专题5.3 诱导公式专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题5.3 诱导公式 考点预览 考点一 诱导公式二、三、四的应用 考点二 诱导公式五、六的应用 考点三 奇变偶不变、符号看象限 考点四 凑角技巧与给值求值 考点五 诱导公式的同角综合运用 一、知识填空 1．诱导公式二、三、四 （1） ， ， ； （2） ， ， ； （3） ， ， 。 2．诱导公式五、六 （1） ， ； （2） ， ； （3）这两组公式可以实现 与 的互化。 3．一般规律 （1）把角写成 的形式，当 为奇数时函数名 ，当 为偶数时函数名 ； （2）符号的确定方法是：把 看成 ，再看原角所在的 ； （3）口诀是" ， "。 4．三角形中的常用关系 （1）在三角形 中， ； （2） ， ； （3）三角形内角的正弦值恒为 。 5．解题步骤 （1）先用 把角化到 内； （2）再看能否用 或 进一步化简； （3）最后代入已知值，或化为同角关系求解。 二、考点专练 考点一 诱导公式二、三、四的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：出现的角形如 、、，或要求把一个钝角、负角的三角函数值算出来。 1. 操作流程：先判断该角可拆成" 加减小角"的形式，再套用对应的诱导公式，最后查表得值。 1. 技巧·口诀： 相当于终边关于原点对称，正弦余弦都变号、正切不变； 相当于关于 轴对称，只有余弦不变； 相当于关于 轴对称，只有正弦不变。 1. 易错点： 不变号，不少考生顺手把正切也写成负的，这是本组公式最常见的丢分点。 【例题精讲】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 3． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 3． 的值等于（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6． 的值等于（　　） A． B． C． D． 7．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8． 的值等于（　　） A． B． C． D． 考点二 诱导公式五、六的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：出现的角形如 或 ，要求化简或求值。 1. 操作流程：先认出这是" 加减小角"，再用"变名、看象限"确定结果。 1. 技巧·口诀：这两组都要"正余互换"；符号看原函数在原角所在象限的正负，如 ，。 1. 易错点：这两组公式交换了正弦与余弦，容易只改名不换符号，建议用"把 看成锐角"来验一遍符号。 【例题精讲】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 5．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 7． 的值等于（　　） A． B． C． D． 8．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 考点三 奇变偶不变、符号看象限 方法与技巧： 1. 识别信号：出现的角形如 、 等更复杂的组合，要求一次性化简。 1. 操作流程：先把角写成 ，看 的奇偶决定是否变名，再把 当锐角判原函数在原角象限内的符号。 1. 技巧·口诀："奇变偶不变，符号看象限"；具体到 系：，。 1. 易错点： 属于"偶"，函数名不变，符号与原角所在象限一致，不要习惯性地加负号。 【例题精讲】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 3．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 3．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 4．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 5．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 考点四 凑角技巧与给值求值 方法与技巧： 1. 识别信号：已知某个"组合角"（如 ）的三角函数值，求另一个组合角（如 ）的值。 1. 操作流程：把未知角写成已知角加上某个特殊角的形式，即"凑角"，再用诱导公式一步化过去。 1. 技巧·口诀：先看两个角的差是不是 或 的整数倍；差为 的奇数倍时正弦、余弦都变号，差为 的整数倍时完全不变。 1. 易错点：凑角时务必把符号写准，建议先在草稿上把两角相减，用差的形式反推该用哪一条诱导公式。 【例题精讲】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．若 ，且 为锐角，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 考点五 诱导公式的同角综合运用 方法与技巧： 1. 识别信号：一个综合分式里同时出现多个诱导公式，或需要先用诱导公式化简、再用同角基本关系求值。 1. 操作流程：先把每个三角函数用诱导公式化到同一个角 上，再约分或用 、弦化切继续处理。 1. 技巧·口诀："先诱导、再同角、最后代入"；遇到三角形要先想到 ，于是 ，。 1. 易错点：分式化简前必须确认分母不为 ；三角形内角的正弦值恒为正，已知正弦值求角时要写出两个可能的角。 【例题精讲】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．已知 是三角形的一个内角，且 ，则 等于（　　） A． B． C． 或 D． 【变式训练】 1．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．在三角形 中， 等于（　　） A． B． C． D． 5．若角 与角 的终边关于 轴对称，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．若角 与角 的终边关于原点对称，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 3． 的值等于（　　） A． B． C． D． 4． 的值等于（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 7． 的值等于（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 9． 的值等于（　　） A． B． C． D． 10．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 11．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 12．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 诱导公式 考点预览 考点一 诱导公式二、三、四的应用 考点二 诱导公式五、六的应用 考点三 奇变偶不变、符号看象限 考点四 凑角技巧与给值求值 考点五 诱导公式的同角综合运用 一、知识填空 1．诱导公式二、三、四 （1） ， ， ； （2） ， ， ； （3） ， ， 。 2．诱导公式五、六 （1） ， ； （2） ， ； （3）这两组公式可以实现 与 的互化。 3．一般规律 （1）把角写成 的形式，当 为奇数时函数名 ，当 为偶数时函数名 ； （2）符号的确定方法是：把 看成 ，再看原角所在的 ； （3）口诀是" ， "。 4．三角形中的常用关系 （1）在三角形 中， ； （2） ， ； （3）三角形内角的正弦值恒为 。 5．解题步骤 （1）先用 把角化到 内； （2）再看能否用 或 进一步化简； （3）最后代入已知值，或化为同角关系求解。 自检自纠： 1．（1）；； （2）；； （3）；； 2．（1）； （2）； （3）正弦（余弦）；余弦（正弦） 3．（1）改变；不变 （2）锐角；象限 （3）奇变偶不变；符号看象限 4．（1） （2）； （3）正数 5．（1）诱导公式一 （2）诱导公式；同角基本关系 二、考点专练 考点一 诱导公式二、三、四的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：出现的角形如 、、，或要求把一个钝角、负角的三角函数值算出来。 1. 操作流程：先判断该角可拆成" 加减小角"的形式，再套用对应的诱导公式，最后查表得值。 1. 技巧·口诀： 相当于终边关于原点对称，正弦余弦都变号、正切不变； 相当于关于 轴对称，只有余弦不变； 相当于关于 轴对称，只有正弦不变。 1. 易错点： 不变号，不少考生顺手把正切也写成负的，这是本组公式最常见的丢分点。 【例题精讲】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。故选 B。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，； 相加得 。故选 C。 【变式训练】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由诱导公式四，。故选 B。 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】； 又 ，，故原式 。故选 C。 3． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。故选 B。 【巩固练习】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故原式 。故选 A。 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故原式 。故选 B。 3． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故原式 。故选 D。 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由诱导公式二，，正切在这里不变号。故选 A。 5．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 。故选 B。 6． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】； 又 ，故原式 。故选 B。 7．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 。故选 B。 8． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，； 故原式 。故选 B。 考点二 诱导公式五、六的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：出现的角形如 或 ，要求化简或求值。 1. 操作流程：先认出这是" 加减小角"，再用"变名、看象限"确定结果。 1. 技巧·口诀：这两组都要"正余互换"；符号看原函数在原角所在象限的正负，如 ，。 1. 易错点：这两组公式交换了正弦与余弦，容易只改名不换符号，建议用"把 看成锐角"来验一遍符号。 【例题精讲】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由诱导公式六，； 取 ，得原式 。故选 C。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由诱导公式五，。故选 C。 【变式训练】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】按"奇变偶不变"， 是 的 倍，函数名要变，余弦变正弦； 把 看成锐角时 在第二象限，余弦值为负，故结果为 。故选 B。 2．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 。故选 B。 3．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】按"奇变偶不变"，函数名要变，正弦变余弦； 把 看成锐角时 在第一象限，正弦值为正，故结果为 。故选 D。 【巩固练习】 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 。故选 A。 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 。故选 B。 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 4．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一项 ，第二项 ，相加得 。故选 A。 5．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】第一项 ，第二项 ，相减得 。故选 C。 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。故选 B。 7． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 。故选 A。 8．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一项 ，第二项 ，相乘得 。故选 B。 考点三 奇变偶不变、符号看象限 方法与技巧： 1. 识别信号：出现的角形如 、 等更复杂的组合，要求一次性化简。 1. 操作流程：先把角写成 ，看 的奇偶决定是否变名，再把 当锐角判原函数在原角象限内的符号。 1. 技巧·口诀："奇变偶不变，符号看象限"；具体到 系：，。 1. 易错点： 属于"偶"，函数名不变，符号与原角所在象限一致，不要习惯性地加负号。 【例题精讲】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 是 的 倍（奇数），函数名要变，正弦变余弦； 把 看成锐角时 在第四象限，正弦值为负，故结果为 。故选 A。 2．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 是 的奇数倍，余弦变正弦； 把 看成锐角时 在第三象限，余弦值为负，故结果为 。故选 B。 【变式训练】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 是 的 倍（偶数），函数名不变； 在第四象限，正弦值为负，故结果为 。故选 B。 2．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 是 的 倍（偶数），函数名不变； 在第二象限，正切值为负，故结果为 。故选 A。 3．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】这是诱导公式一的情形，函数名不变、符号也不变，结果为 。故选 C。 【巩固练习】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一项 ，第二项 ，相加得 。故选 B。 2．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一项 ，第二项 ，相乘得 。故选 B。 3．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一项 ，第二项 ，相乘得 。故选 B。 4．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分子 ，分母 ； 故原式 。故选 B。 5．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 6．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一项 ，第二项 ，相加得 。故选 A。 7．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两项都等于 ，相加得 。故选 A。 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ； 又 ，故结果为 。故选 A。 考点四 凑角技巧与给值求值 方法与技巧： 1. 识别信号：已知某个"组合角"（如 ）的三角函数值，求另一个组合角（如 ）的值。 1. 操作流程：把未知角写成已知角加上某个特殊角的形式，即"凑角"，再用诱导公式一步化过去。 1. 技巧·口诀：先看两个角的差是不是 或 的整数倍；差为 的奇数倍时正弦、余弦都变号，差为 的整数倍时完全不变。 1. 易错点：凑角时务必把符号写准，建议先在草稿上把两角相减，用差的形式反推该用哪一条诱导公式。 【例题精讲】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】凑角：； 故原式 。故选 B。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】凑角：； 故原式 。故选 A。 【变式训练】 1．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故原式 。故选 B。 2．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ； 。故选 A。 3．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故原式 ； 而 ，代入得 。故选 B。 【巩固练习】 1．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故原式 。故选 A。 2．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故原式 。故选 A。 3．若 ，且 为锐角，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ； 。故选 B。 4．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分子 ，分母 ； 同除以 得 。故选 A。 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得 ； 。故选 A。 6．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故原式 。故选 B。 7．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故原式 ； 而 ，代入得 。故选 A。 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故原式 。故选 A。 考点五 诱导公式的同角综合运用 方法与技巧： 1. 识别信号：一个综合分式里同时出现多个诱导公式，或需要先用诱导公式化简、再用同角基本关系求值。 1. 操作流程：先把每个三角函数用诱导公式化到同一个角 上，再约分或用 、弦化切继续处理。 1. 技巧·口诀："先诱导、再同角、最后代入"；遇到三角形要先想到 ，于是 ，。 1. 易错点：分式化简前必须确认分母不为 ；三角形内角的正弦值恒为正，已知正弦值求角时要写出两个可能的角。 【例题精讲】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分子 ； 分母 ； 相除得 。故选 B。 2．已知 是三角形的一个内角，且 ，则 等于（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【详解】三角形内角范围是 ，在该范围内正弦值为 的角有两个： 与 。故选 C。 【变式训练】 1．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 ； 由 得 ， 故 。故选 A。 2．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一项 ，第二项 ，相加得 。故选 A。 3．已知 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，； 。故选 B。 【巩固练习】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分子 ，分母 ，故原式 。故选 A。 2．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分子 ，分母 ； 同除以 得 。故选 B。 3．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ； 。故选 B。 4．在三角形 中， 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】三角形中 ，故 。故选 A。 5．若角 与角 的终边关于 轴对称，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】关于 轴对称时 ，故 。故选 B。 6．若角 与角 的终边关于原点对称，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于原点对称时 ，故 。故选 A。 7．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故原式 。故选 A。 8．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】前两项之积 ，后两项之积 ，相加得 。故选 A。 三、达标检测 1． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故原式 。故选 B。 2． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故原式 。故选 A。 3． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 4． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 。故选 B。 5．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 6．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 是 的奇数倍，余弦变正弦； 在第三象限，余弦为负，故结果为 。故选 B。 7． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故原式 。故选 B。 8．若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 。故选 B。 9． 的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故原式 。故选 B。 10．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故原式 。故选 B。 11．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分子 ； 分母 ； 故原式 。故选 A。 12．已知 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 学科网（北京）股份有限公司 $