限时训练卷09 函数及其性质、指对幂函数-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数核心模块，以概念理解为基、性质应用为脉、综合拓展为翼，全面覆盖定义域、奇偶性、单调性及指对幂函数图像与方程零点问题，强化数学思维与表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-3、填空12|定义域求解、方程解区间判断、函数最值基础题|从函数定义出发，构建定义域到值域的概念链条| |性质应用|选择4-6、多选9-10|奇偶性与单调性综合、指对幂函数图像辨析|以函数性质为核心，串联奇偶性推导与单调性应用逻辑| |综合拓展|选择7-8、填空13-14、解答15-19|参数范围讨论、零点分布、函数与方程综合题|整合函数性质与方程思想，形成“性质分析-参数求解-实际应用”的问题解决路径|

2027年高考一轮限时训练卷09　函数及其性质、指对幂函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，在函数中， ，解得， 所以所求定义域为. 2．（25-26高三·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 3．（25-26高三·辽宁本溪·期末）若函数在上的最大值为6，则（    ） A．或1 B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用二次函数的单调性，讨论端点处函数值，再进行检验即可. 【详解】∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在上的最大值会在区间的端点或处取到， 又，，若，则， 此时对称轴，且，符合条件； 若，则，此时对称轴，且，符合条件， 综上所述，或1. 4．（2026·湖北武汉·三模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以为周期的函数， . 5．（25-26高三·吉林长春·期末）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用题设条件推出4是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得. 【详解】因为为奇函数，则， 又因为为偶函数，所以，则有， 故得，即得， 故4是函数的一个周期. 又是上的奇函数，故，解得， 即当时，， 所以. 6．（25-26高三·全国·专题训练）已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数， 得， 即，所以的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以由，可得，即. 所以，整理得，解得或． 故关于的不等式的解集为. 7．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知，则实数满足，则满足条件的实数的值的个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】采用换元法由外向内逐层求解，先计算出外层函数的值，再结合分段函数的定义域分别解出内层变量并验证即可. 【详解】令，则原方程转化为， 若， 则，，即，矛盾，因此该情况舍去， 若， 则， 则有，即，解得， 或，即，解得， 因此或， 当时， 若，则有，即，解得，因此该情况舍去， 若，则有， 则，即，解得， 或，即，解得， 当时， 若，则有，即，解得， 若，则有， 则，即，解得， 或，即，解得， 综上，可能的取值为共个 8．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，，若关于x的方程有2个不相等的实数解，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为与的图象有2个交点，分、和，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解. 【详解】由题意，关于的方程有2个不相等的实数解， 即与的图象有2个交点，如图所示， 当时，直线与的图象交于点， 又当时，，故直线与（）的图象无公共点， 故当时，与的图象只有一个交点，不合题意； 当时，与有一个交点， 当直线与曲线（）相切时， 此时与的图象有2个交点， 设切点，则，又由过点， 所以，解得，所以； 当时，若，则，由，可得， 所以当时，直线与的图象相切， 由图得当时，直线与的图象有2个交点． 综上所述，实数的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·河南·期末）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数以及对数函数的图像分析求解即可. 【详解】由且，可得. 所以，. 当时：函数在上单调递增，且过点. 函数在上单调递增，所以在上单调递减，且过点. 选项B中，一条曲线过且递增，另一条曲线过且递减，符合. 当，函数在上单调递减，且过点. 函数在上单调递减，所以在上单调递增，且过点. 选项D 中，一条曲线过且递减，另一条曲线过且递增，符合. 10．（25-26高三·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断C，结合单调性结合特例判断B，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. 11．（25-26高三·河北石家庄·期末）已知函数的定义域为，，则下列结论正确的是（     ） A． B．当时， C． D．在上有676个零点 【答案】BCD 【分析】对于A，将代入，根据函数解析式逐步计算即可判断；对于B，分别求出，，进而得到，即可判断；对于C，利用函数的周期性即可判断；对于D，先分析一个周期内的零点情况，再由以及，即可判断. 【详解】对于A：因为， 所以 ，故A错误. 对于B：当时，，则， 故有， 即，因此有，故B正确； 对于C：由B选项可知当时，， 可得 又因为由选项A可知， 所以，故C正确. 对于D：当时只有1个零点， 当时，此时函数无零点； 当时，，故， 因此 又因为此时，故，易知此时函数无零点. 因此，当时，函数无零点. 又由B可知，当时，有， 故可知当时，函数也无零点. 又由A可知，且，因此，即， 又因为当时，为函数的一个周期， 故有， 又因为，， 所以在上有676个零点，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 【答案】 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 13．（26-27高三上·山西·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先由给定不等式，判断出是整个实数域上的单调递减函数.分别让段的二次函数满足对称轴在区间右侧、段的反比例函数满足系数为正，保证两段各自单调递减.再验证分段点处左侧函数值不小于右侧极限值，衔接两段单调性，联立条件解得的取值范围. 【详解】题干中条件对任意不等实数恒成立，则函数在R上是严格单调递减函数， 故是开口向上的抛物线，其对称轴为，即： ; 在上递减的充要条件是系数， 且 整理得, 综合三个条件，得的取值范围是. 14．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数有四个不等的零点，且，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】画出函数图象，利用函数图象求解即可. 【详解】根据已知，画出该分段函数的图象， 因为有四个不同的零点，所以由图象可以看出的取值范围是. 由图象可以看出关于直线对称，即. 即. 所以 又因为，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） . 16．（25-26高三·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 17．（2026高三·全国·专题练习）函数对一切实数x，y均有成立，且． (1)求的值； (2)求的解析式； (3)令，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，即可求出的值； （2）令可得的解析式； （3）求出的值域结合对数函数的性质即可求解. 【详解】（1）令，，得． 又，． （2）令，得，则． （3）因为，且，所以． 要使时，恒成立， 只要，解得， 故a的取值范围为 18．（25-26高三·河北·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性来确定的值，进而得到的解析式； （2）先根据命题的真假性得到其否定命题为真命题，再通过换元法将问题转化为求函数的最值问题； （3）根据幂函数的解析式列出不等式，然后求解不等式. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上单调递减，符合题意； 当时，，在上单调递增，不符合题意，舍去； 所以，的解析式为； （2）因为命题“”为假命题，所以其否定“”为真命题； 由（1）知，则，所以在上恒成立，即在上恒成立； 设，在上单调递增； 则，因为在上恒成立，所以，即实数的取值范围是； （3）由，不等式 即为 ， 由“数轴标根法”求得不等式的解集为：. 19．（25-26高三·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． （2）当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮限时训练卷09　函数及其性质、指对幂函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·辽宁本溪·期末）若函数在上的最大值为6，则（    ） A．或1 B． C． D．1 4．（2026·湖北武汉·三模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 5．（25-26高三·吉林长春·期末）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·全国·专题训练）已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知，则实数满足，则满足条件的实数的值的个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，，若关于x的方程有2个不相等的实数解，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·河南·期末）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 10．（25-26高三·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 11．（25-26高三·河北石家庄·期末）已知函数的定义域为，，则下列结论正确的是（     ） A． B．当时， C． D．在上有676个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 13．（26-27高三上·山西·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是_____. 14．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数有四个不等的零点，且，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 16．（25-26高三·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 17．（2026高三·全国·专题练习）函数对一切实数x，y均有成立，且． (1)求的值； (2)求的解析式； (3)令，恒成立，求a的取值范围． 18．（25-26高三·河北·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 19．（25-26高三·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $