专题：基本不等式（20个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

基本不等式（20个题型归纳） 目录 题型01 公式基础 3 题型02 凑项法 5 题型03 凑系数法 6 题型04 代换法 7 题型05 乘“1”法 8 题型06 换“1”法 10 题型07 扩项法 11 题型08 双换元 12 题型09 恒成立型 13 题型10 条件等式型 14 题型11 齐次化型 16 题型12 对勾函数 17 题型13 分离分式法 18 题型14 裂项换元法 20 题型15 负数环境转换 21 题型16 取等条件陷阱 22 题型17 多次基本不等式处理 23 题型18 均值不等式链 24 题型19 分解因式型 26 题型20 三元均值不等式 27 学科网（北京）股份有限公司 【知识精讲】 1.基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 2.几个重要的不等式 （1）基本不等式：如果，则 (当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （2）其他变形： ① (沟通两和与两平方和的不等关系式) ② (沟通两积与两平方和的不等关系式) ③ (沟通两积与两和的不等关系式) ④均值不等式链：即 调和平均值几何平均值算术平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 3.均值定理 已知，则： （1）如果 (定值)，则 (当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果 (定值)，则 (当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 【题型方法】 题型01 公式基础 基本不等式公式，可以归纳为以下5个： 特点1：都是“和”“积”；特点2：都是时取等号. 使用时请注意适用条件. 【例1】若，且，则的最小值是 ． 【例2】已知，的最小值为 ． 【例3】已知，，，则的最大值是 . 【例4】设，，若，则的最大值为 . 【例5】已知，且，则的最大值为 . 同步练习 【训练1】若正数满足，则的最小值是 ． 【训练2】若且满足，则的最小值为 . 【训练3】若，，则的最大值是 【训练4】若，且，则的最大值是 ． 【训练5】若，，，则的最大值是 . 题型02 凑项法 当题目中出现形如的代数式无法直接使用基本不等式，可以通过配凑法，把整式部分配凑成分式部分中分母的形式，再使用基本不等式求解. 【例1】若，则函数的最小值为_____. 【例2】已知，则的最小值为____________ 同步练习 【训练1】函数的最小值是_____ 【训练2】若，则的最小值为___________． 题型03 凑系数法 当题目中出现形如的代数式无法直接使用基本不等式，可以通过配凑法，把括号内外的系数配凑成相反数，再通过公式求解. 【例1】已知，则的最大值为___________. 【例2】若，则的最大值为______． 【例3】已知，且，则的最大值为_________； 同步练习 【训练1】若，则取最大值时的x的值为______. 【训练2】若，则的最大值为_________． 【训练3】已知正数，满足，则的最大值为______. 题型04 代换法 涉及双元的基本不等式考题可以考虑通过代换减少变量，进而更加直观地对一元代数式进行处理. 【例1】已知x，y都是正数，且满足，则的最小值为______． 【例2】已知，均为正数，若，则最小值为________. 【训练1】已知实数，且满足，则的最小值为___________. 【训练2】已知，，且，则的最小值为____________. 题型05 乘“1”法 整式与分式相乘所得的各项可以产生一对“倒数”和两个“常数”，其中“倒数”组合是天然的基本不等式体质. 【例1】已知，，．则的最小值为______． 【例2】已知正实数x，y满足，则实数的最小值为______. 【例3】已知都是正数，且，则的最小值为__________． 【例4】若，，且，则的最小值为___________． 同步练习 【训练1】若，且满足，则的最小值为_____. 【训练2】已知正数满足，则的最小值为__________. 【训练3】已知，且，则的最小值是_________ 【训练4】若，则的最小值为__________. 题型06 换“1”法 与乘“1”法类似，当待求的分式上下非齐次时，可以考虑用常量替换变量，从而产生可处理的倒数组合. 【例1】已知，则的最小值为_____． 【例2】已知正数满足，则的最小值为__________. 【例3】已知，，且，则的最小值为______． 同步练习 【训练1】已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【训练2】已知，满足，则的最小值是______________． 【训练3】已知，，且，则的最小值为______. 题型07 扩项法 若待求的两个分式分母中的变量系数是相反数，且分子为常数时，可以将分子配凑扩写为两个分母的和，经整理可得到一对可用的“倒数”组合，再利用基本不等式求解即可. 【例1】若，则的最小值是________． 同步练习 【训练1】已知，则的最小值为________． 题型08 双换元 前面我们学习了乘“1”法，使用该方法时若分式中分母比较复杂，可将复杂分母换元简化后再求解. 【例1】已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 【例2】若，且，则的最小值为_________ 同步练习 【训练1】已知，，且，则的最小值为________. 【训练2】若，且，则的最小值为___________． 题型09 恒成立型 简单的恒成立问题：恒成立；恒成立. 【例1】若，且恒成立，则实数m的取值范围是______． 【例2】若，且恒成立，则实数的取值范围是______． 同步练习 【训练1】若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 【训练2】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 题型10 条件等式型 条件为双元的等式中，若同时包含了“和”与“积”的形式，则需“保留”待求形式，再利用基本不等式“转化”非待求形式为待求形式，即可得到一个“一元”不等式，解出即得结果. 【例1】设实数满足则的最大值为_________. 【例2】已知，若，则ab的最小值为________； 同步练习 【训练1】设为实数，若，则的最大值是________ 【训练2】若、为正实数，且，则的最小值为__________. 题型11 齐次化型 双元分式中，通过分子分母同除以一个量，可以得到一个统一的局部整体，再利用整体意识或换元法求解.若分数线上下不齐次，则可以利用常量代换将低次部分强行升幂完成齐次化后再求解. 【例1】已知实数，满足，则的最小值为_____. 【例2】已知为正实数，则的最小值为__________． 同步练习 【训练1】已知，均为正实数，且，则的最大值为______. 【训练2】已知为正实数，则的最小值为_________. 题型12 对勾函数 形如：的函数被称为对勾函数.其图像如图所示 其中，图像的各“顶点”处恰为基本不等式取等条件满足时候的情况，以函数图像第一象限的顶点为例：此时，于是，当且仅当，即时取到最小值. 【例1】若函数，则函数值域为___________ 【例2】函数的值域是________． 同步练习 【训练1】函数的值域为___________． 【训练2】已知，的值域为________． 题型13 分离分式法 对于分式型代数式求最值的问题，可先将复杂分式分数线上下同除以低次项，以低次项为整体作为基本单元研究，再在此基础上使用基本不等式求解. 【例1】函数 的最大值为________. 【例2】当时，则的最小值是______. 【例3】已知，则的最大值为__________. 【例4】的最大值为______. 同步练习 【训练1】当时，函数的最小值为______. 【训练2】已知，求的最大值______. 【训练3】函数的最大值为________． 【训练4】函数在上的最大值为_______________． 题型14 裂项换元法 裂项换元法主要适用于分式型代数式求最值的问题，核心思想是先将分子分母中较低次数的项换元，代换后再将复杂分式通过拆项、分离或低次约分等操作，整理成可利用均值不等式的结构。其本质与前面的“分离分式法”一致. 【例1】函数 的最小值为______． 【例2】的最大值为______. 同步练习 【训练1】函数的最小值为___． 【训练2】当时，函数的最大值为______． 题型15 负数环境转换 须注意，当时，. 【例1】已知，则的最大值为________. 【例2】已知，则的最大值为__________． 同步练习 【训练1】已知，则的最大值是_____. 【训练2】已知，则函数的最大值为___________. 题型16 取等条件陷阱 取等条件验证是使用基本不等式后必不可少的一步.有些题目考查时往往在这一问题上挖坑. 【例1】在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B． C． D． 同步练习 【训练1】下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 题型17 多次基本不等式处理 同一个多项式多次使用基本不等式时，重点注意多次取等条件是否一致，一致时才能取等号. 【例1】已知都为正实数，则的最小值为___________． 同步练习 【训练1】已知，求的最小值. 题型18 均值不等式链 对于任意的，都有，当且仅当时，等号成立.其中分别称为的平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数. 【例1】设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是________．（填序号） 【例2】下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 同步练习 【训练1】在，的情况下，下面四个结论： ①；②；③；④． 其中正确的是________． 【训练2】设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型19 分解因式型 特征：条件中的等式复杂，一般有一次项和二次项（因式分解展开式中即有一次项和二次项）.这类情况可以尝试使用因式分解法.最常见形式：. 【例1】已知，，则的最小值为____________________． 【例2】已知正实数满足，则的最小值为________. 同步练习 【训练1】已知，，且，则的最小值为______. 【训练2】已知正实数，满足，则的最小值为__________． 题型20 三元均值不等式 三元均值不等式是二元均值不等式在三个变量的情况下的推广（以下各式）： 基本形式：; 常用形式：; 逆用形式：. 当且仅当时，等号成立. 【例1】函数的最小值为_________． 【例2】若 ，则 的最大值为_________． 同步练习 【训练1】，则 的最小值为_________． 【训练2】若 ，则 的最大值为_________． $ 基本不等式（20个题型归纳） 目录 题型01 公式基础 3 题型02 凑项法 5 题型03 凑系数法 6 题型04 代换法 7 题型05 乘“1”法 8 题型06 换“1”法 10 题型07 扩项法 11 题型08 双换元 12 题型09 恒成立型 13 题型10 条件等式型 14 题型11 齐次化型 16 题型12 对勾函数 17 题型13 分离分式法 18 题型14 裂项换元法 20 题型15 负数环境转换 21 题型16 取等条件陷阱 22 题型17 多次基本不等式处理 23 题型18 均值不等式链 24 题型19 分解因式型 26 题型20 三元均值不等式 27 学科网（北京）股份有限公司 【知识精讲】 1.基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 2.几个重要的不等式 （1）基本不等式：如果，则 (当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （2）其他变形： ① (沟通两和与两平方和的不等关系式) ② (沟通两积与两平方和的不等关系式) ③ (沟通两积与两和的不等关系式) ④均值不等式链：即 调和平均值几何平均值算术平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 3.均值定理 已知，则： （1）如果 (定值)，则 (当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果 (定值)，则 (当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 【题型方法】 题型01 公式基础 基本不等式公式，可以归纳为以下5个： 特点1：都是“和”“积”；特点2：都是时取等号. 使用时请注意适用条件. 【例1】若，且，则的最小值是 ． 【答案】12 【详解】因为，且，所以.故答案为：. 【例2】已知，的最小值为 ． 【答案】12 【详解】,当且仅当,即或时,等号成立,故的最小值为12.故答案为：12. 【例3】已知，，，则的最大值是 . 【答案】9 【详解】因，，，则有，当且仅当且时，解得：或，.故答案为：9. 【例4】设，，若，则的最大值为 . 【答案】4 【详解】，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，即的最大值为.故答案为：4. 【例5】已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【详解】，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故答案为：. 同步练习 【训练1】若正数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】，，，（当且仅当时取等号），的最小值为6.故答案为：. 【训练2】若且满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，所以，则，当，即或时取等号，所以的最小值为.故答案为：. 【训练3】若，，则的最大值是 【答案】 【详解】，当且，即时，取得最大值1.故答案为：. 【训练4】若，且，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】依题意，，当且仅当时等号成立.故答案为：. 【训练5】若，，，则的最大值是 . 【答案】 【详解】由已知，，则，当且仅当且，即，时，取等号，即的最大值是，故答案为：. 题型02 凑项法 当题目中出现形如的代数式无法直接使用基本不等式，可以通过配凑法，把整式部分配凑成分式部分中分母的形式，再使用基本不等式求解. 【例1】若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则，所以函数，当且仅当，即时等号成立，故函数的最小值为. 【例2】已知，则的最小值为____________ 【答案】 【详解】由于，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故答案为： 同步练习 【训练1】函数的最小值是_____ 【答案】 【详解】因为，则，所以，当且仅当，因为，即当时，等号成立.故答案为：. 【训练2】若，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】因为则，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立.故的最小值为.故答案为：. 题型03 凑系数法 当题目中出现形如的代数式无法直接使用基本不等式，可以通过配凑法，把括号内外的系数配凑成相反数，再通过公式求解. 【例1】已知，则的最大值为___________. 【答案】/ 【详解】由知，所以，当且仅当，即时取得等号，即的最大值为，故答案为：. 【例2】若，则的最大值为______． 【答案】 【详解】∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．故答案为：． 【例3】已知，且，则的最大值为_________； 【答案】 【详解】由题，，，所以，当且仅当时取“”．即的最大值为.故答案为： 同步练习 【训练1】若，则取最大值时的x的值为______. 【答案】 【详解】，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【训练2】若，则的最大值为_________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为.故答案为：. 【训练3】已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】12 【详解】由，得，所以，当且仅当，时等号成立. 题型04 代换法 涉及双元的基本不等式考题可以考虑通过代换减少变量，进而更加直观地对一元代数式进行处理. 【例1】已知x，y都是正数，且满足，则的最小值为______． 【答案】 【详解】，，由于、是正数，则且，可得，，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为.故答案为: 【例2】已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得，当且仅当，即时取等号，故答案为：. 【训练1】已知实数，且满足，则的最小值为___________. 【答案】17 【详解】，，； ，，.故答案为：17． 【训练2】已知，，且，则的最小值为____________. 【答案】 【详解】由题可得，所以，令，即，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故答案为：13. 题型05 乘“1”法 整式与分式相乘所得的各项可以产生一对“倒数”和两个“常数”，其中“倒数”组合是天然的基本不等式体质. 【例1】已知，，．则的最小值为______． 【答案】7 【详解】因为，，，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：7. 【例2】已知正实数x，y满足，则实数的最小值为______. 【答案】 【详解】正实数x，y满足，则实数 当且仅当且，即，时取等号.故答案为： 【例3】已知都是正数，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【详解】因为都是正数，且，将其配凑为待求表达式分母的形式，则, 则 , 当且仅当，结合，即，时取等号，故答案为： 【例4】若，，且，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】因为，，且，则，所以，当，即时，等号成立，则的最小值为.故答案为：. 同步练习 【训练1】若，且满足，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】由题,则,当且仅当,即,时,等号成立,的最小值为.故答案为：. 【训练2】已知正数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由正数满足，可得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：. 【训练3】已知，且，则的最小值是_________ 【答案】 【详解】由得，故，当且仅当时等式成立，即时，的最小值是.故答案为：. 【训练4】若，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由，变形可得，所以，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为.故答案为：. 题型06 换“1”法 与乘“1”法类似，当待求的分式上下非齐次时，可以考虑用常量替换变量，从而产生可处理的倒数组合. 【例1】已知，则的最小值为_____． 【答案】3 【详解】由题意有，当且仅当时，即时，等号成立，故答案为：3. 【例2】已知正数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由正数满足，可得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：. 【例3】已知，，且，则的最小值为______． 【答案】 【详解】依题意，因为，，且，所以，当且仅当时，且，即或时，等号成立，故答案为：. 同步练习 【训练1】已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】正实数，满足，则有 ，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 【训练2】已知，满足，则的最小值是______________． 【答案】 【详解】因为，则，则的最小值是，当且仅当时取等号． 【训练3】已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为，，且，所以，当且仅当时，即或时，等号成立，所以的最小值为.故答案为： 题型07 扩项法 若待求的两个分式分母中的变量系数是相反数，且分子为常数时，可以将分子配凑扩写为两个分母的和，经整理可得到一对可用的“倒数”组合，再利用基本不等式求解即可. 【例1】若，则的最小值是________． 【答案】 【详解】因为 .当且仅当,即时,等号成立.故答案为:. 同步练习 【训练1】已知，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为： 题型08 双换元 前面我们学习了乘“1”法，使用该方法时若分式中分母比较复杂，可将复杂分母换元简化后再求解. 【例1】已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 【答案】 【详解】设，则，因为，所以， 所以，当且仅当，即，所以当时，的最小值． 【例2】若，且，则的最小值为_________ 【答案】 【详解】令，则，则，即，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：. 同步练习 【训练1】已知，，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】设，，所以．故，当且仅当，即时取等号．故答案为：． 【训练2】若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】令，则，，则，其中，当且仅当，即，时，等号成立，所以，所以的最小值为. 题型09 恒成立型 简单的恒成立问题：恒成立；恒成立. 【例1】若，且恒成立，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以．故答案为：． 【例2】若，且恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，，，所以.当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为8，于是，，即.故答案为：. 同步练习 【训练1】若满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】因，由，当且仅当时取等号，即当时，取得最小值6.因不等式恒成立，故，即，解得.故答案为：. 【训练2】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】，，当且仅当时等号成立，恒成立，，解得.故答案为：. 题型10 条件等式型 条件为双元的等式中，若同时包含了“和”与“积”的形式，则需“保留”待求形式，再利用基本不等式“转化”非待求形式为待求形式，即可得到一个“一元”不等式，解出即得结果. 【例1】设实数满足则的最大值为_________. 【答案】 【详解】由于，所以，即， 所以，化简得，解得，当且仅当时，取得最大值.故答案为： 【例2】已知，若，则ab的最小值为________； 【答案】 【分析】由，，得，且，当时取等号，则，解得，即的最小值为，所以的最小值为.故答案为：． 同步练习 【训练1】设为实数，若，则的最大值是________ 【答案】 【详解】将变形为，因为，所以，当且仅当时，等号成立，设，则，即，即，所以的最大值是.故答案为： 【训练2】若、为正实数，且，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】、为正实数,所以,当且仅当时等号成立,（舍去）时等号成立,所以的最小值为.故答案为 题型11 齐次化型 双元分式中，通过分子分母同除以一个量，可以得到一个统一的局部整体，再利用整体意识或换元法求解.若分数线上下不齐次，则可以利用常量代换将低次部分强行升幂完成齐次化后再求解. 【例1】已知实数，满足，则的最小值为_____. 【答案】3 【详解】设，因，则，且，因，当且仅当时取等，即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3. 【例2】已知为正实数，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】为正实数，则，令，则， 由于，，则，当且仅当时，即：时取等号，所以，则的最小值为.故答案为：. 同步练习 【训练1】已知，均为正实数，且，则的最大值为______. 【答案】 【详解】，令，则原式，当且仅当即时等号成立，则的最大值为.故答案为：． 【训练2】已知为正实数，则的最小值为_________. 【答案】 【详解】原式，令，则上式变为，当且仅当时等号成立，故最小值为. 题型12 对勾函数 形如：的函数被称为对勾函数.其图像如图所示 其中，图像的各“顶点”处恰为基本不等式取等条件满足时候的情况，以函数图像第一象限的顶点为例：此时，于是，当且仅当，即时取到最小值. 【例1】若函数，则函数值域为___________ 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性求解． 【详解】由对勾函数的单调性知：函数在上递减，在上递增，所以，又，所以值域为．故答案为：． 【例2】函数的值域是________． 【答案】 【详解】，，当时，，当且仅当时取等号，当时，，，当且仅当时取等号，综上可得函数的值域为， 故答案为：. 同步练习 【训练1】函数的值域为___________． 【答案】 【详解】，因为，所以，当且仅当时取等号，因为，所以，所以函数的值域为.故答案为：. 【训练2】已知，的值域为________． 【答案】 【详解】因为：（当且仅当即时取“”）.又根据“对钩函数”的性质，可知：函数在上单调递减，在上单调递增，且，.所以函数的值域为： 故答案为：. 题型13 分离分式法 对于分式型代数式求最值的问题，可先将复杂分式分数线上下同除以低次项，以低次项为整体作为基本单元研究，再在此基础上使用基本不等式求解. 【例1】函数 的最大值为________. 【答案】/ 【详解】因为，则，所以≤，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：. 【例2】当时，则的最小值是______. 【答案】 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为. 【例3】已知，则的最大值为__________. 【答案】1 【详解】由，则，当且仅当，即时等号成立，，所以时，有最大值1.故答案为：1 【例4】的最大值为______. 【答案】 【详解】，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：. 同步练习 【训练1】当时，函数的最小值为______. 【答案】 【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.故答案为：. 【训练2】已知，求的最大值______. 【答案】0 【详解】，所以，，因为，当且仅当时，取等号； ．即的最大值为0．故答案为：0． 【训练3】函数的最大值为________． 【答案】/0.5 【详解】时，，当且仅当，即时等号成立，则有，所以当时，函数的最大值为.故答案为： 【训练4】函数在上的最大值为_______________． 【答案】 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为： 题型14 裂项换元法 裂项换元法主要适用于分式型代数式求最值的问题，核心思想是先将分子分母中较低次数的项换元，代换后再将复杂分式通过拆项、分离或低次约分等操作，整理成可利用均值不等式的结构。其本质与前面的“分离分式法”一致. 【例1】函数 的最小值为______． 【答案】7 【详解】令，；则 (当且仅当，即时，等号成立)，故函数 ，的最小值为.故答案为：7 【例2】的最大值为______. 【答案】 【详解】令，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：. 同步练习 【训练1】函数的最小值为___． 【答案】 【详解】因为，令，则，又因为，可得，因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，所以，即的最小值为.故答案为：. 【训练2】当时，函数的最大值为______． 【答案】/ 【详解】由，设，则，所以，当且仅当即时取等号，即函数的最大值为．故答案为： 题型15 负数环境转换 须注意，当时，. 【例1】已知，则的最大值为________. 【答案】 【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.故的最大值为.故答案为：. 【例2】已知，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】，，当且仅当，即时等号成立，即的最大值为2,故答案为：2. 同步练习 【训练1】已知，则的最大值是_____. 【答案】 【详解】解：，，，当且仅当，即时等号成立，的最大值是.故答案为：. 【训练2】已知，则函数的最大值为___________. 【答案】 【详解】因为，所以，, ，当且仅当，即时，等号成立.故当时，取最大值，即.故答案为：3. 题型16 取等条件陷阱 取等条件验证是使用基本不等式后必不可少的一步.有些题目考查时往往在这一问题上挖坑. 【例1】在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为函数定义域为，则，，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为2，故A正确；对于选项B：因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为2，故B正确；对于选项C：令，可得，因为在内单调递增，则，所以函数的最小值不为2，故C错误；对于选项D：因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为2，故D正确. 同步练习 【训练1】下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】AB 【详解】当时，（当且仅当，即时取等号），A正确；，因为，所以，B正确；，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，故C错误；当时，，D错误.故选:AB. 题型17 多次基本不等式处理 同一个多项式多次使用基本不等式时，重点注意多次取等条件是否一致，一致时才能取等号. 【例1】已知都为正实数，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】，因为都为正实数，，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当，即时等号成立，综上所述，当时，取最小值为.故答案为： 同步练习 【训练1】已知，求的最小值. 【答案】 【详解】，当 且 时取等号，即 . 故答案为：. 题型18 均值不等式链 对于任意的，都有，当且仅当时，等号成立.其中分别称为的平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数. 【例1】设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是________．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题利用重要不等式及其推论可判断①②，利用特殊值法可判断③. 【详解】因为，所有，所以①正确； 因为，所以②正确； 当时，不等式的左边为，右边为， 原不等式显然不成立，所以③错误．故答案为：①②. 【例2】下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有，展开整理得，移项后可得，由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数，若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误；若都为正数，则可得，故D错误. 同步练习 【训练1】在，的情况下，下面四个结论： ①；②；③；④． 其中正确的是________． 【答案】①②③④ 【详解】∵，，①正确； ②是均值不等式，正确；，③正确；，∴，④正确．上述各不等式都是在时等号成立．故答案为：①②③④ 【训练2】设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，即；，得，即，故A正确； 对于B，，由均值不等式得，即，，故B正确； 对于C、D ，，由均值不等式得，； ，即，故C错误，D正确. 题型19 分解因式型 特征：条件中的等式复杂，一般有一次项和二次项（因式分解展开式中即有一次项和二次项）.这类情况可以尝试使用因式分解法.最常见形式：. 【例1】已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【详解】原式变形可得,分解因式得，因为,所以,即,,又因为，当且仅当时等号成立，故的最小值为． 【例2】已知正实数满足，则的最小值为________. 【答案】 【详解】因为，则，， ，当且仅当，即时等号成立．故答案为：． 同步练习 【训练1】已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为，所以，所以.又，当且仅当即，时取“”.所以，即的最小值为11. 【训练2】已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】/ 【详解】因为正实数，满足，即，令，，则且，，所以，当且仅当，即，时取等号.故答案为：. 题型20 三元均值不等式 三元均值不等式是二元均值不等式在三个变量的情况下的推广（以下各式）： 基本形式：; 常用形式：; 逆用形式：. 当且仅当时，等号成立. 【例1】函数的最小值为_________． 【答案】9 【详解】,当且仅当x=2时，取得取小值9. 【例2】若 ，则 的最大值为_________． 答案： 【详解】令三项为，它们均为正，且，由三元均值不等式，，当 ，即 时取等号． 同步练习 【训练1】，则 的最小值为_________． 答案： 【详解】因为，由三元均值不等式，，当 ，即 时取等号． 【训练2】若 ，则 的最大值为_________． 答案： 【详解】令三项为它们均为正，且，由三元均值不等式，，当 ，即 时取等号． $