四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期入学自测数学模拟试题

**基本信息** 四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期入学自测数学模拟试题，分A、B卷（100+50分），覆盖几何直观、运算能力、推理意识等核心素养，以传统文化（剪纸、赵爽弦图）和生活实际（电动汽车电量、电动伸缩门）为情境，梯度设计基础与综合题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|轴对称图形（剪纸情境）、整式运算、无理数、勾股定理|结合文化传承与基础概念辨析| |填空题|10题40分|概率（抛掷瓶盖试验）、函数解析式、圆面积（勾股定理应用）|数据意识与空间观念结合| |解答题|8题78分|几何证明（等腰直角三角形）、函数应用（电量与路程）、综合实践（三角尺与平行线）|分层设计，综合考查推理能力与模型意识|

四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期入学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（4分）剪纸艺术是中国传统文化的瑰宝，下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A．3a2•2a3＝6a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．2a（a﹣5）＝2a2﹣10a D．（6a2b+a）÷a＝6ab 3．（4分）在实数；；；；4；2.101001000中，其中无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（4分）如图，有一根电线杆在离地面9米A处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点12米远的地方，则电线杆断裂之前的长度为（　　）米． A．12 B．15 C．21 D．24 5．（4分）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　） A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米/分 C．小华乘坐公共汽车后7：51与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为60米/分 7．（4分）如图，两个顶点重合，边重合的正方形，求阴影部分的面积．下列表示错误的是（　　） A．a（a﹣b）+b2 B．a2﹣b2 C．（b+a）（a﹣b）×2 D．a（a﹣b）+b（a﹣b） 8．（4分）如图，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知EB∥DC，AD∥BC，BF平分∠EBC交AD于点G，若∠2＝36°，则∠1的度数为（　　） A．68° B．70° C．72° D．74° 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．（4分）若，且a、b为连续正整数，则a+b＝　　 ． 10．（4分）如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，S1，S2，S3是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若S1＝36，S2＝64，则S3的值为　　 ． 11．（4分）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.5300 随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于　　 （精确到0.01）． 12．（4分）已知变量y与变量x的函数关系如下表所示，那么y与x的函数解析式可以是_______. x … 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 13．（4分）如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，使得CD与C′D重合，得到ABC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为 　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）计算或化简：（1）； （2）（﹣2xy）2•3x2y+（﹣2x2y）3÷x2； （3）（a+2b）2﹣（a+2b）（2b﹣a）﹣2a2，其中． 15．（8分）如图，已知直线AB及直线AB外一点P，直线PC与AB交于点C，作∠DPC＝∠PCB（要求∠DPC与∠PCB为一对内错角）．判断直线DP与直线AB是否平行，并说出其中的理由． 【解答】解：如图，∠DPC即为所求． 16．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D点为射线AC上一动点，连接BD，过点B作BE⊥BD且BE＝BD（点E在直线BC下方）． （1）当点D在线段AC上时，如图1，过E点作EG⊥AB交AB于点G，求证：△BAD≌△EGB． （2）如图2，当点D在AC的延长线上时，连接CE，与BA的延长线交于点M，求的值． 17．（10分）小丽驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点．汽车充电前、充电后都以80km/h的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同．出发后，汽车剩余电量Q（单位：kW•h）与行驶路程s（单位：km）的关系如图所示． （1）小丽驾车几小时后停车充电？ （2）求线段AB所表示的Q与s之间的函数表达式． （3）若此电动汽车剩余电量超过60kW•h的行驶属于“高电量行驶”．求小丽驾驶前往景点的过程中，属于“高电量行驶”的总路程． 18．（12分）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动． （1）【操作发现】：如图①，小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝70°，求∠1的度数； （2）【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索∠AEF与∠FGC之间的数量关系，并说明理由； （3）【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，求∠CFG（用含α的式子表示）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．（4分）下列说法正确的是 　　 ．（填序号） ①两条直线相交所成的四个角中，如果邻补角相等，那么这两条直线相互垂直； ②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④两直线被第三条直线所截，同旁内角互补． 20．（4分）写出一个使代数式有意义的x的值，则x的值可以是 　　 ． 21．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，分别以AC，BC为直径向∠ACB的内侧作半圆，恰好交于点D．若AB＝5，CD＝2，则阴影部分的面积为 　　 ． 22．（4分）若a，b为实数，且满足，则　　 ． 23．（4分）如图，在△ABC中，AB＝13，∠ACB＝60°，若点E在线段BC上，BE＝5，以AB为边向上作等边△ABD，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则CE＝　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）【知识链接】在求解几何图形的面积时，通常会利用割、补等手段．所谓“割”，就是将原图形分为若干个常见的规则图形（如正方形、直角三角形等），分割后各个图形的面积之和等于原图形的面积． 纵观历史，我国著名的数学家赵爽在《勾股圆方图注》中绘制了一张弦图（见图1），并将大正方形中四个完全相同的直角三角形命名为朱实，中间的小正方形命名为黄实．上述规则图形无缝隙、无重叠． 【问题探究】 一张赵爽弦图如图2所示．若四个直角三角形的两条直角边都分别为a和b（即AF＝BG＝CH＝DE＝a，AG＝BH＝CE＝DF＝b），且a＜b． （1）请你用含a、b的代数式表示出正方形EFGH的面积S，并求出当a＝5，b＝12时，S的值． （2）现将赵爽弦图中的四个完全相同的直角三角形分别沿着正方形ABCD的四条边向外翻折，得到如图3所示的大正方形IJKL、记正方形EFGH的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，正方形IJKL的面积为S3．请问是否存在常数k，使得S1+S3＝kS2成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 25．（10分）如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE交于点F，AD与CE交于点G． （1）试判断线段BD和CE之间的数量关系，并说明理由； （2）若EC为△ADE的角平分线，AE＝2，GF，求EF的长． 26．（12分）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6． （1）求AC的长； （2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE． ①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的DB的长． ②设直线DE交直线BC于点F，连结CD，若OD与CF中存在一条边是另一条边的两倍，直接写出CD的长． 参考答案 四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期入学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（4分）剪纸艺术是中国传统文化的瑰宝，下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A．3a2•2a3＝6a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．2a（a﹣5）＝2a2﹣10a D．（6a2b+a）÷a＝6ab 【解答】解：根据整式加减、整式的乘除、幂运算逐项分析判断如下： A、3a2•2a3＝6a5，故此选项错误，不符合题意； B、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故此选项错误，不符合题意； C、2a（a﹣5）＝2a2﹣10a，故此选项正确，符合题意； D、（6a2b+a）÷a＝6ab+1，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．（4分）在实数；；；；4；2.101001000中，其中无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：根据无理数定义及无理数有三种形式可得： 是整数，不是无理数；是无理数；是分数，不是无理数； 是整数，不是无理数；4是整数，不是无理数；2.101001000是小数，不是无理数； 即无理数有1个， 故选：B． 4．（4分）如图，有一根电线杆在离地面9米A处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点12米远的地方，则电线杆断裂之前的长度为（　　）米． A．12 B．15 C．21 D．24 【解答】解：由题意可得：在Rt△ABC中，AB＝9米，BC＝12米， ∴（米）， 故这根高压电线杆断裂前高度为：9+15＝24（米）． 答：此电线杆原来长度为24米． 故选：D． 5．（4分）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A：与不能合并，A错误，不符合题意； B：∵（﹣4）3＝﹣64，∴，B正确，不符合题意； C：，C错误，符合题意； D：∵，∴D错误，不符合题意． 故选：B． 6．（4分）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　） A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米/分 C．小华乘坐公共汽车后7：51与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为60米/分 【解答】解：小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校， 由图象可知小明家和学校距离1200米，故A选项正确，不符合题意， 小华乘公共汽车的速度是1200÷（13﹣8）＝240（米/分），故B选项正确，不符合题意， ∵小华与小明在从家到学校已走480米处相遇，此时，小明在吃早餐， ∴相遇时，小明所用时间为8+480÷240＝10（分钟）， ∵小明7：40出发去学校， ∴小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇，故C选项错误，符合题意， 小明从家到学校的平均速度为1200÷20＝60（米/分），故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 7．（4分）如图，两个顶点重合，边重合的正方形，求阴影部分的面积．下列表示错误的是（　　） A．a（a﹣b）+b2 B．a2﹣b2 C．（b+a）（a﹣b）×2 D．a（a﹣b）+b（a﹣b） 【解答】解：图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 如图1，两块阴影部分的面积和为a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 如图2，两块阴影部分的面积和为（b+a）（a﹣b）×2＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 而a（a﹣b）表示图1中阴影部分①的面积，而b2是图1正方形②的面积，因此a（a﹣b）+b2不是阴影部分的面积，因此选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意； 故选：A． 8．（4分）如图，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知EB∥DC，AD∥BC，BF平分∠EBC交AD于点G，若∠2＝36°，则∠1的度数为（　　） A．68° B．70° C．72° D．74° 【解答】解：∵AD∥BC，∠2＝36°， ∴∠CBF＝∠2＝36°（两直线平行，同位角相等）， ∵BF平分∠EBC， ∴∠CBE＝2∠CBF＝2×36°＝72°， ∵EB∥DC， ∴∠1＝∠CBE＝72°， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．（4分）若，且a、b为连续正整数，则a+b＝　9　 ． 【解答】解：∵16＜23＜25， ∴， ∵a，b为两个连续整数， ∴a＝4，b＝5， ∴a+b＝4+5＝9． 故答案为：9． 10．（4分）如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，S1，S2，S3是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若S1＝36，S2＝64，则S3的值为　100　 ． 【解答】解：设三个圆对应的半径分别为r1、r2、r3， 则依题得：，， ∴，， ∵根据勾股定理可得：， 即， ∴． 故答案为：100． 11．（4分）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.5300 随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于　0.53　 （精确到0.01）． 【解答】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，盖面朝上的频率稳定在0.53左右， ∴“盖面朝上”的概率接近0.53， 故答案为：0.53． 12．（4分）已知变量y与变量x的函数关系如下表所示，那么y与x的函数解析式可以是 yx . x … 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 【解答】解：∵﹣3，﹣24，﹣12，00，1（﹣2），2（﹣4）， ∴yx， 故答案为：yx． 13．（4分）如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，使得CD与C′D重合，得到ABC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为 　10°　 ． 【解答】解：在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB∥CD， ∴∠1+∠CBD＝90°， ∵∠1＝40°， ∴∠CBD＝50°，∠ABD＝∠1＝40°， 由折叠可知：∠2+∠ABD＝∠CBD， ∴∠2+∠ABD＝50°， ∴∠2＝10°． 故答案为：10°． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）计算或化简：（1）； （2）（﹣2xy）2•3x2y+（﹣2x2y）3÷x2； （3）（a+2b）2﹣（a+2b）（2b﹣a）﹣2a2，其中． 【解答】解：（1） ； （2）（﹣2xy）2•3x2y+（﹣2x2y）3÷x2 ＝4x2y2•3x2y﹣8x6y3÷x2 ＝12x4y3﹣8x4y3 ＝4x4y3； （3）（a+2b）2﹣（a+2b）（2b﹣a）﹣2a2 ＝a2+4ab+4b2﹣4b2+a2﹣2a2 ＝4ab， 当时， 原式 ＝﹣4． 15．（8分）如图，已知直线AB及直线AB外一点P，直线PC与AB交于点C，作∠DPC＝∠PCB（要求∠DPC与∠PCB为一对内错角）．判断直线DP与直线AB是否平行，并说出其中的理由． 【解答】解：如图，∠DPC即为所求． 结论：DP∥AB． 理由：∵∠DPC＝∠PCB， ∴DP∥AB（内错角相等，两直线平行）． 16．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D点为射线AC上一动点，连接BD，过点B作BE⊥BD且BE＝BD（点E在直线BC下方）． （1）当点D在线段AC上时，如图1，过E点作EG⊥AB交AB于点G，求证：△BAD≌△EGB． （2）如图2，当点D在AC的延长线上时，连接CE，与BA的延长线交于点M，求的值． 【解答】（1）证明：当点D在线段AC上时，如图1所示， ∵EG⊥AB交AB于点G， ∴∠EGB＝90°， ∴△EGB是直角三角形， 在△ABC中，∠BAC＝90°， ∴∠EGB＝∠BAD＝90°， ∵BE⊥BD， ∴∠EBD＝90°， ∴∠EBG+∠ABD＝90°， 在Rt△EGB中，∠EBG+∠E＝90°， ∴∠E＝∠ABD， 在△BAD和△EGB中． ， ∴△BAD≌△EGB（AAS）； （2）解：当点D在AC的延长线上时，过点E作EH⊥AB，交BA的延长线于点H，如图2所示： ∴∠H＝∠BAD＝90°， 在Rt△EHB中，∠EBA+∠HEB＝90°， ∵BE⊥BD， ∴∠EBA+∠ABD＝90°， ∴∠HEB＝∠ABD， 在△HEB和△ABD中， ， ∴△HEB≌△ABD（AAS）， ∴BH＝DA，EH＝AB， ∴AB+AH＝CD+AC， ∵AB＝AC， ∴AH＝CD，EH＝AC， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAH＝90°， ∴∠H＝∠CAH＝90°， 在△HEM和△ACM中， ， ∴△HEM≌△ACM（AAS）， ∴HM＝AM， ∴AH＝HM+AM＝2AM， 又∵AH＝CD， ∴2AM＝CD， ∴， 即的值为． 17．（10分）小丽驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点．汽车充电前、充电后都以80km/h的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同．出发后，汽车剩余电量Q（单位：kW•h）与行驶路程s（单位：km）的关系如图所示． （1）小丽驾车几小时后停车充电？ （2）求线段AB所表示的Q与s之间的函数表达式． （3）若此电动汽车剩余电量超过60kW•h的行驶属于“高电量行驶”．求小丽驾驶前往景点的过程中，属于“高电量行驶”的总路程． 【解答】解：（1）由图象可知，汽车行驶240km后停车充电，已知行驶速度为80km/h， ∴行驶时间＝路程/速度， 答：小丽驾车行驶3h后停车充电； （2）设线段AB的函数表达式为Q＝ks+b（k≠0）， 由图象得：A（240，80），B（440，30）， ∴， ∴． ∴线段AB的函数表达式为：Q＝﹣0.25s+140（240≤s≤440）； （3）①充电前（0≤s≤240）： 设充电前的函数表达式为Q＝k1s+100， 将点（240，40）代入：40＝240k1+100 ∴k1＝﹣0.25， ∴Q＝﹣0.25s+100． 令Q＝60， ∴60＝﹣0.25s+100， ∴s＝160km． ∴此电动汽车剩余电量超过60kW•h的路程为160km； ②充电后（240≤s≤440）：线段AB的表达式为Q＝﹣0.25s+140， 令Q＝60， ∴60＝﹣0.25s+140， ∴s＝320km， ∴此电动汽车剩余电量超过60kW•h的路程为320﹣240＝80（km）． ∴属于“高电量行驶”的总路程为：160+80＝240（km）． 18．（12分）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动． （1）【操作发现】：如图①，小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝70°，求∠1的度数； （2）【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索∠AEF与∠FGC之间的数量关系，并说明理由； （3）【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，求∠CFG（用含α的式子表示）． 【解答】解：（1）∵点G在直线CD上， ∴∠EGD+∠EGF+∠2＝180°， 又∵∠EGF＝60°，∠2＝70°， ∴∠EGD＝180°﹣（∠EGF+∠2）＝180°﹣（60°+70°）＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠EGD＝50°； （2）∠AEF与∠FGC之间的数量关系是：∠AEF+∠FGC＝90°，理由如下： 在△EFG中，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°， ∴∠GEF＝180°﹣（∠EFG+∠EGF）＝30°， ∴∠AEG＝∠AEF+∠GEF＝∠AEF+30°，∠CGE＝∠FGC+∠EGF＝∠FGC+60°， ∵AB∥CD， ∴∠AEG+∠CGE＝180°， ∴∠AEF+30°+∠FGC+60°＝180°， ∴∠AEF+∠FGC＝90°； （3）∵∠AEG＝α，∠GEF＝30°，∠EFG＝90°， ∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝α+30°，∠CFE＝∠CFG+∠EFG＝∠CFG+90°， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴α+30°+∠CFG+90°＝180°， ∴∠CFG＝60°﹣α． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．（4分）下列说法正确的是 　①　 ．（填序号） ①两条直线相交所成的四个角中，如果邻补角相等，那么这两条直线相互垂直； ②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④两直线被第三条直线所截，同旁内角互补． 【解答】解：由题知， 因为邻补角的和为180°， 所以当它们又相等时，它们都是直角， 所以这两条直线相互垂直． 故①正确． 因为从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离； 故②错误． 因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故③错误． 因为两平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补． 故④错误． 故答案为：①． 20．（4分）写出一个使代数式有意义的x的值，则x的值可以是 　3（答案不唯一）　 ． 【解答】解：由题可知， x﹣2≥0， 解得x≥2， 则x的值可以是3． 故答案为：3（答案不唯一）． 21．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，分别以AC，BC为直径向∠ACB的内侧作半圆，恰好交于点D．若AB＝5，CD＝2，则阴影部分的面积为 　　 ． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴阴影部分的面积＝S半圆BDC﹣S△BDC+S半圆ADC﹣S△ADC ， 故答案为：． 22．（4分）若a，b为实数，且满足，则　　 ． 【解答】解：∵a，b为实数，且满足， ∴a+6＝0，b﹣3＝0， 解得a＝﹣6，b＝3， ∴． 故答案为：． 23．（4分）如图，在△ABC中，AB＝13，∠ACB＝60°，若点E在线段BC上，BE＝5，以AB为边向上作等边△ABD，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则CE＝　85　 ． 【解答】解：在BC上取点F，使CF＝CA，连接AF、DF， ∵∠ACB＝60°， ∴△ACF为等边三角形． ∴∠AFC＝∠FAC＝60°，AF＝AC． ∵△ABD为等边三角形， ∴AD＝AB，∠DAB＝60°． ∴∠DAB＝∠FAC． ∴∠DAB+∠BAF＝∠FAC+∠BAF，即∠DAF＝∠BAC． 在△DAF和△BAC中， ， ∴△DAF≌△BAC（SAS）． ∴DF＝BC，∠AFD＝∠ACB＝60°， ∴∠DFE＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠FDE＝30°， ∴EFDF． 由题意，DB＝AB＝13， 又DE⊥BC，BE＝5， ∴DE12． 又在Rt△DEF中，设EFDF＝x， 又DE2+EF2＝DF2， ∴144+x2＝4x2． ∴x＝4． ∴DF＝BC＝2x＝8． ∴EC＝BC﹣BE＝DF﹣BE＝85． 故答案为：85． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）【知识链接】在求解几何图形的面积时，通常会利用割、补等手段．所谓“割”，就是将原图形分为若干个常见的规则图形（如正方形、直角三角形等），分割后各个图形的面积之和等于原图形的面积． 纵观历史，我国著名的数学家赵爽在《勾股圆方图注》中绘制了一张弦图（见图1），并将大正方形中四个完全相同的直角三角形命名为朱实，中间的小正方形命名为黄实．上述规则图形无缝隙、无重叠． 【问题探究】 一张赵爽弦图如图2所示．若四个直角三角形的两条直角边都分别为a和b（即AF＝BG＝CH＝DE＝a，AG＝BH＝CE＝DF＝b），且a＜b． （1）请你用含a、b的代数式表示出正方形EFGH的面积S，并求出当a＝5，b＝12时，S的值． （2）现将赵爽弦图中的四个完全相同的直角三角形分别沿着正方形ABCD的四条边向外翻折，得到如图3所示的大正方形IJKL、记正方形EFGH的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，正方形IJKL的面积为S3．请问是否存在常数k，使得S1+S3＝kS2成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意可知，正方形EFGH的边长为b﹣a， ∴正方形EFGH的面积S＝（b﹣a）2， 当a＝5，b＝12时， S＝（b﹣a）2＝（12﹣5）2＝49； （2）存在． 由题意，得S1＝（b﹣a）2，S2＝（b+a）2﹣2×ab＝b2+a2，S3＝（b+a）2， ∴S1+S3＝（b﹣a）2+（b+a）2＝b2﹣2ab+a2+b2+2ab+a2＝2（b2+a2）＝2S2， ∵S1+S3＝kS2， ∴k＝2． 25．（10分）如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE交于点F，AD与CE交于点G． （1）试判断线段BD和CE之间的数量关系，并说明理由； （2）若EC为△ADE的角平分线，AE＝2，GF，求EF的长． 【解答】解：（1）线段BD和CE之间的数量关系是：BD＝CE，理由如下： ∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）∵△ADE是等边三角形，AE＝2， ∴AD＝AE＝2， ∵EC为△ADE的角平分线， ∴EG⊥AD，AG＝DGAD＝1， 在Rt△AEG中，由勾股定理得：EG， ∵GF， ∴EF＝EG+GF． 26．（12分）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6． （1）求AC的长； （2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE． ①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的DB的长． ②设直线DE交直线BC于点F，连结CD，若OD与CF中存在一条边是另一条边的两倍，直接写出CD的长． 【解答】解：（1）∵AO＝4，BO＝6， ∴AB＝OA+OB＝10， ∴BC＝AB＝10， ∵CO⊥AB， ∴OC8， ∴AC4； （2）①当OA＝OE＝4时，过点O作OF⊥AE于点F，如图， 则AF＝EF． ∵OF⊥AE，DE⊥AC， ∴OF∥DE， ∴OF为△ADE的中位线， ∴OA＝OD＝4， ∴BD＝OB﹣OD＝2； 当OA＝AE＝4时， ∵CO⊥AB，DE⊥AC， ∴∠AED＝AOC＝90°， 在△AED和△AOC中， ， ∴△AED≌△AOC（ASA）， ∴AD＝AC＝4， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣4． 综上，所有符合条件的DB的长为2或10﹣4； ②CD的长为或． 当CF＝2OD时，如图， 设OD＝x，则CF＝2x， ∴BD＝OB﹣OD＝6﹣x，BF＝CF﹣CB＝2x﹣10． ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠ACB， ∵DE⊥AC， ∴∠ADE＝90°﹣∠A，∠F＝90°﹣∠ACB， ∴∠ADE＝∠F， ∵∠ADE＝∠BDF， ∴∠BDF＝∠F， ∴BD＝BF， ∴6﹣x＝2x﹣10， ∴x， ∴BD， ∴CD； 当2CF＝OD时，如图， 设CF＝x，则OD＝2x， ∴BD＝O﹣OB＝2x﹣6，BF＝BC﹣CF＝10﹣x． ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠ACB， ∵DE⊥AC， ∴∠ADE＝90°﹣∠A，∠EFC＝90°﹣∠ACB， ∴∠ADE＝∠EFC， ∵∠EFC＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠ADE， ∴BD＝BF， ∴2x﹣6＝10﹣x， ∴x， ∴OD， ∴CD． 综上，CD的长为或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $