精品解析：江苏南京市中华中学2026-2027学年第一学期调研试卷（一）高二数学试题

南京市中华中学2026—2027学年第一学期调研试卷（一） 高二数学 考试时间：120分钟　满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 2. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则 ，则. 故选：D． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式和商数关系求得，然后由二倍角公式变形，再结合齐次式变形计算. 【详解】由题意，所以， ， 4. 掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或6”．则事件A与B的关系为（ ） A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B对立 C. 事件A与B独立 D. 事件A包含于B 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义进行判断即可. 【详解】由题意可知：，因为， 所以事件事件A与B不可能是互斥和对立， 因为，， 所以有，因此事件A与B独立， 故选：C 5. 在平行四边形ABCD中， E为线段BC的中点， 则 （ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，然后由表示，结合数量积运算律可得答案. 【详解】因，则. 又，， 则 6. 集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线平行的充要条件求出满足题设的a值，再由古典概型计算所求概率即可得解. 【详解】若直线与直线平行， 则， 取，则取出的有序数对共有个， 其中满足的有序数对有，，，共4个， 所以所求概率为. 故选：B. 7. 已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设，令，，应用数形结合的方法，判断有两个不同的交点时，求的范围即可. 【详解】由题设，令，，即有两个不同的交点， ∵是过定点的直线，是圆心为，半径为2的圆的上半部分， ∴它们的图象如下： 当过时，有两个交点，此时. 当与相切时，即到的距离，解得. ∴由图知：当时，有两个交点. 故选：D 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内角和定理及两角和的余弦、正弦公式，得,在锐角三角形中，可得.由锐角中，可得角B的范围，可得的范围，再由正弦定理可得的范围. 【详解】在中，可得 因为,可得 整理可得：， 整理可得，在锐角中，可得，可得.则，可得. 由正弦定理可得，. 因为，所以，可得，可得 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 10. 已知曲线：（不同时为零），则（ ） A. 上的点的到点的距离的最大值为 B. 上的点的横坐标的取值范围是 C. 围成的图形的面积为 D. 若上有四个点到直线的距离等于，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过对称性确定曲线图形，再结合图形逐项判断即可. 【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称， 当，时，曲线 可化为：，表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆， 其图象为： 对于A：坐标原点到的距离为，所以上的点的到点的距离的最大值为，正确； 对于B：由图象可知上的点的横坐标的取值范围是，故B错误； 对于C:第一象限围成的面积为， 故曲线围成的图形的面积为.C正确； 对于D: 连接第二象限和第四象限的圆心得到直线：，显然与垂直， 画出与两条直线， 由到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于， 由到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于， 所以结合图象可知：若上有四个点到直线的距离等于，则，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（ ） A. 圆台的体积为 B. 直线与下底面所成的角的大小为 C. 异面直线和所成的角的大小为 D. 圆台外接球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项，算出圆台上底面圆、下底面圆的面积和高即可求出圆台的体积； 对于B选项，根据线面角的定义计算即可； 对于C选项，取中点，连接，，，得到四边形为平行四边形，根据异面直线所成角的定义求解即可； 对于D选项，找出外接球半径并求出即可求解. 【详解】A.做圆台的轴截面如图所示，做，，得到四边形为平行四边形， 因为上底面圆的面积为， 下底面圆的面积为， 圆台的高， 则圆台的体积为，故A错误； B.与下底面所成的角为， 且，则， 且，则， 所以，故B正确； C.取中点，连接，，， 由为弧中点可得， 过点作，连接， 则，且，且， 则四边形为平行四边形， 所以，则异面直线和所成的角为与所成角， 即为，又，， 所以，在中，，， 则为等腰直角三角形，则，故C正确； 取中点，中点，连接，在上找一点，使得， 设，则， 由勾股定理得， 解得，即圆台外接圆的半径为， 所以圆台外接球的表面积为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围． 【详解】因为直线的倾斜角是钝角， 所以斜率，解得． 所以的取值范围是，． 故答案为：，． 13. 已知直线与圆交于A、B两点，且，其中O为原点，则实数a的值为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据题意作图即可得结果． 【详解】因为，所以，画图如下，,则或． 故答案为：2或 14. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求得外接圆半径，得到的外接圆的半径为，进而求得球心到所在小圆的距离为，再由余弦定理，结合基本不等式求得，得到面积的最大值为，利用锥体体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设圆的半径为， 在中，因为， 由正弦定理得，可得， 即的外接圆的半径为， 因为为球的直径，且，可得球的半径为， 所以球心到所在小圆的距离为， 则点S到平面的距离为， 在中，由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，即， 所以面积的最大值为， 故三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.根据球的性质求点点S到所在小圆的距离； 2.利用余弦定理结合基本不等式求面积的最大值. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，所对的边分别是，，，的面积为，且． （1）求角； （2）若为的中点，，的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式结合题设可得，进而求解即可； （2）由三角形的面积公式结合题设可得，再根据平面向量的线性运算及运算律可得，进而根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由，得，则， 又，则. 【小问2详解】 由，即， 因为为的中点， 所以， 则， 即，由余弦定理得，即. 16. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~五组区间分别为，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】（1）20， （2）32.25，37.5 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解的值即可； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为． 由图可得，解得． 【小问2详解】 由题意得平均数为， 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为． 【小问3详解】 由题意得第3组的人数，第4组人数频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人． 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，， ，，，，，，，共有10种． 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有，， ，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为． 17. 如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为为等边三角形，且D是的中点， 所以，由正三棱柱的性质知，平面， 因为平面，所以， 又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先证明，，从而知平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证； （3）先将问题转化为求点B到的距离，再利用等体积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知平面， 以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离， 由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而2， 4， 设点B到平面ADC1的距离为d， 因为， 所以，即，解得d， 所以直线A1B到平面ADC1的距离为． 18. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）因为直线， 即，由，得， 所以直线恒过定点． （2）或 （3）的最小值为16，此时直线的方程为 【解析】 【分析】（1）将的方程变形为，进而可得定点； （2）分、两种情况结合截距的定义及题设求解即可； （3）结合（2）可得，，进而根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 当时，，即，显然不满足题意； 当时，令，得；令，得， 由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或， 则直线的方程为或. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 由（2）及题意知，， 且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由，解得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16，此时直线的方程为，即. 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． （1）过点的直线被曲线所截得的线段长为，求直线的方程； （2）过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； （3）已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）的最大值：，的最小值：. （3）当时，为定值，当时，为定值 【解析】 【分析】（1）使用几何法求直线与圆弦长问题，计算直线的斜率求解； （2）通过圆的定义确定点的轨迹，得出点的轨迹方程，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题求解； （3）设，使用解析法计算定值求解. 【小问1详解】 设，由，得，即， 曲线的方程为，即曲线是以为圆心，2为半径的圆， 当直线斜率不存在时，直线方程为：，直线被曲线所截得的线段长为，符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为：， 圆心到直线的距离为：，则，解得，即，，此时直线方程为：，即， 所以直线的方程为：或. 【小问2详解】 设，由题意知，即，则点的轨迹是以为直径的圆， 中点为，，所以圆半径为，点的轨迹方程为：， 的最大值：，的最小值：. 【小问3详解】 设，则，即， ， 设，， 设，则， 即对满足的所有恒成立， 则有，解得或， 所以当时，，当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市中华中学2026—2027学年第一学期调研试卷（一） 高二数学 考试时间：120分钟　满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 2. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或6”．则事件A与B的关系为（ ） A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B对立 C. 事件A与B独立 D. 事件A包含于B 5. 在平行四边形ABCD中， E为线段BC的中点， 则 （ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 6. 集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 10. 已知曲线：（不同时为零），则（ ） A. 上的点的到点的距离的最大值为 B. 上的点的横坐标的取值范围是 C. 围成的图形的面积为 D. 若上有四个点到直线的距离等于，则 11. 如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（ ） A. 圆台的体积为 B. 直线与下底面所成的角的大小为 C. 异面直线和所成的角的大小为 D. 圆台外接球的表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________． 13. 已知直线与圆交于A、B两点，且，其中O为原点，则实数a的值为________． 14. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，所对的边分别是，，，的面积为，且． （1）求角； （2）若为的中点，，的面积为，求． 16. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~五组区间分别为，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 17. 如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线到平面的距离． 18. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． （1）过点的直线被曲线所截得的线段长为，求直线的方程； （2）过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； （3）已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $