26.2.2 第3课时 二次函数y=a（x-h)²+k的图象和性质 备课包 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质这一核心知识点，承接前期二次函数基本形式的学习，通过梳理顶点坐标、对称轴、开口方向、增减性及平移规律，构建从基础到进阶的学习支架，助力学生系统掌握顶点式的关键性质。 资料采用“夯实基础-能力提升-思维拓展”分层设计，基础题考查图象识别、函数值比较等培养抽象能力与几何直观，提升题结合动态范围分析、图形交点问题发展推理能力，拓展题融入坐标系与整数解强化模型意识。课中便于教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，深化知识应用。

第3课时 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质（详解版） —— 夯实基础 —— 1．二次函数y＝﹣（x+2）2+1的图象大致为（　　） A． B． C．D． 【详解】解：二次函数y＝﹣（x+2）2+1的对称轴为x＝﹣2，开口向下， 当y＝0时，解得x＝﹣1或x＝﹣3， 函数的图象大致为A． 故选：A． 2．已知抛物线y＝2（x+1）2+1经过（2，y1），（1，y2）两点，则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵﹣1＜1＜2，（2，y1），（1，y2）在对称轴右侧， ∴y1＞y2． 故选：B． 3．下列关于抛物线y＝2（x﹣3）2+1的说法，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标是（﹣3，1） D．x＜3时，y随x的增大而减小 【详解】解：根据二次函数顶点式 y＝a（x﹣h）2+k 的性质逐项分析判断如下： A、由二次函数解析式可知抛物线开口向上，A错误，不符合题意； B、对称轴为 x＝h＝3，B错误，不符合题意； C、顶点坐标为 （3，1），C错误，不符合题意； D、∵a＞0，开口向上， ∴当 x＜3 时，y随x的增大而减小， ∴D正确，符合题意． 故选：D． 4．将抛物线y＝（x﹣2）2+3先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线y＝a（x﹣h）2+k，则a+h+k的值为（　　） A．﹣4 B．0 C．4 D．12 【详解】解：∵原抛物线为 y＝（x﹣2）2+3向右平移4个单位可得：y＝[（x﹣4）﹣2]2+3＝（x﹣6）2+3； 抛物线y＝（x﹣6）2+3再向上平移2个单位得y＝（x﹣6）2+5， 即新抛物线为 y＝（x﹣6）2+5， 与 y＝a（x﹣h）2+k 比较， 得 a＝1，h＝6，k＝5， ∴a+h+k＝1+6+5＝12． 故选：D． 5．若二次函数y＝（x﹣1）2+t的图象与y轴的交点坐标为（0，3），则t的值是　2　 ． 【详解】解：由题知， 将点（0，3）代入y＝（x﹣1）2+t得， 1+t＝3， 解得t＝2． 故答案为：2． 6．已知二次函数y＝a（x﹣5+a）2+2，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的值可以是　3（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【详解】解：∵二次函数y＝a（x﹣5+a）2+2的对称轴为直线x＝5﹣a，当x＞2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0，且5﹣a≤2， 解得a≥3， 故a的值可以为3（答案不唯一）， 故答案为：3（答案不唯一）． 7．如果将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4向上平移m（m＞0）个单位后经过原点，那么m的值是　3　 ． 【详解】解：将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4向上平移m（m＞0）个单位后，新函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4+m． ∵平移后函数图象经过原点， ∴0＝（0﹣1）2﹣4+m， 解得m＝3， 故答案为：3． 8．已知二次函数yx2+x+4． （1）试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）x为何值时，y有最值？ （3）在如图所示的坐标系中，画出函数的图象，并说明该抛物线是由抛物线yx2怎样平移得到的？ （4）根据图象回答，x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0？ （5）根据图象回答，x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？ 【详解】解：yx2+x+4（x﹣1）2． （1）抛物线的开口方向向下、顶点坐标（1，），对称轴为x＝1； （2）当x＝1时，y有最大值，最大值为． （3）如图， yx2向右平移1个单位，向上平移个单位即可 （4）由x2+x+4＝0，解方程可得x1＝﹣2，x2＝4， ∴当x＜﹣2或x＞4时，y＞0， 当x＝﹣2或4，y＝0， 当﹣2＜x＜4时，y＜0． （5）当x＜1时，y随x的增大而增大， 当x＞1时，y随x的增大而减小． —— 能力提升 —— 9．二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【详解】解：由条件可知抛物线的顶点坐标为（﹣m，n）， 由二次函数的图象可得：﹣m＞0，n＜0， ∴m＜0， ∴一次函数y＝mx+n的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 10．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，当t＜x＜5时．y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是（　　） A．0＜t＜1 B．t＞1 C．1≤t＜5 D．t≥5 【详解】解：由解析式可知：函数图象的开口向下，顶点坐标为（1，2），对称轴为x＝1， ∵当t＜x＜5时，y随x的增大而减小， ∴t≥1，且t＜5， ∴实数t的取值范围是：1≤t＜5， 故选：C． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝a（x﹣3）2+k与L2：y＝m（x+2）2+n的一个交点为A，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧）．已知点A的横坐标为1，则BC的长为（　　） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 【详解】解：两条抛物线的对称轴分别为直线x＝3与直线x＝﹣2， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为﹣5， ∴BC＝10， 故选：C． 12．将抛物线y＝2（x+1）2+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为 y＝﹣2（x+1）2﹣3　 ． 【详解】解：抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3），则沿x轴翻折后顶点坐标是（﹣1，﹣3），开口向下， ∴新抛物线解析式是：y＝﹣2（x+1）2﹣3， 故答案是：y＝﹣2（x+1）2﹣3． 13．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是 　，﹣1　 ． 【详解】解：∵y＝（x﹣m）2﹣m， ∴抛物线顶点坐标为（m，﹣m）， ∴抛物线顶点在直线y＝﹣x上， 如图，当抛物线经过点B时，m取最大值， ∵四边形OABC为正方形， ∴AB＝BC＝2， ∴点B坐标为（2，2）， 将（2，2）代入y＝（x﹣m）2﹣m得2＝（2﹣m）2﹣m， 解得m或m（不符合题意，舍去）． 如图，当抛物线经过点A时，m取最小值， 将（0，2）代入y＝（x﹣m）2﹣m得2＝m2﹣m， 解得m＝﹣1或m＝2（不符合题意，舍去）． 故答案为：，﹣1． 14．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）． （1）指出抛物线的对称轴； （2）求a的值； （3）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小． 【详解】解：（1）由y＝a（x﹣3）2+2可知顶点为（3，2），对称轴为直线x＝3； （2）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）， ∴﹣2＝a（1﹣3）2+2， ∴a＝﹣1； （3）∵y＝﹣（x﹣3）2+2， ∴此函数的图象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小， ∵点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上， ∴y1＜y2． —— 思维拓展 —— 15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+4经过点（﹣1，8）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点A（m，n）在抛物线上，，且m与K均为整数，求点A的坐标． 【详解】解：（1）由条件可知a（﹣1﹣1）2+4＝8， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+4； （2）m，n满足n＝（m﹣1）2+4，即n﹣4＝（m﹣1）2，则（n﹣4）2＝（m﹣1）4， ∵，且m与K均为整数， ∴ ， ∴m﹣1＝1或m﹣1＝﹣1， ∴m＝2或m＝0， m＝2时，n＝（2﹣1）2+4＝5；m＝0时，n＝（0﹣1）2+4＝5， 综上，点A的坐标为（2，5）或（0，5）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质（原卷版） —— 夯实基础 —— 1．二次函数y＝﹣（x+2）2+1的图象大致为（　　） A． B． C．D． 2．已知抛物线y＝2（x+1）2+1经过（2，y1），（1，y2）两点，则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定 3．下列关于抛物线y＝2（x﹣3）2+1的说法，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标是（﹣3，1） D．x＜3时，y随x的增大而减小 4．将抛物线y＝（x﹣2）2+3先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线y＝a（x﹣h）2+k，则a+h+k的值为（　　） A．﹣4 B．0 C．4 D．12 5．若二次函数y＝（x﹣1）2+t的图象与y轴的交点坐标为（0，3），则t的值是　 　 ． 6．已知二次函数y＝a（x﹣5+a）2+2，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的值可以是　 　 ．（写出一个即可） 7．如果将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4向上平移m（m＞0）个单位后经过原点，那么m的值是　 　 ． 8．已知二次函数yx2+x+4． （1）试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）x为何值时，y有最值？ （3）在如图所示的坐标系中，画出函数的图象，并说明该抛物线是由抛物线yx2怎样平移得到的？ （4）根据图象回答，x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0？ （5）根据图象回答，x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？ —— 能力提升 —— 9．二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 10．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，当t＜x＜5时．y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是（　　） A．0＜t＜1 B．t＞1 C．1≤t＜5 D．t≥5 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝a（x﹣3）2+k与L2：y＝m（x+2）2+n的一个交点为A，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧）．已知点A的横坐标为1，则BC的长为（　　） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 12．将抛物线y＝2（x+1）2+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为 　 　 ． 13．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是 　 　 ． 14．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）． （1）指出抛物线的对称轴； （2）求a的值； （3）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小． —— 思维拓展 —— 15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+4经过点（﹣1，8）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点A（m，n）在抛物线上，，且m与K均为整数，求点A的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2 第3课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 ▶ 【1分钟知识回顾】 1．(1)抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为__y＝(x－2)2__； (2)抛物线y＝x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为__y＝x2－1__． 2．猜想： 抛物线y＝x2先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为__y＝(x－2)2－1__. ★ 【教学目标】 课题 26.2.2　第3课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 授课人 素养目标 1.理解二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的位置关系． 2．掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象及其性质． 3．会用二次函数的知识解决简单的实际问题，会用数学的思维分析、转化、解决实际问题. 教学重点 掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质. 教学难点 掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的平移规律. 授课类型 新授课 课时 ✓ 【课堂流程】 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.填写下表． 2.二次函数y＝ax2＋k和y＝a(x－h)2的图象可以由二次函数y＝ax2的图象经过怎样的平移得到？ 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=ax² a>0 向上 y轴 (0,0) a<0 向下 y=ax²+k a>0 向上 y轴 (0,k) a<0 向下 y=a(x—h)² a>0 向上 直线x=h (h,0) a<0 向下 学生进行解答，教师做好指导和点评. 运用类比的教学方法，从学生熟悉的函数图象与平移知识入手，降低学习起点， 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题：画出二次函数y＝－(x＋1)2－1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 师生活动：学生列表，并在准备好的坐标纸上描点、连线，画出函数的图象． 教师巡视指导，做好纠正和点拨. 通过让学生动手画二次函数的图象，创设充分的活动时间和空间， 活动二：实践探究、交流新知 1.探究新知 你能发现二次函数y＝－(x＋1)2－1有哪些性质吗？ 师生活动： 学生分组讨论，互相交流，发表见解后，达成共识： 抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，－1)．当x＝－1时，y有最大值是－1；当x>－1时，y随x的增大而减小；当x<－1时，y随x的增大而增大． 教师对学生的发现进行鼓励，对于二次函数，引导学生从图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的最值及增减性等方面进行分析． 请说出二次函数y＝－(x＋1)2－1的图象与二次函数y＝－x2的图象之间的关系． 学生思考解答，教师做好多媒体演示，总结如下： 把抛物线y＝－x2向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到抛物线y＝－(x＋1)2－1. 2．归纳总结 你能根据上述探究，归纳出二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质吗？ 师生活动： 学生讨论、交流，积极发言，师生共同提示、补充、总结： (1)当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下． (2)对称轴是直线x＝h. (3)顶点坐标是(h，k)． (4)二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由二次函数y＝ax2的图象沿x轴向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度，再沿对称轴向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位长度得到．简单地说，就是左加右减，上加下减，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定． 教师做好补充说明：形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的解析式称为顶点式，顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标. 1.利用课件动态演示抛物线的平移过程，激发学习兴趣，让学生直观感受函数图象与性质取决于各项系数。 2.通过小组合作探究，引导学生从特殊到一般归纳平移规律与函数性质，符合认知规律，培养分析问题、解决问题的能力以及归纳总结能力，深化对二次函数图象变换的理解。 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C) A．开口向下 B．最大值为－6 C．顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大 例2　如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？ 解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象． 例3　(教材第41页例2)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管的长应为多少？ 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 点(1.6，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－1.6)2＋3(0≤x≤3.6)． 由这段抛物线经过点(3.6，0)，可得0＝a(3.6－1.6)2＋3，解得a＝－. 因此y＝－(x－1.6)2＋3(0≤x≤3.6)． 当x＝0时，y＝1.08.∴水管的长应为1.08 m. 教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问： (1)分析该题的突破口是什么？ (2)如何建立平面直角坐标系？ (3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？ (4)根据解析式你能求出水管的长度吗？ 学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程． 【变式训练】 1．抛物线y＝a(x＋k)2＋k(a≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B) A．直线y＝x上 B．直线y＝－x上 C．x轴上 D．y轴上 2．已知抛物线y＝a(x－2)2＋1经过点A(m，y1)，B(m＋2，y2)，若点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，则m的取值范围是(C) A．0＜m＜1 B．0＜m＜2 C．1＜m＜2 D．m＜2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.填空： 函数y＝5(x－3)2－2的图象的顶点坐标是__(3，－2)__，可由函数y＝5x2的图象先向__右__平移__3__个单位长度，再向__下__平移__2__个单位长度得到. 1.在掌握基础知识与基本技能的基础上，组织学生开展深层次的合作探究，在解决问题过程中体验数学思想方法，提高思维能力。2.通过“由理论到实践”的认知过程，培养学生分析问题和解决问题的能力 活动四：随堂检测 【随堂检测】 1. 抛物线y＝(x－2)2－3的顶点坐标为(A) A．(2，－3) B．(－2，－3) C．(－3，2) D．(－3，－2) 2．．(1)抛物线y＝(x＋2)2＋3上的点到x轴的最小距离是__3__； (2)已知二次函数y＝3(x－1)2＋k的图象上有A(2，y1)，B(3，y2)，C(－3，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系为__y3＞y2>y1__． 3．把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y＝(x＋1)2－1的图象． (1)试确定a，h，k的值． (2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：(1)a＝，h＝1，k＝－5. (2)开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)． 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”. 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？ 教学说明：总结二次函数y＝ax2的平移规律． 梳理二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质． 2．布置作业： 教材第41页练习第1，2题，教材第44页习题26.2第2题. 通过课堂小结引导学生回顾用一元二次方程解决实际问题的步骤与方法，自主归纳本节课的学习重点， 教学反思 这节课按“引入—探究—练习”三个环节推进，逐环节复盘。引入环节，从 y＝ax2 出发，通过左右、上下平移的叠加引出顶点式，学生能理解顶点式的由来，“左加右减、上加下减”的规则在顺向平移中掌握较好，这是本课达成较扎实的部分。 探究环节，重点放在了由解析式说图象特征上，多数学生能准确说出开口方向、对称轴和顶点坐标；但逆向环节暴露不足——给出顶点坐标或对称轴要求反推 h、k 的符号时，学生出错率明显上升，说明顺向会、逆向生。练习环节，发现描述增减性时不结合对称轴分左右讨论的情况仍然存在。 总体来看，本课目标基本达成，但“逆向转化”和“规范表述”两个薄弱点需要在后续课中继续打磨。下节课将设计“由顶点式说特征、由特征求解析式”的双向训练，配合图象动态演示，帮助学生建立 h、k 符号与平移方向的直观对应。 按环节复盘，逆向转化与规范表述是本课留下的两个待补点。 学科网（北京）股份有限公司 $