【举一反三2】一个反比例函数的图象经过A，B两点，若m<-3，则n的取值范围是__________ . 【举一反三3】已知反比例函数y=的图象经过点. (1)求y与x之间的函数表达式； (2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点P是否在这个函数的图象上，说明理由. 【题型4】反比例函数与一次函数的图象 【典例】反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是 A． B． C． D． 【举一反三1】若反比例函数的图象经过点（2，），则一次函数 的图象不经过第__________象限． 【举一反三2】如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点. (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 【题型5】反比例函数与二次函数的图象 【典例】反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【举一反三2】若根式有意义，则双曲线与抛物线的交点在第__________象限． 【题型6】函数图象的综合应用 【典例】下列关于反比例函数y＝－的说法正确的是 （      ） A．y随x的增大而减小 B．函数图象过点 C．函数图象位于第一、第三象限 D．当x>0时，y随x的增大而增大 【举一反三1】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为(1，2)，点B与点D在反比例函数y＝(x>0)的图象上，则点C的坐标为__________ . 【举一反三3】(课本习题16.5P69　T6)已知一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象交于点. (1) 分别求出这两个函数的表达式. (2) 在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,根据图象回答:当取何值时,一次函数的值大于反比例函数的值? 【题型7】反比例函数图象的增减性 【典例】若点A，B，C在反比例函数y=的图象上，则a，b，c的关系是 A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．a>c>b 【举一反三1】若点，，都在反比例函数的图象上则，，的大小关系是（ 　　） A． B． C． D． 【举一反三2】学习了一次函数、二次函数、反比例函数后，爱钻研的小敏尝试用同样的方法研究函数y=，从而得出以下命题： （1）当x＞0时，y的值随着x的增大而减小； （2）y的值有可能等于3； （3）当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3； （4）当y＞0时，x＞0或x＜－． 你认为真命题是 (   ) A．（1）（3） B．（1）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 【举一反三3】在平面直角坐标系xOy中，若点A，B都在反比例函数y=的图象上，当x1<0<x2时，有y1<y2，则m的取值范围是　　　　. 【举一反三4】已知反比例函数y=，对于正数m，当自变量x满足-m-1≤x≤-m时，函数y的最小值为a，则当m≤x≤2m时，函数y的最小值为__________ ，最大值为__________ .(用含a的式子表示) 【举一反三5】已知：反比例函数的图象经过． (1)求k的值； (2)这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ (3)画出函数的图象； 【题型8】求反比例函数的变量范围 【典例】对于反比例函数，当时，的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．以上答案都错 【举一反三1】点，都在反比例函数（）的图象上．若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D．为任意实数 【举一反三2】已知反比例函数，当时，的取值范围是 __________． 【举一反三3】如图，反比例函数的图象经过，若，则y的取值范围__________． 【举一反三4】反比例函数，当时，求y的取值范围. 【题型9】反比例函数\(k\)值的确定 【典例】已知反比例函数，在它图象的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 【举一反三1】如果反比例函数（k是常数）的图象在第一、三象限，那么k的值可以是（    ） A． B． C． D．0 【举一反三2】在平面直角坐标系中，已知为等腰直角三角形，，点，点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数的图象上，则（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 【举一反三3】请写出一个函数表达式，使其图象在第一、三象限且关于原点对称：__________． 【举一反三4】已知反比例函数（m是常数）的图象在第二、四象限，求m的取值范围． 【题型10】验证点在反比例函数图象上 【典例】下列各点中，在双曲线上的点是（   ）． A． B． C． D． 【举一反三1】在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，则的值为__________． 【举一反三2】将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入反比例函数中，所得函数值记为，再把代入反比例函数中，所得函数值记为，如此继续下去，则__________． 【举一反三3】已知反比例函数的图象经过点. （1）求与的函数关系式； （2）求当时，的值； （3）点、在此函数的图象上吗？ 【举一反三4】已知在反比例函数 (m为常数， 且的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； 【题型11】反比例函数图象上点的(自变量值或)函数值的大小比较 【典例】在反比例函数（为常数）上有三点，，，若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】若点，，都在反比例函数的图象上，则，和1的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【举一反三2】已知函数y=﹣的图象上有三个点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是__________． 【举一反三3】如图，已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点A(－2，8). (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若(2，y1)，(4，y2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1，y2的大小，并说明理由. 【举一反三4】已知点在反比例函数的图象上. (1)求反比例函数的解析式； (2)已知且，与两点都在该反比例两数的图象上，试比较与的大小． 【题型12】反比例函数与其他函数的性质应用 【典例】①y=-x；②y=2x；③y=（x＞0）；④y=，y随x增大而减小的函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】下列函数中： ①；②；③；④， 当时，随的增大而增大的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【举一反三2】下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三3】在反比例函数①，②，③和④的图象上，点，在其图象上同一象限内． （1）若，则的函数是__________； （2）若，则的函数是__________． 【举一反三4】如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(m，1)，B(2，－3)两点，与y轴交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设D为线段AC上的一个动点(不包括A，C两点)，过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标. 【题型13】反比例函数的图象与性质的综合 【典例】下列关于反比例函数的描述不正确的是（ ） A．图象位于第二、四象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而增大 【举一反三1】反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（　　） A． B．函数图象分布在第二、四象限 C．函数图象关于原点中心对称 D．当时，y随x的增大而减小 【举一反三2】如果反比例函数，当时，随的增大而增加，那么的值可能是__________．（写出一个即可） 【举一反三3】对反比例函数，下列说法正确的有__________（填序号） ①其图象位于第二、四象限；②其图象必过，③其图象关于y轴对称；④若，则． 【举一反三4】已知反比例函数y＝，其中k>－2，且k≠0，1≤x≤2. (1)若y随x的增大而增大，则k的取值范围是　　　　　　　； (2)若该函数的最大值与最小值的差是1，求k的值. 【举一反三5】函数.    (1)在坐标系内画出这个函数的图象； (2)以下结论正确的是            ．（填序号） ①该函数图象关于y轴对称 ；      ②时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ③当时， ；        ④若直线与该函数图象只有两个交点，则． 【题型14】反比例函数系数\(k\)的几何意义 【典例】若图中的双曲线解析式均为y＝，则阴影面积为12的是 （      ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，已知的一边平行于轴，且反比例函数经过顶点和上的一点，若且的面积为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图：双曲线的图象上两点A、作轴于，轴于，那么和的关系为__________． 【举一反三3】如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积． 【题型15】利用反比例函数图象对称性求与正比例函数的交点 【典例】已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（     ） A． B． C． D． 【举一反三1】若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】已知直线（，k是常数）与双曲线交于点，两点，则的值为（　　　） A．5 B．0 C． D． 【举一反三3】同一坐标系下双曲线y与直线ykx一个交点为坐标为3,1，则它们另一个交点为坐标为__________． 【举一反三4】如果正比例函数y＝ax（a≠0）与反比例函数y＝（b≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣3，﹣2）那么另一个交点的坐标为__________． 【举一反三5】若直线与双曲线相交于点、，若点的坐标为，则点的坐标为          ． 【举一反三6】如图，直线与双曲线交于两点，则的值为       ． 【题型16】利用反比例函数与一次函数的图象解不等式 【典例】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，A点坐标为，B点坐标为．则当时，自变量x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【举一反三1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【举一反三2】如图，已知直线与反比例函数的图象交于点与点，则时x的取值范围为__________． 【举一反三3】已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．设点分别是两函数图象上的点．当时的取值范围为__________． 【举一反三4】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)求的值； (2)直接写出不等式的解集； 【题型17】反比例函数与一次函数的交点问题 【典例】已知正比例函数y＝mx(m≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象的一个交点坐标为(2，4)，则它们的另一个交点坐标是 （      ） A．(－2，4) B．(4，2) C．(2，－4) D．(－2，－4) 【举一反三1】直线y＝kx＋b与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y＝(x>0)相交于C，D两点，若C，D恰好是线段AB的三等分点，则直线y＝kx＋b的存在情况是 （      ） A．不存在 B．1条 C．2条 D．无数条 【举一反三2】已知反比例函数，直线交于、两点，则代数式的值是（     ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 【举一反三3】已知反比例函数（k是常数且）的图象与一次函数的图象相交于点A，点A的横坐标为2，则k的值是__________． 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为与B点．若C是y轴上的点，且满足的面积为20，则C点坐标为__________． 【举一反三5】如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点. (1) 求和的值； (2) 直接写出的的取值范围. 【举一反三6】一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 人教版（2024）九年级上册 27.2 反比例函数的图象和性质 题型专练（参考答案） 【题型1】反比例函数的图象 【典例】如图，反比例函数y=的图象大致是 （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵k=4，可根据k>0，反比例函数图象在第一、三象限，故D选项符合题意. 【举一反三1】已知反比例函数y=的图象如图所示，则实数m的取值范围在数轴上应表示为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵反比例函数y=的图象位于第一、三象限， ∴3-m>0， ∴m<3. 【举一反三2】在反比例函数图象上有两点，，，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】∵在反比例函数图象上有两点，，，， ∴，解得， 故答案为：. 【举一反三3】(课本练习P61　T2)在同一个平面直角坐标系中画出函数与的图象. 【答案】解:如图所示. 【题型2】反比例函数图象经过的象限 【典例】已知反比例函数y＝的图象过点P(1，3)，则该反比例函数图象位于 （      ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第四象限 D．第三、第四象限 【答案】B 【解析】由图象过(1，3)，得k＝3>0，所以该反比例函数图象位于第一、第三象限. 【举一反三1】在平面直角坐标系中，反比例函数经过点，则反比例图象所在象限为（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【解析】设反比例函数为：， 把代入解析式：＞ 所以反比例函数的图象在第一，三象限， 故选A． 【举一反三2】函数的图象是__________，分别位于第__________象限． 【答案】双曲线 一、三 【解析】函数的图象是双曲线，分别位于第一、三象限， 故答案为：双曲线，一、三． 【举一反三3】若反比例函数的图象在第一、三象限，写出一个满足条件的的值为__________． 【答案】0(答案不唯一） 【解析】反比例函数（1-m是常数，1-m≠0）的图象在第一，三象限， 则1-m＞0，m<1， 所以答案为：0（答案不唯一）． 【举一反三4】用描点法画出反比例函数的图象． 【答案】解：列表如下： 反比例函数的图象如下． 【题型3】反比例函数图象上点的坐标特征 【典例】若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 又∵点也在反比例函数图象上， ∴， 故选：. 【举一反三1】已知反比例函数y=的图象在第二、四象限，请写出一个符合题意的m的值是__________ . 【答案】###### 【解析】∵反比例函数y=的图象在第二、四象限， ∴m+1<0， ∴m<-1， ∴m可以取-3. 【举一反三2】一个反比例函数的图象经过A，B两点，若m<-3，则n的取值范围是__________ . 【答案】 【解析】设反比例函数表达式为y=， ∵反比例函数的图象经过A，B两点， ∴k=-4m，k=3n， ∴-4m=3n， ∴m=， ∵m<-3， ∴<-3， ∴n>4. 【举一反三3】已知反比例函数y=的图象经过点. (1)求y与x之间的函数表达式； (2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点P是否在这个函数的图象上，说明理由. 【答案】解　(1)由条件可知5=， 解得k=-10， ∴y与x之间的函数表达式为y=-. (2)∵在反比例函数y=-中，k=-10<0， ∴这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大. (3)不在，理由如下： 将x=-代入y=-中， 可得y=100≠-1， ∴点P不在这个函数的图象上. 【题型4】反比例函数与一次函数的图象 【典例】反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由反比例函数的图象可知kb>0， 当k>0，b>0时， ∴直线y＝kx＋b经过第一、二、三象限； 当k<0，b<0时， ∴直线y＝kx＋b经过第二、三、四象限. 【举一反三1】若反比例函数的图象经过点（2，），则一次函数 的图象不经过第__________象限． 【答案】三 【解析】将（2，﹣）代入y＝得﹣＝，解得k＝-3， ∴一次函数解析式为y＝-3x+3，直线经过第一、二、四象限， 故答案为：三． 