江苏省南京市第二十九中学2026-2027学年第一学期高二年级质量检测数学试卷

南京29中2026-2027学年第一学期高二年级质量检测 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．为实数，则实数为（ ） A． B． C． D． 3．现有样本数据：5，9，11，13，15，20，22，25，则这组数据的75%分位数为（ ） A．5 B．13.5 C．21 D．22 4．“”是“直线：与直线：垂直”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知实数，满足方程，求的最大值和最小值（ ） A．， B．， C．， D．， 6．已知，，直线：上存在点，满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 8．已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题．每小题6分，共18分．） 9．已知曲线：（）的两个焦点分别为，，点为曲线上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A．当时，曲线的长轴长为4 B．当时，若曲线的渐近线为，则曲线的焦距为 C．当时，使为直角三角形的点有6个 D．当时，若，则 10．下列结论正确的是（ ） A．若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B．直线被圆所截得的最短弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 11．如图，圆锥内有一个内切球，球与母线，分别切于点，．若是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为2∶3 B．平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C．四面体的体积的取值范围是 D．若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知圆：与：，则圆与圆的公共弦长为________． 13．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）．若，，则的最小值为________． 14．已知，分别为椭圆：（）的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15．已知圆与直线相切于点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线过点且被圆所截得的弦长为8，求直线的方程． 16．在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若的面积为，，求的值． 17．已知抛物线：（）的焦点是，点在上，以为圆心，为半径的圆交轴于，两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围． 18．如图，在三棱锥中，底面，平面平面是的中点． （1）求证：； （2）若，，，且与平面所成角为30°， （ⅰ）当时，求三棱锥的体积； （ⅱ）当取最大值时，求二面角的正弦值． 19．已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设，分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆上不同的两点， （ⅰ）若，关于直线对称，求实数的取值范围； （ⅱ）若，关于轴对称，直线和交于点．过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $