专题05 一元二次不等式及其他不等式专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

一元二次不等式及其他不等式 专题05 一元二次不等式及其他不等式 知识点分析 新课标对知识的考查要求：会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；了解一元二次不等式的现实意义。，并能用集合表示一元二次不等式的解集；借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。属于预备知识 ，是高中不等式、函数、导数、解析几何的基础，新高考必考工具。以基础题为主，中档侧重简单参数、分式不等式与恒成立。 题型一、解不等式 题型二、解含参不等式 题型三、三个“二次”之间的关系 题型四、一元二次方程根的分布问题 题型五、一元二次不等式恒成立与有解问题 题型六、基本不等式整体换元和一元二次不等式的综合 一、 一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 二、分式、高次、绝对值不等式的解法 （1）分式不等式的解法：解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。 设均为含的多项式 ① ③ （2）高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： ①分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； ②求根：求的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； ③穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） ④得解集：若不等式“”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“”，则找“线”在数轴下方的区间。 （3） 绝对值不等式： ①的解集是 ②的解集是 ③ ④ 3、 解含参数的一元二次型的不等式 （1）关于不等式类型的讨论：二次项系数； （2）关于不等式对应的方程根的讨论：两不同实根，两相同实根，无根； （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：. 题型一：解不等式 题型分析：本题型属于基础必考题型，主要考查一元二次不等式、分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的基本解法。 1.解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)；(2){x|x<－1或x>6}；(3){x|x<－3或x>2} 【解析】(1)由，得，由解得， 所以不等式的解集为. (2)方程的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． (3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}． 2. 解不等式 (1) ； （2） ； (3). 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】(1)由，得，解得，所以不等式的解集为. （2），故，解得. 所以原不等式的解集为. (3)，即，即，则，根据穿根法解得 3.解不等式 (1)； （2）； （3） 【答案】(1)；(2)或；(3) 【解析】（1）可得，解的，故解集 （2）由可得或，故集合或， （3）， 当时，，即，解得，与取交集，得， 当时，，即，成立，故， 当时，，解得，与取交集，得， 综上：的解集为， 4.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 5.解下列关于的不等式 【答案】 【解析】当时，， 原不等式变形为，解得， 当时，， 原不等式变形为，解得， 故不等式的解集为 综上所述，不等式的解集为 题型二：解含参不等式 题型分析：高频中档考点，核心是分类讨论思想。对于含参数一元二次型不等式，讨论顺序：①先看二次项系数，区分二次不等式、一次不等式；②再算判别式，判断方程有无实根；③若有两根，比较两根大小。分类做到不重不漏，每一类求出对应解集，最后汇总。易错点：忽略二次项系数为 0 的情况；比较根的大小时漏情况；不要忘记不等号方向随系数正负改变。 1.若，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】，故原不等式的解集为 2.若，则关于的不等式<0的解集为________________． 【答案】 【解析】因为，所以原不等式等价于>0，方程＝0的两根为－1，－，显然－>0>－1，所以原不等式的解集为。 3.解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【解析】由题意知， ①当，即或时， 方程的两根为，所以解集为； ②若，即时， 当时，原不等式可化为，即，所以， 当时，原不等式可化为，即，所以； ③当，即时，原不等式的解集为； 综上，当或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 4.解不等式不等式，其中 【答案】答案见解析 【解析】不等式对应方程的两根为和1， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 5.解下列关于的不等式 【答案】答案见解析 【解析】当时，则，解得，故不等式的解集为； 当时，不等式因式分解可得， ①当时，则，解得， 故不等式的解集为； ②当时，，解得， 故不等式的解集为； ③当，即时，化为， 解得或，故不等式的解集为 ④当，即时，化为， 解得或，故不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型三：三个“二次”之间的关系 题型分析：三个二次即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式。不等式解集的端点就是对应一元二次方程的实根，借助二次函数图像理解三者转化关系。常用韦达定理，已知不等式解集反求参数，再求解新不等式。 1.已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】不等式的解集为， 则方程的两根为和3，所以，解得， 不等式为，即，或． 故选：D． 2.已知关于的不等式的解集为或，则关于不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】由关于的不等式的解集为或， 可知，且和是方程的两根， 故由根与系数的关系得，，又 故关于不等式等价为， 即，即，解得， 3.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集 【答案】 【解析】由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0. ∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0， 即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.解得 故原不等式的解集为. 4.不等式ax2－bx＋c>0的解集是，对于系数，有下列结论： ① 其中正确结论的序号是________． 【答案】③⑤ 【解析】由ax2－bx＋c>0的解集为 知a<0，∵＝－×2＝－1<0，∴c>0.又＝－＋2>0，∴b<0. ∵－1∉，∴a＋b＋c<0， 又1∈，∴a－b＋c>0，故③⑤正确． 5.（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为D．不等式的解集为 【答案】AC 【解析】由题意可知，所以且，，故A正确，B错误； 不等式，故C正确； 不等式， 即，所以或，故D错误. 故选：AC 题型四：一元二次方程根的分布问题 题型分析研究一元二次方程实根在指定区间的情况。设二次函数，从四个条件综合限制：判别式；对称轴位置；区间端点处函数值符号；二次项系数。常见模型：两根都大于；两根都小于；一根小于一根大于；两根分布在内；一根在区间内一根在外。也可以结合韦达定理列不等式组求解，注意区分开口方向。 1.已知一元二次方程的两根分别为和，则 ． 【答案】 【解析】由韦达定理知：，，. 2.不等式的解集为，则 . 【答案】 【解析】由题意知不等式的解集为， 则是的两实数解，且 ，故， 故， 3.关于的不等式的解集为，且，则（ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由不等式的解集为， 得，不等式对应的一元二次方程为， 方程的解为，由韦达定理，得，， 因为，所以， 即，整理，得. 故选：A 4.关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D 5.已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ） A．-2 B． C． D．1 【答案】B 【解析】由题意可得，解得或， 设两个为，，由两根为正根可得，解得， 综上知，. 故两个根的倒数和为， ，，，故，， 故两个根的倒数和的最小值是. 故选：B 题型五：一元二次不等式恒成立与有解问题 题型分析：高频难点，区分恒成立和有解。（1） 恒成立：①对定义域内所有，不等式都成立，研究，；②区间上恒成立常用两种思路：1）分离参数转化为参数大于函数最大值 、小于函数最小值；2）研究二次函数在区间上最值。（2）有解：定义域内只要存在至少一个满足不等式；有解；有解。 一定要分清恒成立与有解的不等关系，二者极易混淆。 1.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 故选：B． 2.一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为是一元二次不等式，所以， 又对一切实数成立， 所以，解得. 3.若不等式对一切恒成立，则的最小值为________． 【答案】－4 【解析】∵当时，恒成立， ∴恒成立，又当时，，当且仅当x＝2时取等号． ∴，∴，故a的最小值为－4. 4.命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：为真命题， 当时，，满足要求， 当时，要满足，解得：， 综上：实数的取值范围是， 故选：C 5.若关于的不等式在上有实数解，则的取值范围是 【答案】 【解析】由不等式在上有实数解不等式在上有实数解， 因为函数在上单调递减，在单调递增， 又由， 所以，所以 题型六：基本不等式整体换元和一元二次不等式的综合 题型分析：综合题，常把基本不等式和一元二次不等式结合。解题套路：遇到共存的条件，设或者做整体换元，利用基本不等式建立关于的一元二次不等式，解出范围，再得到目标代数式最值或取值范围。注意：基本不等式一正二定三相等，必须检验等号能否取到；换元后注意新元自身取值限制。 1.若，则的最小值是 （ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】，当且仅当时取等号，因此，即，解得，所以当时，取得最小值2 故选：C 2.若，且，则的最小值为 ． 【答案】8 【解析】因为若，且，则，又因为，所以，令，则，即，解得或（舍去），当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8. 3.若正数满足.的取值范围 【答案】 【解析】由于，所以有，即，所以. 4.设，，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】因为，，则，由基本不等式可得，所以，即，因为，解得，即，当且仅当时，等号成立。 5.已知正数满足，则的最大值是___________. 【答案】 【解析】设，则，所以，当且仅当时取等号. 所以，解得，即的最大值，当且仅当，即，时取等号. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次不等式及其其他不等式 专题05 一元二次不等式及其他不等式 知识点分析 新课标对知识的考查要求：会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；了解一元二次不等式的现实意义。，并能用集合表示一元二次不等式的解集；借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。属于预备知识 ，是高中不等式、函数、导数、解析几何的基础，新高考必考工具。以基础题为主，中档侧重简单参数、分式不等式与恒成立。 题型一、解不等式 题型二、解含参不等式 题型三、三个“二次”之间的关系 题型四、一元二次方程根的分布问题 题型五、一元二次不等式恒成立与有解问题 题型六、基本不等式整体换元和一元二次不等式的综合 一、 一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 二、分式、高次、绝对值不等式的解法 （1）分式不等式的解法：解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。 设均为含的多项式 ① ③ （2）高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： ①分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； ②求根：求的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； ③穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） ④得解集：若不等式“”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“”，则找“线”在数轴下方的区间。 （3） 绝对值不等式： ①的解集是 ②的解集是 ③ ④ 3、 解含参数的一元二次型的不等式 （1）关于不等式类型的讨论：二次项系数； （2）关于不等式对应的方程根的讨论：两不同实根，两相同实根，无根； （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：. 题型一：解不等式 题型分析：本题型属于基础必考题型，主要考查一元二次不等式、分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的基本解法。 1.解下列不等式： (1)； (2)； (3). 2. 解不等式 (1) ； （2） ； (3). 3.解不等式 (1)； （2）； （3） 4.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5.解下列关于的不等式 题型二：解含参不等式 题型分析：高频中档考点，核心是分类讨论思想。对于含参数一元二次型不等式，讨论顺序：①先看二次项系数，区分二次不等式、一次不等式；②再算判别式，判断方程有无实根；③若有两根，比较两根大小。分类做到不重不漏，每一类求出对应解集，最后汇总。易错点：忽略二次项系数为 0 的情况；比较根的大小时漏情况；不要忘记不等号方向随系数正负改变。 1.若，则不等式的解集为________． 2.若，则关于的不等式<0的解集为________________． 3.解关于的不等式. 4.解不等式不等式，其中 5.解下列关于的不等式 题型三：三个“二次”之间的关系 题型分析：三个二次即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式。不等式解集的端点就是对应一元二次方程的实根，借助二次函数图像理解三者转化关系。常用韦达定理，已知不等式解集反求参数，再求解新不等式。 1.已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A． B． C．或 D．或 2.已知关于的不等式的解集为或，则关于不等式的解集为_________. 3.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集 4.不等式ax2－bx＋c>0的解集是，对于系数，有下列结论： ① 其中正确结论的序号是________． 5.（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为D．不等式的解集为 题型四：一元二次方程根的分布问题 题型分析研究一元二次方程实根在指定区间的情况。设二次函数，从四个条件综合限制：判别式；对称轴位置；区间端点处函数值符号；二次项系数。常见模型：两根都大于；两根都小于；一根小于一根大于；两根分布在内；一根在区间内一根在外。也可以结合韦达定理列不等式组求解，注意区分开口方向。 1.已知一元二次方程的两根分别为和，则 ． 2.不等式的解集为，则 . 3.关于的不等式的解集为，且，则（ ） A．3 B． C．2 D． 4.关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ） A．-2 B． C． D．1 题型五：一元二次不等式恒成立与有解问题 题型分析：高频难点，区分恒成立和有解。（1） 恒成立：①对定义域内所有，不等式都成立，研究，；②区间上恒成立常用两种思路：1）分离参数转化为参数大于函数最大值 、小于函数最小值；2）研究二次函数在区间上最值。（2）有解：定义域内只要存在至少一个满足不等式；有解；有解。 一定要分清恒成立与有解的不等关系，二者极易混淆。 1.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为 . 3.若不等式对一切恒成立，则的最小值为________． 4.命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 5.若关于的不等式在上有实数解，则的取值范围是 题型六：基本不等式整体换元和一元二次不等式的综合 题型分析：综合题，常把基本不等式和一元二次不等式结合。解题套路：遇到共存的条件，设或者做整体换元，利用基本不等式建立关于的一元二次不等式，解出范围，再得到目标代数式最值或取值范围。注意：基本不等式一正二定三相等，必须检验等号能否取到；换元后注意新元自身取值限制。 1.若，则的最小值是 （ ） A． B．1 C．2 D． 2.若，且，则的最小值为 ． 3.若正数满足.的取值范围 4.设，，且，则的取值范围为______. 5.已知正数满足，则的最大值是___________. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $