1.2.2 提多项式公因式 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册1.2.2 提多项式公因式 专项练习（全文约1231字） ## 核心考点 理解多项式公因式的含义，能识别形如$\((a+b)\)$、$(x-y)$这类整体形式的公因式；掌握把多项式看作一个整体提取公因式的方法；重点掌握符号变形：$a-b=-(b-a)$，$\(a+b=b+a\)$；提取多项式公因式后要检查括号内式子能否继续化简；牢记分解结果必须是整式乘积形式，分解要彻底。 答题要求：将相同括号整体当作一个“字母”看待；注意互为相反数的多项式之间的符号转换；提取公因式后不要遗漏括号内的1。 ## 一、知识梳理 1. 多项式公因式：公因式不再是单独单项式，而是一个多项式，如$\((x+2)\)$、$(a-b)$，我们可以把这个多项式看成一个整体，当作公因式提取。 2. 符号变形规律（本节重中之重） $\(a+b=b+a\)$（和的形式，交换位置不变号） $a-b=-(b-a)$（差的形式，交换两项位置，整体添负号） 3. 提多项式公因式法：若多项式各项含有相同的多项式因式，把这个多项式公因式整体提到括号外面。 例：$m\((a+b)\)+n\((a+b)\)=\((a+b)\)(\(m+n\))$ 4. 易错提醒：当括号内项互为相反数时，先统一符号，再提取公因式；提取公因式后剩下的项如果是1，不能省略；分解完成后检查，不能还有加减运算。 ## 二、选择题（每题5分，共30分） 1. $x(a-b)+y(a-b)$的公因式是（） A.$x$ B.$y$ C.$a-b$ D.$\(x+y\)$ 2. 下列变形正确的是（） A.$m-n=n-m$ B.$m-n=-(n-m)$ C.$\(m+n\)=-(\(m+n\))$ D.$-m-n=n-m$ 3. 分解因式$3a(x-2)-2b(x-2)$，结果正确的是（） A.$(x-2)(3a-2b)$ B.$(x-2)(3a+2b)$ C.$(3a-2b)\((x+2)\)$ D.$(x-2)(3a)-2b$ 4. 多项式$2(x-y)^3-(y-x)^2$的公因式是（） A.$x-y$ B.$(x-y)^2$ C.$2(x-y)$ D.$(y-x)^3$ 5. 对$a(b-2)+(2-b)$因式分解，结果为（） A.$(b-2)(a+1)$ B.$(b-2)(a-1)$ C.$(2-b)(a-1)$ D.$(b+2)(a-1)$ 6. 下列因式分解正确的是（） A.$\(2(x+3)+x(x+3)=(x+3)(2+x)\)$ B.$a(x-y)-b(y-x)=(x-y)(a-b)$ C.$m(a-b)+n(b-a)=(a-b)(\(m+n\))$ D.$x\((a+b)\)-x\((a+b)\)=\((a+b)\)x$ ## 三、填空题（每题6分，共30分） 1. $m(\(x+y\))+n(\(x+y\))=$__________。 2. $a(m-2)-b(m-2)$的公因式是__________。 3. $5(x-1)-(1-x)=5(x-1)+$__________。 4. 因式分解：$3(a-b)^2-6(b-a)=$__________。 5. 若$x(\(m+n\))+y(\(m+n\))=(\(m+n\))(\(x+y\))$，这里把____看作整体公因式。 ## 四、解答题（每题10分，共40分） 1. 分解因式： （1）$\(a(x+4)+b(x+4)\)$ （2）$2m(y-3)-n(y-3)$ 2. 先变形符号，再因式分解： （1）$x(a-b)+y(b-a)$ （2）$4p(m-n)-2q(n-m)$ 3. 因式分解：$(\(x+y\))^2-2(\(x+y\))$ 4. 已知长方形周长相关代数式：$(a-2)x+(a-2)y$，将式子因式分解，若$a=5，x=3，y=7$，求式子的值。 ## 五、参考答案与解析 选择题： 1.C；2.B；3.A；4.B，$(y-x)^2=(x-y)^2$；5.B，原式$=a(b-2)-(b-2)=(b-2)(a-1)$；6.A。 填空题： 1.$(\(x+y\))(\(m+n\))$；2.$m-2$；3.$(x-1)$；4.$3(a-b)(a-b+2)$；5.$\(m+n\)$。 解答题： 1.（1）原式$=(x+4)\((a+b)\)$；（2）原式$=(y-3)(2m-n)$ 2.（1）原式$=x(a-b)-y(a-b)=(a-b)(x-y)$；（2）原式$=4p(m-n)+2q(m-n)=2(m-n)(2p+q)$ 3.原式$=(\(x+y\))(\(x+y\)-2)$ 4.原式$=(a-2)(\(x+y\))$；代入$\(a=5,x=3,y=7\)$，$(5-2)\times(3+7)=3\times10=30$。 ## 六、易错点总结 提多项式公因式，最容易出错的地方集中在符号转换。很多同学分不清$a-b$和$b-a$的关系，平方时$(a-b)^2=(b-a)^2$不用变号，但一次式$a-b=-(b-a)$，交换位置必须添负号。其次，把多项式整体提取后，容易漏掉常数1，例如$2\((a+b)\)-\((a+b)\)$，提取$\((a+b)\)$后剩下$2-1$，结果为$\((a+b)\)(2-1)=a+b$，不能写成$\((a+b)\)\cdot2$。还有部分同学分解完成后，没有检查括号内是否还能继续分解。提多项式公因式是提公因式法的第二课时，承接上一节单项式公因式，核心思想是**整体思想**，把括号当作一个整体，这种思想在后续因式分解、化简求值中会反复使用。做题时先观察有没有相同的多项式括号；如果是互为相反数的括号，优先统一符号，再提取公因式，最后检验结果，保证分解彻底。 （全文：1231字） 要不要继续写**1.3 公式法（平方差）**同样1231字专项练习？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 1.2.2提多项式公因式 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/25 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 1.会找多项式公因式；（重点） 2.能运用提公因式法分解因式.（难点） 下面为你呈现1.2.2提多项式公因式的课件和教案内容，衔接上一课时的提单项式公因式，聚焦多项式公因式的识别、提取步骤及符号处理等核心要点，助力高效教学： # 1.2.2 提多项式公因式（七年级数学课件+教案） ## 一、幻灯片分页内容 ### 第1页：标题页 - 标题：1.2.2 提多项式公因式 - 副标题：——因式分解的进阶方法 - 作者：XXX - 班级：七年级（X）班 - 日期：XXXX年XX月XX日 ### 第2页：学习目标 1. 理解多项式公因式的概念，能区分单项式公因式与多项式公因式。 2. 掌握找多项式公因式的技巧，尤其是互为相反数的多项式因式的转化方法。 3. 熟练运用提多项式公因式法分解因式，提升代数式变形能力。 ### 第3页：复习回顾 1. 回顾提单项式公因式步骤：找系数最大公约数→找相同字母最低次幂→提公因式并检验。 2. 分解因式：$6ab^2 - 9a^2b$（答案：$3ab(2b - 3a)$） 3. 思考：多项式$5x(x - 2) - 3(x - 2)$的公因式是什么？引出本节课主题。 ### 第4页：情境导入与概念讲解 1. 情境问题：观察$5x(x - 2) - 3(x - 2)$，各项中都含有的公共因式是$(x - 2)$，它不是单项式，而是多项式。 2. 核心概念：当多项式的公因式是一个多项式时，这个公因式叫做**多项式公因式**；将这种公因式提取出来分解因式的方法，就是**提多项式公因式法**。 ### 第5页：找多项式公因式的技巧 1. 直接识别：若各项均含相同多项式，直接确定为公因式。例：$(a + b)(m - n) + 2(a + b)$的公因式是$(a + b)$。 2. 符号转化：遇到互为相反数的多项式因式，通过提取负号转化。规律为：$(b - a) = -(a - b)$；$(b - a)^2=(a - b)^2$；$(b - a)^3=-(a - b)^3$（奇次幂变号，偶次幂不变）。 3. 含系数组合：若多项式公因式还搭配数字系数，需结合系数最大公约数确定。例：$3(a - b)^2 + 6(b - a)$，先转化为$3(a - b)^2 - 6(a - b)$，公因式是$3(a - b)$。 ### 第6页：例题讲解（基础型） 1. 例1：分解因式$2ac(b + 2c) - (b + 2c)$ - 步骤1：找公因式为$(b + 2c)$； - 步骤2：提取公因式，注意括号内第二项提取后为1，得$(b + 2c)(2ac - 1)$； - 步骤3：检验：$(b + 2c)\cdot2ac - (b + 2c)\cdot1 = 2ac(b + 2c) - (b + 2c)$，与原式一致。 2. 例2：分解因式$x(x + y) - (x + y)^2$ - 步骤1：公因式为$(x + y)$； - 步骤2：提取后得$(x + y)[x - (x + y)]$，化简括号内式子得$(x + y)(-y)$，即$-y(x + y)$； - 步骤3：检验展开结果与原式一致。 ### 第7页：例题讲解（进阶型） 例3：分解因式$-2(x - y)^2 - 4(y - x)^3$ 1. 步骤1：转化互为相反数的因式，$(y - x)^3 = -(x - y)^3$，原式变为$-2(x - y)^2 + 4(x - y)^3$； 2. 步骤2：找公因式为$2(x - y)^2$； 3. 步骤3：提取公因式得$2(x - y)^2[-1 + 2(x - y)]$，进一步化简为$2(x - y)^2(2x - 2y - 1)$； 4. 步骤4：展开检验，确保结果正确。 ### 第8页：易错点警示 1. 漏写“1”或“-1”：如分解$(x - 3) - x(x - 3)$，易误写为$(x - 3)(-x)$，正确结果是$(x - 3)(1 - x)$。 2. 符号处理错误：转化互为相反数因式时，漏变括号内各项符号。例如将$m(a - b) + n(b - a)$错解为$(a - b)(m + n)$，正确应为$(a - b)(m - n)$。 3. 未提取完整公因式：如$3(a - b)^2 + 6(b - a)$只提取$(a - b)$，忽略系数3，正确公因式是$3(a - b)$。 ### 第9页：课堂练习 1. 基础题：分解下列因式 - （1）$(m + n)a + (m + n)b$ - （2）$4x(x - 1) - 3(1 - x)$ 2. 提升题：分解因式$5(x - y)^3 + 10(y - x)^2$ ### 第10页：课堂小结 1. 核心：把多项式公因式看作一个整体提取，本质与提单项式公因式一致。 2. 关键技巧：互为相反数的多项式因式，奇次幂变号，偶次幂不变。 3. 步骤：转化统一因式→找公因式→提公因式→检验。 ### 第11页：布置作业 1. 基础题：分解因式（1）$7(x + 2) - x(x + 2)$；（2）$-3(a - b) + (b - a)^2$ 2. 拓展题：分解因式$2a(x^2 + 1)^2 - 2ax^2$ 3. 思考题：尝试分解$x(a - 3) + y(3 - a) + z(a - 3)$，总结提公因式法的通用思路。 ### 第12页：结束页 - 感谢观看！ - 疑问解答：XXX（教师联系方式） ## 二、配套教案 ### 课题 1.2.2 提多项式公因式 ### 教学目标 1. 知识与技能：学生能清晰认识多项式公因式，熟练掌握其提取方法，独立完成复杂多项式的因式分解。 2. 过程与方法：通过观察、转化、归纳，培养学生的整体思维和符号运算能力，体会转化思想在因式分解中的应用。 3. 情感态度与价值观：让学生感受数学知识的连贯性，通过解题成功体验，增强学习数学的自信心。 ### 教学重难点 1. 重点：提多项式公因式的方法，互为相反数的多项式因式的转化。 2. 难点：转化过程中的符号处理，避免漏提系数和漏写“1”或“-1”的问题。 ### 教学准备 多媒体课件、课堂练习单。 ### 教学过程 1. **复习导入（5分钟）** 1. 提问学生提单项式公因式的关键步骤，邀请1 - 2名学生回答。 2. 板书复习题$6ab^2 - 9a^2b$，让学生板演分解过程，教师点评。 3. 出示多项式$5x(x - 2) - 3(x - 2)$，引导学生发现公因式是多项式，引出课题。 2. **探究新知（20分钟）** 1. 讲解多项式公因式的概念，结合导入题，让学生初步感知多项式公因式的形式。 2. 聚焦找多项式公因式的技巧，先讲直接识别的简单情况，再重点突破互为相反数因式的转化。通过举例$b - a$与$a - b$的关系，让学生分组讨论不同次数下的符号变化规律。 3. 分层次讲解例题，先讲基础型例1和例2，边讲边板书步骤，强调检验环节；再讲进阶型例3，着重演示符号转化和完整公因式的提取过程，每一步都引导学生思考。 3. **巩固练习（12分钟）** 1. 基础题让学生独立完成，教师巡视，对学困生进行个别指导；提升题鼓励学生小组讨论完成。 2. 挑选典型答题结果展示，纠正易错点，强化学生对知识的理解。 4. **课堂小结（2分钟）** 1. 让学生自主总结本节课的重点内容，分享自己认为最难掌握的部分。 2. 教师补充梳理，再次强调符号转化技巧和易错点，帮助学生构建知识框架。 5. **布置作业（1分钟）** 布置分层作业，确保基础薄弱的学生巩固核心知识，学有余力的学生得到拓展提升。 ### 板书设计 ``` 1.2.2 提多项式公因式 一、概念 多项式公因式：公因式为多项式的形式 二、关键技巧 互为相反数因式转化： (b - a) = -(a - b) (b - a)²=(a - b)² (b - a)³=-(a - b)³ 三、例题 1. 2ac(b + 2c)-(b + 2c) = (b + 2c)(2ac - 1) 2. -2(x - y)² - 4(y - x)³ = -2(x - y)² + 4(x - y)³ = 2(x - y)²(2x - 2y - 1) 四、易错点 1. 漏写1或-1 2. 符号转化错误 3. 未提取完整公因式 ``` 学习目标 02 新知导入 把下列多项式因式分解：(1) 你能快速找出它的公因式并把它提出来吗？ 解： (2) 解： 公因式可以是单项式的形式，也可以是多项式的形式。 03 新知探究 解：(1) = (2) = = = 做一做 把下列多项式因式分解： （1）； （2）. 与不一样怎么办？ 4 03 新知探究 视多为一：将多项式或相反多项式看成一个整体，作为公因式进行提取 03 新知探究 把多项式因式分解。 例5 解： = = = 与有什么关系？ 03 新知探究 常用的恒等变形 7 03 新知探究 把多项式因式分解。 例6 分析： =2×， ，所以公因式的系数为. 解： = = () 1. ［2025郴州期末］将 因式分 解，应提取的公因式是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2. 把 因式分解，正 确的结果是( ) B A. B. C. D. 3. 已知为有理数，则整式 的值( ) A A. 不为负数 B. 恒为负数 C. 恒为正数 D. 不等于0 返回 举一反三 10 4.母题教材P7例5 因式分解： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 返回 举一反三 11 03 新知探究 合作交流：将多项式因式分解，对比其他同学的答案，你们的结果一样吗？ 解： = = 化分为整：先提出一个分数因式，将各系数化为正整数 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.把多项式提取公因式后得，括号中内容是（    ） A． B． C． D． 2.把多项式分解因式，结果是（    ） A． B． C． D． D D 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.把分解因式，正确的是（    ） A． B． C． D． B 新知应用 基础巩固题 1.你能说出下列多项式各项的公因式吗? (1)m(y-x)+n(y-x)　　 　;  (2)-2(m+n)-6(m+n)　　 　;  (3)6(a-b)3-12(b-a)2　　 　.  y-x -2(m+n) 6(a-b)2 公因式的确定： 1.定系数：找多项式各项系数的最大公因数． 2.定因式：找多项式各项相同的因式． 3.定指数：相同因式的最低的次数. 方法技巧 (4)5a2b(m-n)2+10a3b2(n-m)3　 　 　.  5a2b(m-n)2 新知应用 基础巩固题 D （a-b）2 它们互为相反数. 它们互为相反数. ax2+by2作为一个整体是这个多项式的因式 新知应用 基础巩固题 3. 把多项式 (x + 2)(x - 2) + (x - 2) 提取公因式 (x - 2) 后，余下的部分是（　　） A．x + 1 B．2x C．x + 2 D．x + 3 D 【注意】：整项提出莫漏 1 4. 若 9a2( x - y )2 - 3a( y - x )3 ＝ M·( 3a ＋ x - y )，则 M 等于___________. 3a( x - y )2 公因式的确定 1.定系数 2.定因式 3.定指数 新知应用 基础巩固题 5. 把下列多项式因式分解： （1） (2) (3) (4) (5) (6) 提公因式法的步骤： ① 找出公因式 ② 提取公因式 解： （1） = (2) = = = 新知应用 基础巩固题 (3) = = = (4) = = (5) = = (6) = = 5.已知， ，求 的值. 【解】原式 ， 当，时，原式 . 返回 举一反三 20 6. 三角形的三边长分别为,,，且 ， 则三角形 是( ) B A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 返回 举一反三 21 7. 设 , , ,则,, 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 举一反三 22 05 课堂小结 1.一次提净：把各项中相同的因式一次性提出来，分解必须要彻底(分解到不能再分解为止) 2.切勿漏1：提取公因式后，剩余因式若为“1”需保留 3.注意符号：提取负公因式后，需改变各项符号 4.视多为一：将多项式或相反多项式看成一个整体，作为公因式进行提取 5.化分为整：先提出一个分数因式，将各系数化为正整数 注意事项 谢谢观看 THANKS $