四川达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期第二周数学学情自测

四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期第二周学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列各组数是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．，， 2．如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形M的面积为（　　） A．240 B． C． D．24 3．如图，△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为（　　） A． B．4 C． D． 4．设一个直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，斜边长为c，则以c+h，a+b，h为边构成的三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能以a，b，c的大小确定形状 5．现有一底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形笔筒，小鹿将一根长度为14cm的铅笔放置其中，则铅笔上端露出笔筒的最短长度为（　　） A．0cm B．1cm C．2cm D．3cm 6．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　） A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S2 7．如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（　　） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 8．如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝25，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在BC上的点D处，折痕交BC于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交AC于点E，交BC于点G，则DE的长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．在Rt△ABC，∠C＝90°，c＝10，a：b＝3：4，则a＝　　 ，b＝　　 ． 10．若三角形的三边长分别为6，8，10，则三角形的面积为　　 ． 11．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为4m，宽为3m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为　 ． 12．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 　　 km． 13．如图，在长方形ABCD中，AD＝3，DC＝4，连接AC，将△ABC沿AC折叠，点B落在点B'处，AB'与CD交于点E，则△ACE的面积为　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的A、B两站之间E点修建一个土特产加工基地，使E点到C、D两村的距离相等，如图，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝15km，CB＝10km，求土特产加工基地E应建在距离A站多少km的地方？ 15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC平分∠DAB，DE⊥AC，垂足为E，且AE＝AB． （1）求证：△ABC≌△AED； （2）若∠DAC＝30°，求∠ACD的度数． 16．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB． （1）求修建的公路CD的长； （2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 17．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E． （1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°； （2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长． 18．有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm． ①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD＝　　 cm． ②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则AM2、BN2与MN2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD（BC）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝　　 ． 20．如图，14m高的教学楼前有一棵6m高的大树，它们相距6m，树的顶端有一只小鸟，它要飞到楼顶上，至少要飞行 　　 m． 21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，作AB边上的中线，CD和高线CE，则DE＝　　 ． 22．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 　　 cm．（杯壁厚度不计） 23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，，点D，E分别是线段BC，AB上的动点（点D不与点C重合），且CD＝AE，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求△ABC的面积． 25．【知识生成】我们知道，通过不同方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c． （1）图中阴影部分的面积用两种方法可分别表示为 ________、________； （2）你能得出的a、b、c之间的数量关系是 ________（等号两边需化为最简形式）． 【知识应用】（3）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为________． 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式． （4）如图2表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图2中图形的变化关系，以整式乘法形式写出一个代数恒等式________． 26．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A的方向运动，且速度为2cm/s，P，Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动的时间为t秒． （1）BP＝　　 cm（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，若△PQB是等腰三角形，求出此时t的值； （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，求出此时t的值． 参考答案 四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期第二周学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列各组数是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．，， 【解答】解：A、∵22+32≠42， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵52+122＝132， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意； C、∵0.32+0.42＝0.52， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意； D、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形M的面积为（　　） A．240 B． C． D．24 【解答】解：两个大正方形的面积分别为132和108，如图， ∴AB2＝132，BC2＝108， 在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：AC2＝AB2﹣BC2＝132﹣108＝24， ∴小正方形M的面积为24， 故选：D． 