第二章 解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义系统覆盖二次不等式三大核心考点，从解不含参二次不等式的标准预处理、图像法及解集规律，到解含参二次不等式的三级分类讨论（二次项系数、判别式、两根大小），再到由解集求参数的韦达定理应用与恒成立条件，构建逐步深化的学习支架。 资料以数学思维中的推理能力为核心，通过分类讨论培养逻辑严谨性，结合图像法发展几何直观的数学眼光，例题与变式训练选自多地阶段检测真题，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过实例巩固解题规范，提升用数学语言表达解集关系的能力。

解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题讲义 解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题讲义 考点目录 解不含参的二次不等式 解含参的二次不等式 由二次不等式的解求参数问题 考点一 解不含参的二次不等式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 标准预处理 先将不等式整理为 （或 、、）的形式，优先将二次项系数 化为正数：两边同乘 ，不等号方向同步反转。 1. 求解原理（图像法） 结合二次函数 的图像： · 图像在 轴上方 ；图像在 轴下方 ； · 图像与 轴的交点 对应二次方程 的实根。 1. 三类解集规律（ 为前提） 判别式情况 的解集 的解集 （两不等实根 ） 大于取两边 小于取中间 （两相等实根 ） （空集） （无实根） （全体实数，恒成立） （恒不成立） 注：带等号（、）的不等式，解集对应包含实根端点。 二、解题思路 1. 化标准：移项、合并同类项，将二次项系数化为正数，不等号同步变向； 1. 求方程根：计算判别式 ，求解对应二次方程的实根； 1. 定解集：根据“大于取两边，小于取中间”的口诀，结合不等号写出解集； 1. 验边界：带等号的不等式验证端点是否可取。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·云南迪庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】整理可得，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 例2．（25-26高一上·河南周口·期末）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为或 例3．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】不等式可化为， 则解集为， 故选：A. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·上海浦东·阶段检测）不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】直接根据三个二次的关系解一元二次不等式可得. 【详解】不等式对应的方程的根为或. 不等式对应的二次函数的图象如下：    由函数图象可知不等式的解为， 所以不等式的解集为. 故选：A 变式2．（25-26高一上·山东济南·期中）一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】恒成立. 【详解】恒成立， 不等式的解集为. 故选：B. 变式3．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】分、两种情况分别求解一元二次不等式即可. 【详解】当时，不等式可化为，即， 得； 当时，不等式可化为，即， 得； 则不等式的解集是. 故选：A 考点二 解含参的二次不等式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心思想：分类讨论 参数会从三个层面影响不等式的解集，按优先级逐级讨论： · 第一级：二次项系数：决定是否为二次不等式、开口方向； · 第二级：判别式 ：决定实根的个数，即解集的基本形式； · 第三级：两根的大小：当 时，决定区间端点的左右顺序。 1. 三级分类标准 6. 二次项系数： · 系数 ：退化为一次不等式，按一次不等式规则求解； · 系数 ：开口向上，直接套用“大于取两边，小于取中间”； · 系数 ：开口向下，可先两边同乘 化正，不等号反转后求解。 6. 判别式 ： · ：有两个不等实根，进入下一级比较两根大小； · ：有重根，解集为单点开区间或空集； · ：无实根，结合开口直接得解集为 或 。 6. 两根大小： 通过作差法比较两根 的大小，确定区间的左右端点。 二、解题思路 1. 定层级：先判断二次项系数是否含参、是否可能为 0； 1. 逐级分类：按“二次项系数→判别式→两根大小”的顺序展开讨论，不重不漏； 1. 分级求解：每一类情况对应求解不等式，写出对应解集； 1. 综上总结：整合所有参数范围与对应解集，给出完整结论。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知关于x的不等式. (1)若时，不等式成立，求实数a的取值范围； (2)若a为实数，解关于x的不等式. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据题意得到，再解不等式即可. （2）首先根据题意得到，再分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）因为时，不等式成立， 所以. 所以实数的取值范围为. （2）， 当时，，解得. 当时，，解得或. 当时，不等式可化为. 当即时，解得. 当即时，解得. 当即时，解集为. 综上可知：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为. 例2．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）解下列含参数a的不等式： (1)． (2)． 【答案】(1) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． (2) 当时，不等式解集为R； 当时，则不等式解集为； 当时，则不等式解集为； 当时，则不等式解集为； 当时，此时不等式解集为． 【分析】（1）根据的符号及根的大小关系分类讨论求解； （2）由的符号及根的情况分类讨论可得不等式解. 【详解】（1）当时，不等式的解集为． 当时，不等式化为（*）. 当时，，，上述不等式的解集为； 当时，上述（*）不等式化为，因此不等式的解集为； 当时，，，上述（*）不等式的解集为； 当时，，， 上述（*）不等式化为，解得， 因此不等式的解集为． 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）①当时，不等式为，解得，则此时解集为， ②当时，令，， （ⅰ）若，即时，此时不等式解集为， （ⅱ）若，即时，， 解得， 则此时不等式解集为． ③当时，（ⅰ）若，即时，此时不等式解集为R． （ⅱ）若，即时，此时不等式为， 解集为． （ⅲ）若，即时， 则不等式解集为． 综上所述，当时，不等式解集为R； 当时，则不等式解集为； 当时，则不等式解集为； 当时，则不等式解集为； 当时，此时不等式解集为． 例3．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数 (1)若不等式的解集为R，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式： 【答案】(1) (2) 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为R； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式的解集为 【分析】将不等式整理得，分和两种情况讨论不等式恒成立即可求得的范围； 根据与0的大小，与0的大小进行分类讨论，可得不等式的解集． 【详解】（1）已知，则不等式， 即，整理得， 当时，不等式化为，解得，其解集不为R，不符合题意； 当时，要使不等式的解集为R， 则二次函数的图象开口向上，且与x轴无交点， 即， 先解， 展开得，即， 因式分解得，解得， 结合，可得， 因此，实数a的取值范围是； （2）由，可知： 当时，原式化为，解得； 当时，， 当，即时，， 对应的二次函数开口向上，且最多与x轴有一个交点， 故恒成立，此时不等式解集为R； 当，即时，有， 若，则，即二次函数开口向上， 此时不等式解集为或； 若，则，即二次函数开口向下， 此时不等式的解集为； 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为R； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式的解集为 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知函数. (1)命题“存在实数，使”是假命题，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据二次函数的性质进行求解即可. （2）先将式子进行化简，分三种情况进行讨论，求出不等式的解集即可. 【详解】（1）因为“存在实数，使”是假命题， 所以“任意实数，使”是真命题， 即恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得， 得，综上可得，的取值范围是. （2）由题，即， 当时，，所以不等式的解集为 当时，，或 ①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为； 当，则，不等式的解集为 综上可得：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 变式2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知二次函数． (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) ①当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； ④当时，不等式解集为； ⑤当时，不等式解集为. 【分析】（1）条件可转化为，然后利用基本不等式求出的最小值，即可求得实数的取值范围， （2）不等式等价于，即，然后分，，，和五种情况讨论求解即可 【详解】（1）不等式即为：， 当时，可变形为：，. 即， 又，当且仅当，即时，等号成立， ∴，即. 实数的取值范围是. （2）， 等价于，即， ①当时，不等式整理为，解得：； 当时，方程的两根为：，. ②当时，可得，解不等式得：或； ③当时 （i）当时，因为，解不等式得：； （ii）当时，因为，不等式的解集为； （iii）当时，因为，解不等式得：； 综上所述，不等式的解集为： ①当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； ④当时，不等式解集为； ⑤当时，不等式解集为. 变式3．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）已知关于x的不等式，． (1)解这个关于x的不等式； (2)，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) ①若，可得，解集为, ②若，则，可得解集为, ③若，则，可得解集为； (2) 【分析】（1）对a分类讨论，解不等式； （2）分离a，将条件转化为在上恒成立，构造，，求的最大值即可. 【详解】（1）当时，原不等式即为，解得，解集为； 当时，原不等式化为，解集为或； 当时，原不等式化为， ①若，可得，解集为； ②若，则，可得解集为； ③若，则，可得解集为； （2）对，恒成立， 等价为在上恒成立， 由于恒成立， 可得在上恒成立， 设，， 可得，， 在时取得最小值2，可得的最大值为1，则． 即a的取值范围是． 考点三 由二次不等式的解求参数问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心对应关系 二次不等式的解集边界 = 对应二次方程的实根；解集的区间形式决定二次项系数的符号： · 解集为中间型（如 ）：对应“小于取中间”，二次项系数 ； · 解集为两边型（如 ）：对应“大于取两边”，二次项系数 。 1. 核心工具：韦达定理 若 是方程 的两根，则： 1. 特殊解集的条件 · 解集为 （恒成立）： 且 ；若 ，需单独验证一次式是否恒成立； · 解集为 （恒不成立）： 且 ；若 ，需单独验证一次式是否恒不成立。 二、解题思路 常规解集型（已知具体区间） 1. 判开口：根据解集是中间型还是两边型，判断二次项系数 的符号； 1. 定方程根：解集的端点值就是对应二次方程的两个实根； 1. 列方程：代入韦达定理，列出关于参数的方程（组）； 1. 求解验证：解出参数，代入验证二次项系数符号、判别式是否符合。 恒成立/空集型 1. 分情况：按二次项系数为 0、不为 0 分类； 1. 列条件：二次项系数不为 0 时，结合开口方向与判别式列不等式组； 1. 求范围：解不等式组，合并所有符合条件的参数范围。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·重庆·期中·多选）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由三个二次之间的关系以及韦达定理，得到间的关系，代入求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以得两个根为，且， 所以A正确； 由韦达定理，解得 因为，所以B错误； 由不等式，得，因为，所以解集为，所以C错误； 由不等式,得，因为，所以，解集为，所以D正确. 故选：AD 例2．（25-26高一上·陕西西安·期中·多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意得一元二次方程的两根为－1和2，由韦达定理对选项逐一分析即可. 【详解】依题意，，且一元二次方程的两根为－1和2. 由韦达定理得，则，，. 故选：ABC. 例3．（25-26高一上·陕西延安·期中·多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据已知是方程的两个根，且，结合根与系数关系及各项的描述判断正误即可. 【详解】由题设，是方程的两个根，且，A错， 所以，故，C对， 由，即解集为，B对， 由，即，可得，故解集为，D对. 故选：BCD 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次不等式的解法逐一判断即可. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以有，显然选项A和B正确； ，所以选项C不正确； ，所以选项D正确， 故选：ABD 变式2．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】利用一元二次不等式的解集用表示，再逐项判断即可. 【详解】由关于的一元二次不等式的解集为或， 得是方程的根，且，则，即，对于A，，A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，不等式，化为，解得，故C正确； 对于D，不等式，化为， 因为，所以，所以， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 变式3．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测·多选）若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．当时，关于的不等式有解，则 【答案】BC 【分析】由分式不等式结合一元二次不等式解集特征可得，，可判断AB，由解一元一次不等式可判断C；由将原不等式转化为，当时有解，运算判断D. 【详解】不等式，又不等式的解集为， 所以，，，得，故A错误，B正确； 对于C，由，则，可化为，故，C正确； 对于D，由，不等式可变为，当时有解， ，解得，故D错误. 故选：BC. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题讲义 解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题讲义 考点目录 解不含参的二次不等式 解含参的二次不等式 由二次不等式的解求参数问题 考点一 解不含参的二次不等式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 标准预处理 先将不等式整理为 （或 、、）的形式，优先将二次项系数 化为正数：两边同乘 ，不等号方向同步反转。 1. 求解原理（图像法） 结合二次函数 的图像： · 图像在 轴上方 ；图像在 轴下方 ； · 图像与 轴的交点 对应二次方程 的实根。 1. 三类解集规律（ 为前提） 判别式情况 的解集 的解集 （两不等实根 ） 大于取两边 小于取中间 （两相等实根 ） （空集） （无实根） （全体实数，恒成立） （恒不成立） 注：带等号（、）的不等式，解集对应包含实根端点。 二、解题思路 1. 化标准：移项、合并同类项，将二次项系数化为正数，不等号同步变向； 1. 求方程根：计算判别式 ，求解对应二次方程的实根； 1. 定解集：根据“大于取两边，小于取中间”的口诀，结合不等号写出解集； 1. 验边界：带等号的不等式验证端点是否可取。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·云南迪庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 例2．（25-26高一上·河南周口·期末）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 例3．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·上海浦东·阶段检测）不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 变式2．（25-26高一上·山东济南·期中）一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 考点二 解含参的二次不等式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心思想：分类讨论 参数会从三个层面影响不等式的解集，按优先级逐级讨论： · 第一级：二次项系数：决定是否为二次不等式、开口方向； · 第二级：判别式 ：决定实根的个数，即解集的基本形式； · 第三级：两根的大小：当 时，决定区间端点的左右顺序。 1. 三级分类标准 6. 二次项系数： · 系数 ：退化为一次不等式，按一次不等式规则求解； · 系数 ：开口向上，直接套用“大于取两边，小于取中间”； · 系数 ：开口向下，可先两边同乘 化正，不等号反转后求解。 6. 判别式 ： · ：有两个不等实根，进入下一级比较两根大小； · ：有重根，解集为单点开区间或空集； · ：无实根，结合开口直接得解集为 或 。 6. 两根大小： 通过作差法比较两根 的大小，确定区间的左右端点。 二、解题思路 1. 定层级：先判断二次项系数是否含参、是否可能为 0； 1. 逐级分类：按“二次项系数→判别式→两根大小”的顺序展开讨论，不重不漏； 1. 分级求解：每一类情况对应求解不等式，写出对应解集； 1. 综上总结：整合所有参数范围与对应解集，给出完整结论。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知关于x的不等式. (1)若时，不等式成立，求实数a的取值范围； (2)若a为实数，解关于x的不等式. 例2．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）解下列含参数a的不等式： (1)． (2)． 例3．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数 (1)若不等式的解集为R，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式： 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知函数. (1)命题“存在实数，使”是假命题，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集. 变式2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知二次函数． (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． (2)解关于x的不等式． 变式3．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）已知关于x的不等式，． (1)解这个关于x的不等式； (2)，恒成立，求a的取值范围． 考点三 由二次不等式的解求参数问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心对应关系 二次不等式的解集边界 = 对应二次方程的实根；解集的区间形式决定二次项系数的符号： · 解集为中间型（如 ）：对应“小于取中间”，二次项系数 ； · 解集为两边型（如 ）：对应“大于取两边”，二次项系数 。 1. 核心工具：韦达定理 若 是方程 的两根，则： 1. 特殊解集的条件 · 解集为 （恒成立）： 且 ；若 ，需单独验证一次式是否恒成立； · 解集为 （恒不成立）： 且 ；若 ，需单独验证一次式是否恒不成立。 二、解题思路 常规解集型（已知具体区间） 1. 判开口：根据解集是中间型还是两边型，判断二次项系数 的符号； 1. 定方程根：解集的端点值就是对应二次方程的两个实根； 1. 列方程：代入韦达定理，列出关于参数的方程（组）； 1. 求解验证：解出参数，代入验证二次项系数符号、判别式是否符合。 恒成立/空集型 1. 分情况：按二次项系数为 0、不为 0 分类； 1. 列条件：二次项系数不为 0 时，结合开口方向与判别式列不等式组； 1. 求范围：解不等式组，合并所有符合条件的参数范围。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·重庆·期中·多选）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 例2．（25-26高一上·陕西西安·期中·多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·陕西延安·期中·多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 变式2．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 变式3．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测·多选）若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．当时，关于的不等式有解，则 2 学科网（北京）股份有限公司 $