26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 同步讲义（知识点+题型精讲+过关检测） 2026-2027学年人教版数学九年上册

26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 目录 知识点1 二次函数一般式与顶点式互化（配方法） 2 知识点2 二次函数五点作图法与图象绘制 2 知识点3 二次函数y=ax²+bx+c基础图象性质 2 知识点4 系数a、b、c、Δ与图象的对应关系 3 知识点5 一次函数与二次函数图象综合规律 3 知识点6 两个二次函数图象综合对比规律 3 知识点7 特殊点函数值与代数式符号判定 3 知识点8 二次函数轴对称核心性质 3 知识点9 二次函数最值分类讨论规则 3 知识点10 二次函数对称性与最短路径模型 4 知识点11 待定系数法三种解析式选型规则 4 题型1 把y=ax²+bx+c化成顶点式 4 题型2 画y=ax²+bx+c的图象 5 题型3 y=ax²+bx+c的图象与性质 9 题型4 二次函数图象与各项系数符号 11 题型5 一次函数、二次函数图象综合判断 15 题型6 根据二次函数的图象判断式子符号 18 题型7 已知抛物线上对称的两点求对称轴 21 题型8 根据二次函数的对称性求函数值 24 题型9 y=ax²+bx+c的最值 26 题型10 利用二次函数对称性求最短路径 30 题型11 待定系数法求二次函数解析式 36 1. 掌握配方法，能将二次函数一般式化为顶点式，熟记对称轴、顶点坐标、最值公式。 2. 熟练掌握二次函数一般式的图象画法，精准判断开口方向、增减性、最值等核心性质。 3. 能根据二次函数图象判断系数、代数式符号，掌握函数对称性的各类应用。 4. 熟练运用待定系数法求解析式，掌握一次、二次函数综合题型解题思路。 5. 学会利用二次函数对称性解决最短路径等几何最值问题。 知识点1 二次函数一般式与顶点式互化（配方法） 一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)；顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。掌握标准配方法步骤：提系数、凑完全平方、恒等变形、整理化简。可通过顶点公式快速求出 h、k，实现两种形式互化，是求顶点、对称轴、最值的基础。 知识点2 二次函数五点作图法与图象绘制 二次函数图象为平滑抛物线，作图固定取五个关键点：顶点、对称轴左右两对对称点、坐标轴交点。掌握作图流程：求对称轴与顶点→求与x轴、y轴交点→对称取点→列表描点→平滑曲线延伸。能根据a的正负预判开口方向，规范画图格式。 知识点3 二次函数y=ax²+bx+c基础图象性质 1. 开口：a>0开口向上；a<0开口向下；|a|越大开口越窄。 2. 对称轴：直线 x=-b/2a。 3. 顶点坐标：(-b/2a，(4ac-b²)/4a)。 4. 增减性：a>0时，左减右增；a<0时，左增右减。 5. 最值：顶点纵坐标为函数最大/最小值，全域范围内唯一最值。 知识点4 系数a、b、c、Δ与图象的对应关系 1. a：决定开口方向与开口大小。 2. a、b：共同决定对称轴位置，口诀“左同右异”。 3. c：决定抛物线与y轴交点纵坐标(0,c)。 4. Δ=b²-4ac：决定抛物线与x轴交点个数，Δ>0两个交点、Δ=0一个交点、Δ<0无交点。 知识点5 一次函数与二次函数图象综合规律 二次函数确定a、b符号后，可匹配一次函数y=kx+b的k、b正负，判断一次函数增减性、截距位置。掌握两类函数图象共存判断、交点个数判断、图象趋势对比的基本方法，通过系数一致性排除错误选项。 知识点6 两个二次函数图象综合对比规律 多个二次函数对比，核心对比四项：开口方向与宽窄、对称轴位置、顶点高低、与坐标轴交点位置。可用于判断函数平移、系数变化、图象差异，重点掌握同a不同b、c，同b不同a、c的图象变化特征。 知识点7 特殊点函数值与代数式符号判定 掌握常用特殊自变量对应的代数式：x=1对应a+b+c、x=-1对应a-b+c、x=±2对应4a±2b+c。结合点在x轴上下判断正负；结合对称轴范围推导2a+b、2a-b、b²-4ac、abc等衍生式子的符号。 知识点8 二次函数轴对称核心性质 抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a。纵坐标相同的两点必关于对称轴对称，可用中点公式求对称轴；对称点函数值相等，可利用对称性不求解析式直接快速求函数值、比较函数值大小。 知识点9 二次函数最值分类讨论规则 分为全域最值和区间最值。全域最值直接取顶点纵坐标；自变量有取值范围时，需判断对称轴是否在区间内：在区间内取顶点最值，不在区间内则根据函数增减性取端点最值。 知识点10 二次函数对称性与最短路径模型 以抛物线对称轴为对称轴，适配“将军饮马”最短路径模型。利用对称点转化折线距离为直线距离，求解抛物线上动点到两定点距离之和最小问题，是二次函数几何综合高频考点。 知识点11 待定系数法三种解析式选型规则 1. 一般式：已知任意三点坐标使用；2. 顶点式：已知顶点或最值使用；3. 交点式：已知与x轴两个交点使用。能根据题干条件择优选择最简解析式，快速求解函数表达式。 题型1 把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例1】．二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【详解】解： . ∴ 该二次函数的对称轴是直线. 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先配方求出抛物线的顶点式得出顶点坐标，再根据矩形的性质解答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标是． 当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是1． 【变式2】．当时，函数有最大值______． 【答案】4 【分析】对二次函数配方得到对称轴和顶点坐标，判断顶点横坐标在给定自变量区间内，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值． 【详解】解：先对函数配方得 ∵ 二次项系数 ∴ 二次函数图象开口向下，函数在顶点处取得最大值 ∵ 顶点横坐标为， 满足，即顶点横坐标在给定自变量范围内， ∴ 函数的最大值为． 【变式3】．将二次函数化为的形式是________． 【答案】 【详解】解：． 题型2 画y=ax²+bx+c的图象 【典例2】．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据图表在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，根据图象进行判断即可． 【详解】解：由图表可知，该二次函数的图象如图， ∴抛物线的开口向下，故①正确； ∵与关于抛物线的对称轴对称 ∴对称轴为直线，故②错误； 由函数图像可知，当时，，故③正确； 二次函数与有两个交点， ∴方程有两个不相等的根，故④错误； 综上所述：①③正确，共2个． 故选B． 【变式1】．如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（     ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像和性质即可判断． 【详解】解：由A、B的函数的解析式可知抛物线开口向上，故不合题意； C．∵y=-x2-2x+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==-1，故C不合题意； D．∵y=-x2+2x+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像，熟知二次函数的性质是解题的关键． 【变式2】．已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，相应函数值的取值范围是________． 【答案】(1)，直线 (2)所画函数图象如图所示 (3) 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴； （2）先求出5个点的坐标，再描点、连线，即可得到抛物线的图象； （3）根据（2）中函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴是直线； （2）解：由（1）得顶点坐标为， 当时，， ， ，， ∴与x轴交点为，， 当时，， ∵与关于直线对称， ∴当时，， ∴五个点为（、、、、，所画函数图象略． （3）解：当时，由图象可得：． 【变式3】．二次函数 的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x … 0 1 2 … y … m 7 1 1 7 … 解答下列问题： (1)表格中m的值等于 ； (2)在直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【答案】(1)17 (2) 【分析】（1）根据待定系数法求出函数解析式，再把代入即可求解； （2）根据描点法，描点连线即可. 【详解】（1）解：由表格可得， ，解得， ， 当时，. （2）略 题型3 y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例3】．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定二次函数的对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． ∵ ， ∴ ． 【变式1】．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式求得纵坐标即可． 【详解】解：顶点的横坐标， 把代入得：， ∴顶点坐标是． 【变式2】．二次函数的对称轴是直线________． 【答案】 【分析】提取对应系数后代入对称轴公式即可计算得到结果． 【详解】解：∵二次函数中，，， ∴对称轴为直线． 【变式3】．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法： ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则； ④； ⑤（其中）． 其中正确的结论是__________． 【答案】①②⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a，b，c的符号以及关系，利用对称性求出抛物线与x轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，故④错误； 把代入得：， ∴，故②正确， ∵，抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，抛物线y取得最大值， 当时，，且， ∴，故⑤正确； 综上：①②⑤正确． 题型4 二次函数图象与各项系数符号 【典例4】．已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】观察抛物线开口方向、对称轴位置及与轴交点位置. 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上，，. 【变式1】．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【详解】解：联立， 消去得， ∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意． 【变式2】．二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 【答案】①②③④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系，利用，时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即异号， ． 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①正确； ②当时，图象在轴下方， ， ，故②正确； ③对称轴为直线， ，即，由②知， ， ， ，故③正确； ④对称轴为直线， 与关于对称轴对称， 当时，， 当时，，故④正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， ， ， ，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是①②③④． 【变式3】．已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【分析】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 题型5 一次函数、二次函数图象综合判断 【典例5】．以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 【变式1】．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 【变式2】．已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质以及直线与抛物线的位置关系，数形结合是解题的关键． （1）先将抛物线化为顶点式，确定其顶点坐标和开口方向，再结合直线与抛物线的位置关系来确定a的取值范围； （2）先求出抛物线在这个区间内的最大值和最小值，再根据直线与抛物线有交点的条件来确定a的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵直线与抛物线没有交点， ∴当时，直线在抛物线的下方，二者没有交点， ∴的取值范围是， 故答案为：． （2）解：由（1）知抛物线，顶点坐标为，且开口向上， 当时，y有最小值， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，y有最大值1， ∵直线与抛物线，当时它们有交点， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象有两个交点，则_____，k的取值范围是________________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与直线的交点问题，解答的关键是确定临界点的k值，利用数形结合思想得出答案． 先由待定系数法求二次函数解析式，然后求出C的坐标，再得到直线过定点，分别求出直线经过点C、A以及与抛物线相切时的k值，结合图象，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与轴交于， ∴， ∴， ∴解析式为：， 令，则， ∴， ∵当时，， ∴直线经过定点， 如图， 当直线经过点C时，由得，此时直线与图象G有两个交点， 当直线与抛物线相切时， 由得， 由解得，， 当直线经过点A时，由得，此时直线与图象G有一个交点， 由图可知，当，直线与图象G有两个交点， 故答案为：，． 题型6 根据二次函数的图象判断式子符号 【典例6】．已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵图像开口向上 ∴ （A 正确）； ∵对称轴在右侧， ∴， ∴ （B 错）； ∵与 轴交于正半轴 ∴ （C 错）； ∵ 时， ， ∴（D 错）． 【变式1】．如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【答案】D 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 【点睛】二次函数图象开口向上，，有最小值，对称轴在x的负半轴，b和a同号． 【变式2】．二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【答案】２ 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 【变式3】．如图，抛物线的对称轴为直线，则______(填、或)． 【答案】 【分析】先将因式分解得到；由对称轴，顶点在x轴的下方可知，时函数值小于0；时函数值大于0，代入判断乘积正负． 【详解】解：． 当时，，由图，顶点横坐标为1，顶点在x轴下方， ． 当时，，从图象可知，对应点在x轴上方， ． ， 即， ． 题型7 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例7】．若，在抛物线上，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，结合抛物线对称轴列方程求解m． 【详解】解：∵点，的纵坐标相同，且在抛物线上， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，化简得， 解得． 【变式1】．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 【变式2】．若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】点和点纵坐标相等，可知两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 【变式3】．已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … 则该二次函数的解析式为______． 【答案】 【分析】由表格数据可知，和时函数值相等，可得二次函数顶点坐标为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵当和时，的值均为， ∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为， 设二次函数解析式为，将，代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为，展开整理得． 题型8 根据二次函数的对称性求函数值 【典例8】．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求抛物线的对称轴与开口方向，利用对称性将点转化到对称轴同侧，结合增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 点关于直线的对称点为 ∵当时，随的增大而减小，且， ∴． 【变式1】． … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为直线 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点、代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵， ∴函数图象开口向上， 故A不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故B不符合题意； C、当时，， 故C符合题意； D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故D项不符合题意． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据图象判断抛物线开口向上，结合对称轴，利用二次函数图象上点到对称轴的距离越远函数值越大这一性质进行比较即可． 【详解】解：如图，抛物线的开口向上， ， ． 【变式3】．已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 【答案】 【分析】先根据关于轴对称的坐标变换规律求出的解析式，再结合两点都在抛物线上得到对任意m成立的恒等式，利用对应系数相等求解k，验证后得到结果． 【详解】解：∵抛物线与关于轴对称，关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴将中的替换为，得的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴． ∵点也在抛物线上， ∴将点坐标代入解析式得． 把代入等式左边，得左边， 展开整理等式右边，得右边． ∵等式对任意实数m都成立， ∴对应项系数相等，可得一次项系数关系，解得． 将代入常数项验证，得，与左边常数项相等，符合要求，因此． 题型9 y=ax²+bx+c的最值 【典例9】．如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P的坐标为，利用两点间距离公式可得，再代入中整理成顶点式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，是轴上的两点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为36，即选项B符合题意． 【变式1】．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 【变式2】．函数的最小值为________． 【答案】 【分析】二次函数开口向上，最小值在顶点处，利用交点式求对称轴后代入计算即可． 【详解】解：∵中二次项系数， ∴函数开口向上，顶点处取得最小值， ∵函数图象与轴交点横坐标为和， ∴对称轴为， 将代入函数得：， 因此函数的最小值为． 【变式3】．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或/或 【分析】二次函数开口向上，对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，根据差为计算，舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵ 中， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又∵ ， ∴ ，分情况讨论： ①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 由题意得 ， 解得 ，不符合，故舍去； ②当，即时，此时最小值在对称轴处， ∴的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵， ∴当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； ③当，即时， 同理，此时的最小值为， ∵， ∴  当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； 综上，的值为或． 题型10 利用二次函数对称性求最短路径 【典例10】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，，作，，先证明为等边三角形，接着利用，得到，利用抛物线的对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到当、、共线时，的值最小，最小值为的长，然后计算出的长即可． 【详解】解：连接、，，作于，于，如图，当时，，解得，，则， ， 则， ， ， 为等边三角形， ， ． 垂直平分， ， ． 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， 在Rt△ABC中，， 即， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，根据轴对称求线段和最小等，根据轴对称确定线段和的最小值是解题的关键． 【变式1】．如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时，______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，最短路径问题，坐标两点的距离公式等知识，利用二次函数的性质将转化为求的长是解题关键． 连接，由抛物线的对称性可知，当D、P、B在同一直线上时，的值最小，最小值为的长，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点的坐标，然后利用坐标两点的距离公式，求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， 抛物线的对称轴是y轴， ∴， ∴当D、P、B在同一直线上时，的值最小，最小值为的长， ∵抛物线过点， ∴，解得：， 把代入，解得：或， ∴点B的坐标为， ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，请直接写出的面积的最大值．（直接写答案，不需要过程） 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)的面积的最大值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点关于对称轴的对称点为点，当对称轴与直线交于点时，的值最小，将抛物线的对称轴代入直线的解析式即可； （3）作轴交直线于点，设，则，再得，根据铅直法得，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 把，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为点，当对称轴与直线交于点时，的值最小，如图，， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 把代入，得， ； （3）解：如图，作轴交直线于点， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题．对于求最小值问题，则考虑用对称性，转化为“两点之间线段最短”来解决，在坐标系中求三角形的面积最值问题，通常用铅直法计算三角形的面积，再根据二次函数的最值来解决． 【变式3】．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 题型11 待定系数法求二次函数解析式 【典例11】．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入已知点到解析式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：将代入，得， 整理得， 解得， ∴抛物线解析式为． 【变式1】．二次函数的图象经过，则________． 【答案】 【分析】将点坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴代入得， 解得． 【变式2】．抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标，并判断函数有最大值还是最小值，求出这个最值． 【答案】(1) 抛物线的解析式为 (2) 顶点坐标为；函数有最小值，最小值为 【分析】（1）代入两点坐标，联立方程组求解a，b的值； （2）将抛物线一般式转化为顶点式，结合二次项系数符号判断最值； 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴将两点坐标代入解析式，得， 整理得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为． 【变式3】．如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) (3)符合条件的点有三个，坐标为：，， 【分析】（1）先推导出，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出，即，根据三角形的内角和求出，推导出，得到，可推导出是等腰直角三角形，求出，继而求出直线解析式是，联立直线与抛物线，求出点D的横坐标，再求出，即可解答； （3）分类讨论：当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； （3）解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H，   设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 1．已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入二次函数解析式，得到与的关系，再结合二次函数的开口方向和对称性，逐一判断选项即可． 【详解】点在二次函数上 ， 将代入解析式得： ， 化简得， 即， 对选项A： 将代入解析式得， 把代入得： ， 移项得，故A错误； 对选项B： ， ， ，即，故B错误； 对选项C： 二次函数对称轴为， ，开口向上， 时取最小值，即是函数最小值， ，即，故C错误； 对选项D： ， ，二次函数在时，随增大而减小， ，当时，， 时的大于时的， 即， 得，故D正确． 2．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 3．已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 4．二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 纵坐标相等的两个点在二次函数上关于对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， 关于直线的对称点为， 由表格得时，， 当时，． 5．已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用开口向上的二次函数性质：点到对称轴的距离越远，函数值越大，比较两点的函数值得到距离关系，解不等式得到m的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵，， ∴，即， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，整理得， 两边平方得， 展开得， 化简得， 解得， 选项中只有满足，因此的值可能是． 6．如图，在矩形中，，．动点从点出发，以每秒的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒的速度沿边向终点运动，当点运动到点时，，两点停止运动，设运动时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意确定运动总时间及分段点，分点在上和上两种情况，分别表示线段的长度及的面积，进而判断各结论． 【详解】解：由题意可知，，， 点到达点所需时间为，到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， ∵当点运动到点时，，两点停止运动， ∴． ①当时，，点在上，点在上， 此时，， 过点作于点，则，， ∵， ∴，即点与点重合， ∴，故①正确； ②当时，分两种情况讨论： 当时，点在上，的底为，高为， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值； 当时，点在上，，，， ， ∵对称轴为直线，且，在此范围内随的增大而减小， ∴， 综上，的最大面积为，故②错误； ③令， 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得（舍去），，符合题意． ∴有两个不同的值和满足条件，故③正确． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 7．已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线解析式判断开口方向、顶点坐标和对称轴，再利用二次函数的增减性比较，和的大小，即可得到正确结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴抛物线的最大值为，即抛物线上点的纵坐标都不大于，可得，，排除C，D选项． 又∵抛物线对称轴为直线，当时，随的增大而减小， ∵点，满足，两点都在对称轴右侧， ∴． 综上可得 ． 8．在平面直角坐标系中，点在一段抛物线（）上，若点Q的个数有两个，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入抛物线，得到关于的一元二次方程在上有两个不相等实根，利用二次函数图像性质求解的取值范围． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线，得， 展开整理得， ∴该一元二次方程在上有两个不相等的实数根 设，该函数开口向上，对称轴为，满足， 如图：：， 解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∴． 9．如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断①；由抛物线的对称轴得到，即可判断③；由当和当时的函数值即可判定②；由抛物线的最大值即可判断④；由，得到，，即可判断⑤． 【详解】解：由图象的开口向下得到， 对称轴为，则，即， 抛物线与 轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由得到，即，则， ∴， 故③正确； 当时，抛物线有最大值为，则， 当时，，则； 综上可知，，故②正确； 当时，抛物线有最大值为； 当时，抛物线， ，则，故④正确； ∵，， ∴，， ∴， 故⑤正确； 综上所述，正确的结论是②③④⑤，共4个． 10．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 11．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 12．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【答案】 【分析】运用待定系数法求得解析式，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，可得到，利用三角形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点， 则， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为． 13．抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 【答案】 【分析】设，求出；设，求出，得出规律，，，，根据等腰直角三角形的性质，求出，即可． 【详解】解：设， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），， ∴； ∵是等腰直角三角形，设， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），； ∴， 同理可得：，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的点的特征，坐标规律探究，等腰直角三角形的性质，观察图形得出规律是解题的关键． 14．在平面直角坐标系中，点和是抛物线上的两点，过点B作x轴的垂线交x轴于点C．当的面积小于4时，a的值可以是______________．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出、，从而可得，且，表示出，根据三角形面积公式列出不等式，结合求出的取值范围，任选范围内一个值即可． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，即， ∴， ∴，且， ∵轴， ∴点坐标为， ∴， ∴， ∵的面积小于4， ∴，即， 解得：， ∵， ∴的取值范围是， ∵当时，，此时与点重合，无法构成三角形，故不符合题意， ∴的取值范围是且， 故a的值可以是（答案不唯一）． 15．已知抛物线，当时，，且，下列四个结论： ①；②； ③若，则； ④若，则直线与抛物线无交点． 其中结论正确的是________．（填写序号） 【答案】 ①③④ 【分析】根据时x的取值范围判断抛物线开口方向判断①，利用根与系数的关系推导b的符号判断②，根据x的取值范围判断对应函数值大小判断③，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，利用判别式判断④，即可得到结论． 【详解】解：∵当时，的取值范围是，， ∴，①正确； 方程的两根为，， ∴， 整理得， ∵，，即， ∴，②错误； ∵， ∴， 已知当时，，且仅在端点和处， ∴，③正确； 当时，，， 整理得， 直线与抛物线交点满足， 整理得：， ∴， ∵， ∴，， ∴，则方程无实根， ∴直线与抛物线无交点，④正确． 16．已知二次函数． (1)把函数化成顶点式； (2)写出抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴 【答案】(1) (2)抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】（1）通过配方法将二次函数一般式变形为顶点式； （2）根据二次项系数的符号判断开口方向，结合顶点式确定顶点坐标与对称轴． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵二次项系数为，， ∴抛物线开口向上， 由（1）中顶点式可得：顶点坐标为，对称轴为直线． 17．如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． (1)若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)的长为6米 (2)当的长为5米时，矩形花圃的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意得，为，利用长方形的面积公式列方程，求出的值，再结合题意求出符合的值； （2）根据题意得，再配方变为顶点式，根据的取值范围和二次函数的性质求得围成的花圃的最大面积． 【详解】（1）解：根据题意得，为， ∴ 解得，， 又∵墙的最大可用长度为， ∴，解得， 舍去， ； （2）解：根据题意得， ， ， 有最大值，且当时，y随x的增大而减小， 由（1）得，， 当时，有最大值， ∴． 18．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若，点，在抛物线上，且，直接写出的取值范围； (3)将点沿轴向右平移7个单位长度得到点，若抛物线与线段始终有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围． 【答案】(1)直线. (2). (3)或. 【分析】（1）把抛物线化成顶点式，解答即可； （2）根据点，在抛物线上，且，把坐标代入解析式，借助函数值关系建立不等式，解答即可； （3）根据点沿轴向右平移7个单位长度得到点，继而得到，根据抛物线与线段始终有两个公共点利用分类思想，二次函数的性质，从特殊点入手，解答即可． 【详解】（1）解：由抛物线， 故， 故抛物线的对称轴为直线． （2）解：根据题意，得点，在抛物线上，且， 故， ， ， ， ， ． （3）解：根据点沿轴向右平移7个单位长度得到点， 故点， 当时，把点代入抛物线中，得， 解得， 此时抛物线与的另一个交点为，且， 满足抛物线与线段始终有两个公共点； 根据抛物线的性质，得到的值越大，抛物线的开口越小， 故此时； 当时，把点代入抛物线中，得， 解得， 此时抛物线与只有一个公共点， 根据抛物线的性质，得到的值越小，抛物线的开口越小， 且满足抛物线与线段始终有两个公共点； 此时有； 综上所述，符合题意的的取值范围是或． 19．如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，点的坐标为 (2)①②点P的坐标为或或 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【详解】（1）解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； （2）解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 20．已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 目录 知识点1 二次函数一般式与顶点式互化（配方法） 2 知识点2 二次函数五点作图法与图象绘制 2 知识点3 二次函数y=ax²+bx+c基础图象性质 2 知识点4 系数a、b、c、Δ与图象的对应关系 3 知识点5 一次函数与二次函数图象综合规律 3 知识点6 两个二次函数图象综合对比规律 3 知识点7 特殊点函数值与代数式符号判定 3 知识点8 二次函数轴对称核心性质 3 知识点9 二次函数最值分类讨论规则 3 知识点10 二次函数对称性与最短路径模型 4 知识点11 待定系数法三种解析式选型规则 4 题型1 把y=ax²+bx+c化成顶点式 4 题型2 画y=ax²+bx+c的图象 5 题型3 y=ax²+bx+c的图象与性质 9 题型4 二次函数图象与各项系数符号 11 题型5 一次函数、二次函数图象综合判断 15 题型6 根据二次函数的图象判断式子符号 18 题型7 已知抛物线上对称的两点求对称轴 21 题型8 根据二次函数的对称性求函数值 24 题型9 y=ax²+bx+c的最值 26 题型10 利用二次函数对称性求最短路径 30 题型11 待定系数法求二次函数解析式 36 1. 掌握配方法，能将二次函数一般式化为顶点式，熟记对称轴、顶点坐标、最值公式。 2. 熟练掌握二次函数一般式的图象画法，精准判断开口方向、增减性、最值等核心性质。 3. 能根据二次函数图象判断系数、代数式符号，掌握函数对称性的各类应用。 4. 熟练运用待定系数法求解析式，掌握一次、二次函数综合题型解题思路。 5. 学会利用二次函数对称性解决最短路径等几何最值问题。 知识点1 二次函数一般式与顶点式互化（配方法） 一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)；顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。掌握标准配方法步骤：提系数、凑完全平方、恒等变形、整理化简。可通过顶点公式快速求出 h、k，实现两种形式互化，是求顶点、对称轴、最值的基础。 知识点2 二次函数五点作图法与图象绘制 二次函数图象为平滑抛物线，作图固定取五个关键点：顶点、对称轴左右两对对称点、坐标轴交点。掌握作图流程：求对称轴与顶点→求与x轴、y轴交点→对称取点→列表描点→平滑曲线延伸。能根据a的正负预判开口方向，规范画图格式。 知识点3 二次函数y=ax²+bx+c基础图象性质 1. 开口：a>0开口向上；a<0开口向下；|a|越大开口越窄。 2. 对称轴：直线 x=-b/2a。 3. 顶点坐标：(-b/2a，(4ac-b²)/4a)。 4. 增减性：a>0时，左减右增；a<0时，左增右减。 5. 最值：顶点纵坐标为函数最大/最小值，全域范围内唯一最值。 知识点4 系数a、b、c、Δ与图象的对应关系 1. a：决定开口方向与开口大小。 2. a、b：共同决定对称轴位置，口诀“左同右异”。 3. c：决定抛物线与y轴交点纵坐标(0,c)。 4. Δ=b²-4ac：决定抛物线与x轴交点个数，Δ>0两个交点、Δ=0一个交点、Δ<0无交点。 知识点5 一次函数与二次函数图象综合规律 二次函数确定a、b符号后，可匹配一次函数y=kx+b的k、b正负，判断一次函数增减性、截距位置。掌握两类函数图象共存判断、交点个数判断、图象趋势对比的基本方法，通过系数一致性排除错误选项。 知识点6 两个二次函数图象综合对比规律 多个二次函数对比，核心对比四项：开口方向与宽窄、对称轴位置、顶点高低、与坐标轴交点位置。可用于判断函数平移、系数变化、图象差异，重点掌握同a不同b、c，同b不同a、c的图象变化特征。 知识点7 特殊点函数值与代数式符号判定 掌握常用特殊自变量对应的代数式：x=1对应a+b+c、x=-1对应a-b+c、x=±2对应4a±2b+c。结合点在x轴上下判断正负；结合对称轴范围推导2a+b、2a-b、b²-4ac、abc等衍生式子的符号。 知识点8 二次函数轴对称核心性质 抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a。纵坐标相同的两点必关于对称轴对称，可用中点公式求对称轴；对称点函数值相等，可利用对称性不求解析式直接快速求函数值、比较函数值大小。 知识点9 二次函数最值分类讨论规则 分为全域最值和区间最值。全域最值直接取顶点纵坐标；自变量有取值范围时，需判断对称轴是否在区间内：在区间内取顶点最值，不在区间内则根据函数增减性取端点最值。 知识点10 二次函数对称性与最短路径模型 以抛物线对称轴为对称轴，适配“将军饮马”最短路径模型。利用对称点转化折线距离为直线距离，求解抛物线上动点到两定点距离之和最小问题，是二次函数几何综合高频考点。 知识点11 待定系数法三种解析式选型规则 1. 一般式：已知任意三点坐标使用；2. 顶点式：已知顶点或最值使用；3. 交点式：已知与x轴两个交点使用。能根据题干条件择优选择最简解析式，快速求解函数表达式。 题型1 把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例1】．二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 【变式2】．当时，函数有最大值______． 【变式3】．将二次函数化为的形式是________． 题型2 画y=ax²+bx+c的图象 【典例2】．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（     ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1 【变式2】．已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，相应函数值的取值范围是________． 【变式3】．二次函数 的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x … 0 1 2 … y … m 7 1 1 7 … 解答下列问题： (1)表格中m的值等于 ； (2)在直角坐标系中，画出这个函数的图象． 题型3 y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例3】．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．二次函数的对称轴是直线________． 【变式3】．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法： ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则； ④； ⑤（其中）． 其中正确的结论是__________． 题型4 二次函数图象与各项系数符号 【典例4】．已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 【变式3】．已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 题型5 一次函数、二次函数图象综合判断 【典例5】．以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【变式2】．已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象有两个交点，则_____，k的取值范围是________________． 题型6 根据二次函数的图象判断式子符号 【典例6】．已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【变式2】．二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【变式3】．如图，抛物线的对称轴为直线，则______(填、或)． 题型7 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例7】．若，在抛物线上，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【变式1】．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 【变式3】．已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … 则该二次函数的解析式为______． 题型8 根据二次函数的对称性求函数值 【典例8】．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式1】． … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为直线 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，随的增大而增大 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 【变式3】．已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 题型9 y=ax²+bx+c的最值 【典例9】．如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【变式2】．函数的最小值为________． 【变式3】．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 题型10 利用二次函数对称性求最短路径 【典例10】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时，______． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，请直接写出的面积的最大值．（直接写答案，不需要过程） 【变式3】．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 题型11 待定系数法求二次函数解析式 【典例11】．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【变式1】．二次函数的图象经过，则________． 【变式2】．抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标，并判断函数有最大值还是最小值，求出这个最值． 【变式3】．如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 4．二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 6．如图，在矩形中，，．动点从点出发，以每秒的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒的速度沿边向终点运动，当点运动到点时，，两点停止运动，设运动时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点在一段抛物线（）上，若点Q的个数有两个，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 12．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 13．抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 14．在平面直角坐标系中，点和是抛物线上的两点，过点B作x轴的垂线交x轴于点C．当的面积小于4时，a的值可以是______________．（写出一个值即可） 15．已知抛物线，当时，，且，下列四个结论： ①；②； ③若，则； ④若，则直线与抛物线无交点． 其中结论正确的是________．（填写序号） 16．已知二次函数． (1)把函数化成顶点式； (2)写出抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴 17．如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． (1)若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 18．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若，点，在抛物线上，且，直接写出的取值范围； (3)将点沿轴向右平移7个单位长度得到点，若抛物线与线段始终有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围． 19．如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $