第22章 图形的相似（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 第22章图形的相似单元提升卷，通过选择、填空、解答题（12+6+8题，36+12+72分）覆盖相似比、位似、应用等核心知识，融合几何直观、推理能力与应用意识，适配单元复习培优。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|相似比、位似周长比、网格相似判断|结合标杆测量（第3题）考查应用意识| |填空题|6/12|小孔成像（第13题）、旋转相似、位似坐标|以物理情境体现数学眼光观察现实世界| |解答题|8/72|动点相似（第22题）、黄金矩形实践（第26题）|综合网格作图（几何直观）与探究推理，呼应核心素养要求|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第22章图形的相似（高效培优单元自测·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 3 4 6 个 8 10 11 12 B B B A B C B B B C 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13.24 14.1或-2 5品 16.-3,-1 17.6 18.①②③ 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【答案】 (2)a=5,b=10,c=15 【解析】(1)解：由题意，设a=k,b=2k,c=3k, :a-b+c=k-2k+3k2k_1 a+b+c k+2k+3k 6k 3 (2)解：由题意，设a=k,b=2k,c=3k,则a+2b-c=k+4k-3k=2k=10, .k=5, .a=5,b=10,c=15 20.【答案】 BDf-3,Er=5 2 【解析】(1)解：l1|l23,AB=3,BC=5, 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE=AB_3 EF BC 5' EF EF DEF+DE 5_5 5+38 35 故答案为：5：8 (2)解：：DF=12, EF 5 ED 8 r-8×12号 8 .DE_3 EF 5 DE=3x15-9 5221 21.【答案】 (1)如图，AD即为所求. B (2)如图，点E即为所求 (3)如图，点F即为所求. 2/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1)解：取BC的中点D,连接AD,则AD即为所求 如图①所示：略 (2)解：取格点M,使AM=BM且AM⊥BM,延长AM交BC于点E,则点E即为所求： 如图②所示：略 (3)解：取格点P,Q,使BPCQ且BP:CQ=1:3,连接PQ交BC于点F,连接AF, 如图③，略 .BP CQ, ∴.△BPF一△CQF, ..BF:CF=BP:CQ=1:3, .S△ABF:SAACF=1:3, SAABC= ×2+31x3-×3×1-x2×2=4, S6am=子S6Ac=1,则点F即为所求。 4 22.【答案】 (1)1或-2+26 (2)t=3 B布在，1-9 【解析】(1)解：矩形ABCD, ∴.CDAB,CD=AB=4,∠DAB=90°， ∴.∠CDQ=∠QBP, ,在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AB=4,BC=3, ∴根据勾股定理得， BD=AB2+AD2-42+32=5' 3/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意可得，QD=BP=t, .'.BQ=BD-QD=5-t, 以B,P,Q为顶点的三角形与△DCQ相似， 又，∠CDQ=∠QBP, .△DCQ一△BQP或△DCQ一△BPQ, G照s器 4=或 ∴污-t或5-t 解方程、4三 5-t t 得t=1, 解方程4t 5-得t1=-2+26,t=-2-26(舍去)， 综合上述，当以B,P,Q为顶点的三角形与△DCQ相似时，t的值为1或-2+2V6: (2)解：如图，过点Q作QE⊥AB,QF⊥BC,垂足分别为E,F, 由(1)得QD=BP=t,BQ=5-t, ,矩形ABCD, .DA⊥AB,DC⊥BC, DA⊥AB,QE⊥AB, .DA‖QE, △BQE一△BDA, .QE=B ,即E=5t AD BD 35 Q地-5- .DC⊥BC,QF⊥BC, 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.DC QF, ∴.△BQF一△BDC. %器号 05-5- 21 :S四边形pBc0=SAQPB+S△BC0=5 号即-Q+号BcQF=号时5-+号3×5- 5 整理得t2-t-6=0, 解得1=3，t2=-2(舍去)， 21 t=3时，四边形PBCQ的面积等于号cm; (3)解：如图，过点Q作QE⊥AB,QF⊥BC,垂足分别为E,F, 由(1)得QD=BP=t,BQ=5-t, 由2)得Qe-5-t.Qp-号5- ,矩形ABCD, .AB L BC,AD=BC=3,AB=CD=4, .QE⊥AB,QF⊥BC, ∴四边形FQEB为矩形， ∠r0E-90,BF-QE=25-t,BE=0F-5-t小 CF-G-F-3-)EP-BE-BP)- ,CQ⊥PQ,则∠CQF+∠PQF=90°， 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，∠FQE=∠EQP+∠PQF=90°， .∠EQP=∠CQF, 又，∠PEQ=∠CFQ=90°， ∴.△PQE一△CQF, 苏 ..QF_CE 4(5-t)3-35-t) 二 5-05-- 3 ，解得t=16 9 23.【答案】 ()∠ACD:两角分别相等的两个三角形相似；AC AD 4930 3 (3)2V10 【解析】(1)略： (2)解：由题意，得AD=3,CD=2, ∴.AC=VAD2+CD=71 由(1)可得AC=AD·AB, .'AB=AC2 77V3 AD-33, BD=AB-AD=78 3 2-3=43 :点B的坐标为43,0： 3’0 (3)解：，'∠ACF=∠AEC,∠CAE=∠FAC, ∴.△ACF△AEC, .AC_AF AE AC ∴.AC2=AF·AE 由(1)可知，AC2=AD·AB, 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AF·AE=AD·AB, AFAD ·ABAE .'∠FAD=∠BAE, ∴.△AFD~△ABE, ∴.∠ADF=∠AEB=90°， .AB=VAE2+BE2=V62+22=210 24.【答案】 (1)见解析 (2)4V2 (3)CF m2+1 BE m 【解析】(1)证明：如图， E C M ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠BCD=90°=∠DCM ∴.∠AEB+∠EAG=90°， :AB=BC,G、E分别是AB、BC的中点， ∴.AG=BG=BE=EC, .∠BGE=45°， .∠AGE=180°-∠BGE=135°， ,∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠FEC=90°， ∴.∠EAG=∠FEC, ,CF平分∠DCM, ADCF- ∠DCM=45°， 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ECF=90°+∠DCF=135°=∠AGE, .△AGE≌△ECF ASA. (2)解：在AB上截取一点P,使得BP=BE,如图所示： D B E C N ,四边形ABCD是矩形， .∠B=∠BCD=∠ADC=90°=∠DCN=∠CDH,AB=CD=4, ∴.∠AEB+∠EAP=90°， .∠AEF=90, .∠AEB+∠FEC=90°， ∴.∠EAP=∠FEC, ..AB=BC,BP=BE, ..AP=EC, ∠B=90°，BP=BE .∠BPE=45°，PE=V2BE, ∴.∠APE=180°-∠BPE=135°， .CF平分∠DCN, ∠DCF=DCN=45, ,∠ECF=90°+∠DCF=135°=∠APE, ∴.△APE≌△ECFASA, ..PE=CF=2 BE, ,∠CDH=90°，∠DCH=45°， ∴.△DCH是等腰直角三角形， ..CH=V2CD=42 CH=CF+FH=2 BE+HF, .2BE+HF=42; 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：连接AC,AF,如图所示： A D B E .AB=mBC,AE=mEF, AB=AF ”BCEF 船器 ,∠ABC=∠AEF=90°， ∴，△ABC一△AEF .AB=AC ,∠BAC=∠EAF, AE AF :4迟AE ∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC, AC AF .∠BAE=∠CAF, ∴.△ABE一△ACF, .AB=BE AC CF .AB=mBC,∠B=90°， AC=AB+BC2=m2+1BC' .BE_mBC m, CF Vm2+1BC Vm2+1 :.CF m2+1 BE m 25.【答案】 (1)BD=CE' 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p@2 ②见解析 (3)①见解析 品 【解析】(1)解：，∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, ∴.∠DAB=∠EAC, 在△ABD和△AEC中， AB=AC ∠DAB=∠EAC, AD-AE ∴.△ADB≌△AEC SAS, .BD=CE (2)解①，△ABC一△ADE, .AB=AC ∠BAC=∠DAE, 'AD AE AB AD 'AC AE' ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, .∠BAD=∠CAE, ∴.△ABD一△ACE, BD_AB_3 CE AC4 ②∠DAE+∠DFE=180°： 证明：记AC、BF交于点O, D B 图2 由①知△ABD一△ACE, 10/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABD=∠ACE, ,∠AOB=∠COF, ∴.∠BAC=∠BFC, ∴.∠DAE=∠BFC, .∠BFC+∠DFE=180°， .∠DAE+∠DFE=180°： (3)解：①证明：，△AEF一△ABC, ·∠BAC=∠EAE,AE-AC, ∴.∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE, AB AE AC AF ∴.∠BAE=∠CAF, ∴.△ABE一△ACF, .∠ACF=∠ABE=90°， .∠BCD=90°， .∠ACF=∠BCD .∠ACF-∠ACD=∠BCD-∠ACD, .∠DCF=∠ACB: ； ②由①知∠ACF=90°， ∴.点F在直线CF上运动， 当DF⊥CF时，有最小值，如图， E 图3 .∠DCF=∠ACB,∠DFC=∠ABC=90°， ∴.△DCF一△ACB, 猫梁 11/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=3,BC=4, ·AC=VAB2+BC2=5' 四 gDF=,即DF的最小值为得 26.【答案】 a5+1米 (2)见解析 3)①4②5或5-1 【解析】(1)解：设长边为x米， ,短边为1米 ：1=5-1 2 解得X=5-1 分母有理化得：x= 2(5+1),_5+1, 9V5-1)(9V5+1)2 5+1米. 该画报的长边长度为 (2)解：设正方形ABCD边长为a, 由第一步折叠得E是AD中点， AE=号 在R△8eBc-a+AE-o+g 由第二步折叠性质得BC=BC=a, ·EC=BE-BC=Sa 2 a, 设CG=x,则DG=a-x, 12115 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由折叠得GC=CG=x,∠BCG=90°， 连接EG E D C G D 在Rt△ECG中，EG2=BC2+GC2=5。-a -a-a+x2, 在R△EDG中，EG2=ED+Dc-8+a-x2 2 /52 】2一 V5-1)a 解得X= 2 六在矩形HBCG中，长边BC=a,短边CG-5-10 2 (5-1)a ..CG 2 5-1, BC Q 2 ∴.四边形HBCG是黄金矩形 (3)①若EF⊥AD,EF⊥BC, 第利情积-8 2 A D B E .AB=1, 在矩形ABEF中，AF=S-1 2 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且EF=AB=1, “在矩形EFDC中，DF=CE= 2-5+1 V5-12 m=AP+DF=51+5+1=5. 22 第本情：铝先-5 F D B E AB=1, 六在矩形ABEF中，AF=S-1 2 且EF=AB=1, 同理，在矩形EFDC中，DF-G-1 21 ∴.m=AF+DF= 5-1+5-1=5-1, 2 2 ②若GH⊥AB,GH⊥CD, 第一种情况：若%=C=5- 21 D G H B .BC=mm>0, ∴.AD=GH=m 誓8 2 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得AG= 5-1 m,BG= 5+1 m, 2 2 AB=1, ..AB=AG+BG=1, 即5-1m+5+1 2 一m+ 2 m=1, 5 解得m= 第三种情沉：若AC-BC=5 2 D G H B :AG-BG-35-1m. 2 AB=1, ∴.AB=AG+BG=1, 即51m+6-1m=L, 2 2 解得m=St1 4 55+1 综上所述，m的值为5或5-1或S或4 ∴.m的不同取值共有4个： ②由①可得，当m>1时，m的值为V5或V5-1. 15/15 第22章 图形的相似 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 4．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连结，，则与的面积之间的关系为（     ） A． B． C． D． 7．如图是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，若叶片上两点的坐标分别表示为，则叶片基部点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．在正方形中，，为，上的动点（不与顶点重合），且，连结，作，分别交射线，线段于点，．在点，运动的过程中，下列线段比值不变的是（   ）． A． B． C． D． 9．如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 10．在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 11．如图，折叠矩形，使点落在边上点处，线段为折痕，连接，．线段与，分别交于点，．若，，则矩形的边长为(     ) A． B． C． D． 12．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的个数（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 14．已知，则k的值为_________． 15．如图，把边长为5的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M，若，则_____． 16．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 17．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 18．如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交于点G，交的延长线于点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 20．如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 21．如图是由边长为的小正方形组成的的网格，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的中线； (2)图②中，在的边上找一点，使； (3)图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为． 22．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 23．有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 24．四边形是矩形，点在边上，． (1)【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； (2)【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； (3)【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 25．【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 26．综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． (1)某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 (2)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 (3)有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 图形的相似 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形对应边上高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为， ∴与对应边上的高之比为． 2．如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 3．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 4．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 5．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可． 【详解】解：与相似的是；理由如下： 连接，如图所示： 则， 、和均找不出的角，不可能与相似， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连结，，则与的面积之间的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得到，，再证明，根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：如图，取格点、， 由网格图可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. 7．如图是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，若叶片上两点的坐标分别表示为，则叶片基部点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标． 【详解】解：∵A，B两点的坐标分别为，， ∴建立坐标系如图所示： ∴叶片基部点C的坐标为． 8．在正方形中，，为，上的动点（不与顶点重合），且，连结，作，分别交射线，线段于点，．在点，运动的过程中，下列线段比值不变的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作交于点，交于点，利用正方形性质以及证明，得到，，为定值；再结合，通过相似证明，推出，设，从而得到其余选项比值随、移动改变． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 则四边形为矩形， ∴，，， 又，， ∴， 又四边形是正方形， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在点，运动的过程中，为定值，为，B正确； 又，， ∴， ， 设， 则，，，， ， ， 不是定值，A错误； 不是定值，C错误； 不是定值，D错误． 9．如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】先根据等边三角形的性质说明，可得，再根据一元二次方程根的判别式得出答案． 【详解】解：∵，点为中点， ∴，． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 整理，得． 关于x的方程中， ∴方程有两个相等的实数根． 10．在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出，再由翻折的性质得，设与交于点，然后说明 ，可得，进而得出，接下来求出，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，， 设与交于点， ， ，， ， ， ， ∵与同高（顶点为，底边在上）， ， 与同高（顶点为，底边在上）， ， 又， ， 由翻折得， ， 即与重叠部分的面积是． 11．如图，折叠矩形，使点落在边上点处，线段为折痕，连接，．线段与，分别交于点，．若，，则矩形的边长为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质得出为等腰直角三角形，从而求得且；利用相似三角形性质，分别用表示出与的比值、与的比值，结合建立方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， 由折叠性质可知：， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ， ∴， ． 设，则， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ，解得， ， ， 即的长为． 12．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的个数（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明，得出，再证明，得出，结合，得出垂直平分，即可判断①正确；由①得，则关于直线的对称点为，连接，过点作，交于点，交于点，由对称的性质得，则，当、、三点共线时，的值最小，为的长，由正方形的性质并结合勾股定理计算即可判断②正确；由①可得，，则，结合相似三角形的性质即可判断③正确；由三角形的面积公式计算即可判断④错误． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分，故①正确； ②由①得， ∴关于直线的对称点为， 如图，连接，过点作，交于点，交于点， 由对称的性质得， ∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，为的长， ∵四边形为正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即的最小值为，故②正确； ③由①可得，， ∴， ∴， ∴， 由①可得， ∴，故③正确； ④∵四边形为正方形，且边长为， ∴， 在中，， 由①可得， ∴， ∴， ∵的边和的边上的高相等， ∴设的边和的边上的高为， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共个． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 14．已知，则k的值为_________． 【答案】1或 【分析】先由题意得m，n，p都不为0，则，故，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴m，n，p都不为0， ∴， 三个式子相加得， 则， 当时， 解得， 当时，则， ∴， 综上所述，k的值为1或． 15．如图，把边长为5的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M，若，则_____． 【答案】 【分析】求出，根据旋转的定义得到，，证明，则，得到，设，则，，在中，用勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵把边长为5的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∵点M在的延长线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 即． 16．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】过点C作轴于点E，可证明得到，据此可求出点C的坐标，再根据题意可得位似比为，结合正方形在第三象限可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点E， ∴， ∴； ∵A点坐标为，B点坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且， ∴位似比为， 又∵正方形在第三象限， ∴点的坐标为，即． 17．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 【答案】6 【分析】证明，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 18．如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交于点G，交的延长线于点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】 【分析】先证，可证，故正确；由和，则，故正确；证明，得出，即可得出，故正确；证明，得．证，得．由，得．可得，故错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ． ，，故正确； ， ． ， ． ，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 四边形是正方形， ，． ，． ． ． ， ，，． ． ． ． ，， ． 在和中 ． ． ，故错误； 综上，正确的结论为①②③． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握其性质及计算方法是关键． （1）根据比例的性质，设，代入计算即可； （2）根据题意，设，代入计算得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意，设， ∴． （2）解：由题意，设，则， ∴， ∴． 20．如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 21．如图是由边长为的小正方形组成的的网格，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的中线； (2)图②中，在的边上找一点，使； (3)图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，点即为所求． (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据网格特征，取的中点，连接即可； （2）取格点，使且，延长交于点，则点即为所求； （3）取格点，，使且，连接交于点，连接，则点即为所求． 【详解】（1）解：取BC的中点D，连接AD，则AD即为所求． 如图①所示：略 （2）解：取格点，使且，延长交于点，则点即为所求； 如图②所示：略 （3）解：取格点，，使且，连接交于点，连接， 如图③，略 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则点即为所求． 22．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 23．有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 【答案】(1)；两角分别相等的两个三角形相似； (2) (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，根据两角分别相等的两个三角形相似得到，继而根据相似三角形对应线段成比例得到，即． （2）根据勾股定理得到，继而根据得到，继而得到点的坐标． （3）通过证明，得到，继而根据，得到，继而得到，得到，利用勾股定理得到的长． 【详解】（1）略； （2）解：由题意，得，， ， 由（1）可得， ， ， 点的坐标为； （3）解：，， ， ， ，                                 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ． 24．四边形是矩形，点在边上，． (1)【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； (2)【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； (3)【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，，进而问题可求证； （2）在上截取一点，使得，由题意易得，，然后可得，则有，进而根据等腰直角三角形的性质进行求解即可； （3）连接，由题意易得，则有，然后可得，，进而证明进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取一点，使得，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25．【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)； (2)①； ②； 证明：记、交于点， 由知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)①证明：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②． 【分析】（1）根据证明三角形的全等，即可得到； （2）①由相似三角形的性质，可得，，式子变形可得，根据角的数量关系，可得，利用相似三角形的判定，则，得到，即可；②由相似三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，推出，等量代换，得到；根据，等量代换，即可得到； （3）①由相似三角形的性质，可得，，得到角的数量关系，，根据相似三角形的判定和性质，得到，再根据角的数量关系，则，得到，即可求解；②由①知，点在直线上运动，当时，有最小值；利用相似三角形的判定和性质，得到，根据勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解①∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②略 （3）解：①略； ②由①知， ∴点在直线上运动， 当时，有最小值，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 26．综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． (1)某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 (2)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 (3)有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 【答案】(1)米 (2)解：设正方形边长为， 由第一步折叠得是中点， ∴， 在中，， 由第二步折叠性质得， ∴， 设，则， 由折叠得，， 连接 ， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ， ∴在矩形中，长边，短边， ∴ ， ∴四边形是黄金矩形． (3)①②或 【分析】（1）首先明确黄金矩形短边与长边的比值为，因为已知短边长度，所以根据比值关系列方程即可求长边，过程中用到分母有理化化简结果； （2）先设正方形边长为参数，由第一步折叠得是中点，用勾股定理求的长度；根据第二步折叠的性质得，进而求出的长度，再结合角度关系推导，得到的长度；最后计算矩形的短边与长边的比值，验证其等于即可； （3）先判断分割线是垂直于长还是垂直于宽，分情况讨论两种分割方式下两个小矩形均为黄金矩形的条件，根据黄金矩形的比例关系列关于的方程求解，再统计解的个数和时的解． 【详解】（1）解：设长边为米， ∵短边为米， ∴ ， 解得 ， 分母有理化得：， ∴该画报的长边长度为米． （2）略 （3）①若，， 第一种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， ∴在矩形中，， ∴， 第二种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， 同理，在矩形中，， ∴， ②若，， 第一种情况：若， ∵， ∴ ∴， 解得，， ∵， ∴， 即， 解得， 第二种情况：若， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 综上所述，的值为或或或， ∴的不同取值共有个； ②由①可得，当时，的值为或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $