2.3 课时1 二次函数与一元二次方程、不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3 课时1 二次函数 与一元二次方程、不等式 作者编号：32100 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.从函数观点看一元二次方程，了解函数的零点与方程根的关系. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 学习目标 作者编号：32100 问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20，则这个矩形的边长为多少米？ 解：设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为_______________ｍ． 由题意，得:________________________， 其中x∈_____________________， 整理得 ． ① (12-x) (12-x)x＞20 ｛x｜0＜x＜12｝ x2－12x＋20＜0，x∈｛x｜0＜x＜12｝ 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案． 情景导入 作者编号：32100 思考1: 与一元一次不等式进行类比，这个不等式有何特点? 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 思考2: 结合一元一次不等式的定义，你能给这个新不等式下个定义，并给出这种不等式的一般形式吗？ x2－12x＋20＜0，x∈｛x｜0＜x＜12｝ 新知讲解 作者编号：32100 定义 一般地，我们把只含有 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数 一个未知数 2 一元二次不等式的定义及一般形式： 要点归纳 注意： 例如：-x2+2x+1>0 ， 2x2+3x>0 , x2-4<0等 “一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母； “二次”指的是未知数的最高次数必须是2，且最高次项系数不为0. 作者编号：32100 1.下面哪些不等式是一元二次不等式(其中为常数)? √ √ 练一练 作者编号：32100 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系： 二次函数 对于 一元二次方程 一元二次不等式 它们的联系又是怎样的呢？ 思考3: 如何求解这个一元二次不等式呢？ 类比 思考 x2－12x＋20＜0，x∈｛x｜0＜x＜12｝ 作者编号：32100 试一试：画出二次函数 的图像，观察并思考以下问题： 当x取哪些值时，都有①;②;③ ①当或时，； ②当或时，； ③当时，； 作者编号：32100 8 图像与轴的交点纵坐标为0，即 方程的根即图像与轴的交点横坐标 一般地，对于二次函数，我们把使的实数 叫做函数的零点. 说一说1：要使，为什么要找图像与x轴的交点？这说明了一元二次方程的根与二次函数图像之间有怎样的联系？ 作者编号：32100 9 2.写出函数的零点 . 练一练 注意：零点不是点，是交点的横坐标，是数值. 作者编号：32100 说一说2：如何通过二次函数图像，得到①使的x的取值集合？②的x的取值集合？ ①找函数图像上且在x轴上方的点的横坐标 说一说3：不等式解集是什么？ ②找函数图像上且在x轴下方的点的横坐标 思考4：上述方法能否推广到求任意的一元二次不等式的解集吗？ 作者编号：32100 11 解对应方程 画函数图像 看图给解集 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 x2 x y O x y O x1=x2 y x O 有两相异实根 x1， x2 (x1<x2) x1=x2= 没有实根 x x1 x2 x x Φ Φ x 开口向上时 大于在两边 小于在中间 当a<0时，如何讨论不等式的解集？ 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系： 归纳总结 作者编号：32100 例1 解下列不等式，并与同学交流你的求解步骤及方法. (1) x2－5x+6>0； (2) 9x2－6x+1>0； (3)- x2 + 2x – 3 >0； (4)7x-x2≤0； (5)(2－x)(x＋3) ≤ 0. 解：(1) 所以方程x2－5x+6=0有两个实数根 画出二次函数y=x2－5x+6的图像， 结合图像得不等式x2－5x+6>0的解集为{x|x<2，或x>3} 典型例题 作者编号：32100 (2) 9x2－6x+1>0； (2) 所以方程9x2－6x+1=0有两个相同的实数根 画出二次函数y=9x2－6x+1的图像， 结合图像得不等式9x2－6x+1>0的解集为{x|x} 变式：9x2－6x+10的解集为__________________ {x|x= } 作者编号：32100 (3)- x2 + 2x – 3 >0； (3)不等式可化为x2 - 2x + 3<0 ， 所以方程x2－2x+3=0没有实数根 画出二次函数y=x2－2x+3的图像， 结合图像得不等式x2－2x+3<0的解集为 因此原不等式的解集为空集. y=x2－2x+3 作者编号：32100 (4)7x-x2≤0. (4)不等式可化为x2 - 7x 0 方程x2－7x=0有两个不同的实数根 所以不等式x2－7x0的解集为{x|x≤， 或x7} 因此原不等式的解集为{x|x≤， 或x7} 作者编号：32100 (5)(2－x)(x＋3) ≤ 0. (5)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}. 作者编号：32100 求一般的一元二次不等式和的解集的一般步骤： (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集.不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. 归纳总结 作者编号：32100 3.不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( ) D 练一练 作者编号：32100 本节课我们学到了哪些知识与方法？ 1.知识清单： (1)一元二次不等式的概念. (2)二次函数的零点. (3)二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 本课小结 作者编号：32100 1.下列不等式中是一元二次不等式的是（ ） 2.不等式的解集为（ ） C D 当堂检测 作者编号：32100 3.不等式3x2－2x＋1>0的解集为(　　) A. B. C.∅ D.R D 当堂检测 作者编号：32100 A. B. C. D. $