【举一反三2】如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点. (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 【答案】解：（1）把A（-4，2）代入得m=-4×2=-8， ∴反比例函数的解析式为； 把B（n，-4）代入得-4n=-8，解得n=2， ∴B点坐标为（2，-4）， 把A（-4，2）、B（2，-4）分别代入y=kx+b得 ， 解方程组得， ∴一次函数的解析式为y=-x-2； （2）观察图象得到当-4＜x＜0或x＞2 时，一次函数的值小于反比例函数的值. 【题型5】反比例函数与二次函数的图象 【典例】反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵反比例函数的图象位于第二四象限，∴， ∴二次函数图象开口向上，二次函数图象的对称轴为直线， 时，，所以，二次函数图象与y轴的负半轴相交，纵观各选项，只有B选项图形符合． 故选：B． 【举一反三1】函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第一、三象限，即，因为的对称轴，故该选项是不符合题意； B、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第二、四象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意； C、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第二、四象限，即，因为的对称轴，故该选项是符合题意； D、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第一、三象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意； 故选：C. 【举一反三2】若根式有意义，则双曲线与抛物线的交点在第__________象限． 【答案】二 【解析】根据题意得，2﹣2k＞0，∴2k﹣2＜0. ∴反比例函数的图象位于第二、四象限. ∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为（0，2﹣2k）在y轴正半轴， ∴抛物线的图象不经过第四象限. ∴双曲线与抛物线的交点在第二象限. 【题型6】函数图象的综合应用 【典例】下列关于反比例函数y＝－的说法正确的是 （      ） A．y随x的增大而减小 B．函数图象过点 C．函数图象位于第一、第三象限 D．当x>0时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】反比例函数y＝－，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A错误； 函数图象过点，故选项B错误； 函数图象位于第二、四象限，故选项C错误； 当x>0时，y随x的增大而增大，故选项D正确. 【举一反三1】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵抛物线的常数项为0，抛物线一定经过原点，故A错误. ∵反比例函数的图象在第一、三象限，，即同号 当，抛物线的对称轴在轴左侧，直线经过第二、三、四象限，故D错误. 当，抛物线的对称轴在轴右侧，直线经过第一、二、三象限，故B错误，C正确． 故选：C． 【举一反三2】如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为(1，2)，点B与点D在反比例函数y＝(x>0)的图象上，则点C的坐标为__________ . 【答案】(3，6) 【解析】由题意得，B点的坐标为(1，6)，D点的坐标为(3，2)， 因为ABCD是矩形，故C点的坐标为(3，6). 【举一反三3】(课本习题16.5P69　T6)已知一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象交于点. (1) 分别求出这两个函数的表达式. (2) 在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,根据图象回答:当取何值时,一次函数的值大于反比例函数的值? 【答案】解: (1) 设反比例函数的表达式为. 因为图象过点,所以,即,所以反比例函数的表达式为.又因为该图象过点,所以,即. 因为点都在一次函数的图象上,所以设一次函数的表达式为, 则有解得 所以一次函数的表达式为. (2) 两函数的图象如图所示.由图象可知,当或时,一次函数的值大于反比例函数的值. 【题型7】反比例函数图象的增减性 【典例】若点A，B，C在反比例函数y=的图象上，则a，b，c的关系是 A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．a>c>b 【答案】B 【解析】∵k=4>0， ∴反比例函数y=的图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵-2<0<3<4， ∴b>c>0，a<0， ∴b>c>a. 【举一反三1】若点，，都在反比例函数的图象上则，，的大小关系是（ 　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，都在反比例函数的图象上， 所以 所以. 故答案选D. 【举一反三2】学习了一次函数、二次函数、反比例函数后，爱钻研的小敏尝试用同样的方法研究函数y=，从而得出以下命题： （1）当x＞0时，y的值随着x的增大而减小； （2）y的值有可能等于3； （3）当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3； （4）当y＞0时，x＞0或x＜－． 你认为真命题是 (   ) A．（1）（3） B．（1）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 【答案】C 【解析】y==3+，根据反比例函数可得当x＞0，y随x的增大而减小，是真命题；y的值不可能等于3，是假命题；当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3，是真命题；当y＞0时，x＞0或x＜－，是真命题. 故选：C. 【举一反三3】在平面直角坐标系xOy中，若点A，B都在反比例函数y=的图象上，当x1<0<x2时，有y1<y2，则m的取值范围是　　　　. 【答案】 【解析】∵点A，B都在反比例函数y=的图象上，当x1<0<x2时，有y1<y2， ∴2-m>0， 解得m<2. 【举一反三4】已知反比例函数y=，对于正数m，当自变量x满足-m-1≤x≤-m时，函数y的最小值为a，则当m≤x≤2m时，函数y的最小值为__________ ，最大值为__________ .(用含a的式子表示) 【答案】　 ； 【解析】由条件可知图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵对于一个正数m，当-m-1≤x≤-m时，函数y的最小值为a， 则当x=-m时，=a， ∴k=-ma， ∴y=， 当m≤x≤2m时， 当x=2m时，函数y有最小值为=-， 当x=m时，函数y有最大值为=-a. 【举一反三5】已知：反比例函数的图象经过． (1)求k的值； (2)这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ (3)画出函数的图象； 【答案】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（2，-4），∴代入得：k=-4×2=-8； （2）∵反比例函数的解析式为， k=-8＜0， ∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大； 函数图象为： 【题型8】求反比例函数的变量范围 【典例】对于反比例函数，当时，的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．以上答案都错 【答案】C 【解析】当x＝2时，y＝， ∵反比例函数中，k＝3＞0，∴在第一象限内y随x的增大而减小， ∴0＜y＜． 故选：C． 【举一反三1】点，都在反比例函数（）的图象上．若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【解析】分两种情况讨论： ①若点，在同一象限内， ∵双曲线（）在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，，该不等式无解， ②若点，在不同象限， ∵双曲线中，∴双曲线位于第一、三象限， ∵，∴点位于第三象限，点位于第一象限， ∴，解得． 综上所述，． 故选：A 【举一反三2】已知反比例函数，当时，的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】把代入得：， 把代入得：，当时，的取值范围是， 故答案为：． 【举一反三3】如图，反比例函数的图象经过，若，则y的取值范围__________． 【答案】 【解析】∵反比例函数的图象经过， ∴．∴函数解析式． ∵，在第一象限内，y随着x的增大而增大，∴． 【举一反三4】反比例函数，当时，求y的取值范围. 【答案】解：因为 ，所以， 反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， 当时，y有最大值，且最大值为，当时，y有最小值，且最小值为， 当时，． 【题型9】反比例函数\(k\)值的确定 【典例】已知反比例函数，在它图象的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】A 【解析】反比例函数，在它图象的每个分支上，y都随x的增大而增大， ，，则k的值可能为0， 故选：A． 【举一反三1】如果反比例函数（k是常数）的图象在第一、三象限，那么k的值可以是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】∵反比例函数（k是常数）的图象在第一、三象限， ∴，∴，∴的值可以是0， 故选：D． 【举一反三2】在平面直角坐标系中，已知为等腰直角三角形，，点，点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数的图象上，则（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【解析】如图，作轴于H， 则，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 点A在上， ， 故选：A. 【举一反三3】请写出一个函数表达式，使其图象在第一、三象限且关于原点对称：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】若反比例函数（k是常数，且k≠0）的图象在第一、三象限，则k＞0， 故k可取1，此时反比例函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【举一反三4】已知反比例函数（m是常数）的图象在第二、四象限，求m的取值范围． 【答案】解：∵反比例函数（m是常数）的图象在第二、四象限， ∴，解得 ∴m的取值范围是． 【题型10】验证点在反比例函数图象上 【典例】下列各点中，在双曲线上的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵四个选项中,只有(−3)×(−4)=12， ∴D中点(−3,−4)在双曲线y=上． 故选D. 【举一反三1】在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，则的值为__________． 【答案】 【解析】∵，都在反比例函数的图象上， ∴，解得：． 【举一反三2】将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入反比例函数中，所得函数值记为，再把代入反比例函数中，所得函数值记为，如此继续下去，则__________． 【答案】2 【解析】∵； ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ……， ∴反比例的函数值每3个一循环， ∵， ∴； 故答案为：2． 【举一反三3】已知反比例函数的图象经过点. （1）求与的函数关系式； （2）求当时，的值； （3）点、在此函数的图象上吗？ 【答案】解：（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴5=，解得k=-10， ∴反比例函数的解析式为：y=. （2）∵反比例函数的解析式为：y=， ∴当y=-4时，-4=， 解得：x=. （3）∵×20=-10，×1=≠-10， ∴点在此函数的图象上，点不在此函数的图象上. 【举一反三4】已知在反比例函数 (m为常数， 且的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； 【答案】解：（1）∵点在该反比例数的图象上， ∴，解得． ∵， ∴该反比例函数的图象在第一、 三象限． （2）由（1）可知，该反比例函数的解析式为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上． 【题型11】反比例函数图象上点的(自变量值或)函数值的大小比较 【典例】在反比例函数（为常数）上有三点，，，若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选C． 【举一反三1】若点，，都在反比例函数的图象上，则，和1的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵在反比例函数的图象上，∴，解得：， ∵， ∴反比例函数在上y随x增大而减小，且小于0， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【举一反三2】已知函数y=﹣的图象上有三个点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是__________． 【答案】y2＞y1＞y3 【解析】∵反比例函数y=-中，k=-3＜0， ∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∵-3＜-1＜0＜2， ∴0＜y1＜y2、y3＜0， ∴y2＞y1＞y3， 故答案是：y2＞y1＞y3． 【举一反三3】如图，已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点A(－2，8). (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若(2，y1)，(4，y2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1，y2的大小，并说明理由. 【答案】解　(1)y＝－. (2)y1<y2.理由：∵k＝－16<0，在每一象限内，函数值y随x的增大而增大， 而点(2，y1)，(4，y2)都在第四象限，且2<4， ∴y1<y2. 【举一反三4】已知点在反比例函数的图象上. (1)求反比例函数的解析式； (2)已知且，与两点都在该反比例两数的图象上，试比较与的大小． 【答案】解：（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴. ∴. ∵反比例函数为，其图象在二、四象限内， 且在每一象限内随的增大而增大， 又， ∴①当时，有，此时点在第四象限的图象上，， 点在第二象限的图象上，，则. ②当时，有，∴. 【题型12】反比例函数与其他函数的性质应用 【典例】①y=-x；②y=2x；③y=（x＞0）；④y=，y随x增大而减小的函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】根据函数的性质可知： ①y=-x，y随x的增大而减小，故符合； ②y=2x，y随x的增大而增大，故不符合； ③y=（x＞0），当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合； ④y=，当x＞0，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合； y随x的增大而减小的函数有：①③， 故选B. 【举一反三1】下列函数中： ①；②；③；④， 当时，随的增大而增大的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解析】①，y随x的增大而减小，不符合题意； ②，当时，y随x的增大而增大，符合题意； ③，当时，随的增大而增大，符合题意； ④，当时，随的增大而增大，不符合题意， 当时，随的增大先减小后增大，不符合题意， 综上所述符合题意的有：②③， 故选：B． 【举一反三2】下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而增大，故选项正确； B：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误； C：为反比例函数，，在内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误； D：为反比例函数，，在内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在内，函数值随自变量的值增大而增大，但在从左侧到右侧时不满足条件“函数值随自变量的值增大而增大”，故选项错误； 故选：A． 【举一反三3】在反比例函数①，②，③和④的图象上，点，在其图象上同一象限内． （1）若，则的函数是__________； （2）若，则的函数是__________． 【答案】①③ ②④ 【解析】∵反比例函数①，，②，，③即，；④，， ∴①③的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ②④的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， （1）点，在其图象上同一象限内． 若，则的函数是①③， 故答案为：①③． （2）点，在其图象上同一象限内． 若，则的函数是②④， 故答案为：②④． 【举一反三4】如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(m，1)，B(2，－3)两点，与y轴交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设D为线段AC上的一个动点(不包括A，C两点)，过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标. 【答案】解　(1)∵点B(2，－3)在反比例函数图象上， ∴k＝－6， ∴反比例函数解析式为y＝－， ∵点A(m，1)在反比例函数y＝－的图象上， ∴1＝－，解得m＝－6， ∴A(－6，1)，B(2，－3)， ∵A(－6，1)，B(2，－3)在一次函数y＝ax＋b的图象上， ∴解得 ∴一次函数解析式为y＝－x－2. (2)由(1)可知C(0，－2)，设点D的坐标为，则E， ∴ED＝－＝－m＋2， ∴S△CDE＝×(－m)×＝ －m2－m＋3＝－(m＋2)2＋4， 当m＝－2时，S△CDE最大值为4， ∴E(－2，3). 【题型13】反比例函数的图象与性质的综合 【典例】下列关于反比例函数的描述不正确的是（ ） A．图象位于第二、四象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而增大 【答案】D 【解析】A.反比例函数的图象位置由的符号决定.当时，图象位于第二、第四象限，故A正确.不符合题意； B.将点代入函数：当时，，与点的纵坐标一致，故B正确.不符合题意； C.反比例函数中且，因此图象永远不会与坐标轴相交，故C正确.不符合题意； D.当时，在每一个象限内，随的增大而增大.但若未限定“每个象限内”，当跨象限变化时（如从负数到正数），会先减小后增大，故D的描述不完整，错误.符合题意； 故选：D. 【举一反三1】反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（　　） A． B．函数图象分布在第二、四象限 C．函数图象关于原点中心对称 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】反比例函数的图象经过点， ，故选项正确，不合题意； ， 此函数图象的两个分支位于二四象限，故选选项正确，不合题意； 反比例函数的图象关于原点对称，故选项C正确，不合题意； 反比例函数图象的两个分支位于二四象限， 当时，随着的增大而增大，故选项错误，符合题意． 故选：D. 【举一反三2】如果反比例函数，当时，随的增大而增加，那么的值可能是__________．（写出一个即可） 【答案】1 【解析】∵反比例函数，当时，随的增大而增加， 解得：， 故的值可能是1． 故答案为：1(答案不唯一)． 【举一反三3】对反比例函数，下列说法正确的有__________（填序号） ①其图象位于第二、四象限；②其图象必过，③其图象关于y轴对称；④若，则． 【答案】② 【解析】①∵k＝6＞0， ∴它的图象在第一、三象限，故错误； ②当x时，y4， ∴图象必过（，4），故正确； ③反比例函数图象关于原点对称，故错误； ④∵k＝6＞0， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y＞0， ∵当x＝﹣3时，y2， ∴x＞﹣3，则y＜﹣2或y＞0，故错误． 故答案为：②． 【举一反三4】已知反比例函数y＝，其中k>－2，且k≠0，1≤x≤2. (1)若y随x的增大而增大，则k的取值范围是　　　　　　　； (2)若该函数的最大值与最小值的差是1，求k的值. 【答案】解　(1)∵y随x的增大而增大， ∴k<0， ∵k>－2，且k≠0， ∴－2<k<0. (2)当－2<k<0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大， ∴－k＝1， 解得k＝－2，不合题意，舍去； 当k>0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小， ∴k－＝1， 解得k＝2. 综上所述，若该函数的最大值与最小值的差是1，k的值为2. 【举一反三5】函数.    (1)在坐标系内画出这个函数的图象； (2)以下结论正确的是            ．（填序号） ①该函数图象关于y轴对称 ；      ②时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ③当时， ；        ④若直线与该函数图象只有两个交点，则． 【答案】解：（1）∵， ∴当时可知，函数为反比例函数经过第一象限， 当时可知，函数为反比例函数经过第二象限， 如下图所示：    （2）∵函数不是相同函数，值不同，故不对称，①不正确； ∵通过观察图象可知，时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小， 故②正确； ∵当时，代入中得： ，③不正确； ∵直线与该函数图象只有两个交点， ∴，整理得：，即：，解得：， ∵通过观察图象可知交点在第一和第二象限，故， ，整理得：，即：，舍去， ∴，④正确， 故答案为：②④． 【题型14】反比例函数系数\(k\)的几何意义 【典例】若图中的双曲线解析式均为y＝，则阴影面积为12的是 （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|， ∴A，C中阴影部分的面积为6，不符合题意； B中阴影部分的面积为3，不符合题意； D中两个小三角形的面积和为6，矩形的面积为6，故阴影部分的和为12，符合题意. 【举一反三1】如图，已知的一边平行于轴，且反比例函数经过顶点和上的一点，若且的面积为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】延长AB交y轴于点D，过点A作AF⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，如图： 由题意，∵点B、C在反比例函数的图象上，∴， ∵，，∴，∴， ∵CE∥AF， ∴△OCE∽△OAF， ∵，∴，∴， ∵，∴， 易证四边形OFAD是矩形，∴，∴， 解得：； 故选：C． 【举一反三2】如图：双曲线的图象上两点A、作轴于，轴于，那么和的关系为__________． 【答案】 【解析】根据反比例函数系数的几何意义可知，=. 故答案为=. 【举一反三3】如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积． 【答案】解：（1）∵点在反比例函数的图象上， ； （2）设点，则，， ． 【题型15】利用反比例函数图象对称性求与正比例函数的交点 【典例】已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，两函数图象交于点，∴这个函数图象的另一个交点为， 故选：D． 【举一反三1】若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点成中心对称，且一个交点为（a，b），∴另一个交点的坐标（-a，-b）， 故选：D． 【举一反三2】已知直线（，k是常数）与双曲线交于点，两点，则的值为（　　　） A．5 B．0 C． D． 【答案】C 【解析】∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点， ∴x1•y1=x2•y2=5， ∵直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴x1=-x2，y1=-y2 ，y1= kx1，y2= kx2， ∴原式=2kx1x2-kx1x2= kx1x2==-5． 故选：C． 【举一反三3】同一坐标系下双曲线y与直线ykx一个交点为坐标为3,1，则它们另一个交点为坐标为__________． 【答案】 【解析】∵同一坐标系下双曲线y与直线ykx一个交点为坐标为3,1， ∴另一交点的坐标是（-3，1）． 【举一反三4】如果正比例函数y＝ax（a≠0）与反比例函数y＝（b≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣3，﹣2）那么另一个交点的坐标为__________． 【答案】（3，2） 【解析】把(-3,-2)代入和，得，，解得或， 故另一个交点坐标为(3，2). 【举一反三5】若直线与双曲线相交于点、，若点的坐标为，则点的坐标为          ． 【答案】 【解析】∵直线与双曲线的图象均关于原点对称， ∴点Q的坐标与点P的坐标关于原点对称， ∵点P的坐标为(－3，4)， ∴点Q的坐标为(3，－4)． 【举一反三6】如图，直线与双曲线交于两点，则的值为       ． 【答案】-4 【解析】∵直线与双曲线交于，两点， ∴，，，， ∴，， ∴. 【题型16】利用反比例函数与一次函数的图象解不等式 【典例】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，A点坐标为，B点坐标为．则当时，自变量x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，A点坐标为，B点坐标为， ∴结合图形得当时，x的取值范围是或． 故选：C． 【举一反三1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】∵在反比例函数图象上，∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上，∴，∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或. 【举一反三2】如图，已知直线与反比例函数的图象交于点与点，则时x的取值范围为__________． 【答案】或 【解析】∵直线与反比例函数的图象交于点与点，∴时x的取值范围为或． 故答案为：或． 【举一反三3】已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．设点分别是两函数图象上的点．当时的取值范围为__________． 【答案】或 【解析】∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴，∴，∴， 把代入反比例函数，则，∴，∴反比例函数的表达式是； ∵点分别是两函数图象上的点．    当时x的取值范围是或． 【举一反三4】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)求的值； (2)直接写出不等式的解集； 【答案】解：（1）当时，一次函数，， 、两点都在反比例函数图象上． ，即，．，． （2）由（1）可知，， 根据函数图象可知不等式的解集为：或． 【题型17】反比例函数与一次函数的交点问题 【典例】已知正比例函数y＝mx(m≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象的一个交点坐标为(2，4)，则它们的另一个交点坐标是 （      ） A．(－2，4) B．(4，2) C．(2，－4) D．(－2，－4) 【答案】D 【举一反三1】直线y＝kx＋b与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y＝(x>0)相交于C，D两点，若C，D恰好是线段AB的三等分点，则直线y＝kx＋b的存在情况是 （      ） A．不存在 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】D 【解析】令x＝0，得y＝kx＋b＝b. 令y＝0，得y＝kx＋b＝0，x＝－， ∴A，则B(0，b)， ∵C，D恰好是线段AB的三等分点， ∴若C，则D， ∵C，D两点在y＝(x>0)上， ∴－·＝2，∴k＝－b2， ∴直线y＝kx＋b为y＝－b2x＋b， ∵b存在无数个值， ∴直线y＝－b2x＋b存在无数条. 【举一反三2】已知反比例函数，直线交于、两点，则代数式的值是（     ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 【答案】B 【举一反三3】已知反比例函数（k是常数且）的图象与一次函数的图象相交于点A，点A的横坐标为2，则k的值是__________． 【解析】 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为与B点．若C是y轴上的点，且满足的面积为20，则C点坐标为__________． 【解析】或 【举一反三5】如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点. (1) 求和的值； (2) 直接写出的的取值范围. 【答案】(1) ∵已知，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， 解得： ； (2) ∵，， ∴当时，或. 【举一反三6】一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【解析】解：（1）∵反比例函数的图象过点，∴， 学科网（北京）股份有限公司 $