专题5.5 三角恒等变换专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题5.5 三角恒等变换 考点预览 考点一 两角和与差公式的应用 考点二 二倍角公式的应用 考点三 辅助角公式与化简求值 考点四 角的变换（凑角与拆角） 考点五 恒等变换与性质的综合 一、知识填空 1．两角和与差的余弦、正弦、正切 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ， 。 2．二倍角公式 （1） ； （2） ＝ ＝ ； （3） 。 3．辅助角公式 （1） ，其中 ； （2） ； （3） 。 4．常用的升幂与降幂 （1） ， ； （2） ， ； （3） 。 5．解题步骤 （1）先观察角的差异，常用 把未知角拆成已知角的和或差； （2）函数名不统一时，用 或 化为同名； （3）求最值、周期时优先用 把式子化为"一角一函数"。 二、考点专练 考点一 两角和与差公式的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：式子中出现 、、 这类非特殊角，或给出 ， 要求 。 1. 操作流程：先确定所求角能不能拆成两个特殊角的和差，再套公式展开，最后代入特殊角的值。 1. 技巧·口诀： 的展开"同名相乘、符号相反"， 的展开"异名相乘、符号相同"，正切是"上加下减"。 1. 易错点：套 时要先确认 ，否则分母为零、公式失效；另外用平方关系求 时必须先看象限定符号。 【例题精讲】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，且 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5． 的值等于（　　） A． B． C． D． 6． 的值等于（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 考点二 二倍角公式的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：已知单角的三角函数值，要求 的三角函数值；或式子中出现 、 这类结构。 1. 操作流程：先判断用哪一个二倍角形式（余弦有三种，要看已知量选最省事的那种），再整体代入。 1. 技巧·口诀： 用 ； 已知正弦选 ，已知余弦选 ；。 1. 易错点： 的分母是 ，常写成 ；另外 与 完全不同，别把倍角当成系数。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 3． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 4． 的值等于（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6． 的值等于（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 考点三 辅助角公式与化简求值 方法与技巧： 1. 识别信号：式子是 型，要求最值、值域、周期或单调区间。 1. 操作流程：先算出 a2+b2 并提出来，再把括号内的系数配成某个角的余弦与正弦，最后写成一个正弦（或余弦）。 1. 技巧·口诀：提出 a2+b2、凑 、、 三个特殊角； 一定化出 ， 一定化出 。 1. 易错点：辅助角 的象限要由 ， 的符号共同确定，只看 会差一个 ；另外 a2+b2 不要漏掉根号。 【例题精讲】 1．函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 2．化简 得（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数 的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 的最大值与最小正周期分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．化简 得（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 2．化简 得（　　） A． B． C． D． 3．函数 的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 6．化简 得（　　） A． B． C． D． 7．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 考点四 角的变换（凑角与拆角） 方法与技巧： 1. 识别信号：已知的是 、 这类"组合角"的值，要求的却是另一个组合角的值。 1. 操作流程：先把所求角写成"已知角 特殊角"的形式，再用诱导公式或和差公式转化为已知量。 1. 技巧·口诀：看到 或 的差距就想到诱导公式；看到 ， 同时出现，就用 拆出 。 1. 易错点：拆完角还要重新判断新角的象限，才能确定开方后的符号；这一步漏掉是本题型最主要的失分原因。 【例题精讲】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ， 均为锐角，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．已知 ， 为锐角，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 考点五 恒等变换与性质的综合 方法与技巧： 1. 识别信号：题目同时出现"化简"与"求周期、最值、值域"，或函数式里混着 、、。 1. 操作流程：先用降幂公式把二次式降成一次式，再用辅助角公式合成一角一函数，最后才套周期与最值。 1. 技巧·口诀：，，；周期只看 的系数 ，。 1. 易错点：降幂后角变成 ，周期随之减半，但常数项 不影响周期却影响最值，算值域时别把它漏掉。 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的最小正周期与最大值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 2．函数 在区间 上的最大值是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 4．函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 6．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．化简 得（　　） A． B． C． D． 5．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8． 的值等于（　　） A． B． C． D． 9．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 10．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 11．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 12．已知 ， 均为锐角，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 三角恒等变换 考点预览 考点一 两角和与差公式的应用 考点二 二倍角公式的应用 考点三 辅助角公式与化简求值 考点四 角的变换（凑角与拆角） 考点五 恒等变换与性质的综合 一、知识填空 1．两角和与差的余弦、正弦、正切 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ， 。 2．二倍角公式 （1） ； （2） ＝ ＝ ； （3） 。 3．辅助角公式 （1） ，其中 ； （2） ； （3） 。 4．常用的升幂与降幂 （1） ， ； （2） ， ； （3） 。 5．解题步骤 （1）先观察角的差异，常用 把未知角拆成已知角的和或差； （2）函数名不统一时，用 或 化为同名； （3）求最值、周期时优先用 把式子化为"一角一函数"。 自检自纠： 1．（1） （2） （3） （4） （5）； 2．（1） （2）；； （3） 3．（1）； （2） （3） 4．（1）； （2）； （3） 5．（1）拆角（凑角） （2）诱导公式；同角基本关系 （3）辅助角公式 二、考点专练 考点一 两角和与差公式的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：式子中出现 、、 这类非特殊角，或给出 ， 要求 。 1. 操作流程：先确定所求角能不能拆成两个特殊角的和差，再套公式展开，最后代入特殊角的值。 1. 技巧·口诀： 的展开"同名相乘、符号相反"， 的展开"异名相乘、符号相同"，正切是"上加下减"。 1. 易错点：套 时要先确认 ，否则分母为零、公式失效；另外用平方关系求 时必须先看象限定符号。 【例题精讲】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】； 代入得 。故选 A。 2．已知 ，，且 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，由 得 ； 故 。故选 A。 【变式训练】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 3．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ； 故 。故选 A。 【巩固练习】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ； 故 。故选 A。 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 5． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】逆用两角和的余弦公式，原式 。故选 A。 6． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】逆用两角差的正弦公式，原式 。故选 C。 7．已知 ，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由象限得 ，； 故 。故选 A。 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 考点二 二倍角公式的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：已知单角的三角函数值，要求 的三角函数值；或式子中出现 、 这类结构。 1. 操作流程：先判断用哪一个二倍角形式（余弦有三种，要看已知量选最省事的那种），再整体代入。 1. 技巧·口诀： 用 ； 已知正弦选 ，已知余弦选 ；。 1. 易错点： 的分母是 ，常写成 ；另外 与 完全不同，别把倍角当成系数。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ； 故 。故选 A。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知余弦，取 。故选 B。 【变式训练】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 。故选 A。 3． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 。故选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知正弦，取 。故选 B。 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】逆用正切的二倍角公式，原式 。故选 B。 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选 C。 4． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原式 。故选 C。 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 6． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 。故选 B。 7．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选 C。 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】降幂得 ； 又 ，故原式 。故选 B。 考点三 辅助角公式与化简求值 方法与技巧： 1. 识别信号：式子是 型，要求最值、值域、周期或单调区间。 1. 操作流程：先算出 a2+b2 并提出来，再把括号内的系数配成某个角的余弦与正弦，最后写成一个正弦（或余弦）。 1. 技巧·口诀：提出 a2+b2、凑 、、 三个特殊角； 一定化出 ， 一定化出 。 1. 易错点：辅助角 的象限要由 ， 的符号共同确定，只看 会差一个 ；另外 a2+b2 不要漏掉根号。 【例题精讲】 1．函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】； 故最大值为 。故选 B。 2．化简 得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 【变式训练】 1．函数 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】32+42=5，故 ，最小值为 。故选 B。 2．若 ，则 的最大值与最小正周期分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】，最大值为 ，最小正周期 。故选 A。 3．化简 得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 。故选 A。 【巩固练习】 1．函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故最大值为 。故选 C。 2．化简 得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．函数 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】52+122=13，故最小值为 。故选 B。 4．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选 C。 5．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故最小正周期 。故选 C。 6．化简 得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 。故选 A。 7．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故值域为 。故选 B。 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两边平方得 ，故 ； 于是 。故选 A。 考点四 角的变换（凑角与拆角） 方法与技巧： 1. 识别信号：已知的是 、 这类"组合角"的值，要求的却是另一个组合角的值。 1. 操作流程：先把所求角写成"已知角 特殊角"的形式，再用诱导公式或和差公式转化为已知量。 1. 技巧·口诀：看到 或 的差距就想到诱导公式；看到 ， 同时出现，就用 拆出 。 1. 易错点：拆完角还要重新判断新角的象限，才能确定开方后的符号；这一步漏掉是本题型最主要的失分原因。 【例题精讲】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ； 故 。故选 A。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ； 故 。故选 A。 【变式训练】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ； 故 。故选 A。 2．已知 ， 均为锐角，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 为锐角得 ，由 为锐角得 ； 又 ，故 。故选 A。 3．已知 ，，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，； 故 ； 又 为锐角，故 。故选 C。 【巩固练习】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 ； 故 。故选 B。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ； 故 。故选 A。 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，得 ； 解得 ，即 。故选 A。 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ； 故 。故选 A。 5．已知 ， 为锐角，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件得 ，； 又 ，故 。故选 A。 6．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ； 故 。故选 A。 7．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由象限得 ，故 ，； 于是 。故选 A。 8．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 。故选 A。 考点五 恒等变换与性质的综合 方法与技巧： 1. 识别信号：题目同时出现"化简"与"求周期、最值、值域"，或函数式里混着 、、。 1. 操作流程：先用降幂公式把二次式降成一次式，再用辅助角公式合成一角一函数，最后才套周期与最值。 1. 技巧·口诀：，，；周期只看 的系数 ，。 1. 易错点：降幂后角变成 ，周期随之减半，但常数项 不影响周期却影响最值，算值域时别把它漏掉。 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故最小正周期 。故选 B。 2．函数 的最小正周期与最大值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】，周期 ，最大值为 。故选 A。 【变式训练】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故最小正周期 。故选 B。 2．函数 在区间 上的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】； 当 时取最大值 。故选 B。 3．函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，则 ； 当 时取最大值 。故选 A。 【巩固练习】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 3．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】这里 ，故 。故选 C。 4．函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】； 故最大值为 。故选 A。 5．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 6．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。故选 B。 7．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平方得 ，故 ； 又 ，故 ，，解得 ，； 于是 。故选 A。 8．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】； 故 。故选 A。 三、达标检测 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分子分母同除以 ，原式 。故选 A。 3．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选 C。 4．化简 得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 。故选 A。 5．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。故选 B。 6．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ； 故 。故选 A。 7．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选 C。 8． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 。故选 A。 9．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】降幂得 。故选 B。 10．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。故选 B。 11．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平方得 ，故 ； 于是 。故选 A。 12．已知 ， 均为锐角，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件得 ，； 又 ，故 。故选 A。 学科网（北京）股份有限公司 $