四川达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期暑假预习自测数学试题(一）

**基本信息** 四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期暑假预习自测数学试题，分A、B卷（100+50分），覆盖勾股定理、平方根、坐标系等核心知识，通过基础巩固与探究创新题梯度设计，适配暑假预习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|勾股数（第1题）、平方根性质（第2题）|基础概念辨析，突出抽象能力| |填空题|10题40分|矩形加固木棒长度（第10题）、坐标系对称（第11题）|结合生活情境，体现应用意识| |解答题|8题78分|折叠问题（第7题）、构图法求面积（第25题）|综合几何直观与推理能力，设置探究性问题|

四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期暑假预习自测数学试题(一） （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．2，3，5 B．4，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1 2．下列说法错误的是（　　） A．5是25的算术平方根 B．1是1的一个平方根 C．（﹣4）2的平方根是4 D．0的平方根与算术平方根都是0 3．点M（m+1，m+3）在x轴上，则M点坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（4，0） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2） 4．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　　） A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2 5．已知，则a+b＝（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 6．在平面直角坐标系中，Rt△OAB的位置如图所示，其中∠ABO＝90°，若点B的坐标为（0，5），OA＝13，则点A的坐标为（　　） A．（﹣13，5） B．（﹣12，5） C．（﹣7，5） D．（1 2，5） 7．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（　　） A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm 8．已知，则的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．比较大小：　　 （填“＞”“＜”“＝”）． 10．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为4m，宽为3m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为_______． 11．若点A（a，2）和点B（3，b）关于x轴对称，则ab（a﹣b）＝　　． 12．已知点P（m，n）在第一象限，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是 　　． 13．如图，在水平地面上，有一棵高9m的大树和一棵高4m的小树，两树之间的水平距离是12m．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行　　 m． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）计算： （1）2π0； （2）（3）×（）； （3）（﹣1）2027﹣|1|； （4）3． 15．（8分）某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的A、B两站之间E点修建一个土特产加工基地，使E点到C、D两村的距离相等，如图，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝15km，CB＝10km，求土特产加工基地E应建在距离A站多少km的地方？ 16．（10分）已知点P（2a﹣3，a+6），解答下列各题． （1）点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2027+2024的值． 17．（10分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由． （2）若PA＝3，PB＝4，PC＝5，∠BQC＝　　 ．（请直接写出∠BQC的度数） 18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0 （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．已知线段AB＝3，AB∥x轴，若点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标是 　　． 20．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，A，B，C三点是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为　　 ． 21．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么6*5＝　　 ． 22．如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝16，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝6，则AB的长为　　 ． 23．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要________. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）图1、图2、图3分别是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，BC＝a，AC＝b，AB＝c，其中AB是最长边． （1）如图1，由勾股定理可得a，b，c的数量关系是_________． （2）如图2，过点B作BD⊥CA于点D，设CD＝x．在Rt△BCD中，BD2＝a2﹣x2；在Rt△BAD中，BD2＝c2﹣（b﹣x）2，∴a2﹣x2＝c2﹣（b﹣x）2．化简，得a2+b2＝c2+2bx．b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a，b，c的数量关系是___________． （3）试猜想在钝角三角形中a，b，c的数量关系，并利用图3证明你的猜想． 25．（10分）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上　　； 思维拓展： （2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积； 探索创新： （3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积． 26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OC，OA分别与x轴，y轴重合，已知点A（0，a），C（b，0），且a，b满足关系式|8﹣a|+（b+6）2＝0，若动点P从点A出发，沿着A﹣B﹣C的方向以每秒2个单位长度的速度运动到点C，设点P的运动时间为t． （1）点B的坐标为 　　 ； （2）用含t的代数式表示线段BP的长； （3）若点D的坐标为（0，2），则在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得S△BPDS长方形ABCO，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 参 考 答 案 四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期暑假预习自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．2，3，5 B．4，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1 【解答】解：根据勾股数需满足两个条件逐项分析判断如下： A选项，∵22+32＝4+9＝13，52＝25，13≠25，∴不是勾股数； B选项，∵42+122＝16+144＝160，132＝169，160≠169，∴不是勾股数； C选项，∵72+242＝49+576＝625＝252，且三个数均为正整数，∴是勾股数； D选项，∵三个数不全是正整数，∴不是勾股数； 故选：C． 2．下列说法错误的是（　　） A．5是25的算术平方根 B．1是1的一个平方根 C．（﹣4）2的平方根是4 D．0的平方根与算术平方根都是0 【解答】解：A、5是25的算术平方根，说法正确； B、1是1的一个平方根，说法正确； C、（﹣4）2的平方根是4，说法错误，应为±4； D、0的平方根与算术平方根都是0，说法正确； 故选：C． 3．点M（m+1，m+3）在x轴上，则M点坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（4，0） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2） 【解答】解：根据题意得：m+3＝0， 解得：m＝﹣3， ∴m+1＝﹣2， ∴M点坐标为（﹣2，0）． 故选：C． 4．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　　） A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2 【解答】解：∵a+b＝14 ∴（a+b）2＝196 ∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96 ∴ab＝24． 故选：A． 5．已知，则a+b＝（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 【解答】解：∵， ∴a﹣1＝0，7+b＝0， ∴a＝1，b＝﹣7， ∴a+b＝1+（﹣7）＝﹣6． 故选：D． 6．在平面直角坐标系中，Rt△OAB的位置如图所示，其中∠ABO＝90°，若点B的坐标为（0，5），OA＝13，则点A的坐标为（　　） A．（﹣13，5） B．（﹣12，5） C．（﹣7，5） D．（1 2，5） 【解答】解：∵点B的坐标为（0，5）， ∴OB＝5， 在Rt△OAB中， AB12， ∴点A的坐标为（﹣12，5）， 故选：B． 7．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（　　） A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm 【解答】解：在Rt△ABC中，AB5 根据折叠的性质可知：AE＝AB＝5 ∵AC＝4 ∴CE＝AE﹣AC＝1 即CE的长为1 故选：A． 8．已知，则的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．4 【解答】解：∵a，b， ∴5． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．比较大小：　＞　 （填“＞”“＜”“＝”）． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴23， ∴11＜2， ∴． 故答案为：＞． 10．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为4m，宽为3m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为　5m ． 【解答】解：设这条木板的长度为x米， 由勾股定理得：x2＝42+32， 解得 x＝5． 故答案为：5m． 11．若点A（a，2）和点B（3，b）关于x轴对称，则ab（a﹣b）＝　﹣30　 ． 【解答】解：若点A（a，2）和点B（3，b）关于x轴对称， 则a＝3，b＝﹣2， ab（a﹣b） ＝3×（﹣2）×（3+2） ＝﹣30， 故答案为：﹣30． 12．已知点P（m，n）在第一象限，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是 　（3，2）　 ． 【解答】解：∵点P在第一象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， ∴点P的横坐标为3，纵坐标为2， ∴点P的坐标是（3，2）． 故答案为：（3，2）． 13．如图，在水平地面上，有一棵高9m的大树和一棵高4m的小树，两树之间的水平距离是12m．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行　13　 m． 【解答】解：如图，设大树高为AB＝9m， 小树高为CD＝4m， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC， ∴EB＝4m，EC＝12m，AE＝AB﹣EB＝9﹣4＝5m， 在Rt△AEC中，AC13（m）． 故小鸟至少飞行13m， 故答案为：13． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）计算： （1）2π0； （2）（3）×（）； （3）（﹣1）2027﹣|1|； （4）3． 【解答】解：（1）2π0； ； （2）（3）×（） ； （3）（﹣1）2027﹣|1| ＝﹣1 ； （4）3 2 ． 15．（8分）某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的A、B两站之间E点修建一个土特产加工基地，使E点到C、D两村的距离相等，如图，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝15km，CB＝10km，求土特产加工基地E应建在距离A站多少km的地方？ 【解答】解：设AE＝x千米，则BE＝（25﹣x）千米， 在Rt△DAE中，DA2+AE2＝DE2， 在Rt△EBC中，BE2+BC2＝CE2， ∵CE＝DE， ∴DA2+AE2＝BE2+BC2， ∴152+x2＝102+（25﹣x）2， 解得，x＝10千米． 答：基地应建在离A站10千米的地方． 16．（10分）已知点P（2a﹣3，a+6），解答下列各题． （1）点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2027+2024的值． 【解答】解：（1）∵点P（2a﹣3，a+6）在x轴上， ∴a+6＝0， 解得：a＝﹣6， ∴2a﹣3＝2×（﹣6）﹣3＝﹣15， ∴点P的坐标（﹣15，0）； （2）∵点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴， ∴2a﹣3＝3， 解得：a＝3， ∴a+6＝3+6＝9， ∴点P的坐标为（3，9）； （3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴3﹣2a＝a+6， 解得：a＝﹣1， ∴a2027+2024＝（﹣1）2027+2024＝﹣1+2024＝2023． 17．（10分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由． （2）若PA＝3，PB＝4，PC＝5，∠BQC＝　150°　 ．（请直接写出∠BQC的度数） 【解答】解：（1）AP＝CQ，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°． ∵∠PBQ＝60°， ∴∠ABP＝∠CBQ＝60°﹣∠PBC． 在△ABP和△CBQ中， ∴△ABP≌△CBQ，（SAS） ∴AP＝CQ （2）连接PQ． ∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°， ∴△PBQ是等边三角形， ∴∠PQB＝60°，PQ＝PB＝4． 又∵CQ＝PA＝3，PC＝5，且52＝32+42，即PC2＝PQ2+CQ2， ∴△PQC是直角三角形，且∠PQC＝90°． ∴∠BQC＝60°+90°＝150°． 故答案是 150° 18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0 （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由已知|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0及（c﹣4）2≥0 可得：a＝2，b＝3，c＝4； （2）∵2×3＝3，2×（﹣m）＝﹣m， ∴S四边形ABOP＝S△ABO+S△APO＝3+（﹣m）＝3﹣m （3）因为4×3＝6， ∵S四边形ABOP＝S△ABC ∴3﹣m＝6， 则 m＝﹣3， 所以存在点P（﹣3，）使S四边形ABOP＝S△ABC． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．已知线段AB＝3，AB∥x轴，若点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标是 　（﹣4，2）或（2，2）　． 【解答】解：∵AB∥x轴，点A坐标为（﹣1，2）， ∴A，B的纵坐标相等为2， 设点B的横坐标为x，则有AB＝|x+1|＝3， 解得：x＝﹣4或2， ∴点B的坐标为（﹣4，2）或（2，2）． 故本题答案为：（﹣4，2）或（2，2）． 20．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，A，B，C三点是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为　45°　 ． 【解答】解：连接AC， 由勾股定理得：AC＝BC，AB， ∵AC2+BC2＝AB2＝10， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°． 故答案为：45°． 21．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么6*5＝　　 ． 【解答】解：6*5， 故答案为：． 22．如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝16，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝6，则AB的长为　12　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝16， ∴BC＝16， ∵△AEF是△AEB翻折而成， ∴BE＝EF＝6，AB＝AF，△CEF是直角三角形， ∴CE＝16﹣6＝10， 在Rt△CEF中，CF8， 设AB＝x， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+8）2＝x2+162， 解得x＝12，则AB＝12． 故答案为：12． 23．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 　10cm 【解答】解：将长方体展开，如图，连接A、B′， ∵AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm， ∴根据两点之间线段最短，AB′10cm． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）图1、图2、图3分别是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，BC＝a，AC＝b，AB＝c，其中AB是最长边． （1）如图1，由勾股定理可得a，b，c的数量关系是a2+b2＝c2 ． （2）如图2，过点B作BD⊥CA于点D，设CD＝x．在Rt△BCD中，BD2＝a2﹣x2；在Rt△BAD中，BD2＝c2﹣（b﹣x）2，∴a2﹣x2＝c2﹣（b﹣x）2．化简，得a2+b2＝c2+2bx．b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a，b，c的数量关系是a2+b2＞c2 ． （3）试猜想在钝角三角形中a，b，c的数量关系，并利用图3证明你的猜想． 【解答】解：（1）由勾股定理得，a2+b2＝c2， 故答案为：a2+b2＝c2； （2）故答案为a2+b2＞c2； （3）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2，证明：如图3，过点A作AH⊥BC，交BC的延长线于点H， 设CH＝x， 在Rt△AHC中，由勾股定理得AH2＝AC2﹣HC2＝b2﹣x2， 在Rt△AHB中，由勾股定理得AH2＝AB2﹣BH2＝c2﹣（a+x）2， ∴b2﹣x2＝c2﹣（a+x）2， 整理，得a2+b2＝c2﹣2ax， ∵a＞0，x＞0， ∴2ax＞0， ∴a2+b2＝c2﹣2ax＜c2， ∴当△ABC为钝角三角形时，a2+b2＜c2． 25．（10分）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上　　 ； 思维拓展： （2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积； 探索创新： （3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积． 【解答】解：（1）； （2）如图： S△ABC＝2a×4aa×2a2a×2a3a2； （3）解：构造△ABC所示， S△ABC＝3m×4n3m×2n2m×2n＝5mn． 26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OC，OA分别与x轴，y轴重合，已知点A（0，a），C（b，0），且a，b满足关系式|8﹣a|+（b+6）2＝0，若动点P从点A出发，沿着A﹣B﹣C的方向以每秒2个单位长度的速度运动到点C，设点P的运动时间为t． （1）点B的坐标为 　（﹣6，8）　 ； （2）用含t的代数式表示线段BP的长； （3）若点D的坐标为（0，2），则在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得S△BPDS长方形ABCO，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵|8﹣a|+（b+6）2＝0， 又∵|8﹣a|≥0，（b+6）2≥0， ∴a＝8，b＝﹣6， ∴A（0，8），C（﹣6，0）， ∵四边形ABCO是矩形， ∴B（﹣6，8）； 故答案为：（﹣6，8）； （2）当0≤t＜3时，PB＝6﹣2t， 当3≤t≤7时，PB＝2t﹣6； （3）如图，当点P在线段AB上时，（6﹣2t）×66×8， ∴t＝1． 当点P在线段BC上时，（2t﹣6）×66×8， ∴t＝5． 综上所述，满足条件的t的值为1或5． 学科网（北京）股份有限公司 $