专题06 函数的概念与性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题06　函数的概念与性质 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题06　函数的概念与性质 一、核心知识 1．函数的概念：设 是非空数集，若对 A 中每一个 ，按某种对应关系 ，在 B 中都有唯一确定的 与之对应，则称 : 为函数，其中 的取值范围 A 叫定义域，函数值的集合叫值域。 2．同一函数：定义域和对应关系都相同才是同一函数，只看解析式化简后的形式，忽略定义域会出错，如 与 不是同一函数。 3．定义域的四条硬性规定：分母不为 0；偶次根号下的式子非负；对数真数大于 0、底数大于 0 且不等于 1；0 次幂的底数不为 0。 4．抽象函数定义域：已知 的定义域为 ，则 的定义域由 解出；已知 的定义域为 ，则 的定义域是 在 上的值域。 5．值域常用五法：观察法、配方法、换元法、单调性法、反解法；分式型 可分离常数得 ，从而值域为 。 6．单调性定义：设 ，若 则递增，若 则递减；定义法的步骤是取值、作差、变形、定号、下结论。 7．复合函数单调性“同增异减”：先把复合函数拆成内外两层，分别判断单调性，内外同向则复合后递增，内外反向则复合后递减，前提是都在定义域内。 8．奇偶性：定义域关于原点对称是前提； 为奇函数，图象关于原点对称； 为偶函数，图象关于 轴对称。奇函数若 0 在定义域内则必有 。 9．周期性：存在非零常数 T 使 恒成立，T 叫周期；常见变形 ；；。 10．对称性： 图象关于直线 对称； 图象关于点 对称； 满足 对称轴 。 11．图象变换：左加右减（ 是向左平移 个单位），上加下减（ 是向上平移 个单位）； 关于 轴对称， 关于 轴对称， 把 轴下方翻上去。 12．零点：使 的实数 叫函数的零点；零点存在定理—— 在 上连续且 ，则在 内至少有一个零点；二次函数零点个数由判别式 判定。 二、题型精练 题型一　函数的概念、定义域与值域 【方法与技巧】 求定义域要一次性列全所有限制条件再求交集，容易漏的是分母中的根式（根号内要严格大于 0）和对数底数的限制。 抽象函数定义域的关键是“括号内整体的范围不变”： 与 中括号里东西的取值范围一致，据此列不等式。 求值域先看能否用单调性，再看能否换元成二次函数或基本不等式，最后才考虑反解与判别式；分段函数的值域是各段值域的并集。 【例题精讲】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 3．函数 的值域为（　　） A． B． C．R D． 【变式训练】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．函数 （）的值域为（　　） A． B． C． D．R 5．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 6．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．下列各组函数中表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 3．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．函数 的值域为（　　） A． B． C． D．R 5．函数 的值域为（　　） A． B． C． D．R 6．若函数 的定义域为 R，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 8．函数 的值域为（　　） A． B． C． D．R 题型二　函数的单调性与最值 【方法与技巧】 判断单调性优先用导数（具体函数）或基本初等函数的已知单调性（如指数、对数、幂函数），证明题才用定义法。 复合函数必须“先求定义域、再分层判断”，同增异减的结论只在定义域的子区间上成立。 求闭区间最值：先找区间内的极值点（或对称轴、驻点），再与两个端点的函数值一起比较，最小的即最小值。 【例题精讲】 1．下列函数中，在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 2．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．函数 在 上的最小值为（　　） A．4 B．5 C． D．3 【变式训练】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 3．若 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．函数 在 上的最大值与最小值之和为（　　） A．8 B．7 C．6 D．9 5．已知函数 在 R 上单调递减，且 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．函数 （）的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D．1 【巩固练习】 1．下列函数中既是奇函数又在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 2．函数 在区间（　　）上单调递减 A． 与 B． C． D． 3．若 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 5．已知 是定义在 R 上的增函数，则满足 的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知函数 （ 且 ）在 上的最大值与最小值的差为 2，则 （　　） A．2 B． C．2 或 D．4 7．函数 的单调递减区间为（　　） A． 与 B． 与 C． D． 8．若函数 在 上的最小值为（　　） A． B．0 C．2 D． 题型三　函数的奇偶性与周期性 【方法与技巧】 判断奇偶性第一步永远是看定义域是否关于原点对称，不对称则直接判为非奇非偶，不要再算 。 奇偶性的常用结论：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，奇偶奇；奇函数在对称区间上的定积分为 0，偶函数则为一侧的两倍。 周期性的三个高频变形要熟记：；；。 【例题精讲】 1．下列函数中是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A．1 B． C．3 D． 3．若函数 满足 对任意 成立，则 的一个周期为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练】 1．若 为偶函数，则 （　　） A．1 B．0 C．2 D． 2．已知 是定义在 R 上的偶函数，且在 上单调递增，则（　　） A． B． C． D． 3．已知 是定义在 R 上的奇函数，则 （　　） A．0 B．1 C．不确定 D．不存在 4．若 对任意 成立，则 的一个周期为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知 是奇函数，，则 （　　） A．2 B．0 C．1 D． 6．函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既是奇函数又是偶函数 【巩固练习】 1．下列函数中既是偶函数又在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，且 ，则 （　　） A． B．1 C． D．5 3．函数 的奇偶性为（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．无法判断 4．设 是周期为 2 的奇函数，当 时 ，则 （　　） A．1 B． C．0 D．2 5．若 满足 ，且 ，则 （　　） A．2 B． C． D．4 6．已知定义在 R 上的函数 满足 且 ，则 （　　） A．0 B．1 C． D．2 7．函数 是（　　） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．周期为 1 的函数 8．已知 是定义在 R 上的偶函数，且 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D．0 题型四　函数的对称性与图象变换 【方法与技巧】 轴对称的判定式：（或 ） 图象关于直线 对称；中心对称： 关于点 对称。 平移口诀“左加右减、上加下减”只对 本身和整个函数值起作用，注意 是把 向左平移 个单位，不是 1 个单位。 翻折变换： 保留 轴上方、把下方翻上去； 保留 轴右侧、再对称到左侧（偶函数化）。 【例题精讲】 1．将函数 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象对应的函数为（　　） A． B． C． D． 2．若函数 满足 对任意 成立，则 的图象（　　） A．关于直线 对称 B．关于直线 对称 C．关于点 对称 D．关于原点对称 3．函数 的图象与 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．重合 【变式训练】 1．要得到 的图象，只需将 的图象（　　） A．右移 3 个单位、上移 1 个单位 B．左移 3 个单位、上移 1 个单位 C．右移 3 个单位、下移 1 个单位 D．左移 3 个单位、下移 1 个单位 2．若 ，则 的对称轴为（　　） A． B． C． D． 3．函数 的图象与 轴的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 4．若 的图象关于点 对称，则 （　　） A．4 B．2 C．0 D．1 5．将 的图象向右平移 个单位，所得函数为（　　） A． B． C． D． 6．函数 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 对称 【巩固练习】 1．函数 的图象的对称中心为（　　） A． B． C． D． 2．若函数 的图象关于直线 对称，则 的图象关于（　　）对称 A． B． C． D． 3．将函数 的图象先关于 轴翻折，再上移 3 个单位，所得函数为（　　） A． B． C． D． 4．已知 满足 ，则 的图象对称轴为（　　） A． B． C． D． 5．函数 的值域为（　　） A． B． C． D．R 6．若函数 的图象与 的图象关于 轴对称，则 （　　） A． B． C． D． 7．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 8．已知函数 满足 ，且 在 上单调递增，则（　　） A． B． C． D．无法比较 题型五　函数图象的识别与应用 【方法与技巧】 识图四看：一看定义域（排除无定义的区间），二看奇偶性（排除不对称的图），三看特殊点（与坐标轴交点），四看单调性与渐近线。 排除法是选择题最快的路径：通常只需代入 或 一个点，或看 时的趋势，就能排除掉两个选项。 图象与性质互推：由图象可直接读出单调区间、最值、零点个数与正负区间，反过来由解析式画草图时先描关键点（顶点、零点、渐近线）再连线。 【例题精讲】 1．函数 的大致图象特征是（　　） A．过原点，在 上递减 B．过原点，在 R 上递增 C．是偶函数 D．只有 1 个零点 2．函数 的图象（　　） A．关于原点对称 B．关于 轴对称 C．关于直线 对称 D．无对称性 3．函数 与 （，）的图象（　　） A．关于直线 对称 B．关于 轴对称 C．关于 轴对称 D．关于原点对称 【变式训练】 1．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．4 2．函数 的图象的渐近线方程为（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 3．函数 （ 且 ）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 4．函数 的图象过点 和 ，则（　　） A． B． C． D． 5．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 与 6．函数 与 的图象交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【巩固练习】 1．函数 的图象（　　） A．关于原点对称 B．关于 轴对称 C．关于 轴对称 D．无对称性 2．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 3．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．4 4．若函数 的图象过点 且对称轴为 ，则 （　　） A．3 B．2 C． D．6 5．函数 （）的图象是（　　） A．两条去掉端点的射线 B．直线 C．抛物线 D．双曲线 6．已知函数 的图象在 R 上连续且 ，则方程 在 内（　　） A．至少有一个实根 B．恰有一个实根 C．没有实根 D．至少有两个实根 7．函数 的图象可由 的图象（　　）得到 A．右移 1 个单位、上移 2 个单位 B．左移 1 个单位、上移 2 个单位 C．右移 1 个单位、下移 2 个单位 D．左移 1 个单位、下移 2 个单位 8．函数 的最小值为（　　） A．2 B．0 C．1 D．4 题型六　函数的零点与方程的根 【方法与技巧】 零点与方程根是一回事：方程 的实根就是函数 的零点，也等于图象 与 轴交点的横坐标。 判断零点所在区间用零点存在定理，计算区间端点的函数值看是否异号；判断零点个数要结合单调性（单调函数最多一个零点）。 二次函数零点分布问题画草图，从 、对称轴位置、区间端点函数值三个维度列不等式组，这是最稳妥的做法。 【例题精讲】 1．函数 的零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 2．若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时 ，则 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式训练】 1．函数 的零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．若方程 在 内有两个不等实根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．函数 的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 5．已知函数 是周期为 2 的偶函数，且在 上 ，则 在 上的零点个数为（　　） A．4 B．2 C．3 D．6 6．若函数 在 内恰有一个零点，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的零点为（　　） A． 与 3 B．1 与 C． 与 D．1 与 3 2．函数 的零点为（　　） A． B．1 C． D．10 3．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 4．若方程 有 4 个实根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 ，则其零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 6．函数 的零点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 7．若函数 的两个零点都在 内，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．方程 的实根个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数 是定义在 R 上的偶函数，当 时 ，则 （　　） A．3 B． C．15 D． 3．函数 的值域为（　　） A． B． C．R D． 4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　） A． B． C． D． 5．若函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．函数 的极小值为（　　） A． B．1 C． D．3 7．已知 满足 ，且 ，则 （　　） A．2 B．1 C． D．0 8．函数 的零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．（多选）下列函数中，是偶函数的有（　　） A． B． C． D． 10．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．是奇函数 B．在 上单调递减 C．最小值为 2 D．值域为 R 11．（多选）已知函数 满足 ，则下列说法正确的有（　　） A．图象关于 对称 B． C． 是偶函数 D． 【填空题】 12．函数 的定义域为　　　　。 13．已知 是奇函数，且当 时 ，则 　　　　。 14．函数 在 上的最小值为　　　　。 （答案与逐题详解见《解析版》） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题06　函数的概念与性质 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题06　函数的概念与性质 一、核心知识 1．函数的概念：设 是非空数集，若对 A 中每一个 ，按某种对应关系 ，在 B 中都有唯一确定的 与之对应，则称 : 为函数，其中 的取值范围 A 叫定义域，函数值的集合叫值域。 2．同一函数：定义域和对应关系都相同才是同一函数，只看解析式化简后的形式，忽略定义域会出错，如 与 不是同一函数。 3．定义域的四条硬性规定：分母不为 0；偶次根号下的式子非负；对数真数大于 0、底数大于 0 且不等于 1；0 次幂的底数不为 0。 4．抽象函数定义域：已知 的定义域为 ，则 的定义域由 解出；已知 的定义域为 ，则 的定义域是 在 上的值域。 5．值域常用五法：观察法、配方法、换元法、单调性法、反解法；分式型 可分离常数得 ，从而值域为 。 6．单调性定义：设 ，若 则递增，若 则递减；定义法的步骤是取值、作差、变形、定号、下结论。 7．复合函数单调性“同增异减”：先把复合函数拆成内外两层，分别判断单调性，内外同向则复合后递增，内外反向则复合后递减，前提是都在定义域内。 8．奇偶性：定义域关于原点对称是前提； 为奇函数，图象关于原点对称； 为偶函数，图象关于 轴对称。奇函数若 0 在定义域内则必有 。 9．周期性：存在非零常数 T 使 恒成立，T 叫周期；常见变形 ；；。 10．对称性： 图象关于直线 对称； 图象关于点 对称； 满足 对称轴 。 11．图象变换：左加右减（ 是向左平移 个单位），上加下减（ 是向上平移 个单位）； 关于 轴对称， 关于 轴对称， 把 轴下方翻上去。 12．零点：使 的实数 叫函数的零点；零点存在定理—— 在 上连续且 ，则在 内至少有一个零点；二次函数零点个数由判别式 判定。 二、题型精练 题型一　函数的概念、定义域与值域 【方法与技巧】 求定义域要一次性列全所有限制条件再求交集，容易漏的是分母中的根式（根号内要严格大于 0）和对数底数的限制。 抽象函数定义域的关键是“括号内整体的范围不变”： 与 中括号里东西的取值范围一致，据此列不等式。 求值域先看能否用单调性，再看能否换元成二次函数或基本不等式，最后才考虑反解与判别式；分段函数的值域是各段值域的并集。 【例题精讲】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，注意根号在分母上，故 要严格大于 0。选 A。 2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，即 的定义域为 。选 B。 3．函数 的值域为（　　） A． B． C．R D． 【答案】A 【详解】分离常数：。因 ，故 。选 A。 【变式训练】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 且 得 。选 A。 2．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，又分母 ，故定义域为 。选 B。 3．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 时 ，括号内整体的范围就是 的定义域，即 。选 B。 4．函数 （）的值域为（　　） A． B． C． D．R 【答案】A 【详解】由基本不等式 （ 时取等号），故值域为 。选 A。 5．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ，值域为 。选 A。 6．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因 ，故 ，从而 。选 A。 【巩固练习】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】需 且 ，即 且 ，故 且 。选 C。 2．下列各组函数中表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】B 【详解】B 中两函数定义域均为 R 且对应关系都是取绝对值，是同一函数；A、C 定义域不同，D 对应关系不同。选 B。 3．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，即 。选 A。 4．函数 的值域为（　　） A． B． C． D．R 【答案】A 【详解】 时 ； 时 ，由 得 ，故值域为 。选 A。 5．函数 的值域为（　　） A． B． C． D．R 【答案】D 【详解】 时 取 ； 时 。取并集得值域为 R 中的 。选 D。 6．若函数 的定义域为 R，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时恒成立； 时需 ，得 ； 不可能恒非负。故 。选 A。 7．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时 ，故 的定义域为 。选 A。 8．函数 的值域为（　　） A． B． C． D．R 【答案】A 【详解】令 ，则 ，因 ，故 ，得 。选 A。 题型二　函数的单调性与最值 【方法与技巧】 判断单调性优先用导数（具体函数）或基本初等函数的已知单调性（如指数、对数、幂函数），证明题才用定义法。 复合函数必须“先求定义域、再分层判断”，同增异减的结论只在定义域的子区间上成立。 求闭区间最值：先找区间内的极值点（或对称轴、驻点），再与两个端点的函数值一起比较，最小的即最小值。 【例题精讲】 1．下列函数中，在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 与 在 上递减， 在 上递减，只有 （底数 ）递增。选 C。 2．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】开口向上，对称轴为 ，递增区间为 。要使 上递增，需 。选 A。 3．函数 在 上的最小值为（　　） A．4 B．5 C． D．3 【答案】A 【详解】在 上递减、在 上递增，，故最小值为 （端点 ，）。选 A。 【变式训练】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】定义域为 。外层底数 递减，内层 在 上递减，同增异减得复合后在 上递增。选 A。 2．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】外层底数 递减，内层 在 上递减，内外同为递减则复合后递增，故递增区间为 。选 A。 3．若 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】开口向下，对称轴 ，递减区间为 ，需 。选 A。 4．函数 在 上的最大值与最小值之和为（　　） A．8 B．7 C．6 D．9 【答案】A 【详解】，最小值 ，端点 、，最大值为 6，和为 8。选 A。 5．已知函数 在 R 上单调递减，且 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】递减意味着函数值小则自变量大，故 ，得 。选 A。 6．函数 （）的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D．1 【答案】B 【详解】，令 ，由基本不等式得 。选 B。 【巩固练习】 1．下列函数中既是奇函数又在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 是奇函数且在 R 上递增； 是偶函数； 在 上递减； 递减。选 A。 2．函数 在区间（　　）上单调递减 A． 与 B． C． D． 【答案】A 【详解】在 与 上分别递减，但不能说在整个定义域上递减（跨过间断点不成立）。选 A。 3．若 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】开口向上，递减区间为 ，需 ，得 。选 A。 4．函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上递增，，，值域为 。选 A。 5．已知 是定义在 R 上的增函数，则满足 的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由单调性得 ，即 ，解得 。选 A。 6．已知函数 （ 且 ）在 上的最大值与最小值的差为 2，则 （　　） A．2 B． C．2 或 D．4 【答案】C 【详解】，故 或 ，得 或 。选 C。 7．函数 的单调递减区间为（　　） A． 与 B． 与 C． D． 【答案】A 【详解】偶函数。 时 ，在 上递减；由对称性， 时在 上递减。选 A。 8．若函数 在 上的最小值为（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【详解】，在 上递减、 上递增，最小值为 。选 A。 题型三　函数的奇偶性与周期性 【方法与技巧】 判断奇偶性第一步永远是看定义域是否关于原点对称，不对称则直接判为非奇非偶，不要再算 。 奇偶性的常用结论：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，奇偶奇；奇函数在对称区间上的定积分为 0，偶函数则为一侧的两倍。 周期性的三个高频变形要熟记：；；。 【例题精讲】 1．下列函数中是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，且定义域 R 关于原点对称，是奇函数。选 B。 2．已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】，由奇函数性质 。选 A。 3．若函数 满足 对任意 成立，则 的一个周期为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】，故 4 是它的一个周期。选 B。 【变式训练】 1．若 为偶函数，则 （　　） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】A 【详解】偶函数要求一次项系数为 0，即 ，得 。选 A。 2．已知 是定义在 R 上的偶函数，且在 上单调递增，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由递增得 ，即 。选 A。 3．已知 是定义在 R 上的奇函数，则 （　　） A．0 B．1 C．不确定 D．不存在 【答案】A 【详解】由 得 ，故 。选 A。 4．若 对任意 成立，则 的一个周期为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】用 替换 得 ，故周期为 2。选 B。 5．已知 是奇函数，，则 （　　） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【详解】（用了共轭有理化），故为奇函数。选 A。 【巩固练习】 1．下列函数中既是偶函数又在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 是偶函数且在 上递减； 递增； 是奇函数； 递增。选 A。 2．已知 ，且 ，则 （　　） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【详解】令 是奇函数， 得 ，故 。选 A。 3．函数 的奇偶性为（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．无法判断 【答案】A 【详解】，为奇函数。选 A。 4．设 是周期为 2 的奇函数，当 时 ，则 （　　） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】。选 A。 5．若 满足 ，且 ，则 （　　） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【详解】，周期为 2，故 。选 A。 6．已知定义在 R 上的函数 满足 且 ，则 （　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】由 关于 对称，取 得 ；又奇函数 ，故 。选 A。 7．函数 是（　　） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．周期为 1 的函数 【答案】A 【详解】，化简第一项 ，合计 ，故为偶函数。选 A。 8．已知 是定义在 R 上的偶函数，且 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】。选 A。 题型四　函数的对称性与图象变换 【方法与技巧】 轴对称的判定式：（或 ） 图象关于直线 对称；中心对称： 关于点 对称。 平移口诀“左加右减、上加下减”只对 本身和整个函数值起作用，注意 是把 向左平移 个单位，不是 1 个单位。 翻折变换： 保留 轴上方、把下方翻上去； 保留 轴右侧、再对称到左侧（偶函数化）。 【例题精讲】 1．将函数 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象对应的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】左移 1 个单位得 ，再下移 2 个单位得 。选 A。 2．若函数 满足 对任意 成立，则 的图象（　　） A．关于直线 对称 B．关于直线 对称 C．关于点 对称 D．关于原点对称 【答案】A 【详解】由 的形式知图象关于直线 对称，此处 。选 A。 3．函数 的图象与 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．重合 【答案】A 【详解】函数值整体取相反数，图象上每点 变为 ，故关于 轴对称。选 A。 【变式训练】 1．要得到 的图象，只需将 的图象（　　） A．右移 3 个单位、上移 1 个单位 B．左移 3 个单位、上移 1 个单位 C．右移 3 个单位、下移 1 个单位 D．左移 3 个单位、下移 1 个单位 【答案】A 【详解】 变成 是右移 3 个单位，整体加 1 是上移 1 个单位。选 A。 2．若 ，则 的对称轴为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的对称轴为 ，左移 1 个单位得 ，对称轴变为 。选 A。 3．函数 的图象与 轴的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】A 【详解】令 得 或 ，翻折不改变零点位置，故交点个数为 2。选 A。 4．若 的图象关于点 对称，则 （　　） A．4 B．2 C．0 D．1 【答案】A 【详解】关于点 对称满足 ，此处 。选 A。 5．将 的图象向右平移 个单位，所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 替换为 ，得 。选 A。 6．函数 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 对称 【答案】A 【详解】，故为偶函数，图象关于 轴对称。选 A。 【巩固练习】 1．函数 的图象的对称中心为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由 左移 1、上移 1 得到，对称中心为 。选 A。 2．若函数 的图象关于直线 对称，则 的图象关于（　　）对称 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 处取 1，故 的自变量对称中心为 1，即 关于 对称。选 A。 3．将函数 的图象先关于 轴翻折，再上移 3 个单位，所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 轴翻折得 ，再上移 3 得 。选 A。 4．已知 满足 ，则 的图象对称轴为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，把 换成 得 ，故关于 对称。选 A。 5．函数 的值域为（　　） A． B． C． D．R 【答案】A 【详解】，故 ，值域为 。选 A。 6．若函数 的图象与 的图象关于 轴对称，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 轴对称即 换成 ：。选 A。 7．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时（即 ）取绝对值后为 ，递减。选 A。 8．已知函数 满足 ，且 在 上单调递增，则（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【详解】关于 对称，，且 。比较 与 相等。选 C。 题型五　函数图象的识别与应用 【方法与技巧】 识图四看：一看定义域（排除无定义的区间），二看奇偶性（排除不对称的图），三看特殊点（与坐标轴交点），四看单调性与渐近线。 排除法是选择题最快的路径：通常只需代入 或 一个点，或看 时的趋势，就能排除掉两个选项。 图象与性质互推：由图象可直接读出单调区间、最值、零点个数与正负区间，反过来由解析式画草图时先描关键点（顶点、零点、渐近线）再连线。 【例题精讲】 1．函数 的大致图象特征是（　　） A．过原点，在 上递减 B．过原点，在 R 上递增 C．是偶函数 D．只有 1 个零点 【答案】A 【详解】 且 是奇函数；，在 上 递减；零点为 共 3 个。选 A。 2．函数 的图象（　　） A．关于原点对称 B．关于 轴对称 C．关于直线 对称 D．无对称性 【答案】A 【详解】，是奇函数，图象关于原点对称。选 A。 3．函数 与 （，）的图象（　　） A．关于直线 对称 B．关于 轴对称 C．关于 轴对称 D．关于原点对称 【答案】A 【详解】两函数互为反函数，图象关于直线 对称。选 A。 【变式训练】 1．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【详解】令 得 ， 或 ，故 共 3 个零点。选 A。 2．函数 的图象的渐近线方程为（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】A 【详解】由 右移 1 得到，渐近线为 与 。选 A。 3．函数 （ 且 ）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 即 ，此时 ，，故恒过定点 。选 A。 4．函数 的图象过点 和 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入得 ；。选 A。 5．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 与 【答案】A 【详解】 时 ， 递增； 时 递减。选 A。 6．函数 与 的图象交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【详解】 递增且过原点， 递减且恒正，两图象在 内有且只有一个交点。选 A。 【巩固练习】 1．函数 的图象（　　） A．关于原点对称 B．关于 轴对称 C．关于 轴对称 D．无对称性 【答案】A 【详解】，，是奇函数。选 A。 2．函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】偶函数， 时 递增，由对称性 时递减。选 A。 3．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【详解】 与 是零点（，），又在 内有一零点（，），共 3 个。选 A。 4．若函数 的图象过点 且对称轴为 ，则 （　　） A．3 B．2 C． D．6 【答案】A 【详解】对称轴 ，故 。选 A。 5．函数 （）的图象是（　　） A．两条去掉端点的射线 B．直线 C．抛物线 D．双曲线 【答案】A 【详解】 时 ， 时 ，即 （），是两条去掉原点的射线。选 A。 6．已知函数 的图象在 R 上连续且 ，则方程 在 内（　　） A．至少有一个实根 B．恰有一个实根 C．没有实根 D．至少有两个实根 【答案】A 【详解】由零点存在定理，连续函数在端点异号的区间内至少有一个零点。选 A。 7．函数 的图象可由 的图象（　　）得到 A．右移 1 个单位、上移 2 个单位 B．左移 1 个单位、上移 2 个单位 C．右移 1 个单位、下移 2 个单位 D．左移 1 个单位、下移 2 个单位 【答案】A 【详解】，由 右移 1、上移 2 得到。选 A。 8．函数 的最小值为（　　） A．2 B．0 C．1 D．4 【答案】A 【详解】由绝对值不等式 ，当 时取等号。选 A。 题型六　函数的零点与方程的根 【方法与技巧】 零点与方程根是一回事：方程 的实根就是函数 的零点，也等于图象 与 轴交点的横坐标。 判断零点所在区间用零点存在定理，计算区间端点的函数值看是否异号；判断零点个数要结合单调性（单调函数最多一个零点）。 二次函数零点分布问题画草图，从 、对称轴位置、区间端点函数值三个维度列不等式组，这是最稳妥的做法。 【例题精讲】 1．函数 的零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，端点异号且函数连续递增，故零点在 。选 A。 2．若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】有两个零点即 ，得 （ 时只有一个零点）。选 A。 3．已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时 ，则 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】 时零点 ；由奇函数 ； 时由对称性有零点 ，共 3 个。选 A。 【变式训练】 1．函数 的零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，且 在 R 上连续递增，故零点在 内。选 A。 2．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】令 得 ，共 3 个零点。选 A。 3．若方程 在 内有两个不等实根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】需 得 ；对称轴 ； 且 ，综合得 。选 A。 4．函数 的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【详解】 递增、 递减，故 在 上递增，又 、，恰有 1 个零点。选 A。 5．已知函数 是周期为 2 的偶函数，且在 上 ，则 在 上的零点个数为（　　） A．4 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【详解】在 上零点为 ，由偶性得 ，再由周期性平移 得 以及 重复， 上为 共 2 个。选 B。 6．若函数 在 内恰有一个零点，则 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】 时 ，零点 ； 时需 即 得 ，或端点为零 时 不在开区间内需另判。综合得 或 。选 A。 【巩固练习】 1．函数 的零点为（　　） A． 与 3 B．1 与 C． 与 D．1 与 3 【答案】A 【详解】令 得 或 。选 A。 2．函数 的零点为（　　） A． B．1 C． D．10 【答案】A 【详解】令 得 。选 A。 3．函数 的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】，，，，在 、、 各有一零点，共 3 个。选 A。 4．若方程 有 4 个实根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的图象是把负的部分翻上去，顶点 翻成 ，故 时水平线与图象有 4 个交点。选 A。 5．已知函数 ，则其零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，且函数连续，故零点在 内。选 D。 6．函数 的零点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】A 【详解】 时 得 ； 时 得 ，共 2 个零点。选 A。 7．若函数 的两个零点都在 内，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】需 得 或 ；对称轴 得 ；， 得 。综合得 。选 A。 8．方程 的实根个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【详解】左边递增、右边递减，故方程至多一根；又 时左 0 右 1， 时左 1 右 0，故恰有 1 个实根。选 A。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 且 得 且 。选 A。 2．已知函数 是定义在 R 上的偶函数，当 时 ，则 （　　） A．3 B． C．15 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．函数 的值域为（　　） A． B． C．R D． 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 R 上既是奇函数又是增函数；、 不是单调函数； 在定义域上不单调。选 A。 5．若函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】需 在 上恒成立得 ；又要递减，外层底数 且内层 递减，同增异减得复合递减，故 。选 A。 6．函数 的极小值为（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【详解】，在 处取极小值 。选 A。 7．已知 满足 ，且 ，则 （　　） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】。选 A。 8．函数 的零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故零点在 。选 A。 【多项选择题】 9．（多选）下列函数中，是偶函数的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A、B、D 均满足 ；C 是奇函数。选 ABD。 10．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．是奇函数 B．在 上单调递减 C．最小值为 2 D．值域为 R 【答案】AB 【详解】 是奇函数； 在 上成立，递减； 时无最小值，值域为 。选 AB。 11．（多选）已知函数 满足 ，则下列说法正确的有（　　） A．图象关于 对称 B． C． 是偶函数 D． 【答案】ABD 【详解】由对称式知 A 对；取 得 ，B 对；取 得 ，D 对；不能推出偶函数。选 ABD。 【填空题】 12．函数 的定义域为　　　　。 【答案】 【详解】需 ，故定义域为 。 13．已知 是奇函数，且当 时 ，则 　　　　。 【答案】2 【详解】，。 14．函数 在 上的最小值为　　　　。 【答案】1 【详解】，，最小值为 1。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $