微专题01三角函数的概念与诱导公式（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以题型为载体，系统提炼三角函数概念与诱导公式的解题方法，构建从概念到应用的逻辑链条，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |任意角与弧度制|20题/题型（10例+10练）|角度弧度互化、终边相同角求法、象限角判断|从角的概念拓展到弧度制，建立角度与实数的对应| |弧长与扇形面积公式|20题/题型（10例+10练）|公式应用、扇环面积计算、实际问题转化|以弧度制为基础，推导弧长与面积公式并应用于几何问题| |三角函数定义|20题/题型（10例+10练）|终边上点坐标求三角函数、终边在直线上分类讨论|用坐标法定义三角函数，建立数形联系| |同角基本关系|20题/题型（10例+10练）|知一求二、齐次分式弦化切、符号判断|通过平方关系与商数关系实现三角函数值互化| |诱导公式|20题/题型（10例+10练）|“奇变偶不变，符号看象限”口诀应用、大角化简|利用对称关系推导诱导公式，实现任意角三角函数化简|

专题01三角函数的概念与诱导公式 题型一 任意角与弧度制 1 题型二 弧长公式与扇形面积公式的应用 7 题型三 三角函数定义的应用 13 题型四 同角基本关系式的应用 19 题型五 诱导公式的应用 25 题型一 任意角与弧度制 1. 核心公式 (1) 角度弧度互化：， (2) 终边相同角集合：（角度）；（弧度） 2. 解题方法 (1) 角度弧度互化：角度转弧度乘；弧度转角度乘。 (2) 终边相同角问题 1　 求指定范围内与终边相同的角：写出通式，对k取整数，筛选落在目标区间的角。 2　 求最小正角、最大负角：调整整数k得到符合范围结果。 3　 判断象限角：把角写成，看在象限. 【经典例题】 1．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【来源】上海市同济大学附属七一中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 2．与角终边相同的角可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，角与角的终边相同， 与角终边相同的角可表示为. 3．角的终边落在第（   ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【来源】湖北省云学联盟2025-2026学年高一下学期4月期中学科素养测评数学试题 【详解】由，所以和的终边相同，其终边落在第二象限. 4．与角终边相同的最小正角是______角． 【答案】 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是角． 5．将角化为弧度：______． 【答案】8π 【来源】上海市嘉定区安亭高级中学2025-2026学年高一下学期第一次阶段练习数学试卷 【详解】由题意得. 6．半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】北京一零一中2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学 【详解】由得，，所以圆心角为. 7．在区间上，与终边相同的角为____________． 【答案】 【来源】湖北荆州市2025-2026学年高一下学期7月质量检测数学试卷 【详解】与终边相同的角为，在区间上的角为. 8．将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为钟表的时针1小时（60分钟）顺时针转过的角度是，所以每分钟时针转过的角度为，故拨快20分钟时，时针转过的总角度为. 9．如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”，则一年内在“节气圆周”上从清明节气点沿顺时针方向旋转到小寒节气点，旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽省太湖中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题B 【详解】从清明节气点沿顺时针方向旋转到小寒节气点，共经过18个节气点， 所以旋转的角度为． 10．已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省新余市第一中学2025-2026学年高一年级下学期4月第一次段考数学试卷 【详解】当时，， 当时，，当时，， 当时，，则. 【巩固练习】 1．已知集合，，则之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】陕西渭南市大荔县大荔中学2025-2026学年高一下学期阶段学业能力自测数学试卷（二） 【详解】因为，所以集合中的元素是的奇数倍，，所以集合中的元素是的整数倍，所以. 2．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【来源】江西上饶市婺源县紫阳中学2025-2026学年高一下学期第一次阶段性测试数学试题 【详解】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 3．与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广西钦州市文实中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷 【详解】与角终边相同的角的集合是.故A正确； 表示终边在直线上的角的集合，故B错误； 表示终边与的终边重合的角的集合，故C错误； 表示终边在直线上的角的集合，故D错误. 4．在内与角终边相同的角是_____________. 【答案】 【来源】5.1.1任意角 【详解】根据题意，令，则，又知，解得，而，故，所以.故答案为： 5．（多选）下列各角中，与终边相反的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【来源】重庆市万州第一中学2026届高三下学期4月高考模拟调研卷（六）数学试题 【详解】依题意，，则角与角终边相同，与角终边相反的角可以为，因此与角终边相反的所有角的集合为， 显然，. 6．已知420°角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则420°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【来源】青海西宁市大通县朔山中学2025-2026学年度第二学期第一次阶段检测高三数学 【详解】因为，，所以420°是第一象限角. 7．与相等的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】北京市朝阳区北大附中朝阳未来学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题 【详解】. 8．（多选）（多选）已知角与角的终边相同，则角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，，，故D正确， 9．半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【来源】陕西榆林市靖边中学2024-2025学年第一学期第二次月考高一数学试题 【详解】半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为. 10．与终边关于原点对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁沈阳市第二中学2025-2026学年高一下学期阶段能力测试数学试题 【详解】因，则， 又因与终边关于原点对称， 故，即的值是. 题型二 弧长公式与扇形面积公式的应用 1. 核心公式（公式中必须是弧度） (1) 弧长： (2) 扇形面积： (3) 扇形周长：（弧长加两条半径） 2. 解题方法 (1) 基础计算：已知中任意两个量，代入公式解方程求剩余量。 (2) 扇面（圆环扇形、阴影）面积：大扇形面积减去小扇形面积，。 (3) 周长条件题型：周长，结合联立方程组求解半径、圆心角。 (4) 实际情景题：提取题干，统一为弧度制后代入公式。 易错：圆心角给角度时，必须先转化为弧度再套公式。 【经典例题】 1．若扇形的圆心角为，半径为3，则此扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广西桂林市2025-2026学年下学期非毕业年级日常考试题库卷高一年级数学 【详解】扇形的弧长. 2．半径为，圆心角为的扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省日照第一中学2025-2026学年高一下学期第二次质量测试数学试题 【详解】由题意可得，根据弧长公式可得： . 3．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西萍乡市2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试卷 【详解】由扇形的弧长为，圆心角为，得该扇形所在圆半径（cm） 所以该扇形的面积为（）. 4．已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形的面积为___________． 【答案】 【来源】广东佛山市顺德区李兆基中学2025-2026学年下学期期中教学质量检测高一数学 【详解】根据题意，扇形的圆心角为弧度，周长为10，设扇形的半径为，弧长为，面积为， 则，解得，，所以，扇形的面积. 5．已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】贵州遵义航天高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题 【详解】设扇形周长为，半径为，圆心角为，则，即，解得.扇形面积. 6．已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【来源】广东深圳市南山实验教育集团华侨城高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，圆心角所对的弧长为，由题意可得，解得或，所以或. 7．已知一扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广西钦州市2025-2026学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，则，解得，所以. 8．如图，扇环的两条弧和的长分别为36cm，12cm，的长度为8cm，则扇环的面积为______cm2．    【答案】 【来源】上海市奉贤区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 【详解】设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，则大圆弧的半径为，所以解得，所以扇环的面积为. 9．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若该莱洛三角形的周长为，则其面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东惠州市2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题 【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长，则等边三角形的边长，分别以点A、B、C为圆心，圆弧AB、BC、AC所对的扇形面积均为，等边的面积，所以莱洛三角形的面积是.故选：C 10．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 【答案】A 【详解】根据题意，可算得弧，弧．所以，所以．依据题意，可知截面面积，化简得：．所以当，．即当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米． 【巩固练习】 1．一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】贵州遵义市南白中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为（），由题意可得方程组： ，解得，，因此该扇形的圆心角弧度数为，故A正确. 2．若扇形的圆心角为，面积为，则其半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【来源】辽宁省营口市、辽阳市普通高中2025-2026学年高一下学期5月学情调研数学试题 【详解】设扇形的半径为r，由，得r＝1． 3．已知扇形的周长为，圆心角的弧度数是，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西景德镇一中2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷 【详解】设该扇形的半径为，则该扇形的弧长为，由题意可得，解得， 故该扇形的面积为. 4．已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________（结果保留） 【答案】 【来源】上海市市西中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径， 则该扇形的弧长为 5．已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角（正角）的弧度为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【来源】北京交通大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中练习数学试卷 【详解】设扇形的弧长为，面积为，半径为，该扇形的圆心角（正角）为，即， 由. 6．已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省泸县第五中学2025-2026学年高一下学期第一学月考试数学试题 【详解】因为圆心角为，其弧度数，，所以． 7．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】辽宁省葫芦岛市第一高级中学2025-2026学年高一年级4月校内自主训练数学学科试题 【详解】设弧度为，半径为，根据弧长公式和面积公式可得，可得，. 8．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为___________. 【答案】 【来源】江苏省盐城中学2025-2026学年度第一学期期末考试高一年级数学试卷 【详解】由题可得，在扇形中，，所以扇形的面积为； 在扇形中，，所以扇形的面积为.所以该扇环的面积为.故答案为：. 9．第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念【错题档案】2027届高三大一轮 【详解】如图所示，设扇形所在圆的半径为，则弦长的一半为，弦的中点到圆心的距离为，根据勾股定理得，整理得，解得，设扇形所对的圆心角为，因为弦长为，在直角中，可得，所以，即，所以扇形的面积为，三角形的面积为，因为，所以弓形的面积为. 10．如图，某小区要利用一面足够长的围墙，用总长20米的护栏围成一个扇形花坛，扇形的圆心角小于，忽略护栏的厚度与接头损耗，则该扇形花坛的面积的最大值是____平方米． 【答案】50 【来源】广西壮族自治区贵港市平南县2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题 【详解】设该扇形花坛的半径为米，弧长为米，则，所以，由已知， 所以该扇形花坛的面积，，所以当米时，该扇形花坛的面积取最大值，最大值为平方米． 题型三 三角函数定义的应用 1. 定义：角终边上任一点\(P(x,y)\)，到原点距离 (1) (2) 2. 解题方法 (1) 已知终边上点坐标：先算，直接套定义求 (2) 终边在直线上：终边有两个方向，分两个象限取点分别计算，结果有两组解。 (3) 单位圆问题：直接使用得到交点坐标。 (4) 充分必要条件：由三角函数值，反推角，注意三角函数值相同，角不唯一。 (5) 点的坐标符号反推角所在象限：看正负判断象限 【经典例题】 1．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北咸宁市2025-2026学年下学期期末考试高一数学试题 【详解】因为角的终边经过点，所以. 2．已知角的终边经过点，则角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】贵州毕节市2025-2026学年高一下学期期末质量检测数学试卷 【详解】因为角的终边经过点，由三角函数的定义可得. 3．已知角终边上一点，则________________ ． 【答案】 【来源】江西景德镇市乐平市第三中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷 【详解】角终边上一点，则。 4．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【来源】江西九江市六校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试卷 【详解】由题意得：，所以，解得. 5．设角终边上一点，则的值为________． 【答案】/ 【详解】，，．． 6．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则___________． 【答案】 【来源】北京市第十五中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷 【详解】由题知，解得，又点在第三象限，所以，所以. 7．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁抚顺市七校协作体2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题 【详解】由题意可得. 8．已知角的终边在直线上，则_____； 【答案】 【来源】广东江门市棠下中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷 【详解】∵ 角的终边在直线上，直线经过第二、四象限，分两种情况讨论： ① 当角的终边在第四象限时，在终边上取点，则点P到原点的距离， 由三角函数的定义得. ② 当角的终边在第二象限时，在终边上取点，则点P到原点的距离， 由三角函数的定义得. 综上，. 9．已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河南驻马店市泌阳中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题 【详解】已知角的终边经过点，若，则，解得. 10．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【来源】4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念【错题档案】2027届高三大一轮 【详解】因为是第二象限角，点为其终边上一点，所以， 解得或或，因为是第二象限角，所以，所以. 【巩固练习】 1．已知角的顶点在坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】北京市第十二中学2026-2027学年第一学期开学练习高三数学试题 【详解】由三角函数定义可得. 2．已知角的终边与单位圆的交点为，则________. 【答案】/ 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题 【详解】由题意，，则. 故答案为：. 3．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①当时，点在第四象限，，由三角函数定义：，．②当时，点在第二象限，，由三角函数定义：，．综上，． 4．已知角的终边过点，且，则________，________ 【答案】 【来源】安徽六安市独山中学2025-2026学年第二学期高一数学3月份月考试卷试题 【详解】由三角函数的定义，，. ，. ． 5．若角的终边上有一点，，则的值是______. 【答案】 【来源】 上海市上海师范大学附属中学宝山分校2023-2024学年高一上学期期末数学试卷 【详解】解：因为角的终边上有一点， 所以，， 所以， 故答案为： 6．已知角的终边经过点，则__________． 【答案】/0.2 【来源】北京第五中学2023-2024学年高三下学期开学检测数学试卷 【详解】由题意得，解得，故，所以，，故.故答案为： 7．已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 【答案】1 【详解】依题意，，则的终边落在第一或第二象限，又因为，则点在第一或第四象限，综上可得角在第一象限，所以，即，解得. 8．角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】北京市通州区2025-2026学年高一上学期期末考试数学样题 【详解】由题意，点的横坐标是.故选：C 9．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【来源】贵州遵义市仁怀市周林高级中学2025-2026学年高三下学期入学考试数学试题 【详解】由，可得，此时，所以充分性成立； 反之：由，可得，此时，所以必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 10．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【来源】河北省承德市部分校2026-2027学年高二上学期开学联考数学试题 【详解】根据角的终边过点，可得， 则，则点位于第四象限. 题型四 同角基本关系式的应用 1. 核心公式： 2. 解题方法 (1) 知一求二： 1　 已知一个三角函数值，利用平方关系求另外两个； 2　 由角所在象限判断正负符号，象限是符号判断依据。 (2) 齐次分式（弦化切）：分子分母同除以或者，转化为只含的式子求值。 (3) 与互求： 1　 ； 2　 开方后符号由角所在象限决定。 (4) 方程根的题型：把三角函数看作未知数，解方程，结合角范围取舍根。 (5) 易错：开平方一定要看象限，不能直接取正。 【经典例题】 1．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知为锐角，，则，故． 2．已知为第二象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由为第二象限角，得， 由可设， 代入得， ，. 3．若，是方程的一个根，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东汕头市澄海区2025-2026学年高一第二学期期末质量监测数学试卷 【详解】由可得：，解得：. 已知，该区间内，故. 所以. 4．已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________． 【答案】 【详解】已知θ为第二象限角，，得：，故，，故，则原点到点P的距离，故. 5．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【来源】宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】因为，联立方程组，因为角为第二象限角，所以，所以，则. 6．角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北随州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题 【详解】由角的终边过点，得. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南郴州市2025-2026学年下学期期末数学质量监测高二数学 【详解】. 8．若，则（    ） A．7 B． C．5 D． 【答案】B 【来源】云南省昭通一中教研联盟2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学（B卷） 【详解】因为，又， 所以. 9．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重难点培优01三角函数的图象与性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测 【详解】由可知（否则由平方关系推出分母）， 则， 即 10．（多选）已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】，解得，A正确； ，又为锐角，所以， 则，，，B不正确，D正确； ，C正确. 【巩固练习】 1．已知角为第三象限角，且，则__________. 【答案】/ 【来源】贵州遵义市仁怀市第五中学2025-2026学年高一下学期第一学月学情诊断数学试题 【详解】由条件可知，. 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】考点24 同角三角函数基本关系式【讲】2027届黄金考点总动员 【详解】∵ ，∴ ，即 .由得，整理得 ，即 ，解得 .∵ ，且 ，∴ 为第二象限角，第二象限角的正弦值为正，∴ . 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】考点24 同角三角函数基本关系式【讲】2027届黄金考点总动员 【详解】由 可知 ．分子、分母同除以 ，得 ． 所以 ，从而 ． 5．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西新余市部分校2025-2026学年高一下学期6月训练数学试卷 【详解】. 6．已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省日照第一中学2025-2026学年高一下学期第二次质量测试数学试题 【详解】已知，若，等式不成立；若，则， ． 7．已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广西梧州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【详解】因为，所以， 即，解得， 由， 因为，所以，又，所以， 所以，所以. 8． 为三角形内角，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省泸州高级中学校2024-2025学年高一上学期第三次月考试数学试题 【详解】因为，所以，即 整理得，因为，所以. 所以，代入，可得. 所以. 9．（多选）已知，则角的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【来源】第五章 5.2 5.2.2同角三角函数的基本关系 【详解】因为，所以解得或， 则都满足题意，而不满足． 10．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】考点24 同角三角函数基本关系式【讲】2027届黄金考点总动员 【详解】已知，由，可得，即，解得或（舍去），又． 题型五 诱导公式的应用 1. 口诀：奇变偶不变，符号看象限 (1) “奇、偶”：指中k的奇偶； (2) 符号：把看作锐角，判断原函数正负。 2. 解题方法 (1) 大角化简：先写去掉整圈；再用诱导公式化成锐角三角函数。 (2) 条件给求：用诱导公式找两个角之间关系（互补、互余、相差），转化为同角，再用同角平方关系。 (3) 换元法：复杂角设元，简化条件，再计算。 (4) 易错：变换之后函数名是否改变，符号不要搞错。 【经典例题】 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁五校联考2025-2026学年高一下学期期末数学试卷 【详解】因为，所以，因为， 所以. 2．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省广安加德学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题 【详解】由题意得. 3．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东省上进联考2026-2027学年高三上学期9月供题训练数学试题 【详解】． 4．设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】福建省福州第一中学2026-2027学年高三上学期第一次质量检测数学试题 【详解】根据三角函数的诱导公式可得：， ， ， 因此集合，根据交集的定义可得：. 5．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川省泸州高级中学校2024-2025学年高一上学期第三次月考试数学试题 【详解】由，可得，即， 故. 6．角α的终边经过点P(x，4)且cos(α＋2 022π)＝，则sin α＝　________　． 【答案】1或 【详解】 ,可得.已知角的终边经过点, 所以 ，整理后可解得，或. 情况1： 等式左右两边均为0，等式成立. 此时点坐标为，位于轴正半轴，对应角的终边落在轴正半轴上, ; 情况2： 等式两边可以同时约去非零的，得到： ,两边取倒数后平方可得：，解得，即.当时，，因此. 综上，结果为1或. 7．已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 【答案】B 【详解】因为，， ， 所以， 所以. 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 因为，所以，又因为，所以，所以. 所以，故. 9．（多选）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】陕西榆林市靖边中学2024-2025学年第一学期第二次月考高一数学试题 【详解】由诱导公式知，，，，，故ACD正确，B错误. 10．已知，且，则的值为______　. 【答案】 【详解】因为，所以，又，所以， 所以， 所以. 【巩固练习】 1．的值为________． 【答案】 【来源】天津市南开大学附属中学2025-2026学年高二下学期学业水平考试数学模拟试卷 【详解】. 2．求值：=_____. 【答案】 【来源】专题4 诱导公式【讲】【题型分类归纳】2026-2027学年高一数学同步（人教A版） 【详解】原式＝ . 3．等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】青海省三江源民族中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷 【详解】由三角函数的诱导公式，可得. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河北承德市2025-2026学年高一下学期7月期末巩固训练数学（一） 【详解】因为，得到，所以. 5．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则_________. 【答案】 【来源】辽宁辽南协作体2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题 【详解】由题可得，， 而. 6．已知，则_____ 【答案】 【来源】江西九江市同文中学2025-2026学年下学期期末考试高一数学试卷 【详解】由，代入原式得： 因为，且，将分子分母同除以，得：，即 解得. 7．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2026年高考全国1卷数学高考真题（网络 收集版） 【详解】因为，，，即集合，且集合，所以. 8．已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】C 【来源】贵州遵义航天高级中学2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学 【详解】由角的终边上一点，可得， 所以. 9．化简得___________． 【答案】 【来源】上海市同济大学附属七一中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷 【详解】原式. 10．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】天津市北辰区太行高级中学2027届高三第一次月考数学试卷 【详解】由，得，又，则， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角函数的概念与诱导公式 题型一 任意角与弧度制 1 题型二 弧长公式与扇形面积公式的应用 3 题型三 三角函数定义的应用 6 题型四 同角基本关系式的应用 8 题型五 诱导公式的应用 10 题型一 任意角与弧度制 1. 核心公式 (1) 角度弧度互化：， (2) 终边相同角集合：（角度）；（弧度） 2. 解题方法 (1) 角度弧度互化：角度转弧度乘；弧度转角度乘。 (2) 终边相同角问题 1　 求指定范围内与终边相同的角：写出通式，对k取整数，筛选落在目标区间的角。 2　 求最小正角、最大负角：调整整数k得到符合范围结果。 3　 判断象限角：把角写成，看在象限. 【经典例题】 1．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 2．与角终边相同的角可表示为（    ） A． B． C． D． 3．角的终边落在第（   ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 4．与角终边相同的最小正角是______角． 5．将角化为弧度：______． 6．半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 7．在区间上，与终边相同的角为____________． 8．将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 9．如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”，则一年内在“节气圆周”上从清明节气点沿顺时针方向旋转到小寒节气点，旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知集合，，则之间的关系为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 3．与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 4．在内与角终边相同的角是_____________. 5．（多选）下列各角中，与终边相反的有（    ） A． B． C． D． 6．已知420°角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则420°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．与相等的角度是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（多选）已知角与角的终边相同，则角可以是（   ） A． B． C． D． 9．半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 10．与终边关于原点对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型二 弧长公式与扇形面积公式的应用 1. 核心公式（公式中必须是弧度） (1) 弧长： (2) 扇形面积： (3) 扇形周长：（弧长加两条半径） 2. 解题方法 (1) 基础计算：已知中任意两个量，代入公式解方程求剩余量。 (2) 扇面（圆环扇形、阴影）面积：大扇形面积减去小扇形面积，。 (3) 周长条件题型：周长，结合联立方程组求解半径、圆心角。 (4) 实际情景题：提取题干，统一为弧度制后代入公式。 易错：圆心角给角度时，必须先转化为弧度再套公式。 【经典例题】 1．若扇形的圆心角为，半径为3，则此扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 2．半径为，圆心角为的扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 3．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形的面积为___________． 5．已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 7．已知一扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，扇环的两条弧和的长分别为36cm，12cm，的长度为8cm，则扇环的面积为______cm2．   9．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若该莱洛三角形的周长为，则其面积是（   ） A． B． C． D． 10．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 【巩固练习】 1．一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 2．若扇形的圆心角为，面积为，则其半径为（   ） A．1 B． C． D．2 3．已知扇形的周长为，圆心角的弧度数是，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________（结果保留） 5．已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角（正角）的弧度为（   ） A． B． C．2 D．4 6．已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为___________. 9．第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 10．如图，某小区要利用一面足够长的围墙，用总长20米的护栏围成一个扇形花坛，扇形的圆心角小于，忽略护栏的厚度与接头损耗，则该扇形花坛的面积的最大值是____平方米． 题型三 三角函数定义的应用 1. 定义：角终边上任一点\(P(x,y)\)，到原点距离 (1) (2) 2. 解题方法 (1) 已知终边上点坐标：先算，直接套定义求 (2) 终边在直线上：终边有两个方向，分两个象限取点分别计算，结果有两组解。 (3) 单位圆问题：直接使用得到交点坐标。 (4) 充分必要条件：由三角函数值，反推角，注意三角函数值相同，角不唯一。 (5) 点的坐标符号反推角所在象限：看正负判断象限 【经典例题】 1．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知角的终边经过点，则角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．已知角终边上一点，则______ ． 4．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 5．设角终边上一点，则的值为________． 6．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则___________． 7．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 8．已知角的终边在直线上，则_____； 9．已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 10．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 【巩固练习】 1．已知角的顶点在坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知角的终边与单位圆的交点为，则________. 3．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 4．已知角的终边过点，且，则________，________ 5．若角的终边上有一点，，则的值是______. 6．已知角的终边经过点，则__________． 7．已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 8．角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 9．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四 同角基本关系式的应用 1. 核心公式： 2. 解题方法 (1) 知一求二： 1　 已知一个三角函数值，利用平方关系求另外两个； 2　 由角所在象限判断正负符号，象限是符号判断依据。 (2) 齐次分式（弦化切）：分子分母同除以或者，转化为只含的式子求值。 (3) 与互求： 1　 ； 2　 开方后符号由角所在象限决定。 (4) 方程根的题型：把三角函数看作未知数，解方程，结合角范围取舍根。 (5) 易错：开平方一定要看象限，不能直接取正。 【经典例题】 1．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为第二象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若，是方程的一个根，则（） A． B． C． D． 4．已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________． 5．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 6．角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A．7 B． C．5 D． 9．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知角为第三象限角，且，则__________. 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．若，则（     ） A． B． C． D． 6．已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 7．已知，且，则（     ） A． B． C． D． 8． 为三角形内角，且，则（  ） A． B． C． D． 9．（多选）已知，则角的值可能是（　　） A． B． C． D． 10．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 题型五 诱导公式的应用 1. 口诀：奇变偶不变，符号看象限 (1) “奇、偶”：指中k的奇偶； (2) 符号：把看作锐角，判断原函数正负。 2. 解题方法 (1) 大角化简：先写去掉整圈；再用诱导公式化成锐角三角函数。 (2) 条件给求：用诱导公式找两个角之间关系（互补、互余、相差），转化为同角，再用同角平方关系。 (3) 换元法：复杂角设元，简化条件，再计算。 (4) 易错：变换之后函数名是否改变，符号不要搞错。 【经典例题】 1．（    ） A． B． C． D． 2．的值为（    ） A． B． C． D． 3．（     ） A． B． C． D． 4．设，，则（     ） A． B． C． D． 5．已知，则（     ） A． B． C． D． 6．角α的终边经过点P(x，4)且cos(α＋2 022π)＝，则sin α＝　________　． 7．已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，且，则的值为______　. 【巩固练习】 1．的值为________． 2．求值：=_____. 3．等于（     ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则____ 6．已知，则_____ 7．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 8．已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 9．化简得___________． 10．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $