第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合提升-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了二次函数、一元二次方程与不等式的核心知识，通过知识框架图将基本不等式、二次函数图像性质、方程根与不等式解集的关系等内容串联，构建完整知识网络，体现知识点间逻辑联系。 其亮点在于采用分层探究模式，如探究点一通过典例对比不等式性质差异，结合作差法等规律方法培养数学思维，教考衔接部分链接高考真题与教材溯源，强化数学语言应用。单元检测卷覆盖选择填空解答题，助力分层巩固，教师可精准把握学情提升复习效率。

章末综合提升 　 第二章 一元一次函数、方程和不等式 体系构建 1 分层探究 2 教考衔接 3 内容索引 单元检测卷 4 体系构建 返回 返回 分层探究 返回 探究点一　不等式及其性质 (1)若a＞b，x＞y，则下列不等式正确的是 A．a＋x＜b＋y B．ax＞by C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x＜(a－b)y √ 典例 1 因为当a≠0时，|a|＞0.由x＞y，得|a|x＞|a|y；由a＝0时，|a|x＝|a|y．因此|a|x≥|a|y．选项A、B、D均不满足不等式性质，不正确．故选C． √ (2)已知0＜a＜，且M＝－，N＝－，则M，N的大小关系为 A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 因为0＜a＜，所以1＋a＞0，1＋b＞0，ab＜1.M－N＝－－＝＋＝＞0，所以M＞N.故选A. 规律方法 1.作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等． 2.运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性．判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题． √ 对点练1.(1)若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是 A．＜b B．a2＞b2 C．＞ D．a|c|＞b|c| 取a＝1，b＝－1，排除选项A、B；取c＝0，排除选项D；显然成立．故选C． (2)已知2＜x＋y＜5，3＜x－y＜6. ①求x的取值范围； 因为2＜x＋y＜5，3＜x－y＜6， 所以5＜2x＜11，则． ②求的取值范围； 因为2＜x＋y＜5，3＜x－y＜6， 所以＜3. ③求2x－3y的取值范围． 设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，m，n∈R， 则2x－3y＝(m＋n)x＋(m－n)y， 所以 所以2x－3y＝－(x－y)． 因为2＜x＋y＜5， 所以－(x＋y)＜－1①． 因为3＜x－y＜6， 所以(x－y)＜15②． ①＋②得5＜－(x－y)＜14. 即5＜2x－3y＜14. 探究点二　利用基本不等式求最值 (1)已知x＞1，则3x＋的最小值为__________． 典例 2 2＋3 因为x＞1，所以x－1＞0， 所以3x＋＝3(x－1)＋＋3≥2＋3＝2＋3，当且仅当3(x－1)＝，即x＝1＋时等号成立， 所以3x＋＋3. (2)已知a＞0，b＞0，若a2＋9b2＋3ab＝27，则a＋3b的最大值为____． 6 因为a2＋9b2＋3ab＝(a＋3b)2－3ab≥(a＋3b)2－＝(a＋3b)2， 当且仅当a＝3b时，等号成立， 所以(a＋3b)2≤27， 则0＜a＋3b≤6，所以a＋3b的最大值为6. 规律方法 利用基本不等式求最值的三种解题技巧 1.凑项：通过变换项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值，再利用基本不等式求最值． 2.凑系数：无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，再利用基本不等式求最值． 3.换元：分式求最值，通常直接将分子配凑后把式子转化为多项式(或将分母换元后把式子转化为多项式)，再利用基本不等式求最值． 注意　利用基本不等式求最值的前提：一正、二定、三相等． 对点练2.(1)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为_______． 因为x＋y＝1，所以x＋y＋1＝2，则＋＝××(x＋y＋1)＝≥＝，当且仅当＝，即x＝2－2，y＝3－2时等号成立，所以＋的最小值为. (2)已知x＞1，y＞1，则＋的最小值为____． 16 由题意得x－1＞0，y－1＞0，令m＝x－1，n＝y－1，则＋＝＋≥＋＝8≥8×2＝16，当且仅当m＝n＝2时，两个等号同时成立，所以当x＝y＝3时，＋有最小值，为16. 探究点三　一元二次不等式的解法 解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)＞0. 解：原不等式可化为［x－(a＋1)］［x－2(a－1)］＞0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小： ①当a＋1＞2(a－1)，即a＜3时，x＞a＋1或x＜2(a－1)． ②当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4. ③当a＋1＜2(a－1)，即a＞3时，x＞2(a－1)，或x＜a＋1. 综上：当a＜3时，解集为{x|x＞a＋1，或x＜2(a－1)}， 当a＝3时，解集为{x|x≠4}， 当a＞3时，解集为{x|x＞2(a－1)，或x＜a＋1}． 典例 3 规律方法 一元二次不等式的解法 1.解一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． √ 对点练3.(1)不等式≥1的解集为 A．{x|x≥0} B．{x|x≥1，或x≤0} C．{x|x＞1，或x≤0} D．{x|0≤x＜1} 不等式≥1可化为≥0， 则解得x≤0，或x＞1.故选C． (2)已知不等式ax2＋5x－2＞0的解集是M． ①若2∈M，求a的取值范围； 因为2∈M，所以a×22＋5×2－2＞0，解得a＞－2，即a的取值范围是{a|a＞－2}． ②若M＝，求不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集． 因为M＝，2是方程ax2＋5x－2＝0的两个根． 由根与系数间的关系得 解得a＝－2，所以不等式ax2－5x＋a2－1＞0即为－2x2－5x＋3＞0，即2x2＋5x－3＜0. 对于方程2x2＋5x－3＝0，因为Δ＞0，所以它有两个不等的实数根，解得x1＝－3，x2＝， 所以不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集为． 探究点四　不等式恒成立问题 已知函数y＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，y≥a恒成立，求实数a的取值范围； 解：当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， 解得－6≤a≤2， 故实数a的取值范围是{a|－6≤a≤2}． 典例 4 (2)当a∈［4，6］时，y≥0恒成立，求实数x的取值范围． 解：将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数， 当a∈［4，6］时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可， 即 解得x≤－3－， 故实数x的取值范围是{x|x≤－3－}． 规律方法 解决不等式恒成立、能成立问题的方法 1.利用一元二次不等式判别式与图形相结合． 2.分离参数法． 3.转化为最大(小)值问题． 对点练4.已知x＞0，y＞0，且＋＝2，若x＋2y＞m2－3m－1恒成立，则实数m的取值范围是 A．m≤－1，或m≥4 B．m≤－4，或m≥1 C．－1＜m＜4 D．－4＜m＜1 √ 由＝2得2y＋x＋1＝2(x＋1)y，所以x＋1＝2xy，所以2y＝1＋＋1＝3，当且仅当x＝1，y＝1时，等号成立，所以(x＋2y)min＝3，所以x＋2y＞m2－3m－1恒成立，可化为3＞m2－3m－1，即m2－3m－4＜0，解得－1＜m＜4.故选C． 探究点五　不等式在解决实际问题中的应用 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y(单位：万元)与投入成本增加的比例x的关 系式； 解：由题意得y＝［12(1＋0.75x)－10(1＋x)］×10 000×(1＋0.6x)(0＜x ＜1)， 整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0＜x＜1)． 典例 5 (2)为使本年度的年利润与上年度相比有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：要保证本年度的年利润与上年度相比有所增加，则y－(12－10)× 10 000＞0(0＜x＜1)， 即－6 000x2＋2 000x＞0(0＜x＜1)， 解得0＜x＜． 规律方法 解决实际问题的关注点 1.审题要准，初步建模． 2.设出变量，列出函数关系式． 3.根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题． 对点练5.现要围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m．设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)． (1)用x表示y； 解：设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360，由已知得xa＝360，得a＝． 所以y＝225x＋－360(x＞0)． (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解：因为x＞0， 所以225x＋＝10 800， 所以y＝225x＋，即x＝24时，等号成立． 故当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元． 返回 教考衔接 返回 (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则 A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 真题 1 √ √ 因为x2＋y2－xy＝(x＋y)2－3xy＝1，且xy≤，所以(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－(x＋y)2＝(x＋y)2，故(x＋y)2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.取x＝，y＝－，则x2＋y2＝，故C正确，D错误.故选BC. 溯源：(教材P58复习参考题2T5)若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围． 点评：该高考题与教材复习题都是条件求最值问题，都涉及x＋y与xy的转化及不等关系，考查内容及解题方法均相同． (1)(2020·天津卷)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为____． 真题 2 4 ＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即(a＋b)2＝16，即a＋b＝4时取等号.又因为ab＝1，所以或时取等号，所以＋＋的最小值为4. (2)(2019·天津卷)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为_____． 4 因为x＋2y＝5，x＞0，y＞0，所以＝＝＝2＋≥2 ＝4，当且仅当即或时，等号成立，即原式取得最小值4. 溯源：(教材P46练习T2)已知x，y都是正数，且x≠y，求证： (1)＋＞2；(2)＜． 点评：以上两道高考题考查利用基本不等式求最值以及等号成立的条件，与教材习题非常类似． 返回 单元检测卷 返回 1.不等式(x＋1)(x－3)＜0的解集为 A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－3＜x＜1} C．{x|x＜－1，或x＞3} D．{x|x＜－3，或x＞1} √ 不等式(x＋1)(x－3)＜0的解集为{x|－1＜x＜3}．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.已知－b＜a＜0，则下列不等式中正确的是 A．＞ B．a2＞b2 C．＞ D．|a|＞b √ 因为－b＜a＜0，所以b＞0＞a，所以＜，故A错误；当a＝－，b＝1时，a2＜b2，故B错误；因为a－b＜a＜0，所以＞，故C正确；当a＝－1，b＝2时，|a|＜b，故D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为 A．M＜N B．M＞N C．M≤N D．M≥N √ M－N＝(2p＋1)(p－3)－［(p－6)(p＋3)＋10］＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4＞0，所以M＞N．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.已知m＜8，则m＋的最大值为 A．4 B．6 C．8 D．10 √ 因为m＜8，则m－8＜0，可得－＝＋－8≥ 2－8＝－4，即m＋≤4，当且仅当8－m＝，即m＝6时，等号成立，所以m＋的最大值为4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．如果a克糖水中含有b克糖(a＞b＞0)，再添加n克糖(n＞0)(假设全部溶解)，糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是 A．＞ B．＞ C．≥ D．＞ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意可知，加入n克糖(n＞0)后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了，加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为；所以＞.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.已知关于x的不等式x2－ax＋b≤0的解集为，则关于x的不等式x2－bx＋a＜0的解集为 A． B． C． D． √ 根据题意，方程x2－ax＋b＝0的两根为2和3，则a＝2＋3＝5，b＝2×3＝6，则x2－bx＋a＜0为x2－6x＋5＜0，其解集为．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.(2026·安徽淮南期末模拟) “不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的充分不必要条件可以是 A．m≤1 B．m≥1 C．m≥2 D．m≤3 √ 不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立，则Δ＝4－4m≤0，解得m≥1，选项中满足是集合{m|m≥1}真子集的是选项C，所以所求充分不必要条件是C．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.(2025·安徽池州期末测试)若存在正实数x，y，使得等式＋＝1和不等式x＋＜3m2－m都成立，则实数m的取值范围是 A． B． C． D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由＋＝1，得x＋＝＝1＋＋＋1＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时，等号成立，即x＋≥4恒成立.根据题意，得4＜3m2－m，即3m2－m－4＝＞0，解得m＜－1或m＞.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.下列不等式中，推理正确的是 A．若x＞y＞z，则＞ B．若＜＜0，则ab＞b2 C．若a2x＞a2y，则x＞y D．若a＞b＞0，c＞0，则a－c＞b－c √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，例如1＞－2＞－3，此时＜，故A错误；对于B，若＜＜0，可得b＜a＜0，则ab＜b2，故B错误；对于C，由a2x＞a2y，可得a2(x－y)＞0，可得x－y＞0，即x＞y，故C正确；对于D，a＞b＞0，c＞0，由不等式的性质，可得a－c＞b－c，故D正确.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.(2026·广东汕头质量监测)已知不等式f＝kx2＋x－2，下列说法正确的有 A．若k＝－，则不等式f＞0的解集为∅ B．若k＞0，则不等式f＜0的解集为 C．若∀x∈R，f＋x＜0恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式f＜0成立，则实数k的取值范围是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f＝kx2＋x－2＝.对于A，若k＝－，f＝＝－≤0恒成立，所以f＞0的解集为⌀，故A正确；对于B，若k＞0，则＞－2，f＜0的解集为，故B正确；对于C，f＋x＜0恒成立，即kx2＋2kx－2＜0，当k≠0时，等价于⇒解不等式组得－2＜k＜0，所以整数k的取值为－1；当k＝0时，kx2＋2kx－2＜0恒成立，满足题意.综上所述，整数k的取值集合为，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于D，当k＝0时，f(x)＝－x－2＜0的解集为{x｜x＞－2}，易知该解集中不止两个整数解，不合题意，舍去；当＜－2时，f＝ ＜0的解集为，易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去.当－2≤＜0时，f(x)＝(kx－1)(x＋2)＜0的解集为，易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去，当＞0时，f＝＜0的解集为，若该解集中恰有两个整数解，则0＜≤1，解得k≥1.综上，实数k的取值范围是{k｜k≥1}，故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.(2026·四川成都高二测试)已知关于x的不等式x2＋x－1＞0的解集为，则下列结论正确的是 A．a＋2b＝1 B．＋的最大值为 C．＋的最小值为3＋2 D．a2＋b2的最小值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，由题意得，－1是x2＋x－1＝0的两个根，故－1＝－，－＝，消去m得a＋2b＝1，故A正确；对于B，(＋)2＝a＋2b＋2＝1＋2，a＞0，b＞0，由基本不等式得≤＝，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时，等号成立，则＝1＋2≤2，故＋≤，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于C，a＋2b＝1⇒a＋1＋2＝4⇒＋＝1，由基本不等式得＋＝＝1＋2＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即b＝3－2，a＝4－5时，等号成立，故C正确；对于D，a＞0，b＞0，a＝1－2b＞0，解得0＜b＜，a2＋b2＝(1－2b)2＋b2＝5b2－4b＋1＝5＋，故当b＝时，a2＋b2取得最小值，故D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.若关于x的不等式mx2－5x＋m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是 _______________． 当m＝0时，不等式为－5x≤0⇒x≥0，显然不符合题意；当m≠0时，因为关于x的不等式mx2－5x＋m≤0的解集为R，所以有⇒m≤－，所以实数m的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.实数a，b满足4≤a＋b≤7，2≤a－b≤3.则3a－2b的取值范围是______ ___________． 7≤3a －2b≤11 设3a－2b＝x＋y，所以解得即3a－2b＝＋.因为2≤a－b≤3，所以5≤≤.又4≤a＋b≤7，所以2≤≤，所以7≤3a－2b＝＋ ≤11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知实数a，b满足a＞1，b＞0且2a＋2b－ab－2＝0，那么a＋2b的最小值为____． 10 实数a，b满足a＞1，b＞0且2a＋2b－ab－2＝0，所以＋＝1，所以a＋2b＝a－1＋2b＋1＝(a－1＋2b)＋1＝＋＋6≥ 2＋6＝10，当且仅当＝，即a＝4，b＝3时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(13分)求下列不等式的解集： (1)－x2＋14x－45＞0； 解：不等式－x2＋14x－45＞0， 即＜0，解得5＜x＜9， 故不等式的解集为． (2)≥1. 解：不等式≥1变形为－1＝≥0，则 解得3≤x＜5， 故不等式的解集为． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)设实数a＞0，b＞0. (1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)； 解：证明：因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， 所以a2＋3b2≥2b(a＋b)． (2)若a＋b＝2ab，求ab的最小值． 解：因为a＞0，b＞0， 所以2ab＝a＋b≥2≥1，所以ab≥1， 当且仅当a＝b时，即a＝b＝1时取等号． 故ab的最小值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100(km/h)，若货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度v(km/h)的平方的倍，固定成本为a元． (1)将全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)&的函数； 解：由题意得可变成本为元，固定成本为a元，所用时间为， 则y＝(0＜v≤1 00)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？ 解：由(1)得，y＝1 000≥1 000×2＝1 000，当且仅当v＝，即v＝2时取等号. 又0＜v≤100， 所以当0＜a≤7 500时，货车以v＝2km/h的速度行驶，全程运输成本 最小； 当a＞7 500时，货车以100 km/h的速度行驶，全程运输成本最小． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)设y＝mx2＋(1－m)x＋m－2. (1)若不等式y≥－2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； 解：由y≥－2恒成立得，mx2＋(1－m)x＋m≥0对一切实数x恒成立． 当m＝0时，不等式为x≥0，不合题意； 当m≠0时，解得m≥. 综上所述：实数m的取值范围是． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)在(1)的条件下，求的最小值； 解：因为m≥， 所以＝＝m＋1＋≥2＝4，当且仅当m＋1＝，即m＝1时取等号，所以的最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)解关于x的不等式y＜m－1. 解：由mx2＋(1－m)x＋m－2＜m－1得mx2＋(1－m)x－1＝(mx＋1)(x－1)＜0. ①当m＝0时，x－1＜0，解得：x＜1，即不等式解集为{x|x＜1}； ②当m≠0时，令mx2＋(1－m)x－1＝0，解得：x1＝1，x2＝－； 1)当－＜0，即m＞0时，不等式解集为； 2)当0＜－＜1，即m＜－1时，不等式解集为； 3)当－＝1，即m＝－1时，不等式可化为x2－2x＋1＝(x－1)2＞0， 所以x≠1，所以不等式解集为{x|x≠1}； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4)当－＞1，即－1＜m＜0时，不等式解集为； 综上所述：当m＝0时，不等式解集为{x|x＜1}； 当m＞0时，不等式解集为； 当m＜－1时，不等式解集为； 当m＝－1时，不等式解集为{x|x≠1}； 当－1＜m＜0时，不等式解集为． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若＞，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”． (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； 解：根据题设中的定义可得点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)已知点是点的“上位点”，判断点P是否是点的“下位点”，证明你的结论； 解：点P的“下位点”． 证明：因为点的“上位点”， 所以． 又因为a，b，c，d均大于0，所以ad＞bc， 所以ad－bc＞0， 所以－＝＝＜0，即＞，即＞， 所以点P是点的“下位点”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)设正整数n满足以下条件：对集合内的任意元素m，总存在正整数k，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由． 解：可证点P既是点的“上位点”，又是点的“下位点”. 证明：因为点是点的“上位点”，所以＞. 因为a，b，c，d均大于0，所以ad＞bc， 所以ad－bc＞0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以－＝＝＝＞0，即＞， 所以点P是点的“上位点”. 同理可得－＝＝＜0，即＞， 所以点P是点的“下位点”， 所以点P既是点的“上位点”，又是点的“下位点”. 根据题意知，点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对m∈时恒成立， 根据上述的结论可知，当n＝2 026＋2 027＝4 053，k＝2m＋1时，满足条件． 故n＝4 053. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 返回 $