2026-2027学年度扬州市高二数学上学期第一次月考仿真模拟练习卷

2026~2027学年度扬州市高二上学期第一次月考 数 学 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 2．若在复平面内，复数所对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由点的坐标写出，从而可求出. 【详解】依题意，得，则. 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的坐标互化，考查了复数的乘法.易错点是把 的值误当做进行运算. 3．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 4．已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆的弦长公式及点到直线距离公式列式求解. 【详解】由直线被圆截得的弦长为， 得圆心到直线的距离为， 因此，整理得，解得， 所以直线的斜率. 5．已知点，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以直线过定点，    所以，， 直线在到之间， 所以或，故选A． 6．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解. 【详解】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 7．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，使，点，点，而且其“欧拉线”与圆相切，则圆E的半径r为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定欧拉线，再利用中点坐标公式和直线垂直性质求出欧拉线方程，最后根据直线与圆相切的性质求出圆的半径. 【详解】由已知，所以是等腰三角形， 因为等腰三角形三线合一，所以欧拉线为边的高线. 因为，，所以的中点坐标为即. 又因为，所以欧拉线的斜率为. 所以欧拉线的直线方程为，即. 又因为该欧拉线与圆相切，所以有 ，即. 8．已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足           二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（    ） A． B．复数的共轭复数为 C．复平面内表示复数的点位于第二象限 D．复数z是方程的一个根 【答案】ACD 【分析】利用复数除法法则和模长公式对A作出判断，由共轭复数的定义判断B，由复数的几何意义判断C；代入检验得到D正确. 【详解】因为，所以， 所以，故A正确； 由题意得，故B错误： 复平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限，故C正确； 因为， 所以复数是方程的一个根，故D正确． 10．下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线的倾斜角为120° C．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 D．与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条 【答案】BC 【分析】求出直线过的定点，即可判断A； 根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角，可判断B; 计算圆心到直线的距离，即可判断C的对错； 求出与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线，看有几条即可判断D的对错. 【详解】可变形为 ， 令 ，得 ， 即直线过定点 ，故A错； 直线的斜率为 ，故其倾斜角为 ，故B正确； 圆的圆心到直线的距离为 ， 圆的半径为2，故圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故C正确； 当直线不过原点时，设直线与圆相切， 则 ，解得，则满足题意； 当直线不过原点时，设直线与圆相切， 则 ，解得，则满足题意； 所以满足题意得直线有三条，故D错误， 故选：BC 11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（     ） A．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； B．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； C．阴影部分的面积为； D．阴影部分的内外边界曲线长为. 【答案】ABD 【分析】由“水滴”形状性质可得其与轴的上下两交点之间的距离最大，可得A正确；利用圆的参数方程以及三角函数值域可得B正确；由阴影面积形状并利用割补法求出阴影部分面积，可判断C错误；利用弧长公式计算可得D正确. 【详解】对于A，由于，令时，整理得， 解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A， 则点A的坐标为，点， 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A正确； 对于B，由于，整理得：， 所以，所以到坐标轴的距离为或， 因为， 所以，， 所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确； 对于C，由于，令时，整理得， 解得， 因为表示以为圆心，半径为的圆， 则， 且，则在x轴上以及x轴上方， 故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆， 根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧， 设，则，即所对的圆心角为， 同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为， 阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧， 设，可得，所对的圆心角为， 同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为， 故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成， 所以它的面积是. 轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为， 第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和， 且等于， 所以阴影部分的面积为，故C错误； 对于D，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为， 轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为， 所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知直线与直线垂直，则______． 【答案】 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，得. 13．已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 14．已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 【答案】2 【分析】利用得，则从点向圆作两条切线，设切线夹角，设切线与的夹角为，则，即，可得，所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上，从而可计算线段长度的最大值. 【详解】由圆得圆心，半径. 圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，点在圆外. 因为圆上存在两点，，使得成立， 所以. 所以从点向圆作两条切线，设切线夹角为，则. 设切线与的夹角为，则. 又因为，所以. 所以，则. 所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上. 直线被以为圆心，半径为3的圆截得的弦长为. 所以线段长度的最大值为2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知是虚数单位，复数满足． (1)求的虚部与； (2)为复数的共轭复数，若为纯虚数，求与； (3)复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)虚部为，； (2)， (3)且 【分析】（1）化简复数，即可求出复数的虚部和模； （2）由（1）可求出，再根据纯虚数的定义即可求出； （3）先求出复数，再根据其在复平面内对应的点在第二象限，求出的取值范围即可. 【详解】（1）由，所以的虚部为，； （2）由（1）可得，则，又为纯虚数，所以； （3）因为，且在复平面内对应的点在第二象限， 所以，故且． 16．已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 【答案】(1) 由直线，整理成， 由，解得，则直线恒过定点 (2) (3)或 【详解】（1）略 （2）根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． （3）设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 17．设直线的方程为. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值及S最小时直线的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)最小值是6， 【分析】（1）根据截距的定义分类讨论计算即可； （2）利用直线的性质列出参数a的范围计算即可； （3）直接计算A、B的坐标，含参表示三角形面积，根据基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）当直线l过原点时满足条件，此时，即，则直线l的方程为； 当直线l不过原点时，由直线l在两坐标轴上的截距相等可知其斜率为， 故，即，可得直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或； （2）∵l不经过第二象限，∴. 解得. ∴实数a的取值范围是. （3）对于方程， 令，解得，由题知，解得； 令，解得，由题知，解得或. 综上可得. ∴ ， 当且仅当，即时取等号, ∴的面积S的最小值是6，此时直线l的方程为. 18．已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【详解】（1）法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， （3）存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 19．已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)①②. 【分析】（1）由圆的弦长公式可求得圆的方程，再分别讨论过点的圆的切线斜率不存在和存在两种情况，利用直线和圆的位置关系计算得到切线方程； （2）①由可得，结合两点间的距离公式，化简可得结果；②由中点条件将 与 的关系转化为直线 与单位圆相交，从而得到 ；再在此范围内分段讨论 的单调性，合并各段值域即得最终取值范围. 【详解】（1）由题意，过点且斜率为的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为， 所以过点的圆的切线方程为或. （2）①设点，则，， 因为，，所以， 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以， 又，，解得，所以常数. ②由①知， ，所以圆 ，，， 曼哈顿距离： 因为直线 过 ，与圆交于 ，且 为 的中点，设 ，则 ， 由 在圆 上，得 又 在圆上：，两式相减得 因为直线 与圆有两个交点，分别为， 故圆心到该直线的距离小于1，所以， 整理得，解得，所以 ， 令，在 上分段求值域： 当，，在上单调递减，所以此时值域为； 当，，在上单调递增，所以此时值域为； 当，， 时取最大值 ，值域为 ； 当， ，在上单调递增，值域为 ； 综上所述，. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C B A C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由，所以的虚部为，； （2）由（1）可得，则，又为纯虚数，所以； （3）因为，且在复平面内对应的点在第二象限， 所以，故且． 16．（15分） 【详解】（1）略 （2）根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． （3）设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 17．（15分） 【详解】（1）当直线l过原点时满足条件，此时，即，则直线l的方程为； 当直线l不过原点时，由直线l在两坐标轴上的截距相等可知其斜率为， 故，即，可得直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或； （2）∵l不经过第二象限，∴. 解得. ∴实数a的取值范围是. （3）对于方程， 令，解得，由题知，解得； 令，解得，由题知，解得或. 综上可得. ∴ ， 当且仅当，即时取等号, ∴的面积S的最小值是6，此时直线l的方程为. 18．（17分） 【详解】（1）法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， （3）存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 19．（17分） 【详解】（1）由题意，过点且斜率为的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为， 所以过点的圆的切线方程为或. （2）①设点，则，， 因为，，所以， 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以， 又，，解得，所以常数. ②由①知， ，所以圆 ，，， 曼哈顿距离： 因为直线 过 ，与圆交于 ，且 为 的中点，设 ，则 ， 由 在圆 上，得 又 在圆上：，两式相减得 因为直线 与圆有两个交点，分别为， 故圆心到该直线的距离小于1，所以， 整理得，解得，所以 ， 令，在 上分段求值域： 当，，在上单调递减，所以此时值域为； 当，，在上单调递增，所以此时值域为； 当，， 时取最大值 ，值域为 ； 当， ，在上单调递增，值域为 ； 综上所述，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度扬州市高二上学期第一次月考 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版选择性必修第一册1-~2章+复数 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A． B． C． D．不存在 2．若在复平面内，复数所对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 3．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 5．已知点，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 6．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，使，点，点，而且其“欧拉线”与圆相切，则圆E的半径r为（   ） A． B． C． D． 8．已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（    ） A． B．复数的共轭复数为 C．复平面内表示复数的点位于第二象限 D．复数z是方程的一个根 10．下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线的倾斜角为120° C．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 D．与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条 11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（     ） A．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； B．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； C．阴影部分的面积为； D．阴影部分的内外边界曲线长为. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知直线与直线垂直，则______． 13．已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 14．已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知是虚数单位，复数满足． (1)求的虚部与； (2)为复数的共轭复数，若为纯虚数，求与； (3)复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 16．已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 17．设直线的方程为. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值及S最小时直线的方程. 18．已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $