天津市滨海新区大港实验中学2025-2026学年高三上学期第三次教学质量评估数学试题

2026届大港实验中学高三第三次阶段测答案 一、选择 1-5:CBBAC 6-9:BCDA 二、填空： 5 10.2: 11.- 12.12:7 13.x2+(y-1)2=10: 14.5；-6: sae(43(3-3 三.解答 16.(1)在△4BC中，由正弦定理及(2a-√3c)cosB=V3 bcos C, 得(2sinA-√3snC)cosB=3 sin BcosC,.....1分 2sinAcos B=3sinCcosB+3sin B cosC=3sin(B+C)=3sin4,......3 而$inA>0,.4 则cosB= ,又Be0,西，所以B-石5 (2)由simC=√5simA,得c=√5a,......6 由(1)及余弦定理a2+c2-2 ac cos B=b2,...7 得d+3-2N52.5=9,解得a=3,所以a=3.…8 2 1 （3)由b=V2a及正弦定理，得smB=2sim4,则5in4=sinB-2-V2,g 224 ）2 显然b>a,即B>A,则A为锐角，cosA=√1-sinA= V14 .11 4 4 于是sin2A=2sin4cosA=2xV2xV4_V7 444 .12 c0s24=2c09A-1=2×14}-1=3, …….13 4 4 所以in(2A- m24e督o2m号-7×子5-万-6 342428 14 17.因为AEI平面ABCD,且AB、ADC平面ABCD, 所以AE⊥AB,AE⊥AD,又AD⊥AB, 则以A为原点，分别以AB,AD,A正的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系A一Xyz(如图)， 则A(0,0,0),B(2,00),C(2,40),D(0,2,0),E(0,0,4),F(2,42)....2分 因为AE 1 AB,AD1AB, C 又AD nAE=A,AD,AEc平面ADE, 所以ABI平面ADE, 故AB=(2,0,0)是平面ADE的一个法向量， …3 又BF=(0,42),所以BF.AB=0, 又因为BF平面ADE 所以BF/平面ADE...…· .5 (2)设m=(X,y,z)为平面BDF的一个法向量， 吧即=8 又BD=(-2,2,0),BF=(0,4,2): 所以。 令y=1,可得m=(1,1,-2). ……7 又因为A正=(2,0,0)是平面ADE的一个法向量， 设平面ADE与平面BDF夹角为0， 则cos0=|cos<AB,立>= AB-m 1×2 6 ABX 2x12412462n= 6 所以平面ADE与平面BDF夹角的余弦值为S, …….10 (3)因为丽=(2,0，-4)，平面BDF的一个法向量m=(1,1,-2): 所以点E到平面BDF的距离d=国司=2= 2,.12 因为AD L AB,AB=AD=2, 又AEI平面ABCD,CF/AE,则CFI平面ABCD, 又BC、CDc平面ABCD, 所以CF⊥BC,CF⊥CD, 又AD/BC,AE=BC=2CF=4, 则DC2=22+(4-2)2=8, 在△BDF中：BD=√AD2+AB2=2V2, BF =VBC2 +CF2 2V5,DF VDC2 +CF2 2V3, 所以BD2+DF2=BF2,所以∠BDF=90°，.14 所以SABDF=BD·DF=2V6, 所以四面体B-DBF体积Vg-DEe=VEg-De=}SARDF·d=碧 ..15 +品=1 18.(1)设椭圆的半焦距为c,由题意知〈 :游特很二子 a2=b2+c2 椭圆的方程号+y2=1:…4分 +y2=1,得（42+10x2+8kmx+4m2-4=0.5分 (2)由{4 (y=+m 由△=(8km)2-4(42+1)(4m2-4)>0,得4k2-m2+1>0(*),…6分 设A(xy小B6xy2).则k1+X2=-0y1+y2=k(x十x)+2m=…7分 8km 所以点M的横坐标xM=产=一纵坐标u=母 )…8分 2 所以直线MN的方程为y-=-+): m …9分 令x=0,则点N的纵坐标N=-器则N(O,一) 3m …10分 因为P(O,m),所以点N、点P在原点两侧， 因为∠MOP=2∠MNP,所以∠MNO=∠OMN,所以OM=|ON,…12分 法-：又因为oNM=(》}+()= (k2+2,14分 ⊙2=2=2 所以263m2+m2=_9m2 +44可，解得16k2+1=9,所以k=士竖此时代入(*)，…15分 2 法二：取MN中点O,则OO⊥MN,∴.OO‖AB.koe=k “x2=+=-2m =0少别00 - k。-批kk:士 -2am-2k1 2 1+4k2 19.【小问1详解】 设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q>0, 因为b=24=2,b=a4,b=4b, 则 2q=8q 2g=1+3a 解得，/92 9=-2 d=1 一5（舍去），…2分 3 所以a=1+n-1=n;bn=2×2-1=2m.…4分 【小问2详解】 依题意cn= (2n+1)-22,n为偶数，5分 2",n为奇数 设A=5×2+9×22++(4n+1)×2”, 2A=5×22+9×23+…+(4n+1)X21,…6分 两式相减得-A=5×2+4×2++4×2”-（4n+1)×21 =10 21-2-（4+124=6-4加y2-6,7分 1-2 所以A=(4n-3)×2+1+6.…8分 设月.=2+25+25++241=2,2-23-2,9分 1-4 3 所以.=4+月.=(4n-3)×2n+612”-2-（4n-3)2+2+16…10分 3 3 【小问3详解】由题意可得4=么1-6=2-2”-2 ，…11分 n+1n+1n+1 由mdn>an,得 十>n,所以mm+对nN*恒成立，12分 2 令人-"，+，则f-++2n+12-w 2" 2+H 24h …13分 2 当=1时，f3>f,当n=2时，f=f方，当n≥3时，fm+1<f,…14分 所以方=有-聚大，所以m>昌 …15分 20.【小问1详解】 函数f()=e*+r-1的定义域为R,求导得f'(x)=e+m,..1 ①当m≥0时，(x)>0恒成立，无极值：2 ②当m<0时，由f'(x)<0,得x<ln(-m;由f(x)>0,得x>(-),....3 函数f(x)在(-0，ln(-m)上单调递减，在(n(-m),+o)上单调递增，...4 因此函数f(x)极小值为f(n(-m)=-+mln(-m)-1,无极大值， 所以当m≥0时，f(x)无极值： 当<0时，f(x)极小值为-m+nln(-m)-1,无极大值.·....5 【小问2详解】 对任意的x∈[0，+o),不等式f(x)+g(x)≥0台e+x+n(x+1)-1≥0， 设)=e+mc+h(x+)-1,且0=0，求导得M(田=e'+m+1 9........6 x+1 令-的=心+m0,求号狗o国=ea对7 1 函数y=e,y=- 1 1+对在[0，+0）上单调递增，则p()在[0，+o)上单调递增，…8 p(x)≥p'(0)=0, 函数gp(x)在[0，+o)上单调递增，而p(0)=1(0)=m+2,...9 当m≥-2时，h(x)≥0恒成立，函数h(x)在[0，+w)上单调递增，h(x)≥h(0)=0恒成立； 当m<-2,则1(O)<0,又Hn(-m)=e-m)+m+ >0, n(-m)+1n(-m）+1 则在(0，ln(-m)内存在x。,使得1(x)=0,当x∈(0，x)时，(x)<0,..10 函数h(x)在(0，x。)上单调递减，当x∈(0，x)时，h(x)<h(O)=0,不合题意， 所以实数m的取值范围是[-2，+0)....11 【小问3详解】 令函数Z的c广x6,>0,求导得r)=e-1d 令y=e-1-x,x>0,求导得y=e-1>0,函数y=e-1-x在(0，+o0)上单调递增，......12 则t(x)>t(0)=0,函数t(x)在(0，+o)上单调递增，t(x)>t(0)=0, 即e-1>x中0，g 2x 令函数u(x)=n(x+l)- +2’x>0,求导得 ()=1-2(x+2)-2x= x2 x+1(Gc+23(+10x+2y>0,14 函数u()在(0，+0上单调递增，4(y>(0)=0,即1n(x+1）>2 x+2 >0,...15 因此当x>0时，e-D1x+》>(+x)2x,-x,即(e-Dg)>x, x+2 所以g(x)> x 成立…16 e-1大港实验中学2026届高三教学质量评估：数学 注意事项：本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共3页，满分共150分，考 试用时120分钟。考试结束后，将答题卡交回，祝同学们考试顺利！ 第I卷选择题（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分) 1.已知全集U={1,2,3,4,5,集合A={3,5},B={1,2,5,则Bn(CuA)=() A.{2 B.2,4 C.{1,23 D.{1,2,4] 2.设a,b∈R,则“a2>b2”是“Va>√b”的() A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.若a=log32,b=n2,c二3.2，则a,b,c的大小关系为() A.b<c<a B.a<b<cC.b<a<c D.c<b<a 4,函数f(x三十n的图象大致是（) h风r 5.某校举办了数学知识竞赛， 把1000名学生的竞赛成绩（满分100分， 成绩取整数)按[60,70)， [70,80),[80,90),[90,100]分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的 为() 频率 A.a的值为0.015 0.050组距 B.估计这组数据的众数为80 C.估计这组数据的第60百分位数为87 883腕 D.估计成绩低于80分的有350人 a“ 60708090100成绩 6.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列说法正 确的是() A.若m⊥n,且nc,则m⊥a 数学试卷共2页 第（1 B.若m//a,n/a,mnn=A,mcB,ncB,则a//B C.若m/a,m⊥n,则n⊥a D.若a⊥B,anB=c,m⊥c,则m⊥B 7.已知函数f)=Asn(@x+Xx∈RA>0,o>0网<孕的部分图 象如图所示，则下列说法正确的是( 5元 A.直线x=兀是f(x)图象的一条对称轴 B.f四图象的对称中心为(2+，0)，k∈2 C.f(x)在区间 上单调递增 3'6 D.将的图象向左平移元个单位长度后，可得到一个奇函数的图象 12 8,如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为6cm 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得 水深为5cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为() A.32ncm3 B.言cm3C.g2cm3D 3πcm3 9已知双曲线影-长=1a>0,6>0)的左，右焦点分别为，，过点 y2 F1的直线与双曲线的左支相交于P,Q两点，若PQ⊥PF2,且41PQ!=3PF2,则双曲线的离心率为 ( A.7 3 B.专C. 3 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共105分） 二、填空题（每题5分） 10若复数z满足2=1+31 (其中i是虚数单位)，则z的虚部为 1-i 的展开式中，x2的系数为 2 )页 12.有编号分别为1,2,3,4的4个红球和4个黑球，从中取出2个，则取出的球同色的所有可能 性结果有 种；（用数字作答)若从中取出的球编母互不相同的概率为 13.已知圆C的圆心是抛物线x2=4y的焦点，直线4x-3y-2=0与圆1C相交于AB两点，且 AB=6,则圆C的标准方程为 14.在平面四边形ABCD中，AB=2V3,AD=6,向AE在向量AD上的投影向量为AD,则 ∠BAD= ;若BC=AD,点E为线段BD上的动点，则C正.A正的最小值 为 2sin-x,0≤x≤1 15.已知定义在R上的函数y=f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)= 若关 3 于x的方程[f(x)]'+af(x)+b=0(a,b∈R),有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围 是 三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分14分) 已知aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a-√3c)cosB=√3 bcosC、 (I)求B: (I)若b=3,sinC=√3sinA,求a; ()若b=√2a,求sin 17.(本小题满分15分) 如图，AE⊥平面ABCD,CF/IAE,AD/BC,AD⊥AB,AB=AD=2,AE=BC=2CF=4. (I)求证：BF∥平面ADE: (II)求平面ADE与平面BDF夹角的余弦值： D (II)求四面体B-DEF的体积. 数学试卷共2页 第(2 18.（本小题满分15分) 已如满国C荐+岁-a6>0砂过点 2 焦距是短半轴长的2√5倍， (I)求椭圆的方程； (Ⅱ)直线y=x+m(m≠0)与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点P,线段AB的垂直平分线与 AB交于点M,与y轴交于点N,O为坐标原点，如栗∠MOP=2∠MNP,求k的值. 19.(本小题满分15分) 己知数列{an}是等差数列，{bn}是正项等比数列，且=24=2，b2=a4,b=4b, (I)求{an}和{b}的通项公式： (Ⅱ)若cn [(2a.+1)6,n为偶教，求数列{c,}的前2n项和Z a5,n为奇数 (Ⅲ)在bn与bn1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，若mdn>an对 Vn∈N恒成立，求实数m的取值范围. 20.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=e+x-1（m∈R)，g(x)=ln(x+1). (I)求函数f(x)的极值： (Ⅱ)若f(x)+g(x)≥0对任意的x∈[0，+o)恒成立，求实数m的取值范围； x2 (Ⅲ)求证：x>0时，g(x)> e*-1 2)页