26.2.2二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 同步讲义（知识点+题型精讲+过关检测） 2026-2027学年人教版数学九年上册

26.2.2二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 目录 知识点1. 二次函数顶点式分类及基础特征 2 知识点2. 系数a、h、k的核心作用 2 知识点3. 三类顶点式函数图象与核心性质 2 知识点4. 二次函数图象平移规律 2 知识点5. 数形结合核心思想 2 题型1 y=ax²+k的图象和性质 2 题型2 y=a(x-h)²的图象和性质 4 题型3 y=a(x-h)²+k的图象和性质 7 题型4 二次函数图象的平移 9 1. 掌握三类基础顶点式二次函数的图象特征，能准确判断开口方向、对称轴、顶点坐标、最值和增减性。 2. 理解二次函数图象的平移规律，掌握基础抛物线与平移后抛物线的位置关系。 3. 能熟练运用函数性质和平移规律解决基础题型，具备数形结合解题的基本能力。 知识点1. 二次函数顶点式分类及基础特征 包含三类核心形式：y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k（a≠0），所有形式图象均为抛物线，形状、开口大小由系数a唯一决定，a相同则抛物线形状完全一致。 知识点2. 系数a、h、k的核心作用 系数a：决定开口方向与开口大小，a>0开口向上，a<0开口向下，|a|越大，开口越窄；系数h：决定抛物线左右位置，控制对称轴横坐标；系数k：决定抛物线上下位置，控制函数最值大小。 知识点3. 三类顶点式函数图象与核心性质 分别明确y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k三种解析式的对称轴、顶点坐标、最值、单调增减区间，是本课核心基础知识点。 知识点4. 二次函数图象平移规律 核心遵循“左加右减、上加下减”原则，基于基础函数y=ax²，通过h、k的数值变化实现水平、竖直平移，可单一平移或组合平移，平移不改变抛物线形状与开口方向。 知识点5. 数形结合核心思想 通过解析式可快速判断图象特征，通过图象可直观推导函数增减性、最值等性质，实现解析式与图象的双向转化。 题型1 y=ax²+k的图象和性质 【解题技巧】 1. 核心公式速记：对称轴为y轴（直线x=0），顶点坐标(0，k)。 2. 开口与最值判断：a>0，开口向上，图象有最低点，最小值为y=k（x=0时）；a<0，开口向下，图象有最高点，最大值为y=k（x=0时）。 3. 增减性判断口诀：上正（a>0）左减右增，下负（a<0）左增右减，分界点为x=0。 4. 快速解题步骤：先看a定开口，再看k定顶点与最值，最后按对称轴划分区间判断增减性，无需复杂计算。 易错提醒：仅上下平移，对称轴始终不变，切勿出现对称轴偏移错误。 【典例1】．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线是抛物线解析式中的顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数顶点坐标为． 【变式1】．下列抛物线中，对称轴是直线的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称轴是直线判断A、B选项；根据抛物线的对称轴为判断C、D选项． 【详解】解：A、B选项的抛物线一次项系数为0，对称轴为直线，不符合题意； C选项抛物线为，对称轴为直线，符合题意； D选项抛物线为，对称轴为直线，不符合题意． 【变式2】．抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【答案】 向上 轴(直线) 【分析】给定抛物线解析式为，属于型二次函数，利用二次函数的基本性质即可求解. 【详解】解：∵ 二次函数中，二次项系数， ∴ 抛物线开口方向向上；对称轴为直线，即轴； 将代入解析式，得， 因此顶点坐标为. 【变式3】．把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)平移前的抛物线的解析式为． (2)当时，函数取得最大值，最大值为2． (3)当时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）根据平移的性质“上加下减”可求出a、c的值，由此即可得出平移前的抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质即可解决最值问题； （3）根据原抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可找出函数值y随x的增大而减小时的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线， ，． ． 平移前的抛物线的解析式为． （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，函数取最大值，最大值为2． （3）解：由（1）可知抛物线的解析式为，对称轴为直线，且， 当时，函数的值y随x的增大而减小． 题型2 y=a(x-h)²的图象和性质 【解题技巧】 1. 核心公式速记：对称轴为直线x=h，顶点坐标(h，0)。 2. 开口与最值判断：a>0开口向上，最小值y=0（x=h时）；a<0开口向下，最大值y=0（x=h时）。 3. 增减性判断技巧：以直线x=h为分界，a>0时，x＜h递减、x＞h递增；a<0时，x＜h递增、x＞h递减。 4. h值符号易错突破：解析式中为(x-h)，h＞0对称轴在y轴右侧，h＜0对称轴在y轴左侧，切记“右正左负”，不要反向判断。 5. 快速解题步骤：辨a定开口→找h定对称轴和顶点→分区间判断增减、求最值。 【典例2】．对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接利用二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下， ∴①错误； ②∵对称轴为直线， ∴②错误； ③∵顶点坐标为， ∴③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴④正确； 综上所述，正确结论共2个． 【变式1】．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 【变式2】．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【答案】 或 【分析】二次函数开口向上，顶点为，根据对称轴与给定自变量的范围的位置关系分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：二次函数开口向上，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分三种情况讨论： ① 若，此时在的范围内，随增大而增大，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ②若，此时在的范围内，随增大而减小，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ③若，此时顶点的横坐标在的范围内，函数最小值为， 不满足最小值为的条件，舍去； 综上，的值为或． 【变式3】．已知二次函数 (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 【答案】(1)描点，连线 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 画图略 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 题型3 y=a(x-h)²+k的图象和性质 【解题技巧】 1. 万能核心结论（顶点式终极公式）：对称轴直线x=h，顶点坐标(h，k)，所有性质均围绕顶点展开。 2. 最值万能判断：a>0，顶点为最低点，函数最小值y=k（x=h时）；a<0，顶点为最高点，函数最大值y=k（x=h时）。 3. 增减性通用口诀：开口向上，顶点左侧减、右侧增；开口向下，顶点左侧增、右侧减。 4. 综合解题步骤：①看a：定开口方向、宽窄；②找h、k：定对称轴、顶点；③分区间：判断增减性；④代顶点：求函数最值。 【典例3】．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于二次函数顶点式为，所以可以根据的取值直接确定顶点坐标． 【详解】解：在二次函数顶点式中，顶点坐标为， 在函数中，对应，，顶点坐标为． 【变式1】．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定二次函数的开口方向与对称轴，比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 【变式2】．对于抛物线，开口方向是______，顶点坐标是_______，对称轴是________；当______时，随的增大而增大；当______时，随的增大而减小；当_____时，函数取得最______值，为______． 【答案】 向上 直线 小 【详解】解：在抛物线解析式中， 抛物线开口向上，函数存在最小值，顶点坐标为，对称轴为直线， 开口向上的抛物线，在对称轴右侧随的增大而增大，在对称轴左侧随的增大而减小， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；当时，函数取得最小值，最小值为． 【变式3】．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 题型4 二次函数图象的平移 【解题技巧】 1. 核心平移口诀（必考）：左加右减，上加下减。 2. 规则精准解读：针对抛物线顶点式y=a(x-h)²+k 左右平移（变x、对应h）：向左平移m个单位，x变为x+m；向右平移m个单位，x变为x-m。 上下平移（变整体、对应k）：向上平移n个单位，整体加n；向下平移n个单位，整体减n。 3. 平移不变量（解题关键）：平移只改变图象位置，a值永远不变，即抛物线开口大小、开口方向、形状完全不变。 4. 两种万能解题方法 方法一：顶点平移法（最快、最不易错） 步骤：写出原抛物线顶点坐标→按平移规则算出新顶点坐标→a不变→直接写出新解析式 方法二：解析式直接变换法 步骤：左加右减替换x，上加下减替换常数，整体化简即可。 1. 反向平移题型技巧（已知平移前后解析式） 已知原函数和平移后函数，求平移方向与距离：对比两个顶点坐标，横坐标变化判左右，纵坐标变化判上下。 2. 高频易错点总结 ①左右平移只动x，不要给k加减；上下平移动整体，不要动括号内x； ②“右减” 最容易记反：向右平移是x变小，必须减； ③多步平移不分先后，顶点法可一步到位，避免出错。 【典例4】．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【详解】解：由题意得， 平移后的抛物线为． 【变式1】．若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】向右平移2个单位，将原解析式中的x替换为，得到第一次平移后的解析式．向下平移3个单位，在第一次平移后的解析式基础上减去3，整理后和选项对比即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 再向下平移3个单位，得． 【变式2】．怎样移动抛物线可以得到抛物线？ 答：把抛物线先向右平移_____个单位长度，再向______平移_____个单位长度，可以得到抛物线． 【答案】 1 下 1 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，可以得到抛物线． 【变式3】．同学们，你们还记得“上*下*，左*右*”这个口诀吗？这个口诀描述的是函数图象平移时解析式的变化规律，此口诀适用于任意函数． (1)把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线_______________． (2)请利用所学完成以下探究： （I）请借助下表，在图1所给的平面直角坐标系中画出函数的图象． x … 0 1 2 3 … … 3 2 1 0 1 2 3 … （II）请在图2所给的平面直角坐标系中画出函数的图象（无需列表），并结合图象解答下列问题． ①若恒成立，则a的取值范围是________； ②若，则x的取值范围是________； ③我们知道，对于二次函数：当时，y随x的增大而减小，这时我们说：“当时，函数单调递减”； 当时，y随x的增大而增大，这时我们说：“当时，函数单调递增”． 现给出“当时，函数单调递增”的证明： 证明：设点、在函数的图象上，且，则： ∵， ∴，， ∴， ∴， 即当时，， ∴当时，函数单调递增． 请证明：函数，当时，单调递减． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）画图如下， （Ⅱ）画图如下， ①；②或； ③证明：当时，， ∴， ∴， 设点、在该段函数图象上，且，则： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当时，， ∴当时，函数单调递减． 【分析】（1）利用二次函数平移口诀“左加右减，上加下减”直接写出平移后的解析式即可； （2）（Ⅰ）根据表格里给出的，对应坐标，在坐标系描点，再用直线依次连接即可画出的图象；（Ⅱ）将函数向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到，据此画出函数图象即可；①即函数中函数值，观察图象找到函数最小值，只要a小于等于该最小值，不等式恒成立；②在图象上确定y在0到2之间对应的x的取值，直接读出x取值范围；③先根据判断，去掉绝对值符号，化简函数表达式；仿照题目示例，设取值内两个自变量，作差，判断差的正负，比较，大小，证明随着x增大，y减小，即可完成单调递减证明． 【详解】（1）略 （2）解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）①即函数中函数值，如图， 由函数图象可知，的最低点纵坐标为，即函数最小值是， 要使恒成立，则a不能超过这个最小值， ∴； ②即函数中函数值满足，如图， 由函数图象可知，当时，或， ∴若，则x的取值范围是或； ③略 1．抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 【答案】C 【分析】根据二次函数与的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、抛物线与抛物线的对称轴都是y轴，两者相同，故本选项不合题意； B、抛物线与抛物线的开口方向都向上，两者相同，故本选项不合题意； C、抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标是，两者不同，故本选项符合题意； D、抛物线可以由抛物线平移得到，故两者形状相同，故本选项不合题意． 2．在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数顶点式的对称轴与的对应关系，判断各选项对称轴是否在轴左侧． 【详解】解：A选项，的对称轴为直线，在轴左侧，符合题意； B、C选项对应的二次函数对称轴均为轴，不符合题意； D选项，的对称轴为直线，在轴右侧，不符合题意． 3．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，结合对称性、增减性判断各选项． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵ 当时，或， ∴ A、B均错误． ∵ 当时，随的增大而增大， 当时，则， 故C错误． 当时，随的增大而减小， 当时，则， 故D正确． 4．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 5．已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，准确计算是解题的关键．通过直接计算各点在抛物线上的值，比较大小即可． 【详解】解： ∵、和都在抛物线上， ∴，，， ∴， 故选：A． 6．已知二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次函数的顶点坐标为. 将变形为. ∴顶点坐标为. 7．将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵将抛物线向左平移个单位， ∴， ∵再向下平移个单位， ∴． 8．已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定的的取值区间，计算顶点及区间端点的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ， 当时，的最小值为， 的取值范围是． 9．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 10．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接,,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积，由题意易得点、的水平距离即为该平行四边形的高，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接,, ∴阴影部分的面积为平行四边形， ∵，， ∴点的水平距离为， ∴, ∴， ∴抛物线向上平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为． 11．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【分析】二次函数开口向下，对称轴为直线，开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，计算三点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解： 二次函数中，二次项系数， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 且开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 计算各点横坐标到对称轴的距离： 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， ， ． 12．若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数定义得的次数为，结合增减性要求得二次项系数小于，解方程后结合不等式筛选得到的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴解得或 ∵时随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． 13．如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 14．定义把函数：的图像绕点旋转，得到新函数的图像，我们称是关于点P的相关函数，函数的图像的顶点纵坐标为a．下列结论正确的是_________． ①当时，新函数的函数解析式为； ②若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，函数的解析式为； ③当时，函数的图像与直线相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图像有公共点，结合函数图像，n的取值范围是或或． 【答案】①② 【分析】对于①，先把原抛物线化成顶点式，得到它的顶点坐标；根据点绕定点旋转后点的坐标变化，求出旋转之后抛物线的顶点，写出解析式判断①；对于②，先得到时抛物线解析式，确定对称轴，分类讨论区间上函数的最大值、最小值，根据求出参数，验证得到解析式；对于③，先求出时上A、B、D三点坐标，利用旋转坐标变换求出、，再分、两大情况，结合图像线段与抛物线有交点的边界条件列出不等式求出n的取值范围，对比判断③对错，最后汇总正确结论即可． 【详解】解：①由题意得是抛物线， 假设题目所给的和如下图所示， 点和点分别是和的顶点， 则由旋转得，， ， 函数的顶点坐标为， 当时，点P的坐标为， 新函数的顶点坐标为，则函数的表达式为：；故①正确； ②， 函数：， 函数的顶点坐标为， 把代入函数得：， 关于的对称点为，即， 根据抛物线的对称性可知，当时，； 分情况讨论： 当时，（不符合题意，舍去）； 当时，，， ，解得，（不合题意，舍去）， 函数的图像是由函数的图像绕点旋转得到的， 函数的图像关于对称， 当时，的解析式为， 故②正确； ③，函数：， 函数：， 当时，，即， 化简得， 解得或； 当时，， 点A，B，D的坐标分别为，，， 线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段， 如图，假如点在点上方， 点的坐标为，点的坐标为， 分情况讨论： 当时， 如图，当点在点B的左侧（含点B）时，线段与函数的图像有公共点， ， ； 如图，当点在点B的右侧，且点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图像有公共点， 且，解得， ； 当时， 如图，点在点A的右侧（含点A）时，线段与函数的图像有公共点， ， ， 综上所述，或或．所以③不正确； 故正确答案是：①②． 15．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向下平移个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点、，则_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质．熟悉二次函数的图像和性质，和图像平移变化的规律是解题的关键． 将二次函数图像向下平移个单位后得到新函数，令解方程可得其与轴的交点横坐标，再计算两点间的距离即可． 【详解】解：将函数的图像向下平移个单位， 得新函数，令，则， 解得或，则． 故答案为：． 16．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，再代入计算即可得出结果； （2）设抛物线的解析式为，再代入计算即可得出结果； （3）由题意可得所求抛物线，再结合顶点式的特征即可得出结果； （4）先将原抛物线解析式化为顶点式，再由旋转的性质得到旋转后的抛物线的解析式为，再由平移的性质即可得出结果； （5）由平移的性质得出平移后抛物线的解析式为，再由折叠的性质得出抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴； （4）解：∵， ∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为， ∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为； （5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反， ∴翻折后的抛物线的解析式为． 17．如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) 填表如下： x 0 1 2 3 y 5 0 0 5 画图如下： (2)图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查的是二次函数的图象和性质． （1）分别将各数代入中求出对应的y值，再根据描点法画出函数图象； （2）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）解：由函数图象可知，图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 18．已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【答案】(1)当时，函数有最大值0 (2)6或1 【分析】（1）由题意得，由二次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解； （2）分、及三种情况，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ∴二次函数的解析式为． ∴当时，函数有最大值0． （2）解：二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数值y的最大值为， 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去）； 若，则函数的最大值为0，与题意不符． 综上所述，h的值是6或1． 19．在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)①；②或． 【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可； ②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解； ②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，； ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得； （2）解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为； ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 20．已知抛物线与x轴交于点A，B． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式和顶点坐标； (2)若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，请求出m的取值范围． 【答案】(1)；顶点坐标 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，利用题干信息抛物线的顶点式找出顶点坐标即可求解； （2）理解整点（横纵坐标为整数）的概念，再用抛物线与 轴交点求B点横坐标，最后利用数形结合思想找出区域内含整点的计数方法（结合图像对称性）确定B的横坐标取值范围求解． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2） 由抛物线可知，其对称轴为直线，其顶点为 . 又∵抛物线在点A，B之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点， ∴由图可知线段上必须包含5个整点，即轴上的整点的取值为：，0，1，2，3． ∴抛物线与轴的交点B的横坐标应满足， 令，得，解得， ∴，即， ∴，即， ∴解得， ∴m的取值范围为：． 21．【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 【答案】(1)；或 (2)两个水池面积差的最大值为，此时 (3) 【分析】（1）将二次函数化为顶点式可得水池2面积的最大值；利用因式分解法解一元二次方程求出两函数图像的交点C、E的横坐标，再结合图像法求解即可得到的取值范围； （2）结合（1）的结论得出当时，两个水池面积差的最大值为的最大值，将的解析式化为顶点式求解即可； （3）根据面积相等结合题意列出一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：（）， 的顶点坐标为， ， 的图像开口向下， 当时，水池2面积最大，为； 当（）时，（）， 化简得（）， 因式分解得（）， 解得或， 由图像知，当或时，， 即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； （2）解：由（1）得，当时，， 当时，两个水池面积差的最大值为的最大值， （），， 当时，取最大值，为， 两个水池面积差的最大值为，此时； （3）解：当水池3与水池2的面积相等时，， 整理得， （）有唯一值， ，解得． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 目录 知识点1. 二次函数顶点式分类及基础特征 2 知识点2. 系数a、h、k的核心作用 2 知识点3. 三类顶点式函数图象与核心性质 2 知识点4. 二次函数图象平移规律 2 知识点5. 数形结合核心思想 2 题型1 y=ax²+k的图象和性质 2 题型2 y=a(x-h)²的图象和性质 4 题型3 y=a(x-h)²+k的图象和性质 7 题型4 二次函数图象的平移 9 1. 掌握三类基础顶点式二次函数的图象特征，能准确判断开口方向、对称轴、顶点坐标、最值和增减性。 2. 理解二次函数图象的平移规律，掌握基础抛物线与平移后抛物线的位置关系。 3. 能熟练运用函数性质和平移规律解决基础题型，具备数形结合解题的基本能力。 知识点1. 二次函数顶点式分类及基础特征 包含三类核心形式：y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k（a≠0），所有形式图象均为抛物线，形状、开口大小由系数a唯一决定，a相同则抛物线形状完全一致。 知识点2. 系数a、h、k的核心作用 系数a：决定开口方向与开口大小，a>0开口向上，a<0开口向下，|a|越大，开口越窄；系数h：决定抛物线左右位置，控制对称轴横坐标；系数k：决定抛物线上下位置，控制函数最值大小。 知识点3. 三类顶点式函数图象与核心性质 分别明确y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k三种解析式的对称轴、顶点坐标、最值、单调增减区间，是本课核心基础知识点。 知识点4. 二次函数图象平移规律 核心遵循“左加右减、上加下减”原则，基于基础函数y=ax²，通过h、k的数值变化实现水平、竖直平移，可单一平移或组合平移，平移不改变抛物线形状与开口方向。 知识点5. 数形结合核心思想 通过解析式可快速判断图象特征，通过图象可直观推导函数增减性、最值等性质，实现解析式与图象的双向转化。 题型1 y=ax²+k的图象和性质 【解题技巧】 1. 核心公式速记：对称轴为y轴（直线x=0），顶点坐标(0，k)。 2. 开口与最值判断：a>0，开口向上，图象有最低点，最小值为y=k（x=0时）；a<0，开口向下，图象有最高点，最大值为y=k（x=0时）。 3. 增减性判断口诀：上正（a>0）左减右增，下负（a<0）左增右减，分界点为x=0。 4. 快速解题步骤：先看a定开口，再看k定顶点与最值，最后按对称轴划分区间判断增减性，无需复杂计算。 易错提醒：仅上下平移，对称轴始终不变，切勿出现对称轴偏移错误。 【典例1】．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列抛物线中，对称轴是直线的是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】．抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【变式3】．把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 题型2 y=a(x-h)²的图象和性质 【解题技巧】 1. 核心公式速记：对称轴为直线x=h，顶点坐标(h，0)。 2. 开口与最值判断：a>0开口向上，最小值y=0（x=h时）；a<0开口向下，最大值y=0（x=h时）。 3. 增减性判断技巧：以直线x=h为分界，a>0时，x＜h递减、x＞h递增；a<0时，x＜h递增、x＞h递减。 4. h值符号易错突破：解析式中为(x-h)，h＞0对称轴在y轴右侧，h＜0对称轴在y轴左侧，切记“右正左负”，不要反向判断。 5. 快速解题步骤：辨a定开口→找h定对称轴和顶点→分区间判断增减、求最值。 【典例2】．对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【变式3】．已知二次函数 (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； 题型3 y=a(x-h)²+k的图象和性质 【解题技巧】 1. 万能核心结论（顶点式终极公式）：对称轴直线x=h，顶点坐标(h，k)，所有性质均围绕顶点展开。 2. 最值万能判断：a>0，顶点为最低点，函数最小值y=k（x=h时）；a<0，顶点为最高点，函数最大值y=k（x=h时）。 3. 增减性通用口诀：开口向上，顶点左侧减、右侧增；开口向下，顶点左侧增、右侧减。 4. 综合解题步骤：①看a：定开口方向、宽窄；②找h、k：定对称轴、顶点；③分区间：判断增减性；④代顶点：求函数最值。 【典例3】．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（  　  ） A． B． C． D． 【变式2】．对于抛物线，开口方向是______，顶点坐标是_______，对称轴是________；当______时，随的增大而增大；当______时，随的增大而减小；当_____时，函数取得最______值，为______． 【变式3】．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 题型4 二次函数图象的平移 【解题技巧】 1. 核心平移口诀（必考）：左加右减，上加下减。 2. 规则精准解读：针对抛物线顶点式y=a(x-h)²+k 左右平移（变x、对应h）：向左平移m个单位，x变为x+m；向右平移m个单位，x变为x-m。 上下平移（变整体、对应k）：向上平移n个单位，整体加n；向下平移n个单位，整体减n。 3. 平移不变量（解题关键）：平移只改变图象位置，a值永远不变，即抛物线开口大小、开口方向、形状完全不变。 4. 两种万能解题方法 方法一：顶点平移法（最快、最不易错） 步骤：写出原抛物线顶点坐标→按平移规则算出新顶点坐标→a不变→直接写出新解析式 方法二：解析式直接变换法 步骤：左加右减替换x，上加下减替换常数，整体化简即可。 1. 反向平移题型技巧（已知平移前后解析式） 已知原函数和平移后函数，求平移方向与距离：对比两个顶点坐标，横坐标变化判左右，纵坐标变化判上下。 2. 高频易错点总结 ①左右平移只动x，不要给k加减；上下平移动整体，不要动括号内x； ②“右减” 最容易记反：向右平移是x变小，必须减； ③多步平移不分先后，顶点法可一步到位，避免出错。 【典例4】．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．怎样移动抛物线可以得到抛物线？ 答：把抛物线先向右平移_____个单位长度，再向______平移_____个单位长度，可以得到抛物线． 【变式3】．同学们，你们还记得“上*下*，左*右*”这个口诀吗？这个口诀描述的是函数图象平移时解析式的变化规律，此口诀适用于任意函数． (1)把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线_______________． (2)请利用所学完成以下探究： （I）请借助下表，在图1所给的平面直角坐标系中画出函数的图象． x … 0 1 2 3 … … 3 2 1 0 1 2 3 … （II）请在图2所给的平面直角坐标系中画出函数的图象（无需列表），并结合图象解答下列问题． ①若恒成立，则a的取值范围是________； ②若，则x的取值范围是________； ③我们知道，对于二次函数：当时，y随x的增大而减小，这时我们说：“当时，函数单调递减”； 当时，y随x的增大而增大，这时我们说：“当时，函数单调递增”． 现给出“当时，函数单调递增”的证明： 证明：设点、在函数的图象上，且，则： ∵， ∴，， ∴， ∴， 即当时，， ∴当时，函数单调递增． 请证明：函数，当时，单调递减． 1．抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 2．在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（     ） A． B． C． D． 3．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 5．已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 7．将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 8．已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 10．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 11．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是______（用“”连接）． 12．若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 13．如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 14．定义把函数：的图像绕点旋转，得到新函数的图像，我们称是关于点P的相关函数，函数的图像的顶点纵坐标为a．下列结论正确的是_________． ①当时，新函数的函数解析式为； ②若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，函数的解析式为； ③当时，函数的图像与直线相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图像有公共点，结合函数图像，n的取值范围是或或． 15．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向下平移个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点、，则_______． 16．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 17．如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 18．已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 19．在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 20．已知抛物线与x轴交于点A，B． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式和顶点坐标； (2)若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，请求出m的取值范围． 21．【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $