精品解析：黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校2026-2027学年九年级上学期9月阶段学情自测数学试卷

工大附中2026—2027学年度上学期九年级数学9月考 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 抛物线开口方向和大小与相同， ∴ 二次项系数， ∵ 顶点坐标为， ∴ 抛物线解析式为． 2. 如图，是的直径，点、在上，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 3. 将方程配方后，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是要注意解题步骤的准确应用．根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解答即可． 【详解】解： ， 故选：C． 4. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角函数—坡度问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．过点作，垂足为，根据题意可得，，设，则，由勾股定理，列方程即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意得：，， 设，则， 由勾股定理， 得：， 解得：（负值已舍去）， 故选：D． 5. 如图，正六边形中，点是的中点，连接，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出，再求出，结合勾股定理列式计算，，即可作答． 【详解】解：如图，连接，过点F作， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在正六边形中， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 在中， ． 6. 关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的同号实数根 B. 有两个不相等的异号实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出△>0，根据△的意义得到方程有两个不相等的实数根；又根据根与系数的关系得到两根之积等于-1，则方程有两个异号实数根。 【详解】因为，所以有两个不相等的异号实数根， 又两根之积等于-1，方程有两个异号实数根，所以原方程有两个不相等的异号实数根. 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根，也考查了一元二次方程根与系数的关系. 7. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 8. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可证四边形为平行四边形，根据相似三角形对应线段成比例及平行四边形对边相等的性质判断即可. 【详解】解：∵在中， ∴易证四边形为平行四边形 ∴易证 ∴，A项错误 ，B项错误 ，C项错误 ，D项正确 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练运用两者性质确定线段比例关系是解题的关键. 9. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 10. 如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 二次函数与轴的交点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】轴上点的横坐标为，将代入二次函数解析式，计算即可得到交点的纵坐标，从而得到交点坐标． 【详解】解：∵轴上所有点的横坐标为， ∴将代入 得， 因此二次函数与轴的交点坐标为． 12. 若，与的面积比为，则与的周长比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质即可求解，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方． 【详解】∵，与的面积比为， ∴与的周长比为， 故答案为：． 13. 如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，再由相似三角形的性质得，求得该古城墙的高度． 【详解】解：由题意知：入射光线与反射光线，， 又， ， 所以 即， 解得米． 故答案为：8 14. 如图，是的内切圆，若，则的度数为___． 【答案】130 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．(结果保留) 【答案】 【解析】 【分析】已知扇形的圆心角度数和半径，直接代入扇形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：扇形半径，圆心角， 代入扇形面积公式 ∴． 16. 如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 【答案】13 【解析】 【分析】利用垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 17. 将二次函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数解析式是______．（用顶点式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律，对原解析式进行变换即可得到结果． 【详解】解：二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， 原二次函数解析式为，向左平移个单位，需对自变量左加，将替换为， 第一次平移后得到． 再向上平移个单位，需对函数整体上加，在式子后加， 最终得到的函数解析式为． 18. 已知，是方程的两个根．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子配方变形后代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 19. 已知⊙O的半径OA＝2，弦AB、AC的长分别为，则∠BAC＝___． 【答案】15°或75°． 【解析】 【分析】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的同旁；两弦在圆心的两旁．然后画出图形，再根据垂径定理和三角函数求解． 【详解】解：过点O作OM⊥AB于M， 在直角△AOM中，OA=2． ∵OM⊥AB， ∴AM=AB=， ∴cos∠OAM=， 则∠OAM=30°， 同理可以求出∠OAC=45°， 当AB，AC位于圆心的同侧时，∠BAC的度数为45-30=15°； 当AB，AC位于圆心的异侧时，∠BAC的度数为45+30=75°． 故答案为：15°或75°． 【点睛】此题主要考查了利用三角函数求角的度数和垂径定理，关键是分类讨论，正确画出图形． 20. 如图，正方形和正方形的边长分别为5和3，正方形绕点旋转．给出下列结论：①；②点、、、四点在同一个圆上；③的最小值为2；④连接，，其中正确的结论序号是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用正方形性质证明可得及；由垂直关系及正方形直角可得四点共圆；利用点圆距离最值求最小值；利用四点共圆性质求度数判断三角函数值． 【详解】解：①正方形和正方形的边长分别为5和3， ， ， 即， ∴， ，故①正确； ②设与交于点，与交于点，连接， ∵， ， ， ， ， 点四点在以为直径的圆上，故②正确； ③连接， 中，， ∴，即， 当点在线段上时，取得最小值，故③正确； ④连接， 正方形， ， ∵点四点在以为直径的圆上， ∴， ∵， ∴， ，故④错误， 综上所述，正确的结论是①②③．. 三、解答题（共60分，21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分） 21. 先化简，再求值的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简，再根据特殊角三角函数值求出，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，特殊角三角函数值，二次根式的混合运算等知识点．解题的关键是掌握相应的运算法则，运算顺序及熟记特殊角三角函数值． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点在小正方形的顶点上． 在图中画一个以AB为腰的等腰三角形，点E在小正方形的顶点上，且的面积为； 在图中画一个等腰三角形，点F在小正方形的顶点上，且，连接EF，请直接写出线段EF的长． 【答案】 如图所示，即为所求； 如图所示，即为所求； ． 【解析】 【分析】(1)根据要求用尺规可画出图形，注意面积要求；(2) 根据要求用尺规可画出图形，注意比值要求，结合图形求出EF． 【详解】略． 中，． 【点睛】本题考核知识点：作等腰三角形，锐角三角函数.解题关键点：理解题意，根据要求作图． 23. 如图，在热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和．如果这时气球的垂直高度为米．且点、、在同一直线上． （1）求的长； （2）求建筑物、间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，再使用含的直角三角形的性质求出； （2）利用含的直角三角形的性质与勾股定理分别计算出与，再求和即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）； 答：的长米． 【小问2详解】 解：由（1）可知，米，米， 在中，（米）， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 解得米， ∴（米）． 答：建筑物、间的距离为米． 24. 已知：BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF. （1）如图1，求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）如图2，若AB=AC，∠A=36°，不添加辅助线，请你直接写出与DE相等的所有线段（AF除外）. 【答案】 又是的平分线，即 又 又 ∴四边形是平行四边形， （2）CD、BE、BG、FG 【解析】 【详解】试题分析：利用等角对等边证明，证得, 又据此即可证得四边形是平行四边形. 是等腰三角形. 试题解析： 与相等的线段有： 25. 某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表： 类别价格 A种 B种 进货价(元/盒) 25 30 销售价(元/盒) 32 40 （1）若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒； （2）若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？ 【答案】（1）则购进B种粽子20盒，A种粽子36盒 （2）购进A种“粽子”40盒，购进B种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元 【解析】 【分析】(1) 设未知数，根据A种的数量是B种数量的2倍少4盒，列方程求解； (2)设购进B种“粽子”m盒，销售利润为W元，根据A种“粽子”进货数量不少于B种“粽子”进货数量的2倍，可得，而，由一次函数性质可得购进A种“粽子”40盒，购进B种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元． 【小问1详解】 设购进B种粽子x盒， ， 解得， ， 则购进B种粽子20盒，A种粽子36盒． 【小问2详解】 设购进B种“粽子”m盒，销售利润为W元，则购进A种“粽子”盒， ∵根据A种“粽子”进货数量不少于B种“粽子”进货数量的2倍， ∴ ， 解得， 根据题意得 ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴时，W取最大值，最大值为 (元)， 此时， 答：购进A种“粽子”40盒，购进B种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式． 26. 如图，为的直径，与切于点，连接，交于点，． （1）如图1，求的正切值； （2）如图2，为的切线，为切点，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接、，，，求的长． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接， ∵为的切线，为切点， ∴ ∵是的切线， ∴，即 在和中 又∵， ∴ ∴，即 在中有 ∴ ∴ （3） 【解析】 【分析】(1) 由，设，，，由勾股定理得，再由正切的定义求解即可； (2) 连接，由得，再得，即，再由同弧的圆周角等于圆心角的一半得，最后由同位角相等得两直线平行； (3) 由，得，的长度；过点作于，求出；连接交于点，连接，得垂直平分；由为的中位线，得；设，由勾股定理建立方程，解方程得的长即可 . 【小问1详解】 解：设，则，， ， ∵是的切线， ∴，即 ∵在中，有 ∴ ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ∵、为的切线， ∴， 由（1）知，即，解得， ∴，； 过点作于，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 连接交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分，即，， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，有勾股定理， 代入得：， 展开得：， 整理得：， ， 解得． 即的长为． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，且． （1）如图1，求的值； （2）如图2，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，过点作，过点作，、交于点，设的长为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接、，交于点，，，，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数的解析式求出点的坐标，容易判断是等腰直角三角形，进而求出点的坐标，代入一次函数的解析式求出； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，容易证明四边形是正方形，进而证明，则．利用一次函数的解析式求出，再根据求出关系式； （3）设，由的三边关系可得，从而得到，，结合题干条件可得，则．过点作的垂线，交的延长线于点，连接，以点为圆心，为半径作圆，取的中点，连接，设点的坐标为，由圆周角定理可判断点也在圆上，则，由直角三角形的性质可得，利用两点之间的距离建立方程，解得点的坐标为．使用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，结合（2）的结论可得出点的坐标．分别求出直线与的解析式，再联立即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得； 【小问2详解】 解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， 又∵， ∴，即； 【小问3详解】 解：设， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，以点为圆心，为半径作圆，取的中点，连接，设点的坐标为， 在中，点是的中点， ∴， ， 由（2）可知，，， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴点也在圆上， ∴， ∵，， ∴， 解得或， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴，解得， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 工大附中2026—2027学年度上学期九年级数学9月考 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是的直径，点、在上，．则（ ） A. B. C. D. 3. 将方程配方后，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正六边形中，点是的中点，连接，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的同号实数根 B. 有两个不相等的异号实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 7. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 8. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是（ ）. A. B. C. D. 9. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 10. 如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 二次函数与轴的交点坐标为_______． 12. 若，与的面积比为，则与的周长比为_____． 13. 如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是__________． 14. 如图，是的内切圆，若，则的度数为___． 15. 一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．(结果保留) 16. 如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 17. 将二次函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数解析式是______．（用顶点式表示） 18. 已知，是方程的两个根．则_______． 19. 已知⊙O的半径OA＝2，弦AB、AC的长分别为，则∠BAC＝___． 20. 如图，正方形和正方形的边长分别为5和3，正方形绕点旋转．给出下列结论：①；②点、、、四点在同一个圆上；③的最小值为2；④连接，，其中正确的结论序号是_________． 三、解答题（共60分，21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分） 21. 先化简，再求值的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点在小正方形的顶点上． 在图中画一个以AB为腰的等腰三角形，点E在小正方形的顶点上，且的面积为； 在图中画一个等腰三角形，点F在小正方形的顶点上，且，连接EF，请直接写出线段EF的长． 23. 如图，在热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和．如果这时气球的垂直高度为米．且点、、在同一直线上． （1）求的长； （2）求建筑物、间的距离．（结果保留根号） 24. 已知：BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF. （1）如图1，求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）如图2，若AB=AC，∠A=36°，不添加辅助线，请你直接写出与DE相等的所有线段（AF除外）. 25. 某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表： 类别价格 A种 B种 进货价(元/盒) 25 30 销售价(元/盒) 32 40 （1）若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒； （2）若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？ 26. 如图，为的直径，与切于点，连接，交于点，． （1）如图1，求的正切值； （2）如图2，为的切线，为切点，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接、，，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，且． （1）如图1，求的值； （2）如图2，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，过点作，过点作，、交于点，设的长为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接、，交于点，，，，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $