4.2.2 换底公式课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第四章 4.2.2 换底公式 1.理解换底公式的证明过程. 2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来,进行对数运算. 学习目标 对数的运算性质 新课导入 思考：1.对数式log24log39可化为2×2=4,那么你会化简log23log32吗? 不会,因为两个对数的底数与真数都是最简的形式,难以求出最后结果,因而需要引入对数的新公式. 新课导入 你能使用科学计算器计算lg2、lg3、 ln2、ln3吗？ lg2≈0.3010, lg3≈0.4771 ln2≈0.6931，ln3≈1.0986 知识讲解 你能使用科学计算器计算log23吗？ 解:设log23=x,则2x=3, 两边取自然对数得: 两边取常用对数得: 知识讲解 由上述计算你可得出什么结论？ 知识讲解 论证换底公式 知识讲解 换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算． 换底公式真神奇 一数等于两数比 真数加底变分子 原底加底变分母 知识讲解 换底公式的结论 知识讲解 知识讲解 ？ ？ ？ ？ 换底公式的理解 知识讲解 √ 知识讲解 例1.计算: (1)log1627·log8132; (2)(log43+log83)(log32+log92). 分析：在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值． 一、换底公式的求值 典型例题 1.在求对数式的值时,若底数不同,运用换底公式化为同底的对数,再利用对数运算性质计算. 2.要注意换底公式的正用、逆用及常用推论的应用. 归纳 典型例题 15 例2.（1）已知a=log23，则用a的代数式表示log38-log26=（ ） A. B. 2a-1 C. D.4a-1 解析：log38-log26=3log32-log26=3log32-log23-1 A 二、换底公式在对数表示中的应用 典型例题 例2. （2）设a>0,且a≠1,x,y满足logax+3logxa-logxy=3,用logax表示logay,并求当x取何值时,logay取得最小值. 统一为a为底 复合二次，配方法；也可以用换元法，将来重点讲. 典型例题 例3.设 ，求 的值. 三、换底公式在条件求值中的应用 典型例题 归纳 1.在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化. 2.对于这类连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解. 典型例题 19 例4.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字). 解: 设最初的质量是1,经过x年,剩留量是y.则 经过1年,剩留量是y=0.841; 经过2年,剩留量是y=0.842; ...... 经过x年,剩留量是y=0.84x . 所以，约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半. 四、换底公式与数学文化 典型例题 1.设log34·log48·log8m=log416，则m的值为（ ） A. B. 9 C. 18 D.27 解析：log34·log48·log8m= 又log416=2，所以log3m=2，∴m=32=9. B 当堂检测 2.已知log62=p,log65=q,则lg 5=　　　　　.(用p,q表示) 解析：lg5= 答案： 当堂检测 3.已知 ，求证： 当堂检测 4.某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ=μ0e-λt,其中μ0,λ是正常数.经检测,当t=2时,μ=0.90μ0,则当稳定性系数降为0.50μ0时,该种汽车已使用的年数为　　　　　.(结果精确到1,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)  当堂检测 1.换底公式及其结论； 2.换底公式在求值等方面的应用. 数学素养： 1.通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养． 2.通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养. 课堂总结 25 $