2.3二次函数与一元二次方程、不等式第一课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 1.从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助一元二次函数图像求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 学习目标 设这个矩形的一条边长为xm，则另一条边长为(12-x)m. 情境：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？ 由题意，得(12-x)x>20，其中x∈{x|0<x<12}. 整理得x2-12x +20<0，x∈{x|0<x<12}. ① 它就是一个一元二次不等式 x 12-x 新课引入 问题1：何为一元二次不等式？如何解？ 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案 一元二次不等式： 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 一般形式: 其中a,b，c均为常数，a 初中，我们可用代数的方法求解下列不等式 不难发现：这种解法对于一元二次不等式相当繁琐，而且还是在容易分解因式下。那么是否有更好的解法呢？ 1.我们知道:三个“一次” x o y 一次函数 y=kx+b y=0 一元一次方程 kx+b=0 y>0 一元一次不等式 kx+b>0 -b/k b 2.利用一次函数图像解一元一次方程、不等式 （1）与x轴的交点（-b/k，0），其横坐标-b/k为一元一次方程kx+b=0的根 y>0 y=0 y<0 (2)x轴上方图像对应所有点的横坐标为不等式kx+b>0的解， x轴下方图像对应所有点的横坐标为不等式kx+b<0的解 新知探究一 二次函数与一元二次不等式间的关系 问题2：（1）类比三个“一次之间的关系”，你能得出三个二次之间的关系吗？ x o y y=0 y>0 （2）如何利用二次函数图像解一元二次不等式？ 新知探究二 一元二次不等式的解法 研究方式：特殊到一般。考察（特例）： x o y 2 10 请回答： （2，0） ， （10，0） 1.二次函数的零点定义： 一般地，对于二次函数+bx+c,我们把使+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=+bx+c的零点。 于是，二次函数=2,=10 x o y 2 10 于是，二次函数=2,=10将x轴分成三段， 2.根据图像解不等式： (1)当x<2或x>10时，函数图像位于x轴上方，此时 y>0, 即-12x+20>0 (2)当2<x<10时，函数图像位于x轴下方，此时y<0, 即-12x+20<0 于是我们由二次函数图象得到， 解集即解的集合 3.据上述方法推广，如何求一般的一元二次不等式： 画图象 求一元二次方程的根 求解集 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 x y o 2 3 新知探究三 解一元二次不等式 你能总结二次项系数为负的不等式的解法吗？ 升华思维：一元二次不等式的求解过程你会用框图表示吗？ 解集为{ x │x＜2} (x-2)(x-12)<0 或 或 解集为{x│2<x<12} 1.一元一次不等式 2x -4＜0； 2.一元二次不等式x2-12x +20<0 2x -4＜0 2x＜4 x＜2 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 例1.求不等式x2-5x + 6 > 0的解集；. 结合图象得不等式9x2-6x+1>0的解集为{x│x≠} 例2求不等式9x2-6x+1>0的解集. 解：对于方程9x2-6x+1=0，因为=0， 所以它有两个相等的实数根，解得x1=x2= 画出二次函数y=9x2-6x+1的图象（图2.3-3）， 画出二次函数y=x2-2x+3的图象（图2.3-4）. 结合图象得不等式x2-2x+3<0的解集为∅. 因此，原不等式的解集为∅. 例3 求不等式-x2+2x-3>0的解集. 解：不等式可化为x2-2x+3<0. 因为=-8<0， 所以方程x2-2x+3=0无实数根. $