3．如图，△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为（　　） A． B．4 C． D． 【解答】解：△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，由勾股定理得： ， ∴， ∵CD⊥AB， ∴△ABC的面积， ∴， 故选：A． 4．设一个直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，斜边长为c，则以c+h，a+b，h为边构成的三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能以a，b，c的大小确定形状 【解答】解：∵a，b是直角三角形的两条直角边 ∴a2+b2＝c2 又∵h是斜边上的高，c是斜边长 ∴ch＝ab ∴h2+（a+b）2＝h2+a2+b2+2ab＝h2+c2+2ch 而（c+h）2＝c2+2ch+h2 ∴h2+（a+b）2＝（c+h）2 ∴三角形是直角三角形． 故选：A． 5．现有一底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形笔筒，小鹿将一根长度为14cm的铅笔放置其中，则铅笔上端露出笔筒的最短长度为（　　） A．0cm B．1cm C．2cm D．3cm 【解答】解：当铅笔与笔筒及笔筒的高构成直角三角形时h最小， 如图所示：AB13（cm）， 故h＝14﹣13＝1（cm）． 故选：B． 6．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　） A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S2 【解答】解：如图所示：设直角三角形的斜边为c， 则S1＝c2＝a2+b2 S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab， ∴2ab＝S1﹣S2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2， 故选：C． 7．如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（　　） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 【解答】解：由题意知AB＝DE＝25米，BC＝7米，AD＝4米， ∵在直角△ABC中，AC为直角边， ∴AC24米， 已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米）， ∵在直角△CDE中，CE为直角边 ∴CE15（米）， BE＝15米﹣7米＝8米． 故选：C． 8．如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝25，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在BC上的点D处，折痕交BC于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交AC于点E，交BC于点G，则DE的长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：由折叠性质得：∠EDG＝∠C，∠B＝∠ADB，AD＝AB＝15，DE＝CE， ∵∠BAC＝90°，∠ADE＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠ADB+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝90°， ∴AD2+DE2＝AE2， ∵AC＝AE+CE＝25， ∴AE+DE＝25， ∴AE＝25﹣DE， ∴152+DE2＝（25﹣DE）2， ∴DE＝8． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．在Rt△ABC，∠C＝90°，c＝10，a：b＝3：4，则a＝　6　 ，b＝　8　 ． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴a2+b2＝c2， ∵a：b＝3：4，c＝10， ∴a2+（a）2＝100， ∴a＝6，b＝8． 故答案为：6，8． 10．若三角形的三边长分别为6，8，10，则三角形的面积为　24　 ． 【解答】解：设此三角形为△ABC，且AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴△ACB的面积是， 故答案为：24． 11．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为4m，宽为3m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为　5m ． 【解答】解：设这条木板的长度为x米， 由勾股定理得：x2＝42+32， 解得 x＝5． 故答案为：5m． 12．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 　50　 km． 【解答】解：如图： 由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF， ∴∠DAB＝∠ABE＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km， AC50（km）， ∴A，C两港之间的距离为50km， 故答案为：50． 13．如图，在长方形ABCD中，AD＝3，DC＝4，连接AC，将△ABC沿AC折叠，点B落在点B'处，AB'与CD交于点E，则△ACE的面积为　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，CD∥AB， ∴∠DCA＝∠BAC， ∵将△ABC沿AC折叠，点B落在点B'处，AB'与CD交于点E， ∴∠EAC＝∠BAC， ∴∠DCA＝∠EAC， ∴CE＝AE， ∵AD＝3，DC＝4， ∴DE＝DC﹣CE＝4﹣AE， ∵AD2+DE2＝AE2， ∴32+（4﹣AE）2＝AE2， 解得AE， ∴CE＝AE， ∵AD⊥CE， ∴S△ACECE•AD3， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的A、B两站之间E点修建一个土特产加工基地，使E点到C、D两村的距离相等，如图，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝15km，CB＝10km，求土特产加工基地E应建在距离A站多少km的地方？ 【解答】解：设AE＝x千米，则BE＝（25﹣x）千米， 在Rt△DAE中，DA2+AE2＝DE2， 在Rt△EBC中，BE2+BC2＝CE2， ∵CE＝DE， ∴DA2+AE2＝BE2+BC2， ∴152+x2＝102+（25﹣x）2， 解得，x＝10千米． 答：基地应建在离A站10千米的地方． 15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC平分∠DAB，DE⊥AC，垂足为E，且AE＝AB． （1）求证：△ABC≌△AED； （2）若∠DAC＝30°，求∠ACD的度数． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠BAC＝∠EAD， ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°＝∠B， 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△AED， ∴AC＝AD， ∵∠DAC＝30°， ∴． 16．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB． （1）求修建的公路CD的长； （2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【解答】解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km， 152+202＝252， ∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴CDAC×BCAB＝12（km）． 故修建的公路CD的长是12km； （2）在Rt△BDC中，BD16（km）， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）． 故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km． 17．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E． （1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°； （2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3， ∴AC＝6，BC＝8， ∵AB＝10， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°； （2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8， ∴AC2+CD2＝AD2，BC2+CE2＝BE2， ∵AD、BE分别为边BC、AC的中线， ∴CDBC，CEAC， ∴AC2+（BC）2＝36，BC2+（AC）2＝64， ∴AC2BC2＝100， ∴AC2+BC2＝80， ∴AB4． 18．有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm． ①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD＝　3　 cm． ②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则AM2、BN2与MN2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【解答】解：（1）如图1所示． 在Rt△ABC中，AB． 由翻折的性质可知：DC′⊥AB，DC′＝DC． ∵SACD+SADB＝S△ABC， ∴． ∴． 又∵CD＝C′D， ∴3CD+5CD＝24． ∴CD＝3． （2）AM2+BN2＝MN2． 证明：过点B作BP∥AC交MH延长线于点P，连接NP． ∵BP∥AC， ∴∠A＝∠PBH 在△AMH和△BPH中， ， ∴△AMH≌△BPH． ∴AM＝BP，MH＝PH． 又∵NH⊥MP ∴MN＝NP ∵BP∥AC，∠C＝90° ∴∠NBP＝90° ∴BP2+BN2＝NP2 ∴AM2+BN2＝MN2． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD（BC）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝　1　 ． 【解答】解：∵BD（BC），AB＝7，BC＝6，AC＝5， ∴BD（6）＝5， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1， 故答案为：1． 20．如图，14m高的教学楼前有一棵6m高的大树，它们相距6m，树的顶端有一只小鸟，它要飞到楼顶上，至少要飞行 　10　 m． 【解答】5解：如图，设教学楼高为AB＝14m， 大树高为CD＝6m， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC， ∴EB＝6m，EC＝BD＝6m，AE＝AB﹣EB＝14﹣6＝8（m）， 在Rt△AEC中，AC10（m）， 故小鸟至少飞行10m． 故答案为：10． 21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，作AB边上的中线，CD和高线CE，则DE＝　　 ． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵CD是AB边上的中线， ∴BDAB， ∵CE⊥AB， ∴S△ABCAC•BCAB•CE， ∴CE， ∴DE， 故答案为：． 22．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 　8　 cm．（杯壁厚度不计） 【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接BA′，则BA′即为最短距离， 由题意得：DEAA′＝2cm，BE＝10﹣4＝6（cm）， ∴BD＝BE+DE＝6+2＝8（cm）， ∵底面周长为16cm， ∴A′D16＝8（cm）， BA′8（cm）． 答：蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为8cm， 故答案为：8． 23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，，点D，E分别是线段BC，AB上的动点（点D不与点C重合），且CD＝AE，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为　　 ． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，， ∴AC， 作CF⊥AB交AB于点F，作∠BCH＝∠BAC，并使得CH＝AC，过点A作AG⊥HC交HC延长线于点G，连接AH，则∠G＝∠AFC＝90°，∠BAC+∠ACF＝90°， ∵∠ACF+∠BCF＝90°， ∴∠BCH＝∠BAC＝∠BCF， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACF＝∠ACG， ∵AC＝AC， ∴△ACF≌△ACG（AAS）， ∴CG＝CF，AG＝AF， 又∵S△ABCAC•BCAB•CF， ∴CFCG， 则AG＝AF1， GH＝CG+CH2， ∴AH， ∵点D，点E运动速度相同， ∴CD＝AE， 又∵∠BCH＝∠BAC，CH＝AC， ∴△ACE≌△CHD（SAS）， ∴CE＝DH， ∴AD+CE＝AD+DH≥AH， 当点D在AH上时，取等号， ∴AD+CE的最小值为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求△ABC的面积． 【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴△ABC是直角三角形； （2）由（1）可得， ∴． 25．【知识生成】我们知道，通过不同方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c． （1）图中阴影部分的面积用两种方法可分别表示为 c2﹣2ab 、　（b﹣a）2 ； （2）你能得出的a、b、c之间的数量关系是 a2+b2＝c2 （等号两边需化为最简形式）． 【知识应用】（3）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为 　13　 ． 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式． （4）如图2表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图2中图形的变化关系，以整式乘法形式写出一个代数恒等式 x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）　 ． 【解答】解：（1）图中阴影部分的面积为： 大正方形的面积﹣四个直角三角形的面积＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab． 小正方形的面积＝（b﹣a）2． 故答案为c2﹣2ab、（b﹣a）2． （2）c2﹣2ab＝（b﹣a）2． c2﹣2ab＝b2﹣2ab+a2 ∴a2+b2＝c2 故答案为a2+b2＝c2． （3）∵直角三角形的两条直角边长为5和12， ∴c2＝52+122＝169，∴c＝13， 故答案为13． （4）根据题意，得 图②左边的图形体积为x3﹣x 右边的图形的体积为x（x+1）（x﹣1）． ∴x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）． 答：恒等式为x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）． 26．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A的方向运动，且速度为2cm/s，P，Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动的时间为t秒． （1）BP＝　（16﹣t）　 cm（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，若△PQB是等腰三角形，求出此时t的值； （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，求出此时t的值． 【解答】解：（1）∵点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒， ∴AP＝tcm， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， 故答案为：（16﹣t）； （2）点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒，当点Q在边BC上运动， ∴BQ＝2t， ∵△PQB为等腰三角形时，BP＝BQ， ∴16﹣t＝2t， 解得：t， ∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形； （3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10cm， ∴BC+CQ＝22cm， ∴t＝22÷2＝11（秒）； ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2， 则BC+CQ＝24cm， ∴t＝24÷2＝12（秒）； 综上所述：t为11秒或12秒． 学科网（北京）股份有限公司 $