14 三角恒等变换-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(人教A版)

高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（十四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 三角函数定义与差 1 选择题 易 0.80 角正弦公式的应用 2 选择题 5 利用半角公式求值 易 0.75 利用和角的正切公 选择题 易 0.72 式求角 三角变换与比较大 4 选择题 5 中 0.55 小的综合 三角形中的三角恒 5 选择题 5 中 0.45 等变换 差角公式的实际 6 选择题 5 中 0.30 应用 7 选择题 6 知角求值 中 0.50 三角变换与三角函 选择题 6 数性质的综合（数学 L 中 0.40 文化题) 由和差角余弦公式 9 填空题 5 易 0.71 求值 和差化积公式与三 10 填空题 5 中 0.35 角函数性质的综合 给值求值、给值求角 11 解答题 13 中 0.60 问题 由三角变换化简三 角函数式，研究正弦 12 解答题 15 中 0.45 型函数的单调性与 值域 利用三角变换解决 13 解答题 20 平面几何中的最值 L L 难 0.25 问题 ·53· ·数学（人教A版）必修第一册· 参考答案及解析 考答案及解析 一、选择题 的交点为M,因为∠COB=∠AOB=平，所以∠AOC 1.B【解析】由题意，得sing=是=25 5 5,cos B=1 5 =受，又0C=0A,所以∠ACG=∠AC0=平，设0A 得，则sm(子）=smos吾-cosn是-25 5 二a,侧则OB=OE=a,所以OM=MB=号a,所以 ×号×号-故选B a ，则eos。 tan∠EBH=tan∠EBM= 2+E=2+1, 2.A【解析】a为第三象限角，且sina=一 a sin色 所以tana=1,tanB=√2+l,所以tan(a-B)= =一 ，则am号 cos a sin 2cos2 1ana-tanB=1-2-1=1-反，故选D. 1+tan atan B1+(√2+1) 1-cos a 1-() -3.故选A sin a 5 3.C【解析】依题意tan atan B=-5,tana十tanB=6, .tana十tan 6 所以an(a十)=naan--可=1，因 为a,g∈(0，元)，又tan atan B=-5<0,所以a十B∈ (受，受），所以a时平故选C 二、选择题 4D【解折】因为a=子os-号n5=n80 7.AB【解析】对于A,sin102°cos42°-cos102°· cos5°-cos30°sin5°=sin(30°-5°)=sin25°，b= 2sin14° 0s48=m102”-42）=m60=9,故A正确： 2tan14° c0s14 2sin14°cos14° 1十tan14 1 sin214 cos14°+sin14° 对于B巴为温=m(2g+7)=n6的 c0s214 =5,故B正确：对于C,sn2.5sin67.=号· sin28°，c= /1-cos58 /1-(1-2sin29°) 2 sin29°，函数y=sinx在(0°，90°)上单调递增，且0° 2n2.5s2,5-m4行=×号-9放C 2 <25°<28°<29°<90°，所以sin29°>sin28°> 错误；对于D,cos275°-sin75°=cos(2X75°)= sin25°，即c>b>a.故选D. c0s150°= 号故D销误散选AR 5.C【解析】设BC边上的高为AD,则BC=3AD,设 8.AD【解析】由已知有ver sin0=1-cosa,cover sin9 AD=h,BD=AD=h.BC=3h,..DC=2h,. =l-sin0,对于A,y=cover sin x+ver sin x= Ch.co,in Cox(2026- (1-sinx)+(1-cosx)=2-√2cos(x-买)，当x A)=cosA=-cos(B+C)=-0s平c0sC+sin ∈[平，]时，x-于∈[0，x],此时函数y sinc=-x25+x5=-D.枚选C. 2 5 2 5 10 巨cos(x-平)单调递减，函数y=2-√Ecos(x 6.D【解析】连接AB,BC,CD,DE,EF,FG,GH,HA, 设线段AE与CG的交点为O,线段BH与线段AE 牙)单调递增，A正确：对于B,O心号 ver sin x-1 ·54· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第一册· 1-sin -1 1-c0sx-1 =tan=3,cover sin 2x-ver sin 2x 又因为na=7sin(ge)-, 1 =cos 2x-sin 2x=cos'x-sin'x-2sin xcos a- cos'x-sin'r-2sin xcos I1-tan'x-2tan x 所以cs。=V个。-49， sina+cos2x tan'x1 子，B错误：对于Cf()=ver sin(2026x-号) cos(B-a)-T-sin(B-a)5 14 所以sinB=sin(B-a十a) +cover sin(2026x+否）=1-cos(2026x-号） =sin (B-a)cos a+cos(B-a)sin a 1-sin(2026x+吾）=2-eos[(2026x+晋） ×5×, (5分) ]-sn(2026x+g）=2-2sin(2026x+吾)， 因为c(0,受)，所以B=吾 (7分) 则f(x)的最小值为0，C错误：对于D, (2)由(1D知，sina=子cosa=9 1 7 ver sin(5-0）=1-cos(-9）=1-sin日= 故sin2a=2 sin csa=2X号×4y5_85 7 49 cover sin,D正确.故选AD. 三、填空题 os2a=1-2ma=1-2x(号）'-0， (11分) 9.6 桥】：cos(a十B)=6,cos(a-B 所以cos(2a-B)=cos2 acos B+sin2 asin B cos(a+)=cos acos Bsin asin 1 ×+晋×-品 (13分) 12.解：(1)f(x)=2cos2w.x+√3sin2x 2 cos(a-g)=cos acosB+-sin asin月=3， =1十cos2wx十√3sin2wx sin asin B= 4 (3分) tana·tanB= 3 =1+2sin(2ar+晋）， cos acos=12 5 :相邻两个对称中心之间的距离为号子， 10号 【解析】根据和差化积公式得f(x)=cos3x ÷两数f)的同期T-无= os2z=-2sin3u2zsin3,2g=-2sin号· 5x 解得w=1, (5分) 2 2 f(x)=1+2sin(2x+晋）. (6分) sin受，则令-2n受sin号=0，当sin号=0时，因 为x∈(0，)，则号∈(0，受），此时无解，当sn号 (2)由(1)知f(x)=1+2sin(2x+若)， =0时，因为x∈(0，)，则受∈(0，号)，则受=元 令=2x+晋 ”y=sint的单调递增区间为 或2x,解得x=或x=红，则一=暂- 受+2m,受十 2kπ，k∈Z, (9分) 四、解答题 ·.-受+2m≤2x+晋≤受十2kπ，∈Z 11.解：(1)因为a,8∈(0，受) “-受十kx≤x≤交+k,k∈Z, 3 6 所以A-ae(-受，受) 故f(x)的单调递增区间是[ 则cosa>0,cos(B-a)>0, (k∈Z). (12分) ·55· ·数学（人教A版）必修第一册· 参考答案及解析 (3)由函数y=f(x)单调性可知，f(x)在 ire 晋]上单调递增，函数值从0增大到3， 1 sin2a- ×1-cos2@ 3 2 在(：，]上单调递减，函数值从3减小到2， 2 sin 2a 6cos 2a-3 3 六函数)在x∈[-吾，号]时的值城为03. n(2+音）g, (15分) 13.解：(1)过点P作OA的垂线，垂足为D, 由于0<<晋， 在Rt△PDO中，PD=sina,OD=cosa 在Rt△PDC中，PD=CDtan 0, 故君<2a+吾<管 则CD=PD=sina tan0√5 故当2a十晋=受，即。=若时，f(a)取得最大值为 (14分) 3)由题得go)5[a)+]-m(2a十吾) 则gx)=sin(2x+若）=春， 由于晋≤≤号， a 0 C 所以OC=OD-CD=osa-sine, 所以号≤2x<， 3 所以S四边形xPQ=f(a)=OC·PD 故os(2x+晋)=-号 ()=sin(2x+2)=cos 2r 专血2a聘（号） (6分) =0s(2x+晋-晋） (2②)由(1)知：f(a)=分sin2aa产(0<a<子)， =cos(2x+晋)os晋+sim(2x+晋)sin君 故平行四边形OCPQ的面积f(a)=号sin2a 10 ·56·高一同步周测卷/数学必修第一册 (十四)三角恒等变换 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知角B的终边上一点P的坐标为(1,2)，则sin(8-)- A.-10 B.0 10 10 c-号 n 2.若a为第三象限角，且sina=- 则tam号 A.-3 1 B.一3 C.2 D.-2 3.已知a,3∈(0，π)，且tana、tan3是方程x2一6x一5=0的两根，则a十3的值为 A. B C. .牙 4设a 2cos5°一3： 2tan14° 玉。227”、 一cos58,则有 2 A.a>b>c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 5.在△ABC中，B=平，BC边上的高等于3BC,则cOs(2026元-A)= A.30 B.v10 10 10 C.-10 D.-310 10 10 数学（人教A版）必修第一册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 6.如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端A,B,C,D,E,F,G,H恰好可以 围成一个正八边形，设∠ACG=a,∠EBH=B,则tan(a一B)= A.-3 B.-22 C.-22+1 D.1-√2 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列选项正确的是 A.sin102°cos42°-cos102°cos48°=5 B器站=有 C.sin22.5°sin67.5°=2 D.cos275°sin275°=-号 8.在数学史上，曾经定义过下列两种三角函数：1一cos0为角0的正矢，记作ver sin0;1 sin0为角0的余矢，记作cover sin 0.则下列说法正确的是 A.函数y=cover sin x十ver sin x 在[？]上单调递增 B.若cover sin1=3,则cover sin2x-ver sin2.x= 7 ver sin x-1 5 C.若函数f(x)=ver sin2026x- )十over sin(2026x+),则fu)的最小值为一2 D.ver sin()-cover sin 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 高一同步周测卷十四 数学（人教A版）必修第一册第2页（共4页) 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知cos(a十)=行，cos(a-)=号，则tan ctan月的值为 10.已知x1,x2是函数f(x)=c0s3x一cos2x,x∈(0，π)的两个零点，则 x1-x2= 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知sina=sim(g。)=费，且e9e(0,受》) (1)求3的值； (2)求cos(2a-B)的值. 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=2cos2wx十√3sin2wx(w>0),其相邻两个对称中心之间的距离 为受 (1)求函数f(x)的表达式； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)求函数(x)在x∈[一，牙]时的值域 6’3 数学（人教A版）必修第一册第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 如图，已知扇形AOB的半径为1，圆心角为日=号，P是扇形弧上的动点（不与A,B 两点重合)，记∠AOP=. (1)请用a来表示平行四边形OCPQ的面积f(a); (2)求平行四边形OCPQ面积的最大值，以及面积最大时角α的值； (3)设ga)=[fa)+],若g)-后≤≤引求+》 a 一同步周测卷十四 数学（人教A版）必修第一册第4页（共4页）】