第4章 2.2 换底公式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦对数运算的核心工具换底公式，衔接对数定义与运算性质，通过从具体问题（如计算器对数转换）出发，构建“问题猜想—严谨证明—应用拓展”的学习支架，帮助学生掌握不同底数对数的转换方法。 资料以“计算器对数转换”现实问题切入，通过问题链引导学生经历换底公式的猜想与证明过程，培养推理能力与创新意识。例题涵盖基础化简、综合应用，配套课时练习，课中助力教师分层教学，课后便于学生巩固提升，强化应用意识。

2.2　换底公式 学习目标　1.会用换底公式进行对数运算.2.能利用对数的运算性质、换底公式进行对数的综合应用. 导语 计算器上，只有常用对数键“LOG”(即“lg”)和自然对数键“LN”(即“ln”)，要计算logab必须将它转换成常用对数或自然对数.你知道如何转换吗？ 一、换底公式的证明和理解 问题1　假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，把其化为对数式可得到什么结论？ 提示　把3x＝5化为对数式为log35＝x，又因为x＝，所以得出log35＝的结论. 问题2　由问题1你能猜测出与哪个对数相等吗？如何证明这个结论？ 提示　结论为＝logab. 证明　令＝x⇒logcb＝xlogca⇒logcb＝logcax⇒b＝ax⇒x＝logab⇒＝logab. 知识梳理　换底公式 一般地，若a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1，则logab＝. 注意点： (1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. (2)换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算及证明. (3)常见的有：logab＝或logab＝. (4)常用结论： ①logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1). ②logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1). ③lobn＝logab(a>0且a≠1，b>0，m≠0). 例1　(课本例3)计算： (1)log2781； (2)log1625·log58； (3)logab·logba(a>0，b>0，且a≠1，b≠1). 解　根据对数的换底公式，得 (1)log2781＝. (2)log1625·log58＝··. (3)logab·logba＝·＝1. 例1　(1)证明：对数换底公式：logab＝. 证明　设logab＝x，则ax＝b， 根据等式性质，两边同时取以c为底的对数仍相等，得logcax＝logcb. ∴xlogca＝logcb，∴x＝， 即logab＝. (2)计算： ①log35×log53＝　　　　；  ②log82＝　　　　.  答案　①1　② 解析　①log35×log53＝1. ②log82＝. 跟踪训练1　(1)已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式可表示为　　　　.  答案　 解析　log32＝. (2)计算：log279＝　　　　.  答案　 解析　log279＝. 二、利用换底公式化简、求值 例2　(课本例4)计算： (1)log4＋log23－log0.5； (2)(log32＋log23)2－. 解　根据对数的换底公式，得 (1)log4＋log23－log0.5 ＝＋log23－ ＝log2＋log23－log25 ＝log2＝log21＝0. (2)(log32＋log23)2－ ＝·· ＝＋2－ ＝2. 例2　求下列各式的值： (1)log1627·log8132； (2)(log32＋log92)(log43＋log83). 解　(1)log1627·log8132＝× ＝××. (2)(log32＋log92)(log43＋log83) ＝ ＝ ＝log32×log23＝××. 反思感悟　利用换底公式化简与求值的思路 跟踪训练2　计算： (1)log29·log34； (2). 解　(1)原式＝··＝4. (2)原式＝× ＝lo×lo9＝× ＝×＝－. 三、换底公式的综合应用 例3　(1)已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log3645. 解　由18b＝5，得log185＝b. 又log189＝a， 则log3645＝ ＝ ＝. (2)设3a＝4b＝36，求的值. 解　方法一　由3a＝4b＝36， 得a＝log336，b＝log436， 则＝log363，＝log364， 所以＝2log363＋log364＝log3636＝1. 方法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得 alog63＝blog64＝log636＝2， 所以＝log63，log64＝log62， 所以＝log63＋log62＝log66＝1. 反思感悟　(1)用已知对数表示其他对数的思路 ①统一底数：巧用换底公式，灵活“换底”是解决此类问题的关键. ②分拆代换：结合对数运算法则，把所求向已知条件靠拢，巧妙代换求值. (2)指数式的连等式求值方法 第一步：可令连等式等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示； 第二步：由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数； 第三步：运用对数的运算性质化简求值. 跟踪训练3　(1)已知log142＝a，试用a表示lo7. 解　方法一　因为log142＝a， 所以log214＝. 所以1＋log27＝. 所以log27＝－1. 所以lo7＝2log27＝2. 方法二　因为log142＝＝a. 所以2＝a(lo7＋2)， 即lo7＝－2＝. (2)已知x，y，z为正数，若3x＝4y＝6z，求的值. 解　令3x＝4y＝6z＝a(a>0)， 所以x＝log3a，y＝log4a，z＝log6a， 所以××. 1.知识清单： (1)换底公式. (2)换底公式的应用. 2.方法归纳：转化法、换元法. 3.常见误区：注意换底公式成立的条件. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.化简log832的值为(　　) A. B.2 C.4 D. 答案　D 解析　log832＝. 2.等于(　　) A.lg 3 B.－lg 3 C. D.－ 答案　C 解析　原式＝lo＋lo ＝lo＋lo ＝lo＝log310＝. 3.下列各式中错误的是(　　) A.logab·logba＝1 B.logcd＝ C.logcd·logdf＝logcf D.logab＝ 答案　D 解析　由换底公式可知logab＝，故D选项错误，ABC项均正确. 4.已知lg 2＝m，lg 3＝n，则log83用m，n来表示的式子是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵lg 2＝m，lg 3＝n， ∴log83＝. 5.若a≠b，且logab＝logba，则ab的值为(　　) A.1 B.2 C. D.4 答案　A 解析　∵logab＝logba， ∴， ∴(lg b)2＝(lg a)2. ∵a≠b，∴lg a＝－lg b，∴lg a＝lg ， ∴ab＝1. 6.的值为(　　) A.－ B. C.－2 D.2 答案　B 解析　. 7.(5分)若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为　　　.  答案　 解析　由已知可得··＝2， 即＝2， ∴lg 3＝2lg a， ∴a2＝3， 则a＝(舍负). 8.(5分)若2a＝3，b＝log32，则ab＝　　　　　　　，3b＋3－b＝　　　　.  答案　1　 解析　∵2a＝3，∴a＝log23， ∴ab＝log23·log32＝log23·＝1， 3b＋3－b＝＝2＋. 9.(10分)计算下列各式的值： (1)(log43＋log83)；(3分) (2)log23·log38＋；(3分) (3)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316.(4分) 解　(1)原式＝ ＝··. (2)原式＝·＝3＋＝3＋2＝5. (3)原式＝log3(32×36)＋log2＋log43·2log34＝log338＋log22＋2＝8＋1＋2＝11. 10.(12分)设xa＝yb＝zc(x，y，z>0且x，y，z≠1)，且，求证：z＝xy. 证明　设xa＝yb＝zc＝k，k>0， 则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk. 因为，所以， 即logkx＋logky＝logkz. 所以logk(xy)＝logkz， 即z＝xy. 11.标准的围棋棋盘共19行19列，361个交叉点，每个交叉点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据最接近的是(lg 3≈0.477)(　　) A.10－37 B.10－36 C.10－35 D.10－34 答案　B 解析　根据题意，对取常用对数得lg＝lg 3361－lg 10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，则≈10－35.8，选项B中的10－36与其最接近. 12.(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A.ab＋bc＝2ac B.ab＋bc＝ac C. D. 答案　AD 解析　由题意知，设4a＝6b＝9c＝M， ∴a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M， ∴＝logM4，＝logM6，＝logM9， ∴＝logM4＋logM9＝2logM6＝，去分母得ab＋bc＝2ac，故选A，D. 13.在某款计算器上计算logab时，需依次按下“log”“(”“a”“，”“b”“)”6个键.某同学使用该计算器计算logab(a>1，b>1)时，误将“log”“(”“b”“，”“a”“)”这6个键依次按下，所得到的值是正确结果的倍，则(　　) A.2a＝b B.a2b＝1 C.a3＝b D.a3＝b2 答案　C 解析　由题意，logba＝logab， 由换底公式得logba＝logab， ∴(logab)2＝9. 又a>1，b>1，∴logab>0， ∴logab＝3，b＝a3. 14.设a＝log36，b＝log520，则log215等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵a＝log36＝1＋log32， b＝log520＝1＋2log52， ∴log23＝，log25＝， ∴log215＝log23＋log25 ＝. 15.(5分)若lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则lg(ab)·(logab＋logba)＝　　　　.  答案　12 解析　因为lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝. 所以lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝＝12， 故lg(ab)·(logab＋logba)＝12. 16.(12分)已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，x＝at. (1)试用a，t表示y；(6分) (2)当0<t≤2时，y有最小值8，求a和x的值.(6分) 解　(1)由题可得logax＋＝3(a>1)， 所以logay＝(logax)2－3logax＋3. 当x＝at时，logax＝logaat＝t， 所以logay＝t2－3t＋3.所以y＝(t≠0). (2)y＝，因为0<t≤2，a>1， 所以当t＝时，ymin＝＝8. 所以a＝16，此时x＝1＝64. 学科网（北京）股份有限公司 $