27.2 反比例函数的图象和性质（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本练习以“反比例函数的图象和性质”为核心，通过A/B/C组三级分层设计，实现从基础概念到综合应用再到思维创新的递进，适配新授课知识巩固与能力提升需求，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|反比例函数图象判断、性质应用、解析式确定|以选择填空为主，如“根据图象确定方程的根”，夯实概念理解| |B组能力进阶|反比例函数与几何图形综合（面积计算、图形变换）|结合矩形、菱形等几何背景，如“由图形面积求比例系数”，提升空间观念| |C组思维拔高（含拓展）|规律探究、与一次函数综合、中考真题|设置“点列规律探究”“函数交点与不等式解集”等题型，对接中考，发展推理能力与创新意识|

分层作业 27.2 反比例函数的图象和性质 目 录 A组 巩固过关 题型01二次函数与x轴交点问题 题型02 二次函数与y轴交点 题型03已知自变量的值求函数值 题型04据函数的图象确定方程的根 题型05一元二次方程的近似根的估算 题型06根据图象解一元二次不等式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 画（判断）反比例函数图象题型01 1．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 2．（2023·广东清远·一模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图所示是常见的手动打气筒，打气筒的充气次数与气筒内直径（对应“粗筒”“细筒”）存在关联：当充气总量（固定气量，如给一辆自行车轮胎充至标准胎压、给1个气球充至饱满）不变时，气筒内直径越大（单次充气量越大），所需充气次数越少；气筒内直径越小（单次充气量越小），所需充气次数越多某实验小组对同一固定气量的气球进行充气测试，记录了气筒内直径L（单位：）与充气次数F（单位：次）的对应数据如表所示： 气筒内直径 2 3 5 6 充气次数F/次 15 10 6 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)若使用内直径L为的打气筒给该固定气量的气球充气，所需充气次数F为_______次； (2)在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象； (3)根据函数图象，描述当时，F随L的变化规律． 反比例函数的图象和性质题型02 5．（25-26八年级下·山东济南·期末）若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 6．若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 8．（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 由图象确定解析式题型03 9．（24-25八年级下·山西临汾·阶段检测）图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节电阻来控制电流实现灯光亮度的变化．电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，其图象如图2所示．当时，该台灯的电阻是___________． 10．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 11．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 由图形面积求比例系数题型04 12．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，的边交反比例函数的图象于点，且，点，，在坐标轴上，已知的面积为16，则的值为________． 14．（2026·福建福州·二模）如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______． 15．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 反比例函数与几何的综合题型05 16．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 17．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（     ） A． B． C． D．15 18．（2026·山东临沂·二模）如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点D，已知点，反比例函数的图象经过点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点 ，连接，求的面积． 由反比例的比例系数求面积题型06 19．（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 20．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 21．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 22．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 反比例函数的规律探究题型07 23．（25-26八年级下·上海·期末）如图，在反比例函数的图像上有点、、、…，它们的横坐标依次为1、2、3、4… ，分别过这些点作轴与 轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次为、、…，请用含有 的代数式表示的值___________． 24．（2024·山东淄博·三模）如图，，，，…是分别以为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）如图，点、、、、在反比例函数的图象上，点、、、、在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 反比例函数与一次函数的综合题型08 26．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 27．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 28．（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 29．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 30．已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 31．（25-26八年级下·重庆万州·期末）在平面直角坐标系中，、两点关于轴对称，以为边在轴上方作平行四边形，点恰好落在轴上，反比例函数交边于点，交边于点．点是平行四边形内任一点，连接、、、、．若，且，则的值为（     ） A．10 B．20 C． D． 32．（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量的取值范围为________； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 33．（2026·浙江温州·三模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点向右平移4个单位长度后得到点，线段与轴相交于点，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式． (2)求的面积． 34．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则________． 35．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 36．（2026·北京·三模）如图，已知，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，动点在轴的正半轴上，线段交反比例函数图象于、两点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，给出下面三个结论： ①； ②对任意，存在唯一的动点，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 37．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 38．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 39．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的函数表达式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集为_________，直接写出以反比例函数与一次函数图象交点横坐标为两根的一元二次方程_________； (3)若点为轴上一点，的面积为10，直接写出点的坐标． 40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 41．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 42．（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 43．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 44．（25-26八年级下·四川眉山·期末）【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 45．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． (1)求k的值及直线的解析式； (2)点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 46．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D是点C右侧直线上一动点，过点D作轴于点E，交反比例函数图象于点F，连接，．当时，求此时点D的坐标及的面积； (3)在（2）问的条件下，将直线向下平移4个单位长度交x轴于点G．平面内是否存在一点M，使得以点B，C，G，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（25-26八年级下·北京昌平·期末）数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________： (2)下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 48．（24-25八年级上·上海·期中）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 49．（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 50．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 51．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 试卷第42页，共46页 21 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 27.2 反比例函数的图象和性质 目 录 A组 巩固过关 题型01二次函数与x轴交点问题 题型02 二次函数与y轴交点 题型03已知自变量的值求函数值 题型04据函数的图象确定方程的根 题型05一元二次方程的近似根的估算 题型06根据图象解一元二次不等式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 画（判断）反比例函数图象题型01 1．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 2．（2023·广东清远·一模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，是反比例函数解析式，且， 只有B选项符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为0得出，再结合函数的图像与y轴交点位置解答即可； 【详解】解：根据分式有意义得分母不为0，即，解得， 因此函数的图像无限接近直线，但不与直线相交，排除选项B、D； 判断y轴交点符号： 代入，得，说明函数与y轴交于正半轴，选项C中时，排除C； 当时，，因此，图像在x轴上方； 当时，，因此，图像在x轴下方，完全符合选项A的图像特征． 4．（25-26九年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图所示是常见的手动打气筒，打气筒的充气次数与气筒内直径（对应“粗筒”“细筒”）存在关联：当充气总量（固定气量，如给一辆自行车轮胎充至标准胎压、给1个气球充至饱满）不变时，气筒内直径越大（单次充气量越大），所需充气次数越少；气筒内直径越小（单次充气量越小），所需充气次数越多某实验小组对同一固定气量的气球进行充气测试，记录了气筒内直径L（单位：）与充气次数F（单位：次）的对应数据如表所示： 气筒内直径 2 3 5 6 充气次数F/次 15 10 6 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)若使用内直径L为的打气筒给该固定气量的气球充气，所需充气次数F为_______次； (2)在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象； (3)根据函数图象，描述当时，F随L的变化规律． 【答案】(1)20 (2)，见解析 (3)当时，F随L的增大而减小 【分析】（1）求出F关于L的表达式，将代入计算即可； （2）由（1）知表达式为，根据表格数据画图即可； （3）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：由题中数据知，且L与F的乘积恒为30， ∴F关于L的函数是反比例函数，表达式为， 当时，次； （2）解：由（1）知表达式为， 在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象如答图所示． （3）解：根据函数图象可知，当时，F随L的增大而减小． 反比例函数的图象和性质题型02 5．（25-26八年级下·山东济南·期末）若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据比例系数判断反比例函数图象所在象限和增减性，再根据各点横坐标判断点所在象限，进而比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. ∵， ∴点、在第二象限， ∴. ∵， ∴点在第四象限， ∴. 综上可得． 6．若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴ 分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵ ， ∴ ． 7．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】解：A、当时，，点不在该函数图象上，A错误； B、反比例函数中，，则该函数的图象分别位于第二、第四象限，B正确； C、当时，，可得，即，不符合，C错误； D、时，反比例函数仅在每个象限内满足随的增大而增大，对全体x不满足y随x增大而减小，D错误． 8．（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，得到关于的表达式，再根据已知条件列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 将点坐标代入解析式得，， ， ，即，解得：． 由图象确定解析式题型03 9．（24-25八年级下·山西临汾·阶段检测）图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节电阻来控制电流实现灯光亮度的变化．电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，其图象如图2所示．当时，该台灯的电阻是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想是解答本题的关键．设电流（A）与电阻之间的函数关系，根据待定系数法求得，将代入函数关系式中，求出即可． 【详解】解：由图象可知，电流（A）与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流（A）与电阻之间的函数关系为， 点在函数的图象上， ， 解得：， 电流（A）与电阻之间的函数关系为， 当时，， ． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 11．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1)这个函数的表达式为； (2)不在这个函数的图象上，理由见解析． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （）把点代入即可求解； （）当时，即可判断点是否在这个函数的图象上． 【详解】（1）解：根据图象可知，反比例函数的图象过点， ∴， ∴这个函数的表达式为； （2）解：不在这个函数的图象上，理由， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 由图形面积求比例系数题型04 12．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为，矩形的面积为，由矩形的面积为6建立方程求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 四边形是矩形，点、在轴上， 轴，轴，轴， 四边形和四边形均为矩形． 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限， ， ． ， ， ． 13．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，的边交反比例函数的图象于点，且，点，，在坐标轴上，已知的面积为16，则的值为________． 【答案】4 【分析】连接，由平行四边形的性质得到，可证明，由平行线的性质得到，再由反比例函数比例系数的几何意义可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴轴， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， 又∵反比例函数的图象经过第一象限，即， ∴． 14．（2026·福建福州·二模）如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______． 【答案】 12 【详解】正比例函数与反比例函数的交点、关于原点对称，因此设，则（其中）， 由，可知：， 解得，，即点的坐标为， 将代入双曲线：, 故. 15．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的几何意义得，由求解即可． 【详解】解：由题意可得点在图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点为图象上一点， ∴， ∴． 反比例函数与几何的综合题型05 16．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 【答案】/ 【分析】过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点，先证明是等腰直角三角形，设，证明，求得，作轴于点，作轴于点，则四边形是矩形，再证明，求得，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点， ∵， ∴， ∵在中，， ∴与平行，，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 作轴于点，作于点，则四边形是矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵、在函数图象上， ∴，， ∵在函数图象上， ∴， ∴． 17．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（     ） A． B． C． D．15 【答案】D 【分析】根据图形的平移，设平移距离为，分别表示点的坐标，由中点坐标的计算得到，把点C，F代入计算即可求解． 【详解】解：点，， ∴， ∵将向右平移到位置，设平移距离为， ∴， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴点F的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点C，F在反比例函数的图象上， ∴，即， 解得， ． 18．（2026·山东临沂·二模）如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点D，已知点，反比例函数的图象经过点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点 ，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据中点坐标公式先求出点D的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点的坐标为，从而得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：点D是菱形的对角线的交点， ∴点D是的中点， ∵点，点， 点D的坐标为：，即， 将点代入反比例函数中得， 解得：； ； （2）解：四边形是菱形， ，， ． 点的纵坐标为4， 当时，， ， 点的坐标为， ， ． 由反比例的比例系数求面积题型06 19．（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 20．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为， 轴，轴， 点的坐标为，点的坐标为， 的长度为， 点在线段上，且， ， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同， 点的坐标为， ， 整理得：， 解得：， ， ， 为直角三角形， ， ， ． 22．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【答案】4 【分析】作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，作轴于，延长交 轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 反比例函数的规律探究题型07 23．（25-26八年级下·上海·期末）如图，在反比例函数的图像上有点、、、…，它们的横坐标依次为1、2、3、4… ，分别过这些点作轴与 轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次为、、…，请用含有 的代数式表示的值___________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质求出，再相加求和即可 【详解】解：的横坐标依次为1、2、3、4…， 的宽都为1，的纵坐标依次为， 的高依次为， 可归纳总结出的高为， 故， 24．（2024·山东淄博·三模）如图，，，，…是分别以为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的坐标，确定，可求反比例函数关系式，由点是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到的长，然后再设未知数，表示点的坐标，确定，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点的坐标，确定，……然后再求和． 【详解】解：如图，过……分别作轴的垂线，垂足分别为……， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即． 其斜边的中点在反比例函数中， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 设，则， 此时将代入得， 解得，即， 同理， ． ∴ ． 25．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）如图，点、、、、在反比例函数的图象上，点、、、、在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，先求出交点，进而得出，，则是等腰直角三角形，得出，根据平行设直线的解析式为，求出，从而得出，利用坐标两点距离公式，得出，结合等腰直角三角形的性质，，同理可得，，，，……，则，即可得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 联立，解得：或（舍）， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 在直线的图象上， ， 直线的解析式为， 联立，解得：或（舍）， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 同理可得，，，，…… ， ． 反比例函数与一次函数的综合题型08 26．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 27．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，找到的图象在的图象上方部分的图象所对应的自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得， ∴反比例函数的表达式为， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）根据图象，当时，也就是的图象在的图象上方，所以在点A的左侧及y轴和点B之间的图象，即或． 28．（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将代入求出反比例函数的表达式，进而求出，将，代入计算即可； （2）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，解得：， ∴反比例函数的表达式为； 将代入得，解得：， ∴， 将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：由函数图象可知，当时，或． 29．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 【答案】4 【分析】过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得． 30．已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合各点横坐标的范围判断点所在象限，再根据函数的增减性比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数 对任意实数，， ， 可得 反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， 点在第二象限，可得 ， 点，都在第四象限，可得， 又在第四象限内随的增大而增大，且， 综上可得． 31．（25-26八年级下·重庆万州·期末）在平面直角坐标系中，、两点关于轴对称，以为边在轴上方作平行四边形，点恰好落在轴上，反比例函数交边于点，交边于点．点是平行四边形内任一点，连接、、、、．若，且，则的值为（     ） A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点，先求出平行四边形得面积，再求出的面积，根据反比例函数的几何意义即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作轴的垂线，交于点，交于点， ∵、两点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴． 32．（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量的取值范围为________； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为 (3) 【分析】（1）直接由图象法求解即可； （2）把点、代入一次函数得：，解得：，即可求解； （3）根据直线，得，设直线与y轴交于点G，再由，即，求得，则，把代入，得即可确定平移后的函数解析式，再由一次函数的平移即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A、点B的横坐标分别是和3． ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或； （2）解：∵点 、点的横坐标分别是和3， ∴点、， 将点、代入一次函数得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为； （3）解：∵直线， ， 设直线与y轴交于点G， 令，则， ∴， 又， ， 即， 解得， ∴， ∴ 设平移后的函数解析式为： 把代入，得， 直线的表达式为， ∵直线向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数解析式为：， ∴， 解得：． 33．（2026·浙江温州·三模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点向右平移4个单位长度后得到点，线段与轴相交于点，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入求出，得出反比例函数解析式，再将点代入反比例函数解析式求出，最后将，代入一次函数解析式利用待定系数法求解即可； （2）根据平移的性质得出，，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴代入得，即，     ， 将点代入可得， 解得：， ∴， 将，代入得， 解得：，， ． （2）解：根据平移可得轴， ∴，， ∴， ∴． 34．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、的横纵坐标，从而得到每次变化为一个循环组依次循环，用除以，根据商的情况确定出即可． 【详解】当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， ， 由上可知，，，，，，，个为一组依次循环， ∵， ∴． 35．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 【答案】 【分析】设直线与轴交于点，先求出，，继而可得，则，设，表示出，，再将点代入反比例函数表达式解方程即可． 【详解】解：设直线与轴交于点 对于一次函数，当时，； 当时，，解得 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵与轴垂直， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴ 整理得， 解得或（舍） ∴． 36．（2026·北京·三模）如图，已知，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，动点在轴的正半轴上，线段交反比例函数图象于、两点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，给出下面三个结论： ①； ②对任意，存在唯一的动点，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】连接，利用角平分线及斜边中线的性质即可判断①；若四边形是平行四边形，则可推出四边形是平行四边形，进而得出，再结合函数的图象可判断②；由可知，确定 的最大值即可判断③． 利用面积关系及三角函数求最值判断. 【详解】解：①如图1，连接， 直线与反比例函数的图象都关于原点对称， 、两点关于原点对称，即． ， 在中，， ， 平分， ， ， ， 故①符合题意； ② 如图2，连接. 若四边形是平行四边形，则，． 由①已知, 四边形是平行四边形， ， 由①已知， . 动点在轴的正半轴上，且是线段与反比例函数图象的交点， 点在点的右侧，且由图象可知随着动点向右运动，的长度是由0开始逐渐增大的， 对任意，一定存在唯一的动点，满足，也就是满足四边形是平行四边形，故②符合题意； ③如图3，过点E作,垂足为. 当时，把与联立，得 解得或， 两点的坐标分别为、． . ， . 在中，． 当时， 取得最大值，最大值为． 故③不符合题意. 综上所述，符合题意的结论是①②. 37．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 【答案】 【分析】设，，根据等腰直角三角形的性质表示出，的长，进而表示出点的坐标，利用点在反比例函数图象上得到与的关系式，再根据三角形面积差建立方程求解即可； 【详解】解：设，（，）， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ，即， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 点在上，， 点的纵坐标为，横坐标为， ，，且点在第二象限， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ． 38．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为或； ②存在，或或． 理由如下： ∵点P为y轴上一点，反比例函数的图象是否存在一点E， ∴设，， ∵，，以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； ∴存在，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【分析】（1）先把代入求出m，再把点B坐标代入反比例函数解析式，即可得到结论； （2）①解方程得到，在中，令，进而求得，设，由，根据三角形的面积公式列方程求解； ②设，根据平行四边形的对角线中点交于一点列方程组求解，再验证明求得的E点是否在反比例函数上，即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入中得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：①解得或， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； ②略 39．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的函数表达式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集为_________，直接写出以反比例函数与一次函数图象交点横坐标为两根的一元二次方程_________； (3)若点为轴上一点，的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】(1)y，y＝x＋1； (2)或； (3)P的坐标是或 【分析】（1）根据反比例函数的图象经过，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，进而求得的坐标，根据、点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据、的坐标，结合图象即可求得； （3）对于一次函数，令，求出点C的坐标，设，表示出的长，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴，即 ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得，不等式的解集为或． 以，2为根的一元二次方程可以为，即． （3）解：对于一次函数，令，则，解得， ∴， ∵点为轴上一点， ∴设，则， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标是或． 40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求解，，可得，进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可． （2）表示，，可得，，结合，进一步可得答案． （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， ∴， 解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图， ∵，一次函数，反比例函数， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，此时不符合题意， 综上：． （3）解：∵， ∴结合图象可得：当时，的解集是． 41．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为： 直线的解析式为：，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． 42．（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 43．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 44．（25-26八年级下·四川眉山·期末）【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据证明，结合全等三角形性质推出点坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，结合一次函数图象与性质，以及全等三角形性质推出点的坐标，再设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）设点的坐标为，过点作于点，过点作于点，根据点是直线上的一点，分两种情况①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，结合全等三角形性质与判定，以及勾股定理分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：过点作轴于点， 由题知， 由（1）同理可证，， 一次函数的图象交轴于点，交轴于点， 且当时，，当时，， ，即， ， ， ， 设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为， 则， 反比例函数的表达式为， 又有， 解得， 直线的函数表达式为； （3）解：设点的坐标为， 过点作于点，过点作于点， ①当点在轴上方时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； ②当点在轴下方时， 同理可求得， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 45．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． (1)求k的值及直线的解析式； (2)点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)， (2)，的最大值为 (3)或 【分析】（1）先将点，代入求出，再由待定系数法求解直线的表达式； （2）先由求解点的坐标，然后根据中点坐标公式求解点，再联立直线与反比例函数表达式求解点坐标，再根据平移以及对称的性质求解最大值即可； （3）连接，过点作轴于点，当点在点上方时，记为，此时点记为，证明出，然后通过联立直线与求解点；当点在点下方时，记为，此时点记为，此时，则，可得，通过中点坐标公式求解点，再通过联立直线与求解点即可． 【详解】（1）解：∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴， ∴， ∴，反比例函数表达式为， 设直线， 则代入点、可得， 解得， ∴直线； （2）解：在中，当时，则， 解得， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵的中点是， ∴，即， 设直线， 则代入、同理可求直线， 联立得，， 解得， ∴； 将点向右平移1个单位得到，再过点作轴的对称点，连接，，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称可得， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最大值为， ∵, ∴的最大值为； （3）解：连接，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 当点在点上方时，记为，此时点记为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴同理可求直线， ∴设直线， 代入点可得，，解得， ∴直线， 联立可得，， 解得，（舍去）， ∴； 当点在点下方时，记为，此时点记为， 此时， ∴， ∵， ∴， 联立直线与直线得，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴同理可求直线， 再联立可得，， 解得，（舍去）， ∴； 综上：符合条件的点M的坐标为或． 46．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D是点C右侧直线上一动点，过点D作轴于点E，交反比例函数图象于点F，连接，．当时，求此时点D的坐标及的面积； (3)在（2）问的条件下，将直线向下平移4个单位长度交x轴于点G．平面内是否存在一点M，使得以点B，C，G，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，点M的坐标为或或 【分析】（1）将代入直线解析式求出，得出，再将代入反比例函数解析式即可求解； （2）首先求直线与轴交点，设点，则，表示出，根据，列方程求出，再求出，即可解答； （3）先求出直线向下平移4个单位后解析式为，求出，设点，分三种情况当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点相同解答即可； 【详解】（1）解：∵点在直线上， 将在代入直线解析式得：，即； 又∵在反比例函数上，代入得， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：令，则， ∴， 设点， ∵轴， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：（，舍去负根）， ∴， ∴为直线， 令，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：直线向下平移4个单位后解析式为：， 令，则，解得， ∴， ∵，设点，分三种情况讨论平行四边形： 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； ∴存在点，坐标为或或． 47．（25-26八年级下·北京昌平·期末）数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________： (2)下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 【答案】(1) (2)1； (3)如图， (4)①减小；②或 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围． （2）将代入函数解析式，分步计算求出对应的值，即． （3）根据表格内多组、对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支． （4）①观察函数分支的图象升降趋势，判断随的增减变化．②先作出直线，结合函数图象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴自变量的取值范围是． （2）解：当时，； （3）略 （4）解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小； ②如图，过点，作一次函数， 由图可知，当时，的取值范围：或． 48．（24-25八年级上·上海·期中）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 【分析】（1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，∵，，与的距离为5，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 49．（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 50．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 51．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为， (2) 【分析】（1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 试卷第42页，共46页 21 / 24 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