基本不等式常考解题方法归类讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

基本不等式常考题型归纳 知识梳理： 1. 知识点一 基本不等式 1．重要不等式 （1）公式：一般地，对于任意实数，，有，当且仅当时，等号成立． （2）证明，当时，，当时，． 所以，即． 拓展：不等式可以变形为，等． 2．基本不等式 （1）公式：如果，，那么（当且仅当时，等号成立）． （2）证明：因为，所以，即．显然，当且仅当时，． 我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．因而，这一定理又可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （3）几何法：如图，以长度为的线段为直径作圆，在直径上取一点，使，，过点作垂直于直径的弦，连接，， 易证，则，即． 这个圆的半径为，显然它大于或等于，即，当且仅当与圆心重合，即时，等号成立． 3.使用条件 在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三相等. ①一正：各项均为正数，遇到负数时，先提负号，把变量变成正的，然后再用基本不等式. 例：已知，求的最大值. 解：，因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，所以当时，的最大值为 ②二定：含变量的各项的和或积必须有一个为定值，如果不是定值，则需要通过配凑等方法凑出来定值. 例：已知，求的最小值. 解：如果直接用基本不等式，发现的乘积不是定值，无法使用基本不等式，所以这个时候需要配凑，即，当且仅当时等号成立，所以当时，的最小值为4. ③三相等：此条件常考判断题，需注意等号成立的条件是否能取到. 例：判断对错：的最小值为2. 解：，如果直接使用基本不等式，满足一正二定的条件，最小值似乎确实是2，但需注意，等号成立的时候，应该有，该方程在实数范围内无解，故等号成立的条件无法取到，所以错误. 4.常考值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 常考题型归纳： 题型一、直接使用基本不等式 若实数且满足，则的最大值为________． 【答案】/0.25 【详解】 由基本不等式得，当且仅当时取等号，所以的最大值为. 已知，，且，则的最小值为________． 【答案】4 【详解】因为，， 所以，又因为， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值， 故答案为：4 若，则的最小值为_____. 【答案】. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ，， 所以， 当且仅当 ，即 时，等号成立. 因此 所以 的最小值为 . 故答案为：. 已知，则的最大值为______. 【答案】 【详解】， 当且仅当时，等号成立． 即的最大值为， 故答案为： 题型二、判断不等式是否能成立 下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 【答案】D 【详解】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由基本不等式可得出此式确实是大于等于2的，但是等号成立时，需满足，该方程在实数范围内无解，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确，故选：D 下列说法错误的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是2 D．的最大值是 【答案】C 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，A正确； 当时，，当且仅当，即时取等号，D正确； ，而，则，当且仅当时取等号，B正确； ，因，有，， 则有，当等号成立时，在实数范围内无解，C不正确. 故选：C （多选题）下列代数式，最小值为2的有（    ） A．当时， B．当时， C． D． 【答案】BC 【详解】选项A：当时，满足，但此时，故最小值不为2，故A错误； 选项B：因为，所以同号，则， 所以，当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为2，故B正确； 选项C：， 所以当时，的最小值为2，故C正确； 选项D：因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 但此时显然不成立，所以的最小值不为2，故D错误； 故选：BC 题型三、常规配凑法求最值 已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．无最小值 【答案】B 【详解】因为， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 则代数式 的最小值为4. 函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】由得，， ， 当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立； 的最大值为， 故选:A. 题型四、分离常数型 方法讲解：当分式的分子、分母中含有相同的字母时，可以先分离常数，把原式拆成“整式＋分式”的形式，再对分式部分配凑，用基本不等式求最值. 例：已知，求的最小值. 解：，当且仅当时等号成立. 当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为，则， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 已知，，则的最小值为________． 【答案】/ 【详解】由，，得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 题型五、“1”的妙用 i. 乘“1”法 原理：所求式子乘上一个等于1的式子，值不变. 例：已知，，求最小值. 解： 取等条件：，结合，. 常见变形：等. 已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【详解】， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为9. 已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【答案】C 【详解】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . . 由基本不等式，得：. 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 【答案】B 【详解】由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9. 若正实数，满足，则的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】B 【详解】因为正实数，满足， 可得， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：D. ii. “1”的代换 例：已知，且，求的最小值. 解：如果直接用乘“1”法，发现无法做出，此时可以选择把数字“1”换成字母，即，当且仅当时等号成立. 已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】∵ 正实数满足,∴ . ∴ . ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为. 已知，，且，则的最小值为（ ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D 题型六、二次比一次型 例：已知的最小值. 解：此类题可以选择配凑法或者换元法，此处直接用换元法.令，则，原式，当且仅当时等号成立，即原式的最小值为11. 已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 已知，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：A 当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 题型七、因式分解法 含有 这类结构的式子，可考虑因式分解配凑成 的形式（因 ，配凑后会多出常数 1，需一并处理），再结合整体思想来求最值． 例：已知 且，则 的最小值是. 解：将变形得到，令，则，，当且仅当时等号成立. 已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由，令，得到，所以.当且仅当等号成立. 已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． （多选题）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 【答案】BC 【详解】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则，当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时，即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时，即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 题型八、换元法 该题型是对前面题型的变形，对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑，整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值；换元法是对分母不是单个字母的式子进行换元，必要时可能要解方程组，便可以将题目转化为前面讲过的题型. 单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元 双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元 例：已知，求的最小值. 解：令， 所以，当且仅当时等号成立. 已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】因为，所以， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A 已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 【答案】 【详解】设，则， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即， 所以当时，的最小值． 已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 已知实数，，且，则的最小值是___________. 【答案】 【详解】因为实数，，且，则， 所以， . 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 题型九、条件等式求值 设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 【答案】C 【详解】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. （多选题）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】AC 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. （多选题）设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】对于A，因为， 所以根据基本不等式的性质得，所以. 当且仅当时等号成立，此时的最大值为2，A正确； 对于B，因为，所以， 所以. 因为，所以，所以当时，取最小值为，B正确； 对于C，， 由A可知的最大值为2，所以的最大值为，C正确； 对于D，. 当且仅当即，结合可得时等号成立， 此时的最小值为，D错误； 故选：ABC. （多选题）已知实数满足，则（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为1 D．有最大值为2 【答案】ABD 【分析】因为结合题目化简得到， 所以有最大值为，故A正确；设，所以，由，所以，即，所以，故B正确；因为且，所以，故C 错误；因为且，所以，所以，故D正确. 【详解】对于A，因为且，所以，即，当且仅当或 时取等号，有最大值为，故A正确； 对于B，设，则， 所以，由，所以， 所以，即，所以， 当且仅当时，有最小值为故B正确； 对于C，因为且，所以， 当且仅当或时取等号，有最小值为，故C 错误； 对于D，因为且，所以，所以， 当且仅当或时，有最大值为2，故D正确； 故选：ABD. （多选题）已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】借助基本不等式逐项判断即可得. 【详解】对A：由，得，所以， 当且仅当时取等号，故A正确； 对B：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故B错误； 对C：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对D：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故D错误. 故选：AC. 题型十、实际应用问题 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 【答案】①③ 【详解】由题意可知，， 由∽可知，即， 所以； 在中，，即， 当时，O，C点重合，，此时，所以①正确； 在中，由∽可得，即， 所以， 由于，所以， 当时，，此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明． 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．    (1)证明：． (2)若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为. ①试用表示面积； ②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：设折叠后点变成， 在与中，因为，，所以． 因为，，所以， 又，所以，所以． (2)①； ②存在，且最大值为. 【详解】（1）设折叠后点变成， 在与中，因为，，所以． 因为，，所以， 又，所以，所以．    （2）①由题意可知矩形的周长为． 设，，则，，． 因为为直角三角形，所以，即， 解得， 从而， 所以， 由得可得， 因此，； ②因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，满足， 故当时，的面积取得最大值，最大值为. 中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） 【答案】(1)，（，且），从第3年开始盈利 (2)方案①比较合理，理由如下：       当且仅当，即时等号成立，    故第7年，年平均盈利额达到最大值，      工厂共获利万元； 由， 当时，，                故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 因为两个方案中盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短， 故方案①比较合理. 【详解】（1）由题意可得，当，，代入得，解得， 所以 所以，（，且） 令，解得， 因为，所以， 故从第3年开始盈利. （2）方案①比较合理，理由略. 题型十一、消元法 消元法:当所求最值的代数式中的变量比较多时，或者是用前面讲过的方法无法做出时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 例：若，求的最小值. 解：由，所以原式可化为，当且仅当时，等号成立. 已知，，且，则的最小值为____________. 【答案】 【详解】由题可得， 所以， 令，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为13. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【详解】由题意，为正实数，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，由于，，则，可得， 所以，故， 当且仅当时，即当时，此时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 题型十二、判别式法（万能法） 求啥设啥：把要求最值的式子设为，整理成关于某个变量的一元二次方程；该方程在变量允许的范围内有解，故令判别式大于等于 0 求出的范围，最后验证等号能够取到. 例：已知实数满足，求的最小值. 解：令，则，所以原式可化为.该方程有解，则，解得，即得最小值为. 已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 因为， 所以，即：， 所以， 解得：， 又因为，为正实数， 所以， 所以的最大值为. 故选：C. （多选题）设，若，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【分析】根据题意，由判别式法即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】令，则代入可得， ，关于的方程有解， 则，解得， 所以，则BC选项符合题意. 故选：BC （多选题）已知，，，则（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用，可得的最大值，利用，可得的最小值，令，则，利用一元二次方程有解可得的最小值. 【详解】对于A选项：由均值不等式得， 则， 令，， 解得，即，， 当且仅当，时，等号成立，故A正确； 对于B选项：由均值不等式得， 又， ∴， 解得，（舍）， 当且仅当，时，等号成立，故B正确； 对于C，D选项：令，，则， 则可化为， 整理， ∵此方程一定有解， ∴，即， 解得，（舍），故C错误，D正确. 课后作业 下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． （多选题）下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 【答案】BC 【详解】若，则， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故A错误； ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为6，故B正确； 若，，且，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 若，，且，则， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为.故D错误. 故选：BC （多选题）若，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】由题意可得，， 则，则，等号成立时，，故A正确； ，等号成立时，， 故B正确； ， 等号成立时，故C错误； 令，则可变为， 则， 因为， 等号成立时，， 所以，故D正确. 故选：ABD （多选题）已知正实数a、b满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】解：选项，由正实数a、b满足，则， 所以，当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，选项正确； 选项，由，则，所以， 则当时，取最小值为，选项正确； 选项，由， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选项错误； 选项，因为，由可知， 所以，当且仅当时取等号， 此时取最大值2，所以的最大值为，选项正确. 已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 若，，则当______时，取得最大值，该最大值为______. 【答案】 / / 【分析】令，则，代入整理得到，利用求出最值及此时的值. 【详解】令，则， 则， 即， 由，解得：， 故， 故，解得：，， 所以当且仅当，时，等号成立， 故答案为：， 回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】(1)12 (2) 【详解】（1）因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. （2）令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式常考题型归纳 知识梳理： 知识点一 基本不等式 1．重要不等式 （1）公式：一般地，对于任意实数，，有，当且仅当时，等号成立． （2）证明，当时，，当时，． 所以，即． 拓展：不等式可以变形为，等． 2．基本不等式 （1）公式：如果，，那么（当且仅当时，等号成立）． （2）证明：因为，所以，即．显然，当且仅当时，． 我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．因而，这一定理又可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （3）几何法：如图，以长度为的线段为直径作圆，在直径上取一点，使，，过点作垂直于直径的弦，连接，， 易证，则，即． 这个圆的半径为，显然它大于或等于，即，当且仅当与圆心重合，即时，等号成立． 3.使用条件 在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三相等. ①一正：各项均为正数，遇到负数时，先提负号，把变量变成正的，然后再用基本不等式. 例：已知，求的最大值. 解：，因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，所以当时，的最大值为 ②二定：含变量的各项的和或积必须有一个为定值，如果不是定值，则需要通过配凑等方法凑出来定值. 例：已知，求的最小值. 解：如果直接用基本不等式，发现的乘积不是定值，无法使用基本不等式，所以这个时候需要配凑，即，当且仅当时等号成立，所以当时，的最小值为4. ③三相等：此条件常考判断题，需注意等号成立的条件是否能取到. 例：判断对错：的最小值为2. 解：，如果直接使用基本不等式，满足一正二定的条件，最小值似乎确实是2，但需注意，等号成立的时候，应该有，该方程在实数范围内无解，故等号成立的条件无法取到，所以错误. 4.常考值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 常考题型归纳： 题型一、直接使用基本不等式 若实数且满足，则的最大值为________． 已知，，且，则的最小值为________． 若，则的最小值为_____. 已知，则的最大值为______. 题型二、判断不等式是否能成立 下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 下列说法错误的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是2 D．的最大值是 （多选题）下列代数式，最小值为2的有（    ） A．当时， B．当时， C． D． 题型三、常规配凑法求最值 已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．无最小值 函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 题型四、分离常数型 方法讲解：当分式的分子、分母中含有相同的字母时，可以先分离常数，把原式拆成“整式＋分式”的形式，再对分式部分配凑，用基本不等式求最值. 例：已知，求的最小值. 解：，当且仅当时等号成立. 当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 已知，，则的最小值为________． 题型五、“1”的妙用 i. 乘“1”法 原理：所求式子乘上一个等于1的式子，值不变. 例：已知，，求最小值. 解： 取等条件：，结合，. 常见变形： 等. 已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 若正实数，满足，则的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．13 已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． ii. “1”的代换 例：已知，且，求的最小值. 解：如果直接用乘“1”法，发现无法做出，此时可以选择把数字“1”换成字母，即，当且仅当时等号成立. 已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 已知正实数，满足，则的最小值为__________. 已知，，且，则的最小值为（ ） A．6 B． C． D． 题型六、二次比一次型 例：已知的最小值. 解：此类题可以选择配凑法或者换元法，此处直接用换元法.令，则，原式，当且仅当时等号成立，即原式的最小值为11. 已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 已知，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 题型七、因式分解法 含有 这类结构的式子，可考虑因式分解配凑成 的形式（因 ，配凑后会多出常数 1，需一并处理），再结合整体思想来求最值． 例：已知 且，则 的最小值是. 解：将变形得到，令，则，，当且仅当时等号成立. 已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 已知，，则的最小值为____________________． （多选题）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 题型八、换元法 该题型是对前面题型的变形，对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑，整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值；换元法是对分母不是单个字母的式子进行换元，必要时可能要解方程组，便可以将题目转化为前面讲过的题型. 单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元 双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元 例：已知，求的最小值. 解：令， 所以，当且仅当时等号成立. 已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 已知实数，，且，则的最小值是___________. 题型九、条件等式求值 设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 （多选题）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 （多选题）设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 （多选题）已知实数满足，则（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为1 D．有最大值为2 （多选题）已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 题型十、实际应用问题 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）   A． B． C． D． 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．  (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点． (1)证明：． (2)若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为. ①试用表示面积； ②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. (1)写出y与x之间的关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） 题型十一、消元法 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，或者是用前面讲过的方法无法做出时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 例：若，求的最小值. 解：由，所以原式可化为，当且仅当时，等号成立. 已知，，且，则的最小值为____________. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十二、判别式法（万能法） 求啥设啥：把要求最值的式子设为，整理成关于某个变量的一元二次方程；该方程在变量允许的范围内有解，故令判别式大于等于 0 求出的范围，最后验证等号能够取到. 例：已知实数满足，求的最小值. 解：令，则，所以原式可化为.该方程有解，则，解得，即得最小值为. 已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． （多选题）设，若，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 （多选题）已知，，，则（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为 课后作业 下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 （多选题）下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 （多选题）若，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 （多选题）已知正实数a、b满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最大值为 已知正实数，满足，则的最小值为________． 已知，则的最小值为_______. 若，，则当______时，取得最大值，该最大值为______. 回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $