第21章《一元二次方程》专题复习(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

该初中数学课件系统梳理了一元二次方程的知识体系，从实际问题抽象数量关系入手，串联方程概念、解法（直接开平方法等）、解的运用、根的判别式及应用，通过知识结构建立各知识点间的逻辑联系，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于专题精讲分层设计，如概念辨析题（例1判断一元二次方程）、解法应用题（例5解方程）、实际问题建模（例9门票收入问题），培养学生数学思维中的推理意识与运算能力，及数学语言的模型意识。这种设计让学生逐步提升，教师可精准教学，有效巩固知识。

初中数学 指南针•课堂优化·九年级数学HS 第2引章一元二次方程 第21章《一元二次方程》专题复习 一、知识结构 直接开平方法 实际问题 解析抽象 元二次方程 一元二次方程 因式分解法 数量关系 配方法 元二次方程的解 公式法 解释、检验 二、专题精讲 类型一一元二次方程的概念 【例1】下列方程中，关于x的一元二次方 程是 A.(x+1)2=3(x+1) B+1=0 C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x2-x-1 解析：构成一元二次方程必须同时满足以下条件： ①整式方程；②二次项系数不为0；③只含有一个未 知数； ④含未知数的项的最高次数是2.选项中B不满足 ①，C不满足②，D不满足④，故选A. 【例2】m为何值时，关于x的方程(m一 √2)xm-(m+3)x=4m是一元二次方程. 规律与方法：一元二次方程为本章的一个重 要概念，包含三要素：一元，整式方程，化成ax2十 bx十c=0后a≠0，a、b、c为常数，考点为二次项 系数不为0且未知数的最大指数为2，它可以综 合平方数、绝对值，一元二次方程等知识，中考常 以填空、选择出现，有时也作为解答题 类型二一元二次方程的解的运用 【例3】关于x的一元二次方程x2-5x+ p2-2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是 () A.4 B.0或2 C.1 D.-1 规律与方法：一元二次方程的解也叫一元二 次方程的根，它是研究方程的中心，是方程中 个不可缺少的重要概念，常已知方程的一根，求 方程中字母的值，中考常出现在填空与选择题 中. 类型三一元二次方程的解法 【例4】已知a4+b+2a2b-2a2-2b- 15=0,求a2十b的值， 规律与方法：一元二次方程的解法是研究一 元二次方程的重点，它可以说是一个工具性的知 识，不少数学问题，实际问题的解决常归结为解 一元二次方程，中考常以解答的形式出现，是热 点之一 【例5】解下列一元二次方程 (1)4(x-3)2-25(x-2)2=0; (2)5(x-3)2=x2-9; (3)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0. 规律与方法：解一元二次方程时，一定要先 从整体上解析，看是否能提公因式或运用平方差 公式、完全平方公式等，选择适当的方法既快捷 又不易解错 类型四一元二次方程根的判别式 【例6】若关于x的一元二次方程kx2一 2x一1=0有两个不相等的实数根，则k的取值 范围是 ()》 A.k>-1 B.k>一1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 规律与方法：一元二次方程根的判别式是确 定方程根的情况的重要指标，也是使用公式法的 条件，它在求函数极值，证明不等式，判断同一直 角坐标下两二次曲线有无交点等方面有着不可 缺少的作用，但使用的背景为一元二次方程，中 考常以选择、填空、解答的形式出现，年年都考， 务必掌握 【例7】已知关于x的方程a.x2+2x一1= 0有实数根，求a的取值范围. 综上所迷，当a≥一1时，原方程有实裁根.所以a 的取值范围是a≥一1. 规律与方法：当被研究的对象包含多种可能 的情况时，根据所有可能出现的情况分别讨论 得出各种情况下相应的结论 类型五 一元二次方程的根与系数的关系 例8已知关于x的方程x2一(2k+1)x+ 4k-2）=0 (1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总 有实数根. (2)若等腰△ABC的一边长a=4,另两边 的长b,c恰好是这个方程的两根，求△ABC的 周长 解析：(2)中未明确指出等腰三角形的底与腰，解 题时应分类讨论，再根据三角形的性质予以取舍。 证明：1DA=[-(2k+1)]2-4×4(k-)=4K- 12k+9=(2k一3)2，.°无论k取何值，(2k一3)2≥0，.°.原 方程总有实数根， (2)解：“△ABC是等腰三角形..有两条边长相等 ①若b=C,b、c是所给方程的两个根，∴.△=(2k一3)2= 0,即k=,此时方程为2-4x+4=0,∴b=C=2,又a =4,.b十C=a,不符合三角形三边关系， ∴.不存在这种情况.②若b、c中有一条与a相等，不 妨设b=a=4,,b是所给方程的根，.42一4(2k+1)十4 (k-)=0k=3,此时方程为2-6x+8=0,b= 4,c=2,‘a十b=8>c,符合三角形三边关系，.△ABC 的周长为a+b十c=10, 规律与方法：一元二次方程根与系数的关系是在一元二次方程有实根的前提下研究两根的和与积与 系数的关系，中考中与判别式形影不离，以综合题出现 类型六一元二次方程的应用 例9某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生 不利影响，但同时考虑文物的修缮和保存费用等问题，还要保证一定的门票收入，因此博物馆采用 了增加门票的价格来控制参观人数，在该方法实施过程中发现，每周参观人数与票价存在着如图所 示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观的人 数是多少？门票价格应是多少元？ 人数 (人 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 5101520票价（元）x 整理得x2一24x+80=0,解得x1=20,x2=4. 当x=20时，y=2000:当x=4时，y=10000. 为控制参观人数，所以取x=20,y=2000. 答：每周应限定参观的人数是2000人，门票价格是20元. 规律与方法：一元二次方程的应用是我们学习一元二次方程的目的，把广泛的实际问题归结为解一 元二次方程是极富挑战的思维创造性活动，也属应用型数学建模活动，由于实际问题错综复杂，求解有相 当的能力要求，需要科学有序的训练方可形成技能，中考多以解答题的形式出现，少有选择与填空，考的机 会较大