天津市实验中学2026-2027学年高三上学期第4周套练数学试题

2027届高三（上） 第4周套练——数学学科 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C．或 D． 2．已知由样本数据组成一个样本，可得到回归直线方程为，且，则样本点的残差为（    ） A．0.3 B．-0.3 C．1.3 D．-1.3 3．是为奇函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的图象大致为． A. B. C. D. 5．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面（   ） （1） （2） （3） （4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．若，设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．设定义在上的函数满足，则的最小值是（    ） A．16 B．25 C．20 D．36 8．已知正项数列满足，则（    ） A． B． C． D． 9．已知双曲线：的左、右焦点分别为，．是上一点在第一象限，直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知为虚数单位，若复数满足，则复数在复平面内的点到原点的距离为          ． 11．已知的展开式共有9项，则展开式中 的系数为____________． 12．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则        ． 13．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是__________，若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件， “第二次取到红球”为事件，则__________. 14.已知平面向量，，满足，，，，则       ；的取值范围是       ． 15.抛物线有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴现从抛物线的焦点发出的光线所在的直线方程为点在第一象限，光线在处反射后反射光线为，是抛物线的切线，切线与轴交于点，有以下个命题： 反射光线平行于轴 切线的方程为 是等腰三角形 以上说法正确的是          填写序号 三、解答题 16．（14分）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 17．（15分）正方体的棱长为，、分别为，中点，． 求证：平面； 求平面与平面夹角的余弦值； 求三棱锥的体积． 18．（15分）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆相交于，两点，求的面积的最大值. 19．（15分）已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足 (1)求； (2)求数列的通项公式及数列的前2k项和; (3)在数列中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列?若存在，求出所有满足条件的正整数的值;若不存在，说明理由 20．（16分）设函数． (1)时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点且，证明：． 天津市实验中学 TIANJIN EXPERIMENTAL HIGH SCHOOL 试卷第2页（共3页） 2027届高三（上） 第4周套练——数学学科 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2027届高三上第4周套练数学学科》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A D D B D B B A 1．B 【分析】利用集合的交集、补集运算得到答案. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为， 因为或，所以， 因为，所以， 故选：B. 2．A 【分析】先将中心代入回归方程求出，将代入回归方程求得，结合残差的定义即可求解. 【详解】由题意知，将点代入， 得，所以， 将代入，解得， 所以样本点的残差为. 故选：A 3．D 【分析】根据函数奇偶性的定义判断可得答案. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称， 时的定义域不一定关于原点对称， 所以不是为奇函数的充分条件； 如果为奇函数在处有定义时有， 在处没有定义时没有， 所以不是为奇函数的必要条件； 综上，是为奇函数的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，函数值的特点是关键，属于基础题． 先判断函数的奇偶性，再根据函数值的判断即可． 【解答】 解：由于函数为奇函数， 故它的图象关于原点对称，所以排除选项， 由当时，， 当时，． 由此可排除选项和选项C． 故正确的选项为． 故选D． 5．B 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】（1）且相交，则成立，不相交则不一定成立，故（1）错误； （2），故（2）正确； （3），则也有可能异面，故（3）错误； （4）或，故（4）错误； 综上可得，只有（2）正确． 故选：B 6．D 【分析】求出函数定义域，判断奇偶性和单调性，比较的大小即可. 【详解】由题意知，由， 所以为偶函数，图象关于轴对称， 当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大， 即 ， 单调递增， 因为，， 且，， 所以，所以， 即，也就是. 故选：D 7．B 【分析】应用换元法求解析式，再结合基本不等式计算求解最小值即可. 【详解】对于，以代替，得， 则， 得，则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是25． 故选：B. 8．B 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法探讨数列的特性即可得解. 【详解】依题意，，则数列是以为公比的等比数列，因此， 所以. 故选：B 9．A 【分析】设，用分别表示，，由，得到与的关系，再结合角度关系利用余弦定理求出的关系，进而得到离心率． 【详解】设，则由题意有：，，， 由题意可知，， 由，所以， 即． 因为，， 所以，， 即． 故选：A． 10．【答案】  11． 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】因为的展开式共有9项，所以， 又因为展开式的通项公式为：, 所以的展开式的通项公式为， 令，则有 所以原式展开式中 的系数为. 故答案为： 12．【答案】  【解析】解：的内角，，的对边分别为，，，，， 又，可得，故， 又，可得． 故答案为：． 由正弦定理求解即可． 本题主要考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题． 13． 【分析】（1）直接使用公式；（2）条件概率公式的使用. 【详解】恰有一个白球的概率； 由题可知“第一次取到红球”， “第二次取到红球”，则 ，， 所以. 故答案为：，. 14．【答案】   【解析】解：设，，，，，， ； 如图建立平面直角坐标系，则，，设， ， ，即， 则是以为圆心，以为半径的圆上的点， ，即点，间的距离，由， 圆的半径为，， 则， 故答案为：． 结合已知，求出即可，然后结合条件建立平面直角坐标系，将，坐标化，利用几何意义求出的范围． 本题考查平面向量数量积的运算及性质，以及坐标法在解题中的应用，属于中档题． 15．【答案】  【解析】【分析】本题考查抛物线的简单几何性质的应用，属于中档题． 对于，联立得点的坐标，计算 对于，根据抛物线有一条重要的光学性质可知； 对于，利用导数求切线的斜率，进而求出切线方程． 对于，利用切线方程求出点，再判断． 【解答】解：对于：联立得或 由于点在第一象限，所以，在抛物线中，准线为，，则，故错误． 对于：抛物线的对称轴为轴，由于抛物线有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴所以反射光线平行于轴，故正确． 对于：由于是抛物线的切线，得切点为，，，所以，得，故切线的方程为故正确． 对于：由切线的方程为，得，，，故，所以是等腰三角形，故正确 16．(1)，单调减区间为. (2)，. (3) 【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由（1）得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解； （3）根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. （2）由（1）知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以，. （3）由函数，可得， 因为， 所以 . 17．【答案】法一、在正方形中， 由条件易知，， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 平面， 又平面，， ，、平面，平面；法二、如图以为中心建立空间直角坐标系， 则，，，， ， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，，， 易知，则也是平面的一个法向量，平面    【解析】证明：法一、在正方形中， 由条件易知，， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 平面， 又平面，， ，、平面，平面； 法二、如图以为中心建立空间直角坐标系， 则，，，， ， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，，， 易知，则也是平面的一个法向量，平面； 解：同上法二建立的空间直角坐标系， ， 由知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，， 令，则，，即， 设平面与平面的夹角为， 则； 解：由知平面，平面，， 易知， 又，则到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：． 法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； 利用空间向量计算面面夹角即可； 利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可． 本题考查棱锥的体积公式、线面垂直的判定、二面角，属于中档题． 18．(1)；(2). 【分析】（1）根据焦点坐标可得，根据离心率求得，结合，求得，则问题得解； （2）设出直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，即可容易求得结果. 【详解】（1）由题可知，，又因为，故可得； 由，可得. 故椭圆方程为. （2）容易知直线的斜率不为零，故可设直线的方程为， 联立椭圆方程可得：， 设两点坐标为， 故可得 则， 故的面积 令，， 故， 又在区间上单调递增， 故在区间上单调递减， 故，当且仅当，即时取得最大值. 故面积的最大值为. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，涉及椭圆中三角形面积的最值问题，属综合中档题. 19．(1) (2)（）， (3)存在， 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，然后根据已知条件解方程组可求出，从而可求出； （2）由（1）分奇偶项可求出通项公式，利用分组求和法求； （3）分和两种情况讨论可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 解得， 所以； （2）由（1）知， 所以对于，有，， 所以（）， （3）在数列中，仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列，此时正整数， 下面说明理： 若，则由，得， 化简得， 此式左边是偶数，右边是奇数，不可能成立， 若，则由，得， 化简得， 令，则， 所以, 所以只有，此时， 综上，在数列中，仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列，此时正整数， 【点睛】关键点点睛：此题考查等差数列和等比数列的基本量运算，考查等差数列和等比数列的求和公式的应用，第（2）问解题的关键是分奇偶项利用分组求和法求解，考查计算能力，属于较难题. 20．(1) (2) 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. (3)证明如下： 由（2）知，因为是方程的两根，所以．可得. 等价于． 其中． 因此待证式等价于，两侧同时加，得， 即证，等价于， 由且得， 记，则， 记，则，所以单调递减， 所以，则， ∴单调递减， ∴， ∴. 【分析】（1）当时，求出切线斜率，然后得到切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可． 【详解】（1）的定义域为． 所以，， 因此曲线在点处的切线方程为， 取得． （2）． （i）时，在单调递增． （ii）时，令，则， ，． 则单调递增．单调递减． 综上所得， 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）略 答案第10页（共11页） 答案第13页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $