第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：二次函数全部内容）-2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义，形如（其中为常数，且)的函数是二次函数，据此问题可求解． 【详解】解：A、，不是二次函数； B、，可能为0，所以不一定是二次函数； C、，，是二次函数； D、，含有分式，不是二次函数； 故选：C． 2．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 3．（2026·安徽淮南·一模）若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，抛物线与轴的交点问题等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定的符号进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，故， 由一次函数图像可知，，， ， ；故A错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看，，即；故B错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看， 故， ， 的值不能确定正负，故C错误； 当时，由函数图象可知， ， ， 即，解得， ，， ，即， ，故D正确． 4．（2026九年级上·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【详解】解：联立， 消去得， ∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示： … 0 6 … … 0.39 0.39 … 则方程的解是（    ） A．0或6 B．或 C．或6 D．无实数解 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，能够将二次函数图象与x轴的交点问题转化为解一元二次方程问题是解题的关键．先根据二次函数的图象和性质得出和其对称轴，再表示出抛物线经过点和，再将可变形为，求解即可． 【详解】由表得，图象过可得， ∵抛物线经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴抛物线经过点， ∴可变形为， ∴方程的解是或， 故选：B． 6．（2025·江苏南京·一模）如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可设，且，然后分别求出当，，时，路程与运动时间之间的函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据图象②，可设，且， 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上； 当时，， 此时的函数图象为直线的一段； 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下； ∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是 ． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（24-25九年级上·广东江门·期中）当__________时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 【详解】解：由题意可知：， 解得 又∵，即， 综上所述： 故答案为． 8．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）边长为的正方形，如果边长增加，则面积与之间的函数关系式是__________（写成一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数关系式的知识，解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长．根据正方形的面积边长边长即可解答． 【详解】解：新正方形的边长是， 则面积． 所以面积与之间的函数关系式为， 故答案为：． 9．（2026·山西朔州·模拟预测）已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 10．（25-26九年级上·重庆·期末）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 11．（24-25九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为__________． 【答案】0 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题．根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案． 【详解】解：有两个不相等的实数根， 有两个不相等的实数根， 令，（表示与轴平行的直线）， 与有两个交点， ， ， 是整数， ， 故答案为：0． 12．（25-26九年级上·广西河池·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的两根之和是________． 【答案】2 【分析】根据二次函数图形与轴交点与一元二次方程的根的关系解答即可． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c与轴交点为， ∴方程ax2+bx+c=0的两根分别为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的根的关系，熟知二次函数y=ax2+bx+c的图象与轴交点即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根是解本题的关键． 13．（24-25九年级上·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 14．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论： ①无论x取何值，总是正数，②；③当时，；④．其中正确的是______．      【答案】①④ 【分析】根据与的图象在轴上方即可得出的取值范围；把代入抛物线即可得出的值；由抛物线与轴的交点求出的值；根据两函数的解析式直接得出与的关系即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点坐标在轴的上方， ∴无论取何值，的值总是正数，故本结论正确； ②把代入，抛物线得，，解得，故本结论错误； ③由两函数图象可知，抛物线解析式为，当时，，故，故本结论错误； ④∵抛物线与交于点， ∴的对称轴为的对称轴为， ∴ ∴， ∴，故本结论正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征． 15．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 【答案】③④/④③ 【分析】根据表格数据确定二次函数的对称轴和解析式，再逐一判断各结论. 【详解】解：∵和时，均为， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为; 设二次函数解析式为， 将代入得：，解得, 逐一判断各结论：① ，二次函数图象开口向下，故①错误; ② 顶点横坐标为，求解析式应设为，故②错误; ③ 当时，对应的为和，因此一元二次方程的两个根为或，故③正确; ④ ∵对称轴为直线，时， ∴关于对称轴的对称点是，即时, ∵开口向下， ∴当时，，故④正确. 综上：③④正确. 16．（24-25九年级上·青海西宁·阶段检测）如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由抛物线与轴的交点为，对称轴为，得到当或时，，据此可得出答案，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点为，对称轴为， ∴当或时，， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 17．（2026·甘肃嘉峪关·二模）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 【答案】8 【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求解即可． 【详解】解：函数关系式为， ，， ∴对称轴 ， 抛物线开口向下，有最大值 当时，竖直高度达到最大值 当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值． 18．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽与桥长均为，在距离点的处，测得桥面到桥拱的距离为，以桥拱顶点为原点，桥面为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为的支柱、、，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为，下面结论正确的是______填写正确结论序号． ①图抛物线型拱桥的函数表达式． ②图右边钢缆抛物线的函数表达式． ③图左边钢缆抛物线的函数表达式． ④图在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是． 【答案】①②③④ 【分析】①利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解；②由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，然后利用待定系数法求函数解析式；③用与②相同的方法即可求出函数解析式；④彩带的长度为，利用，由函数的性质即可得出结论． 【详解】解：根据题意可知点的坐标为， 可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：， 将代入有：， 解得， ，故正确； 由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，可设其表达式为， 将代入其表达式有：， 解得， 右边钢缆所在抛物线表达式为：，故正确； 同理可知，正确； 设彩带的长度为， 则． ， 当时，最小，最小值为．故正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26九年级上·全国·课堂例题）若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ∴， 解得． 20．（2026·浙江宁波·一模）二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表，根据下表回答问题． x … －3 －2 －1 0 … y … －2 －2 0 4 … (1)该二次函数与y轴交点是 ，对称轴是 ． (2)求出该二次函数的表达式； (3)向下平移该二次函数，使其经过原点，求出平移后图像所对应的二次函数表达式． 【答案】(1)， (2)． (3) 【分析】（1）根据表格信息可知二次函数与y轴交点是（0，4），利用二次函数的对称性可知横坐标不同时对应的纵坐标相等，则该两点关于对称轴对称，根据中点坐标公式可求出对称轴． （2）利用待定系数法将点的坐标代入进解析式求出待定系数即可． （3）根据过原点的二次函数解析式的特点可知形如，直接将二次函数的图像向下平4个单位即可． 【详解】（1）解：由表格可知，该二次函数图像与y轴交点是（0，4），对称轴是直线． （2）解：把（－2，－2）、（－1，0），（0，4）代入 得 解得           ∴二次函数解析式为； （3）解：要使二次函数图像经过原点，则函数表达式形如 将函数的图像向下平4个单位即可． 则平移后图像所对应的二次函数表达式为 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，能够根据图表信息求出函数表达式，以及熟知函数的性质是解决本题的关键． 21．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，明德天心中学准备在校园里利用围墙围成矩形劳动实践基地（如图所示），学校计划用16米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃（注：围墙足够长）． (1)设矩形一边为（米），面积为（平方米），求与的函数解析式； (2)当矩形苗圃面积为60平方米时，求矩形的两边长； (3)当为何值时，所围苗圃面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)矩形的一边长为6米，另一边长为10米 (3)当时，所围苗圃的面积最大，最大面积是64平方米 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，利用二次函数的性质解答即可． （1）根据题意可知，矩形的一边长为x米，则另一边长为米，故矩形的面积，然后化简，即可得到y关于x的函数表达式； （2）令，解关于x的一元二次方程即可； （3）将（1）中的函数关系式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即关于的函数解析式为； （2）当时，则，解得：，， 所以矩形的一边长为6米，另一边长为10米； （3）由（1）知，， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为64， ∴当时，所围苗圃的面积最大，最大面积是64平方米． 22．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，点为二次函数的图象与x轴的一个交点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象沿x轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)平移后的图象与x轴的交点坐标分别为，． 【分析】本题考查求二次函数解析式，函数图象与x轴交点坐标的求法，函数图象的平移，关键是用待定系数法求函数表达式，再求与x轴的交点坐标，根据平移特点表示出平移后的坐标． （1）将点代入二次函数，求出b的值，进而表示出该二次函数的表达式； （2）令求出二次函数与x轴的交点坐标，根据平移特点写出平移后与x轴的交点坐标． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）令，则， 整理得， 解得，， 原抛物线与x轴的交点坐标分别为，， 二次函数图象沿x轴向右平移1个单位， 平移后的图象与x轴的交点坐标分别为，． 23．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24．（26-27九年级上·北京·课后作业）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙； 理由如下：由题意知，点的坐标为， ； 当时，， 石块能飞越防御墙． 【分析】（1）由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； （2）确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； 【详解】（1）解：由题意得，函数的最大值为10，即， 将点代入抛物线，得， 解得， 此抛物线的表达式； （2）略 25．（2026·江西·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 【答案】(1)①上，； ②补全表格如下： … 0 1 … … 8 5 4 5 8 … 画出函数图像如下： (2)①画图像如解图所示； ②． 【分析】（1）①根据表格中数据求解即可； ②根据表格中数据的变化求解，再利用描点法作图即可； （2）①利用待定系数法求得抛物线解析式为，再根据题意得，抛物线的“共轭抛物线”的解析式为，利用描点法作图即可； ②根据题意联立方程组，再利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①由表格得，可知抛物线开口向上，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为； ②∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上和的两个点关于对称轴对称， ∴当时，， 补全表格与画图见答案； （2）解：①由表格可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 将代入中，解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的“共轭抛物线”的解析式为， 画图见答案； ②当直线与抛物线没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式，，得， ∴，解得， 当直线与“共轭抛物线”没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式得， ∴，解得， ∴当直线与抛物线及其“共轭抛物线”没有交点时，b的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽淮南·一模）若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026九年级上·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示： … 0 6 … … 0.39 0.39 … 则方程的解是（    ） A．0或6 B．或 C．或6 D．无实数解 6．（2025·江苏南京·一模）如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（24-25九年级上·广东江门·期中）当__________时，函数是二次函数． 8．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）边长为的正方形，如果边长增加，则面积与之间的函数关系式是__________（写成一般式）． 9．（2026·山西朔州·模拟预测）已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 10．（25-26九年级上·重庆·期末）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 11．（24-25九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为__________． 12．（25-26九年级上·广西河池·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的两根之和是________． 13．（24-25九年级上·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 14．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论： ①无论x取何值，总是正数，②；③当时，；④．其中正确的是______．      15．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 16．（24-25九年级上·青海西宁·阶段检测）如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 17．（2026·甘肃嘉峪关·二模）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 18．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽与桥长均为，在距离点的处，测得桥面到桥拱的距离为，以桥拱顶点为原点，桥面为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为的支柱、、，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为，下面结论正确的是______填写正确结论序号． ①图抛物线型拱桥的函数表达式． ②图右边钢缆抛物线的函数表达式． ③图左边钢缆抛物线的函数表达式． ④图在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26九年级上·全国·课堂例题）若函数是关于x的二次函数，求m的值． 20．（2026·浙江宁波·一模）二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表，根据下表回答问题． x … －3 －2 －1 0 … y … －2 －2 0 4 … (1)该二次函数与y轴交点是 ，对称轴是 ． (2)求出该二次函数的表达式； (3)向下平移该二次函数，使其经过原点，求出平移后图像所对应的二次函数表达式．       21．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，明德天心中学准备在校园里利用围墙围成矩形劳动实践基地（如图所示），学校计划用16米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃（注：围墙足够长）． (1)设矩形一边为（米），面积为（平方米），求与的函数解析式； (2)当矩形苗圃面积为60平方米时，求矩形的两边长； (3)当为何值时，所围苗圃面积最大，最大值是多少？ 22．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，点为二次函数的图象与x轴的一个交点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象沿x轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x轴的交点坐标． 23．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 24．（26-27九年级上·北京·课后作业）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 25．（2026·江西·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $