精品解析：上海市金山区金山实验中学2026-2027学年第一学期9月教学质量调研九年级 数学 试卷

金山实验中学2026学年第一学期9月教学质量调研 九年级数学试卷 （完成时间：100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，开口向下，则、的符号为（ ） A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 图像位于第二、四象限 C. 抛物线有最低点 D. 抛物线在直线的左侧部分是上升的 4. 如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（ ） A. B. 8 C. D. 9 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 若是二次函数，那么的取值范围是______． 8. 如果抛物线开口朝下，则的取值范围是______． 9. 若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 10. 二次函数有最______值．（填：“大”或“小”） 11. 若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 12. 将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 13. 二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是______． 14. 把二次函数的图像左右平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，则平移后的二次函数表达式是______． 15. 如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 16. 已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是______． 17. 为了参加市科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在如图所示的设计图中，若抛物线的函数解析式为，正方形的边长和正方形的边长之比为，则正方形的边长是______． 三、解答题（本大题共7题，第18题10分、第19题10分、第20题10分、第21题12分、第22题12分、第23题13分、第24题15分，共82分．） 18. 已知二次函数的图像上的部分点的横、纵坐标、的对应值如表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息，回答下列问题： （1）二次函数图像的顶点坐标为______，______； （2）关于的一元二次方程的解为______； （3）关于的一元二次方程的一个实数根更接近于 ； A．；B．；C．；D． 19. 已知抛物线与轴的交点是、，且抛物线经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 20. 已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 21. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 22. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 23. 综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． （1）向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） （2）该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． （3）在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 24. 如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； （3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金山实验中学2026学年第一学期9月教学质量调研 九年级数学试卷 （完成时间：100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将各选项函数解析式化为最简形式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 2. 二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，开口向下，则、的符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口向下确定，根据二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，确定． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴， ∵该函数的顶点坐标为，且顶点在轴正半轴上， ∴． 3. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 图像位于第二、四象限 C. 抛物线有最低点 D. 抛物线在直线的左侧部分是上升的 【答案】D 【解析】 【分析】由二次项系数的符号确定抛物线开口方向，结合对称轴分析图像位置与增减性． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， ∴抛物线开口向下，有最高点，故A、C错误； ∵对任意实数，， ∴，即图像位于第三、四象限及原点，故B错误； ∵该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴在直线左侧，随的增大而增大，即图像是上升的，故D正确． 4. 如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象上函数值相等的点关于对称轴对称，可得抛物线的对称轴． 【详解】解：由点和都是抛物线上的点，得 、关于对称轴对称， 即对称轴过、的中点， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，图象上函数值相等点的垂直平分线是抛物线的对称轴． 5. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 6. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（ ） A. B. 8 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 若是二次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不能为，据此列不等式求解即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数不能为0， ， 解得． 8. 如果抛物线开口朝下，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可。 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数满足， 解得． 9. 若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知二次函数为顶点式，结合给出的对称轴，利用顶点式的性质直接推导顶点坐标． 【详解】解：当时，， 因此它的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得， 代入得二次函数为， 因此顶点坐标为． 10. 二次函数有最______值．（填：“大”或“小”） 【答案】小 【解析】 【分析】二次函数给出的是顶点式，只需根据二次项系数的正负判断开口方向，即可确定最值类型． 【详解】解：已知二次函数，其二次项系数为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，该二次函数有最小值． 11. 若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由抛物线与轴无交点，可知方程无实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得，， 实数的值可以是（答案不唯一）． 12. 将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 原二次函数的顶点坐标为， 将图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 新二次函数的解析式为， 平移后二次函数的顶点坐标为． 13. 二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是准确理解互为“关联函数”的定义，根据两个函数顶点坐标的关系确定函数的“关联函数”的解析式即可． 【详解】解：∵二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”， ∴函数的“关联函数”的二次项系数为2， ∵， ∴它的顶点坐标为，则它的“关联函数”的顶点坐标为， ∴函数的“关联函数”的解析式是，即， 故答案为：． 14. 把二次函数的图像左右平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，则平移后的二次函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】先对原二次函数配方得到顶点坐标，左右平移不改变顶点纵坐标，结合顶点在正比例函数上得到平移后顶点坐标，即可写出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：， 原二次函数的顶点坐标为， 只进行左右平移， 平移后顶点的纵坐标不变，仍为， 平移后顶点落在上，将代入得， 平移后的顶点坐标为， 平移不改变二次项系数， 平移后的二次函数表达式为． 15. 如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据跑道周长公式表示出矩形的宽，再利用矩形面积公式列出函数关系式； 【详解】解：设矩形的宽为米， 跑道周长为米，由两条直道和两个半圆组成，两个半圆合为一个圆，直道的长为米， ， ， 足球场是矩形， ， ， ． 16. 已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．先利用顶点式求出二次函数解析式，然后求出图象与x轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值时，自变量x的取值范围即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，解得，， ∴抛物线与x轴交于，， ∵， ∴抛物线开口向下， 如图， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 17. 为了参加市科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在如图所示的设计图中，若抛物线的函数解析式为，正方形的边长和正方形的边长之比为，则正方形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题目已知条件正方形的边长和正方形的边长之比为，求出正方形MNPQ的边长． 【详解】解：设点B的纵坐标为， 四边形是正方形， ． 各点坐标都关于y轴对称， 点B横坐标为． 点B坐标为． ∵正方形的边长和正方形的边长之比为， ． 各点坐标都关于y轴对称， 点F横坐标为．点F纵坐标为． 点F坐标为． 抛物线的函数解析式为， 把点B坐标，点F坐标代入函数解析式，得 且， 解得， 抛物线的解析式为， 点F坐标为． 设正方形的边长为t，则N点坐标为． 将其代入， 整理，得， 解之，得，负根舍去． 所以，正方形的边长为． 三、解答题（本大题共7题，第18题10分、第19题10分、第20题10分、第21题12分、第22题12分、第23题13分、第24题15分，共82分．） 18. 已知二次函数的图像上的部分点的横、纵坐标、的对应值如表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息，回答下列问题： （1）二次函数图像的顶点坐标为______，______； （2）关于的一元二次方程的解为______； （3）关于的一元二次方程的一个实数根更接近于 ； A．；B．；C．；D． 【答案】（1） ， （2） ， （3） A 【解析】 【分析】（1）由表格中纵坐标相同的两点确定二次函数的对称轴与顶点坐标，用待定系数法求解析式； （2）方程的解即为时对应的值，利用对称性求解即可； （3）求出时对应的值，计算各选项与最近根的距离，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵二次函数图像过点和， ∴对称轴为直线； ∵当时，， ∴顶点坐标为； 设二次函数解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴二次函数解析式为， 当时，； 【小问2详解】 解：关于的方程的解，即函数中时对应的值， ∵时，，且函数的对称轴为直线， ∴另一个解为， ∴方程的解为，； 【小问3详解】  解：令，则， 解得， ∵， ∴方程的两个实数根约为和， 计算各选项与最近根的距离： 选项A：， 选项B：最小距离为， 选项C：最小距离为， 选项D：最小距离大于， ∵， ∴一个实数根更接近于． 19. 已知抛物线与轴的交点是、，且抛物线经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【答案】（1） （2）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，有最低点 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）将抛物线的表达式化为顶点式，得出抛物线的顶点坐标，对称轴即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴的交点是、， ∴设抛物线的表达式为：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为：， ∴开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，有最低点． 20. 已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 【答案】（1） （2），点的坐标是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的对称性应用，熟练掌握二次函数的顶点式和对称轴性质是解答本题的关键． （1）利用二次函数的顶点式，结合已知点的坐标，求出解析式中的参数，进而确定二次函数的解析式； （2）将点代入二次函数解析式求出对应的值，再根据二次函数的对称轴性质，求出对称点的坐标． 【小问1详解】 解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图像经过点， 把，代入得： ， 解得 ， 这个二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：点在二次函数的图像上， 把，代入得： ， 解得 ， 点坐标为， 二次函数的对称轴为直线，点和点关于这个二次函数的对称轴对称， 点的坐标是． 21. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【答案】（1）且. （2）或. 【解析】 【分析】（1）由是二次函数解析式可得，再由二次函数的图像与轴有两个交点可得，即可求出的取值范围； （2）设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（），由和根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴，解得：， 综上：且． 【小问2详解】 解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（）， ∴，为（）的两个根， ∴，， ∵二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 22. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）, （2）3 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代得顶点C． （2）求出直线，用对称轴截出线段作底，以水平距离为高算出面积． 【小问1详解】 解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． 【小问2详解】 解：记对称轴与交于点M， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． 23. 综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． （1）向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） （2）该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． （3）在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 【答案】（1）不能 （2） （3）不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）先根据顶点和出手点求出抛物线解析式，再把篮筐的横坐标代入算出对应高度，对比命中高度区间，得出不能命中篮筐； （2）向前走t米相当于抛物线向右平移，写出平移后的抛物线，把篮筐中心点代入方程求解，结合向前走舍去不满足条件的，得到t的值； （3）保持抛物线形状与出手高度不变，把篮筐水平位置代入解析式算出篮球高度，将算出的高度和的范围对比，判断无法命中；设改变出手高度后的抛物线解析式，再根据命中条件求出m的取值范围，把出手点坐标代入抛物线解析式中，得到的取值范围，即可命中． 【小问1详解】 解：由题意，篮球运动轨迹为抛物线，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 代入出手点， 可得， 解得． 所以抛物线解析式为， 当时，， 因为，不满足， 答：不能命中篮筐． 【小问2详解】 解：已知向阳向前走了t米， 则抛物线向右平移t米解析式变为， 此时篮球恰好经过篮筐中心点， 代入得， 整理得，即， 解得， 当时，顶点横坐标为， 不符合“向前走”的实际情境，舍去． 答：的值为． 【小问3详解】 解：在离篮筐中心水平距离5米处起跳，即出手点横坐标为， 已知保持出手高度米， 则抛物线顶点横坐标为， 所以解析式为． 当时，， 因为，不满足命中条件， 所以不能命中篮筐． 设改变出手高度后，抛物线解析式为， 当时，， 当篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐， 则，即， 出手点坐标为，代入解析式， 所以， 答：不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 24. 如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； （3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）S存在最小值为 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； 【小问3详解】 解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $