专题11二元一次方程组的应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦二元一次方程组的应用，系统梳理从实际问题到模型转化的核心流程，涵盖双未知量判定条件、审设列解验答六大步骤，通过和差倍分、行程等12类高频题型搭建学习支架，助力学生掌握完整应用方法。 资料以核心素养为导向，分级题型（★到★★★★）结合重点辨析（如同源等量陷阱）培养数学思维，通过方案设计等实际问题强化模型意识，课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性练习，提升应用能力。

专题11二元一次方程组的应用精讲学案 核心立意： 实现实际问题到二元一次方程组的模型转化；找准两组独立等量关系；掌握应用题完整答题流程；区分数学解与实际解，规范答题书写。 二元一次方程组解实际问题的判定 ❶实际问题含有两个待求量，并且存在两组相互独立、不能互相推导的等量关系，使用二元一次方程组； ❷只有一组等量关系，选用一元一次方程； ❸两个方程不能由同一个条件变形而来，否则方程组没有唯一确定解。 列二元一次方程组解应用题六大步骤 ❶审：梳理已知量、未知量，提取两组独立等量关系； ❷设：设未知数，必须标注单位； ❸列：将文字等量转化为整式方程，联立二元一次方程组； ❹解：代入消元法或加减消元法求解； ❺验：双重检验，解代入方程成立；结合现实，数量不能为负数、小数，剔除不合理解； ❻答：写完整答语，带单位，对应题目提问。 高频题型+核心等量关系 1.和差倍分：·和:甲 + 乙 = 总量 ·差:大量 - 小量 = 差量（或 大量 = 小量 + 差量） ·倍:甲 = 乙 × 倍数 ·和倍 / 差倍：甲 = 乙 × 倍数 ± 具体数（多就加，少就减） 2.配套问题：配套物品数量成固定比例（交叉相等，如 1 桌配 4 腿→桌数 ×4 = 腿数）； 3.行程问题：路程 = 速度 × 时间 相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程； 追及：快路程 - 慢路程 = 初始路程差； 行船：顺水 = 静水 + 水流，逆水 = 静水 - 水流； 4.工程问题：工作总量 = 效率 × 时间（无总量设为 1），甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量； 5.购物计费：总价=单价×数量，两种物品总价和 = 总花费/数量和 = 总数量； 6.数字问题：两位数 = 10× 十位 + 个位，据数字和 / 位置交换后的差列关系。 重点辨析 ❶双未知量可直接设元，不用拿一个未知数表示另一个，简化列式； �方程组算出的是数学解，数学解不一定符合现实，必须做取舍； ❸两组等量关系必须相互独立，同源等量会产生无穷多组解。 1. 同一等量关系变形构造两个方程，方程组无唯一确定解。 2. 只校验方程计算，忽略现实约束，保留负数、小数等不合理结果。 3. 设未知数不带单位，答语漏写单位，答语和问题不匹配。 4. 等量关系翻译出错，列出错误方程组。 5. 省略检验环节，答题步骤书写不全。 题型 考察方向 难度 题型一 方案问题 ★★★ 题型二 行程问题 ★★★ 题型三 工程问题 ★★★ 题型四 数字问题 ★★★ 题型五 年龄问题 ★★ 题型六 分配问题 ★★ 题型七 销售、利润问题 ★★★ 题型八 和差倍分问题 ★★ 题型九 几何问题 ★★ 题型十 图表信息题 ★★★★ 题型十一 古代问题 ★★★ 题型十二 其他问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：方案问题 解题思路：①找准题干两组等量关系列出二元一次方程组，②结合实际限定未知数为非负整数，③筛选全部可行方案，④依据题意对比得到最终结果。 1．第一小组分练习本若干本，每人各得本，还剩本；若有一人只拿本，则其余每人可各得本，则第一小组有________人． 2．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒，仓库里现有2026张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（    ） A．510 B．512 C．514 D．516 3．有36名分别了多年的老同学约定到某个地方故地重游，他们决定租用汽车前往．可租用的汽车有两种：甲种每辆可以乘8人，乙种每辆可以乘4人．他们不愿意让车子留出空位，但也不能超载．（乘坐人数不包含司机） (1)你能想出几种租车的方案？ (2)已知甲种汽车每天的租金为300元，乙种汽车每天的租金为200元．请帮助他们选择一个最便宜的租车方案． 4．某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 题型二：行程问题 解题思路：①区分相遇、追及不同运动情景，②依托路程、速度、时间的关系梳理条件，③提取两组独立等量关系，④建立方程组求解。 5．甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 6．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程组为_______________________． 7．一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 8．海中有、、三个小岛，岛在岛正西方距离400海里处（如下图所示），岛在岛的北偏东方向500海里处． (1)用1厘米代表200海里，请根据题意在图中画出岛的位置，并量出图中的长度为 厘米，（四舍五入到个位）；那么、两地的实际距离约为 海里． (2)甲、乙两货轮同时从岛出发，甲沿方向，乙沿方向，10小时相遇，此时甲货轮比乙货轮多行驶了100海里，求甲乙两货轮的速度． (3)若岛需要大米和玉米共30吨，岛需要大米和玉米共50吨，现从岛运输20吨大米与60吨玉米到岛和岛，运输费用共为10600元（每吨的运输费用如下表所示），那么运到岛的大米与玉米各是多少吨？ 到岛的运费（元/吨） 到岛的运费（元/吨） 大米 100 200 玉米 80 150 题型三：工程问题 解题思路：①分清单独工作与合作工作过程，②理清工作总量、工作效率、工作时间的联系，③挖掘两组题干等量条件，④列方程组计算。 9．台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 11．夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3个安装小组，6天恰好完工；如果安排5个安装小组，2天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安装小组每天安装空调多少台？ 12．某农产品公司现有195吨物资需要运往外地，计划安排甲、乙两种货车将全部物资一次运完（货车均满载），已知甲、乙两种货车在满载情况下的两次运输记录如下表： 甲货车（辆） 乙货车（辆） 物资（吨） 第一次 10 6 290 第二次 6 3 165 (1)甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (2)若两种货车均使用，请求出所有可行的运输方案． 题型四：数字问题 解题思路：①借助数位正确表达数的真实数值，②读懂数位变换的文字描述，③整理两组数量关系，④构建方程组求解。 13．图①是一个三阶幻方，就是将已知的个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图②是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于________． 14．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为（     ） A．11 B．15 C．9 D．13 15．如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 16．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 题型五：年龄问题 解题思路：①牢牢抓住年龄差不变的核心条件，②明确所有人年龄同步增长，③梳理出两组等量关系，④列方程组算出结果。 17．小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为__________岁，小明年龄为__________岁． 18．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 19．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 20．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 题型六：分配问题 解题思路：①分析物资调配前后的数量变化，②找准调配对应的数量逻辑，③提取两组独立等量，④建立方程组完成计算。 21．如图，某数学兴趣小组准备用如图①的长方形和正方形木板，做如图②的竖式和横式两种无盖木箱，现在共有100块正方形木板和200块长方形木板，则做竖式和横式木箱共_______个恰好把这些木板用完． 22．用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或6个桶底，而1个桶身与1个桶底正好配套成1个水桶．现在有56张这样的铁皮，设用x张铁皮做桶身，y张铁皮做桶底，生产的桶身和桶底正好配套，则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 23．七年级有400名学生到厦门参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；已知小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 24．某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 题型七：销售、利润问题 解题思路：①理清进价、售价、利润、销量之间逻辑，②剥离题干干扰文字，③找出两组数量等量，④列方程组求解。 25．某县是全国知名的汉服生产基地，某汉服店铺购进基础款汉服和刺绣款马面裙两种服饰．已知购进2件基础款汉服和3件刺绣马面裙一共花费650元；购进3件基础款汉服比购进5件刺绣马面裙少450元，则每件刺绣马面裙的进价为__________元． 26．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为（     ）万元． A．40 B．25 C．26 D．34 27．【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 28．某文具店开展校园助学优惠活动，七（2）班采购书签与卡通笔两种文具，书签每个4元，卡通笔每个2元．文具店推出两项优惠政策： 方案一 采购书签数量超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买卡通笔满50个时，立减10元 (1)若班委购买了书签和卡通笔共80个，其中书签数量超过30个，一共花费244元，则班委购买了书签、卡通笔各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买这两种文具，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 题型八：和差倍分问题 解题思路：①抓取和、差、倍数类关键文字，②把文字描述转化成数量关系，③整理两组独立等式，④联立方程组计算。 29．现有甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共有9000人需要安置，设甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，那么依题意列出的方程组是________． 30．土家女儿会上，绣球与香囊是特色互动道具．在重量相同的两个篮子里，分别放置6个绣球和7个香囊后重量仍相等，交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻．设每个绣球重，每个香囊重，则所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 31．为了贯彻落实国家教育部制订的均衡教育规划，某校计划拆除部分旧校舍建设新校舍，使得校舍面积增加．已知建设新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，现有校舍面积为，求应拆除多少平方米的旧校舍？新建校舍多少平方米？ 解：设拆除旧校舍，新建校舍， 则得方程组： 补充上述内容，并求出x，y的值． 32．校园“文明之星”积分兑换问题，为鼓励学生参与校园文明志愿活动，某校推出“文明积分”兑换政策，学生可通过参与不同类型的志愿活动获得积分，并兑换学习用品，规则如下： 活动类型 单次活动积分 参与次数上限 A类：教室卫生值日 每次10分 最多参与10次 B类：校园图书整理 每次20分 最多参与10次 C类：文明督导岗执勤 每次30分 最多参与5次 (1)若学生小李参与A类活动3次、B类活动4次、C类活动2次，则他总共获得的积分为 分． (2)若学生小王参与A、B、C三类活动共12次，其中A类活动参与了4次，且总积分恰好为240分．求B类、C类活动各参与了多少次？ (3)若学生小张只参与A类和C类两类活动，总积分仍为240分，且参与次数均为正整数、不超过各自上限．请求出所有符合条件的参与方案． 题型九：几何问题 解题思路：①调用周长、面积相关公式，②分析图形拼接裁剪前后不变量，③提取两组等量条件，④列方程组求解。 33．现有四个完全相同的直角三角形、按图①方式摆放．形成两个正方形，其中大正方形的边长为，按图②方式摆放，形成两个正方形，其中小正方形的边长为，则一个直角三角形的面积为______． 34．如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案，若图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积为（    ） A． B． C．20 D．23 35．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 36．如图，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．如图，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 现有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)若，求，，的值； (2)求的最大值． 题型十：图表信息题 解题思路：①读取图表内有效数据，②把图表信息转化为数学条件，③提炼两组等量关系，④联立方程组计算。 37．根据如图给出的信息，则每件T恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为________元． 38．小宇、小欣和小杰三人玩飞镖游戏，各投支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图所示，则小杰的得分是（     ） A．分 B．分 C．分 D．分 39．“六一”儿童节有一投球入盆的游戏，深受同学们的喜爱，游戏规则如下：如图，在一大盆里放一小茶盅（叫幸运区）和小茶盅外大盆内（环形区）分别得不同的分数，投到大盆外不得分；每人各投6个球，总得分不低于30分得奖券一张．现统计小刚、小明、小红三人的得分情况如下图： (1)每投中“幸运区”和“环形区”一次，分别得多少分？ (2)根据这种得分规则，小红能否得到一张奖券？请说明理由． 40．每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并实践 “低碳” 生活是我们每一个人的社会责任．小亮统计自家5、6月的能耗数据，制成家庭月度 “碳足迹” 统计表． 姓名：小亮 家庭人数：4人 月份 家庭用电消耗量（度） 天然气消耗量（） 总碳足迹（） 月 月 （家庭碳足迹计算公式：总碳足迹=家庭用电消耗量×每度电的碳排放量+天然气消耗量×每立方米天然气的碳排放量） 设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，请列二元一次方程组求出，的值． 题型十一：古代问题 解题思路：①将古文翻译为现代数学条件，②剥离故事背景，③整理两组数量等量，④转化普通方程组求解。 41．《九章算术》原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？译文：现有一些人共买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，则还差4钱，问共多少人，物品价格多少钱？设共有x人，物品的价格是y钱，则可列方程组为____________． 42．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 43．列二元一次方程组解决问题．有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．求牧童多少人，竹竿多少根？ 44．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    题型十二：其他问题 解题思路：①通读题干筛选有效信息，②找出两组互相独立的等量关系，③设未知数联立方程组，④计算并检验得出答案。 45．广东省城市篮球联赛（简称“粤”），是广东省篮球协会于年对广东省男子篮球联赛进行全面升级的城市篮球联赛．如下表所示，是常规赛第七轮结束后的部分球队积分榜信息，则胜一场的积分是（     ） 排名 球队 胜场 负场 积分 中山 … … … … … 珠海 … … … … … 江门 阳江 … … … … … A．1分 B．2分 C．3分 D．4分 46．如图，小红把相同的纸杯竖直整齐地叠放在一起，根据图中的信息，个纸杯叠放后的总高度为，个纸杯叠放后的总高度为．若按此方式把个纸杯叠放在一起，则总高度为______． 47．某电商物流园区在“五一”期间订单量急剧增加，分拣中心的张主管需要处理吨包裹．收到待处理的包裹后，为了让包裹能够尽快完成分拣，需要借助园区的机器人进行分拣工作，园区可以租赁大型和小型两种自动分拣机器人．一台大型分拣机器人每小时处理包裹的数量是一台小型分拣机器人的倍，台大型分拣机器人和台小型分拣机器人每小时共处理吨包裹． (1)求一台大型分拣机器人和小型分拣机器人每小时分别分拣多少吨包裹． (2)由于要保证订单次日送达，张主管要求一晚上（小时）把吨包裹正好全部分拣完，两种机器人都要租用，且每台工作满小时．请你帮张主管设计租赁方案． 48．某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了20块相同的金属板材，每块金属板材有如图所示的A、B、C三种裁剪方式．A方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧面；B方式：裁剪成3个侧面；C方式：裁剪成9个圆形底面．已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有2块金属板材按C方式裁剪，其余分别按A、B两种方式裁剪．设有块金属板材按A方式裁剪，块金属板材按B方式裁剪． (1)可以裁剪出圆形底面共______个（用含的代数式表示）；侧面共有______个．（用含、的代数式表示） (2)求最多能加工圆柱形茶叶盒的数量． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11二元一次方程组的应用精讲学案 核心立意： 实现实际问题到二元一次方程组的模型转化；找准两组独立等量关系；掌握应用题完整答题流程；区分数学解与实际解，规范答题书写。 二元一次方程组解实际问题的判定 ❶实际问题含有两个待求量，并且存在两组相互独立、不能互相推导的等量关系，使用二元一次方程组； ❷只有一组等量关系，选用一元一次方程； ❸两个方程不能由同一个条件变形而来，否则方程组没有唯一确定解。 列二元一次方程组解应用题六大步骤 ❶审：梳理已知量、未知量，提取两组独立等量关系； ❷设：设未知数，必须标注单位； ❸列：将文字等量转化为整式方程，联立二元一次方程组； ❹解：代入消元法或加减消元法求解； ❺验：双重检验，解代入方程成立；结合现实，数量不能为负数、小数，剔除不合理解； ❻答：写完整答语，带单位，对应题目提问。 高频题型+核心等量关系 1.和差倍分：·和:甲 + 乙 = 总量 ·差:大量 - 小量 = 差量（或 大量 = 小量 + 差量） ·倍:甲 = 乙 × 倍数 ·和倍 / 差倍：甲 = 乙 × 倍数 ± 具体数（多就加，少就减） 2.配套问题：配套物品数量成固定比例（交叉相等，如 1 桌配 4 腿→桌数 ×4 = 腿数）； 3.行程问题：路程 = 速度 × 时间 相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程； 追及：快路程 - 慢路程 = 初始路程差； 行船：顺水 = 静水 + 水流，逆水 = 静水 - 水流； 4.工程问题：工作总量 = 效率 × 时间（无总量设为 1），甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量； 5.购物计费：总价=单价×数量，两种物品总价和 = 总花费/数量和 = 总数量； 6.数字问题：两位数 = 10× 十位 + 个位，据数字和 / 位置交换后的差列关系。 重点辨析 ❶双未知量可直接设元，不用拿一个未知数表示另一个，简化列式； �方程组算出的是数学解，数学解不一定符合现实，必须做取舍； ❸两组等量关系必须相互独立，同源等量会产生无穷多组解。 1. 同一等量关系变形构造两个方程，方程组无唯一确定解。 2. 只校验方程计算，忽略现实约束，保留负数、小数等不合理结果。 3. 设未知数不带单位，答语漏写单位，答语和问题不匹配。 4. 等量关系翻译出错，列出错误方程组。 5. 省略检验环节，答题步骤书写不全。 题型 考察方向 难度 题型一 方案问题 ★★★ 题型二 行程问题 ★★★ 题型三 工程问题 ★★★ 题型四 数字问题 ★★★ 题型五 年龄问题 ★★ 题型六 分配问题 ★★ 题型七 销售、利润问题 ★★★ 题型八 和差倍分问题 ★★ 题型九 几何问题 ★★ 题型十 图表信息题 ★★★★ 题型十一 古代问题 ★★★ 题型十二 其他问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：方案问题 解题思路：①找准题干两组等量关系列出二元一次方程组，②结合实际限定未知数为非负整数，③筛选全部可行方案，④依据题意对比得到最终结果。 1．第一小组分练习本若干本，每人各得本，还剩本；若有一人只拿本，则其余每人可各得本，则第一小组有________人． 【答案】10 【分析】首先设第一小组同学有x人，练习本有y本，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设第一小组同学有x人，练习本有y本，根据题意得 ， 解得． 答：第一小组同学有10人，练习本有83本． 2．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒，仓库里现有2026张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（    ） A．510 B．512 C．514 D．516 【答案】C 【分析】设可以做成x个横式无盖纸盒，做成个竖式无盖纸盒，根据两种纸盒所需长方形和正方形纸板的数量及恰好使库存的纸板用完，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出，再结合为5的倍数，即可得出结论． 【详解】解：设可以做成x个横式无盖纸盒，做成个竖式无盖纸盒， 根据题意得：， 得：， 即， 可知为5的倍数， ∵x为正整数， ∴n的个位数字为4或9． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 3．有36名分别了多年的老同学约定到某个地方故地重游，他们决定租用汽车前往．可租用的汽车有两种：甲种每辆可以乘8人，乙种每辆可以乘4人．他们不愿意让车子留出空位，但也不能超载．（乘坐人数不包含司机） (1)你能想出几种租车的方案？ (2)已知甲种汽车每天的租金为300元，乙种汽车每天的租金为200元．请帮助他们选择一个最便宜的租车方案． 【答案】(1)共有5种租车方案，分别为：方案1：租用甲种车0辆，乙种车9辆；方案2：租用甲种车1辆，乙种车7辆；方案3：租用甲种车2辆，乙种车5辆；方案4：租用甲种车3辆，乙种车3辆；方案5：租用甲种车4辆，乙种车1辆； (2)最便宜的租车方案为租用甲种车4辆，乙种车1辆，每天租金为1400元． 【分析】（1）设租用甲种汽车辆，乙种汽车辆，根据总人数为人，列出方程，再根据、均为非负整数，找出不同的整数解，即为不同的租车方案； （2）根据甲种汽车和乙种汽车的租金，分别计算各方案的费用，比较后得出费用最少的方案，也可以通过建立总费用的函数表达式，结合的取值范围，利用函数性质求出最小值． 【详解】（1）解：设租用甲种汽车辆，租用乙种汽车辆， 由题意得，即． ，均为非负整数， 可取，，，，，则依次为，，，，， 共有5种租车方案，分别为：方案1：租用甲种车0辆，乙种车9辆；方案2：租用甲种车1辆，乙种车7辆；方案3：租用甲种车2辆，乙种车5辆；方案4：租用甲种车3辆，乙种车3辆；方案5：租用甲种车4辆，乙种车1辆； （2）解：根据题意，得租用甲种汽车每人的平均日租金比租用乙种汽车少， 欲使费用最少，则必须多租用甲种汽车， 符合要求且费用最少的租车方案为租用甲种汽车辆，乙种汽车辆，此时的费用为（元）． 4．某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 【答案】(1)共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． (2)应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案． 【分析】（1）根据等量关系“两种不同型号的电视机共50台”和“买两种电视花去的费用9万元”．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况分别列二元一次方程组求解即可； （2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后确定出获利最多的方案即可． 【详解】（1）解：①设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台． 则有： ，解得：， 所以购进甲种电视机25台，乙种电视机25台． ②设购进乙种电视机a台，丙种电视机b台． 则有： ，解得：，（不符合题意舍去）． ③设购进甲种电视机c台，丙种电视机d台． 则有： ，解得：． 所以购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． 综上，共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． （2）解：方案一获利为：（元）； 方案二获利为：（元）． 因为， 所以应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案，此时获利最多． 题型二：行程问题 解题思路：①区分相遇、追及不同运动情景，②依托路程、速度、时间的关系梳理条件，③提取两组独立等量关系，④建立方程组求解。 5．甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 【答案】A 【分析】设甲的速度是，乙的速度是，根据追及问题和相遇问题列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 由题意可得：，解得：． ∴甲的速度是，乙的速度是，即A选项符合题意． 6．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程组为_______________________． 【答案】 【详解】解：设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈， 若同时同地反向出发，相遇时两人跑的路程和刚好是1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 若同向而行：甲比乙快，同时同地同向出发，相遇时甲比乙多跑了1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 联立两个方程得：． 7．一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 8．海中有、、三个小岛，岛在岛正西方距离400海里处（如下图所示），岛在岛的北偏东方向500海里处． (1)用1厘米代表200海里，请根据题意在图中画出岛的位置，并量出图中的长度为 厘米，（四舍五入到个位）；那么、两地的实际距离约为 海里． (2)甲、乙两货轮同时从岛出发，甲沿方向，乙沿方向，10小时相遇，此时甲货轮比乙货轮多行驶了100海里，求甲乙两货轮的速度． (3)若岛需要大米和玉米共30吨，岛需要大米和玉米共50吨，现从岛运输20吨大米与60吨玉米到岛和岛，运输费用共为10600元（每吨的运输费用如下表所示），那么运到岛的大米与玉米各是多少吨？ 到岛的运费（元/吨） 到岛的运费（元/吨） 大米 100 200 玉米 80 150 【答案】(1)4；800； (2)甲乙两货轮的速度分别为90海里/小时，80海里/小时； (3)运到岛的大米10吨，玉米吨 【分析】题目主要考查二元一次方程和一元一次方程的应用，理解题意，列出方程和方程组是解题关键． （1）根据题意画出图形求解即可； （2）设甲乙两货轮的速度分别为x海里/小时，y海里/小时，根据题意列出方程组求解即可； （3）设运到岛的大米a吨，玉米吨，运到C岛的大米吨，玉米吨，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示点C的位置，量出图中的长度为厘米， 实际距离约为：海里， 故答案为：4；800； （2）设甲乙两货轮的速度分别为x海里/小时，y海里/小时， 根据题意得：， 解得：， ∴甲乙两货轮的速度分别为90海里/小时，80海里/小时； （3）设运到岛的大米a吨，玉米吨，运到C岛的大米吨，玉米吨， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴运到岛的大米10吨，玉米吨． 题型三：工程问题 解题思路：①分清单独工作与合作工作过程，②理清工作总量、工作效率、工作时间的联系，③挖掘两组题干等量条件，④列方程组计算。 9．台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到；再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到．联立方程组，即可得到正确的选项． 【详解】台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷， 根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用问题，解本题的关键在理解题意，并列出二元一次方程组． 10．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 【答案】17 【分析】先设A地需要植树棵，B地需要植树棵，根据题意可建立方程，化简可得，再设乙应在A地植树小时后立即转到B地，要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，可构建方程，求 即可得出答案． 【详解】设A地需要植树棵，B地需要植树棵，由题可得： ， ， 设乙应在A地植树小时后立即转到B地，由题可得： ， 化简得：， 解得：． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，恰当设出未知数，解题关键在于根据题意找出等量关系式进行求解． 11．夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3个安装小组，6天恰好完工；如果安排5个安装小组，2天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安装小组每天安装空调多少台？ 【答案】每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 【分析】设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台，然后根据每天安装的空调数乘以天数等于安装的总空调数，列出方程组即可解答． 【详解】解：设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台， 依题意得 解得 答：每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 12．某农产品公司现有195吨物资需要运往外地，计划安排甲、乙两种货车将全部物资一次运完（货车均满载），已知甲、乙两种货车在满载情况下的两次运输记录如下表： 甲货车（辆） 乙货车（辆） 物资（吨） 第一次 10 6 290 第二次 6 3 165 (1)甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (2)若两种货车均使用，请求出所有可行的运输方案． 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资20吨、15吨 (2)共三种可行的运输方案：①甲货车3辆，乙货车9辆；②甲货车6辆，乙货车5辆；③甲货车9辆，乙货车1辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用． （1）设甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资吨、吨，则根据题意列出方程组，求解即可； （2）设甲、乙两种货车各需要辆、辆，根据题意得到，结合均为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资吨、吨， 则根据题意，得 解得， 答：甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资20吨、15吨． （2）解：设甲、乙两种货车各需要辆、辆， 则， ， 由题意知均为正整数， ①当时，； ②当时，； ③当时，． 共三种可行的运输方案：①甲货车3辆，乙货车9辆；②甲货车6辆，乙货车5辆；③甲货车9辆，乙货车1辆． 题型四：数字问题 解题思路：①借助数位正确表达数的真实数值，②读懂数位变换的文字描述，③整理两组数量关系，④构建方程组求解。 13．图①是一个三阶幻方，就是将已知的个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图②是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于________． 【答案】 【分析】根据幻方每一横行、每一竖列数字之和相等，设第二行第一列的数为，利用第一列与第二行的和相等建立等式，通过移项即可求得的值． 【详解】解：设第二行第一列的数为． 根据幻方的规则，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等． 第一列的数字之和等于第二行的数字之和， ． ． ． ． 14．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为（     ） A．11 B．15 C．9 D．13 【答案】D 【分析】根据“幻方”的定义，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴． 15．如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 【答案】填写的数字分别为2，9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y，根据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y． 根据题意，得：， 整理，得， 解得：， 故题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为2，9． 16．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t，分别用含有t的式子表示每一空格的数，再根据第三行的和等于第二行的和列方程求解即可； （2）由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组求得m、n的值，即可求解； （3）根据第一行的和等于第三列的和可得关于x的一元二次方程，求得x的值，再根据第二行的和与对角线的和相等即可求解． 【详解】（1）解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t， 则每一空格如图所示， 0 2 3 a ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， ∴最右下角的数为：或， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4； （3）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 整理得，， ∵， 整理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． 题型五：年龄问题 解题思路：①牢牢抓住年龄差不变的核心条件，②明确所有人年龄同步增长，③梳理出两组等量关系，④列方程组算出结果。 17．小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为__________岁，小明年龄为__________岁． 【答案】 26 13 【解析】略 18．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 19．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 20．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1) 证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 题型六：分配问题 解题思路：①分析物资调配前后的数量变化，②找准调配对应的数量逻辑，③提取两组独立等量，④建立方程组完成计算。 21．如图，某数学兴趣小组准备用如图①的长方形和正方形木板，做如图②的竖式和横式两种无盖木箱，现在共有100块正方形木板和200块长方形木板，则做竖式和横式木箱共_______个恰好把这些木板用完． 【答案】60 【分析】设做竖式木箱x个，横式木箱y个，恰好把这些木板用完，根据竖式和横式两种无盖木箱与木板的数量关系列出方程组，求解即可． 【详解】解：设做竖式木箱x个，横式木箱y个，恰好把这些木板用完， 根据题意，得， 解得， 故， 故做竖式和横式木箱共60个恰好把这些木板用完． 22．用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或6个桶底，而1个桶身与1个桶底正好配套成1个水桶．现在有56张这样的铁皮，设用x张铁皮做桶身，y张铁皮做桶底，生产的桶身和桶底正好配套，则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据两个等量关系列方程组，一是铁皮总张数为56，二是桶身数量与桶底数量相等正好配套，据此即可得到符合题意的方程组． 【详解】解：设用张铁皮做桶身，张铁皮做桶底，根据题意得 ． 23．七年级有400名学生到厦门参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；已知小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1) 每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生. (2) 最省钱的租车方案为租小客车2辆，大客车8辆，最少租金是2300元. 【分析】先根据题干给出的两种运送人数的条件，设未知数列出方程组求解得到每辆车的载客量，再根据总人数和每辆车坐满的条件列出等式，求出所有符合要求的非负整数租车方案，分别计算各方案租金后比较，得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生 根据题意得 解得 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：由题意得，租车满足 ，其中，为非负整数 整理等式得 ， 变形得 因为为非负整数， 所以必须是4的倍数， 分情况计算租金： 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当时，，不符合要求， 因为 ， 所以最省钱的方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元 答：最省钱的租车方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元． 24．某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只 (2)n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只 【分析】（1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可； （2）设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数），根据竖式箱子做20只，横式箱子做只，根据总板材需求列出方程，化简得出，再对k，n进行讨论，即可求得． 【详解】（1）解：由题意由题意由题意由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B， 设竖式做个，横式做个， 则，解得：， 答：制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只； （2）解：∵1张的C型板材，全切割为A型可得9张A型，全切割为B型可得3张B型；其中1张已经切割为3张A型、2张B型， 设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数）， 已知竖式箱子做20只，总板材需求满足： A型总数：，整理得：，即； B型总数：，整理得：， 将代入，得：， 因为且为整数，所以为正偶数，得为最小奇数（时为负，舍去）； 代入得：，，是最小的正整数， 即的最小值为，此时能制作横式箱子只． 题型七：销售、利润问题 解题思路：①理清进价、售价、利润、销量之间逻辑，②剥离题干干扰文字，③找出两组数量等量，④列方程组求解。 25．某县是全国知名的汉服生产基地，某汉服店铺购进基础款汉服和刺绣款马面裙两种服饰．已知购进2件基础款汉服和3件刺绣马面裙一共花费650元；购进3件基础款汉服比购进5件刺绣马面裙少450元，则每件刺绣马面裙的进价为__________元． 【答案】150 【分析】设每件基础款汉服的进价为x元，每件刺绣马面裙的进价为y元，根据“2件基础款汉服和3件刺绣马面裙一共花费650元；购进3件基础款汉服比购进5件刺绣马面裙少450元”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设每件基础款汉服的进价为x元，每件刺绣马面裙的进价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：每件基础款汉服的进价为100元，每件刺绣马面裙的进价为150元． 26．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为（     ）万元． A．40 B．25 C．26 D．34 【答案】D 【分析】设甲柜台去年十二月份的营业额为万元，乙柜台去年十二月份的营业额为万元，根据去年十二月总营业额和今年一月变化后总营业额的条件，列出方程组即可求解． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份的营业额为万元，乙柜台去年十二月份的营业额为万元， 由题意得，， 解得， ∴甲柜台去年十二月份的营业额为34万元． 27．【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 【答案】(1)A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； (2)购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 【分析】（1）设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，根据购买的数量和对应的费用列出方程组并解方程组即可； （2）设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，根据刚好花了220元列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，则 解得 答：A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； （2）解：设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，则 解得， 则， 答：购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 28．某文具店开展校园助学优惠活动，七（2）班采购书签与卡通笔两种文具，书签每个4元，卡通笔每个2元．文具店推出两项优惠政策： 方案一 采购书签数量超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买卡通笔满50个时，立减10元 (1)若班委购买了书签和卡通笔共80个，其中书签数量超过30个，一共花费244元，则班委购买了书签、卡通笔各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买这两种文具，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)班委购买了书签50个、卡通笔30个 (2)共有3种购买方案：方案1：购买书签35个、卡通笔70个；方案2：购买书签40个、卡通笔62个；方案3：购买书签45个、卡通笔54个 【分析】（1）设班委购买了书签个、卡通笔个，根据班委购买了书签和卡通笔共80个，共花费244元建立方程组求解即可； （2）设购买书签（）个，卡通笔（）个，根据购买费用为266元建立方程，求出方程的解即可得到答案． 【详解】（1）解：设班委购买了书签个、卡通笔个， 由题意得： 解得， 答：班委购买了书签50个、卡通笔30个． （2）解：设购买书签（）个，卡通笔（）个， 由题意得， ∴． ∵，是正整数，且，， ∴或或， 答：共有3种购买方案：方案1：购买书签35个、卡通笔70个；方案2：购买书签40个、卡通笔62个；方案3：购买书签45个、卡通笔54个． 题型八：和差倍分问题 解题思路：①抓取和、差、倍数类关键文字，②把文字描述转化成数量关系，③整理两组独立等式，④联立方程组计算。 29．现有甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共有9000人需要安置，设甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，那么依题意列出的方程组是________． 【答案】 【分析】根据题意提取两个等量关系，一是甲乙帐篷总数量为2000顶，二是总安置人数为9000人，根据等量关系列方程组． 【详解】解：∵甲种帐篷顶，乙种帐篷顶，两种帐篷共2000顶， ∴可得方程， ∵甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，总共有9000人需要安置， ∴可得方程， 联立两个方程得方程组． 30．土家女儿会上，绣球与香囊是特色互动道具．在重量相同的两个篮子里，分别放置6个绣球和7个香囊后重量仍相等，交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻．设每个绣球重，每个香囊重，则所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“6个绣球的总重量等于7个香囊的总重量”、“交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻”，分别列出方程，对比选项得到正确答案． 【详解】解：由6个绣球的总重量等于7个香囊的总重量，可得方程． 由交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻得， 因此所列方程组为． 31．为了贯彻落实国家教育部制订的均衡教育规划，某校计划拆除部分旧校舍建设新校舍，使得校舍面积增加．已知建设新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，现有校舍面积为，求应拆除多少平方米的旧校舍？新建校舍多少平方米？ 解：设拆除旧校舍，新建校舍， 则得方程组： 补充上述内容，并求出x，y的值． 【答案】①， ②； 应拆除旧校舍，新建校舍. 【分析】由“某校计划拆除部分旧校舍建设新校舍，使得校舍面积增加30%”，得到等量关系：现有校舍面积-被拆除的旧校舍面积+建设新校舍的面积=现有校舍面积；由“建设新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的倍”得到等量关系：建设新校舍面积=被拆除的旧校舍面积，设拆除旧校舍和新建校舍两个未知量分别为和，联立方程组并求解． 【详解】解：设拆除旧校舍，新建校舍， 则得方程组：， 解方程组得：， 答：应拆除旧校舍，新建校舍． 32．校园“文明之星”积分兑换问题，为鼓励学生参与校园文明志愿活动，某校推出“文明积分”兑换政策，学生可通过参与不同类型的志愿活动获得积分，并兑换学习用品，规则如下： 活动类型 单次活动积分 参与次数上限 A类：教室卫生值日 每次10分 最多参与10次 B类：校园图书整理 每次20分 最多参与10次 C类：文明督导岗执勤 每次30分 最多参与5次 (1)若学生小李参与A类活动3次、B类活动4次、C类活动2次，则他总共获得的积分为 分． (2)若学生小王参与A、B、C三类活动共12次，其中A类活动参与了4次，且总积分恰好为240分．求B类、C类活动各参与了多少次？ (3)若学生小张只参与A类和C类两类活动，总积分仍为240分，且参与次数均为正整数、不超过各自上限．请求出所有符合条件的参与方案． 【答案】(1) (2)B类活动参与了4次，C类活动参与了4次 (3)小张参与A类活动9次，参与C类活动5次 【分析】（1）分别计算出A类，B类，C类活动的积分，三者求和即可得到答案； （2）设B类活动参与了x次，C类活动参与了y次，根据小王参与A、B、C三类活动共12次，且总积分恰好为240分建立方程组求解即可； （3）设小张参与A类活动m次，参与C类活动n次，根据总积分为240分建立方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：分， ∴他总共获得的积分为170分； （2）解：设B类活动参与了x次，C类活动参与了y次， 由题意得， ， 解得， 答：B类活动参与了4次，C类活动参与了4次； （3）解：设小张参与A类活动m次，参与C类活动n次， 由题意得，， ∴， ∵参与次数均为正整数、不超过各自上限， ∴m是不大于10的正整数，n是不大于5的正整数， ∴只有，这种情况满足题意， ∴符合条件的参与方案为：小张参与A类活动9次，参与C类活动5次． 题型九：几何问题 解题思路：①调用周长、面积相关公式，②分析图形拼接裁剪前后不变量，③提取两组等量条件，④列方程组求解。 33．现有四个完全相同的直角三角形、按图①方式摆放．形成两个正方形，其中大正方形的边长为，按图②方式摆放，形成两个正方形，其中小正方形的边长为，则一个直角三角形的面积为______． 【答案】 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为，，根据图①大正方形边长为可得，根据图②小正方形边长为可得，联立求解即可得出直角边长，进而求出面积． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，且， 图①中大正方形的边长为，且由四个直角三角形的直角边拼接而成， ， 图②中小正方形的边长为，且等于直角三角形两直角边之差， ， 联立上述两式，解得，， 一个直角三角形的面积为． 34．如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案，若图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积为（    ） A． B． C．20 D．23 【答案】A 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别是x和y，根据题意列方程组求出x和y，设四个小正方形的重叠部分形成的小正方形的边长为m，根据题意列方程得到，然后求解即可． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别是x和y， 由题意得，， 解得：， ∴大正方形和小正方形的边长分别是6和2， 设四个小正方形的重叠部分形成的小正方形的边长为m， 由题意得，， 解得， ， ∴大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积为． 35．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 【答案】(1)， (2)做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个 【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个， 将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个）， ∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材； ∴， 解得， ∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个． 36．如图，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．如图，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 现有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)若，求，，的值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据标准卡纸总数求出小正方形数量，再结合竖式、横式纸盒用料列出二元一次方程组，解方程组得到、的值； （2）根据剪裁总量建立小长方形、小正方形数量与纸盒个数的等式，整理得到关于的二元一次方程，求出所有非负整数解，通过计算各组解中的数值，确定最大值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 解得：； （2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要个小长方形， ， 整数解为：或或或， ， 的最大值为． 题型十：图表信息题 解题思路：①读取图表内有效数据，②把图表信息转化为数学条件，③提炼两组等量关系，④联立方程组计算。 37．根据如图给出的信息，则每件T恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为________元． 【答案】， 【分析】通过理解图形可知本题存在两个等量关系，即每件T恤价格每瓶矿泉水的价格，每件T恤价格+每瓶矿泉水的价格．根据这两个等量关系可列出方程组． 【详解】解：可设每件T恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为x元，y元， 则， 解得 ， 故答案为：18，2． 38．小宇、小欣和小杰三人玩飞镖游戏，各投支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图所示，则小杰的得分是（     ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】D 【分析】设内圈每支镖得分，外圈每支镖得分，根据小宇和小欣的得分情况列出二元一次方程组，求出、的值，再计算小杰的得分即可． 【详解】设内圈每支镖得分，外圈每支镖得分， 由题意得：， 由得：， 将代入得：，解得， 将代入得： ， 内圈每支镖得分，外圈每支镖得分， 小杰的得分为：分． 39．“六一”儿童节有一投球入盆的游戏，深受同学们的喜爱，游戏规则如下：如图，在一大盆里放一小茶盅（叫幸运区）和小茶盅外大盆内（环形区）分别得不同的分数，投到大盆外不得分；每人各投6个球，总得分不低于30分得奖券一张．现统计小刚、小明、小红三人的得分情况如下图： (1)每投中“幸运区”和“环形区”一次，分别得多少分？ (2)根据这种得分规则，小红能否得到一张奖券？请说明理由． 【答案】(1)投中“幸运区”一次得10分，投中“环形区”一次得3分； (2)解：能得到一张奖券，理由如下： （分）， ∵， ∴根据这种得分规则，小红能得到一张奖券． 【分析】（1）设投中“幸运区”一次得x分，投中“环形区”一次得y分，根据小刚和小明的得分列二元一次方程组求解； （2）根据得分规则计算小红的得分，然后判断即可． 【详解】（1）解：设投中“幸运区”一次得x分，投中“环形区”一次得y分， 根据题意得：， 解得：， 答：投中“幸运区”一次得10分，投中“环形区”一次得3分； （2）略 40．每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并实践 “低碳” 生活是我们每一个人的社会责任．小亮统计自家5、6月的能耗数据，制成家庭月度 “碳足迹” 统计表． 姓名：小亮 家庭人数：4人 月份 家庭用电消耗量（度） 天然气消耗量（） 总碳足迹（） 月 月 （家庭碳足迹计算公式：总碳足迹=家庭用电消耗量×每度电的碳排放量+天然气消耗量×每立方米天然气的碳排放量） 设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，请列二元一次方程组求出，的值． 【答案】 【分析】设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为． 根据题意得 化简整理得 用得， 解得， 将代入中得， 解得， ∴方程组的解为， 答：每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为． 题型十一：古代问题 解题思路：①将古文翻译为现代数学条件，②剥离故事背景，③整理两组数量等量，④转化普通方程组求解。 41．《九章算术》原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？译文：现有一些人共买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，则还差4钱，问共多少人，物品价格多少钱？设共有x人，物品的价格是y钱，则可列方程组为____________． 【答案】 【分析】根据人数和物价不变，分别从两种出钱方案中提取总出钱数和物价的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：设共有人，物品的价格是钱， 第一种方案：每人出钱，盈余钱，总出钱减去盈余等于物价，可得方程， 第二种方案：每人出钱，还差钱，总出钱加上差的钱数等于物价，可得方程， ∴可列方程组为． 42．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该店有房客人，客房间，如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．据此列出方程组即可． 【详解】解：设该店有房客人，客房间，根据题意可得，． 43．列二元一次方程组解决问题．有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．求牧童多少人，竹竿多少根？ 【答案】 牧童7人，竹竿56根. 【分析】设牧童人，竹竿根，根据两种分配竹竿的情况，利用竹竿总数不变建立等量关系，即可列出方程组，进而即可求解 【详解】解：设牧童有人，竹竿根， 根据“每人竿，多竿”，可得 根据“每人竿，恰好用完”，可得 因此可列方程组为 解得：， 答：牧童7人，竹竿56根 44．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． 题型十二：其他问题 解题思路：①通读题干筛选有效信息，②找出两组互相独立的等量关系，③设未知数联立方程组，④计算并检验得出答案。 45．广东省城市篮球联赛（简称“粤”），是广东省篮球协会于年对广东省男子篮球联赛进行全面升级的城市篮球联赛．如下表所示，是常规赛第七轮结束后的部分球队积分榜信息，则胜一场的积分是（     ） 排名 球队 胜场 负场 积分 中山 … … … … … 珠海 … … … … … 江门 阳江 … … … … … A．1分 B．2分 C．3分 D．4分 【答案】B 【分析】设胜一场和负一场的积分分别为未知数，根据表格中球队的积分关系列出方程组，求解即可得到结果． 【详解】解：设胜一场积分，负一场积分 根据中山队和阳江队的胜负场与总积分，可得 由第一个方程得， 将代入第二个方程得 解得 验证可知符合所有球队积分数据 因此胜一场的积分是2分． 46．如图，小红把相同的纸杯竖直整齐地叠放在一起，根据图中的信息，个纸杯叠放后的总高度为，个纸杯叠放后的总高度为．若按此方式把个纸杯叠放在一起，则总高度为______． 【答案】 【分析】设个纸杯的高度是，每增加个纸杯，增加的高度是，列方程组求出每个纸杯的高度是，每增加个纸杯，增加的高度是，即可求出把个纸杯叠放在一起的总高度． 【详解】解：设个纸杯的高度是，每增加个纸杯，增加的高度是， 根据题意可得：， 解得：， 每个纸杯的高度是，每增加个纸杯，增加的高度是， 个纸杯的高度为． 47．某电商物流园区在“五一”期间订单量急剧增加，分拣中心的张主管需要处理吨包裹．收到待处理的包裹后，为了让包裹能够尽快完成分拣，需要借助园区的机器人进行分拣工作，园区可以租赁大型和小型两种自动分拣机器人．一台大型分拣机器人每小时处理包裹的数量是一台小型分拣机器人的倍，台大型分拣机器人和台小型分拣机器人每小时共处理吨包裹． (1)求一台大型分拣机器人和小型分拣机器人每小时分别分拣多少吨包裹． (2)由于要保证订单次日送达，张主管要求一晚上（小时）把吨包裹正好全部分拣完，两种机器人都要租用，且每台工作满小时．请你帮张主管设计租赁方案． 【答案】(1)一台大型分拣机器人每小时分拣吨包裹，一台小型分拣机器人每小时分拣吨包裹 (2)共有种租赁方案， 方案：租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台； 方案：租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台； 方案：租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台 【分析】（1）设一台大型分拣机器人每小时可以分拣吨包裹，一台小型分拣机器人每小时可以分拣吨包裹，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）现计划租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台，根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解即可． 【详解】（1）解：设一台大型分拣机器人每小时可以分拣吨包裹，一台小型分拣机器人每小时可以分拣吨包裹， 根据题意得， 解得． 答：一台大型分拣机器人每小时分拣吨包裹，一台小型分拣机器人每小时分拣吨包裹； （2）解：设现计划租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台，根据题意得， 所以， 又因为，均为正整数， 所以或或， 所以共有种租赁方案， 方案：租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台； 方案：租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台； 方案：租用大型分拣机器人台，小型分拣机器人台． 48．某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了20块相同的金属板材，每块金属板材有如图所示的A、B、C三种裁剪方式．A方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧面；B方式：裁剪成3个侧面；C方式：裁剪成9个圆形底面．已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有2块金属板材按C方式裁剪，其余分别按A、B两种方式裁剪．设有块金属板材按A方式裁剪，块金属板材按B方式裁剪． (1)可以裁剪出圆形底面共______个（用含的代数式表示）；侧面共有______个．（用含、的代数式表示） (2)求最多能加工圆柱形茶叶盒的数量． 【答案】(1)； (2)最多能加工36个圆柱形茶叶盒 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）根据题意列出二元一次方程组，解方程，进而根据2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，计算侧面的个数，即可求解． 【详解】（1）解：可以裁剪出圆形底面共个，侧面共个 （2）由题意，得．   解得．   ．   答：最多能加工36个圆柱形茶叶盒 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $