4.2.2 等差数列的前n项和公式（七大题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦等差数列前n项和公式的系统性应用，通过七类题型构建从基础计算到性质拓展的递进训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求前n项和|4题|直接应用公式求Sn|公式正向应用，强化基本运算| |基本量计算|4题|已知a1、d、n、an、Sn中量求其他|体现“知三求二”核心方法，夯实方程思想| |含绝对值求和|4题|需判断项的正负分段求和|结合分类讨论，提升综合应用能力| |奇偶项和|4题|涉及项数与公差对奇偶项的影响|深化等差数列项的分布规律理解| |由Sn判等差数列|4题|利用Sn表达式特征判断|构建Sn与通项的逻辑关联，培养推理意识| |由Sn求通项|4题|应用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化|强化Sn与an的转化方法，完善知识链条| |片段和性质|4题|利用Sm、S2m-Sm、S3m-S2m成等差|拓展性质应用，提升模型意识|

4.2.2 等差数列的前n项和公式 题型一 求等差数列前n项和 1．已知是等差数列的前项和，，则（     ） A． B． C．66 D．33 2．已知数列的前项和为，且，，则（     ） A．是递增数列 B． C．数列是等差数列 D． 3．已知等差数列的前项和为，若，则_______． 4．已知数列中，，． (1)证明：是等差数列； (2)记为的前项和，求数列的前项和． 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 5．设等差数列的前n项和是，已知，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 6．已知等差数列的前项和是，公差是，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当时，取得最小值 D． 7．设等差数列的前项和为，若，，则__________． 8．设等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型三 含绝对值的等差数列前n项和 9．已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 11．已知数列的前项和为，则数列的前10项和为_____. 12．已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 题型四 等差数列奇数项或偶数项的和 13．某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 14．已知为等差数列的公差，为数列的前项和.若为递减数列，则下列结论正确的为（    ） A．数列为递减数列 B．数列是等差数列 C．若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为 D．若，则 15．等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则______． 16．已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 题型五 由前n项和判断数列是否是等差数列 17．已知数列的前n项和公式为，则数列（    ） A．是公差为2的等差数列 B．是公比为2的等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列 18．已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则公差可能为1 C．若，则当且仅当时，取得最小值 D．若数列是递增数列，则的取值范围是 19．已知等差数列前项和为，则______. 20．已知数列的前n项和为，若，． (1)记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由． (2)记，的前n项和为，求． 题型六 由Sn求通项公式 21．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 22．已知数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项的和为 D．的前项的和小于 23．已知为数列的前n项和，且，则数列的前20项和为________． 24．已知数列的前项和为，若，且． (1)求的通项公式； (2)令 ，求数列的前项和为. 题型七 等差数列片段和的性质及应用 25．已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（     ） A．35 B．45 C．55 D．60 26．已知等差数列中，，其前项和为，若，则（    ） A．公差 B． C．当时，的最小值为57 D． 27．记为等差数列的前项和，若，，则______________． 28．记分别为数列的前项和，其中满足，且． (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 等差数列的前n项和公式 题型一 求等差数列前n项和 1．已知是等差数列的前项和，，则（     ） A． B． C．66 D．33 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意得：，所以，解得， 所以. 故选：D 2．已知数列的前项和为，且，，则（     ） A．是递增数列 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】先根据递推关系判断是公差为2的等差数列，再结合等差数列的通项公式、前项和公式逐一分析选项. 【详解】对于选项A，由得数列是首项为，公差的等差数列， 又因为，因此是递增数列，A选项正确； 对于选项B，等差数列通项公式为，B选项错误； 对于选项C，等差数列前项和公式，所以. 因为为常数，所以数列是公差为1的等差数列，C选项正确； 对于选项D，令，解得， 所以. 根据得，代入上式得，D选项正确. 故选：ACD. 3．已知等差数列的前项和为，若，则_______． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和公式，结合等差数列下标和相等的性质，将转化为含的式子求解. 【详解】因为数列是等差数列，，根据等差数列前项和公式： ， 当时，， 根据等差数列的性质：由于，因此， 将其代入的表达式得： ， 又，因此，解得. 4．已知数列中，，． (1)证明：是等差数列； (2)记为的前项和，求数列的前项和． 【答案】(1)已知，由，结合递推关系可知对任意，， 等式两边同时除以，整理得， 又首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证. (2) 【分析】（1）构造等差数列递推式即可证明； （2）先用等差数列求和，再利用裂项相消法来求和即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 则的前项和为， 因此， 裂项相消得：. 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 5．设等差数列的前n项和是，已知，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列公差为， ，解得， ． 故选：D 6．已知等差数列的前项和是，公差是，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当时，取得最小值 D． 【答案】BC 【详解】，， ，，故A错误，B正确； 等差数列的前项小于零，第5项开始大于零， 故当时，取得最小值，C正确； ，故D错误． 故选：BC. 7．设等差数列的前项和为，若，，则__________． 【答案】11 【详解】设公差为，由，，得，即，解得，所以. 8．设等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 (1)    根据等差数列通项公式及前项和公式求解； (2)    写出的通项公式后用裂项相消法求的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，即； 又因为，即，即； 解得，， 故的通项公式为． （2）因为， 所以 ． 题型三 含绝对值的等差数列前n项和 9．已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 设数列的公差为，则，所以， ，， 所以当时，，当时，， 所以 ， 所以. 故选：C 10．已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 【答案】ACD 【分析】对于A，即可求；对于B，再作差可得，结合利用等差数列求和公式即可判断；对于C，利用并项求和即可；对于D，求出其通项，再分别求出前项和以及后项和. 【详解】当时，，故A正确； 当时，， 两式相减可得：，所以， 当时，，符合上式，故， 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C正确； 令，所以的前30项和为： ，故D正确． 故选：ACD. 11．已知数列的前项和为，则数列的前10项和为_____. 【答案】52 【分析】先利用求出数列的通项公式，再根据通项公式求出的前10项和. 【详解】，当时，； 当时，满足上式；所以. 数列的前10项和为. 故答案为：52 12．已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分和分析计算即可求解； （2）根据的正负情况分析计算. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 显然满足式，所以； （2）由（1）可得时，时， 所以当时，所以， 当时，所以 ， 所以. 题型四 等差数列奇数项或偶数项的和 13．某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据等差数列性质即可化简求出奇数项之和. 【详解】解：由题可知，， 根据等差数列的性质可知，所以，所以， 同理，根据等差数列性质可得. 故选：B 14．已知为等差数列的公差，为数列的前项和.若为递减数列，则下列结论正确的为（    ） A．数列为递减数列 B．数列是等差数列 C．若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举反例排除A，利用等差数列的求和公式判断B，利用等差数列奇数项与偶数项和，结合等差数列的性质判断C，利用等差数列的求和公式与等差数列的性质判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为数列是递减的等差数列，所以， 不妨举例数列为， 则9，这三项不构成递减数列，故A错误； 对于B，，是关于的一次函数， 因此是等差数列，故B正确； 对于C，数列前10项中，奇数项的和为， 偶数项的和， 所以，设，则，解得， 所以公差，故C正确； 对于D，，则， ，则， 所以，故D正确. 故选：BCD. 15．等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则______． 【答案】10 【分析】结合等差数列前项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可. 【详解】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和①， 偶数项和②， 由①②，得，代入②式，可得，解得. 故答案为：10 16．已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 【答案】(1) 数列满足，， 设，则， 有， 所以 ， 所以数列是首项为3，公差为3的等差数列，即数列为等差数列； (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的定义证明； （2）数列中奇数项与偶数项分别构成等差数列，根据等差数列前项和公式计算求解； （3）结合（2）利用通项列举出两个数列相同的项，即可计算求解数列的前20项中余下项的和. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，， 设，同理可证数列是首项为12，公差为9的等差数列，即， 当时，前项包含个奇数项和个偶数项； 所以， 将代入可得， 当时， ， 将代入可得， 所以； （3）由（2）可知，列举出数列的前20项为： 奇数项：， 偶数项：， 相同的项为：， 数列的前20项中余下项的和为. 题型五 由前n项和判断数列是否是等差数列 17．已知数列的前n项和公式为，则数列（    ） A．是公差为2的等差数列 B．是公比为2的等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列 【答案】A 【分析】利用求得数列的通项公式，由此判断出正确选项. 【详解】当时，，当时，，也符合上式，所以的通项公式为，故为首项是，公差为的等差数列，不是等比数列. 故选：A 18．已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则公差可能为1 C．若，则当且仅当时，取得最小值 D．若数列是递增数列，则的取值范围是 【答案】AC 【详解】由，当时，， 当时，， 若，则，符合，故为等差数列，A正确； 因为当时，，所以若为等差数列，则的公差为2，故B错误； 若，则，当时，， 所以，，，又当时，，所以当且仅当时取得最小值，故C正确； 当时，， 故数列为递增数列等价于对任意的，恒成立， 即，可得，故D错误． 故选：AC. 19．已知等差数列前项和为，则______. 【答案】 【分析】结合等差数列前项和的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 若为等差数列前项和，则，解得. 故答案为： 20．已知数列的前n项和为，若，． (1)记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由． (2)记，的前n项和为，求． 【答案】(1) 因为， 当时，，又因为，所以 当时，因为，由，得①，所以②， 所以得： ，经验证，当时不等于，所以不是等差数列. (2)当为偶数时，，当为奇数时，. 【分析】（1）取时可求，当时可根据与的关系求出，再验证是否满足即可判断其是否为等差数列； （2）当时，由，得，两式相减即可得，进而可以得出从第2项起的奇数项和偶数项分别成等差数列，讨论为奇数时和为偶数时分别解决. 【详解】（1）略 （2）由，得，两式相减得： . 所以当时： 数列（）是首项为，公差为6的等差数列； 数列（）是首项为，公差为6的等差数列. 当为偶数时，不妨设，则， 此时 因为，所以此时. 当为奇数时，不妨设，则， 此时 . 因为，所以此时 综上所述，当为偶数时，，当为奇数时，. 题型六 由Sn求通项公式 21．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，故. 故选：D 22．已知数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项的和为 D．的前项的和小于 【答案】ACD 【分析】先由前项和，利用与求出通项，再逐一验证各选项：A 判断数列类型，B 比较与，C 求的前n项和，D 用裂项相消法求的前项和并判断范围，最终确定正确选项. 【详解】对于A：根据题意，，当时，， 所以满足，所以数列是等差数列，正确； 对于B：，显然，不正确； 对于C：因为，所以，所以其前项的和为，正确； 对于D：因为，所以， 所以的前项的和为，正确. 故选：ACD. 23．已知为数列的前n项和，且，则数列的前20项和为________． 【答案】 【分析】先求出数列的通项公式，再利用裂项相消求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 满足， 所以， 设为数列的前项和， 所以 ， 所以. 24．已知数列的前项和为，若，且． (1)求的通项公式； (2)令 ，求数列的前项和为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过前项和的递推式作差得到相邻两项和的关系，推导得奇数项、偶数项均为公差为4的等差数列，合并得到通项； （2）化简得，用裂项相消法求和. 【详解】（1）当 时，代入递推式得 ，已知 ，故 ，. 当 时，有 ①； 当 时， ②； ①-②得 ， 验证 时 ，故 对所有 成立. 将①中替换为 得 ③； ③-①得 ④； ④减去 ，得 ()，即数列奇数项、偶数项均为公差为 4 的等差数列： 当为正奇数时，设 ()，； 当为正偶数时，设 ()，。 综上， (). （2）将 代入得： ， 故 . 数列的前项和为：，其中 ， 因此： 题型七 等差数列片段和的性质及应用 25．已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（     ） A．35 B．45 C．55 D．60 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质进行计算即可. 【详解】由题意知，，成等差数列， 又，， 所以，即， ． 故选：B 26．已知等差数列中，，其前项和为，若，则（    ） A．公差 B． C．当时，的最小值为57 D． 【答案】BCD 【分析】由题意，，可得，，，再结合等差数列的通项公式、前项和公式及性质逐一判断即可. 【详解】因为，， 又为等差数列，设公差为，则， 所以， 若，由，得，则，不符合题意，所以，故A错误； 由A选项可知，所以，由，得，，故B正确； 由B选项，可知，若，则， 由，得，则当时，； 由，则，则当时，，所以当时，的最小值为57，故C正确； 由， 则 ， 所以，故D正确. 故选：BCD. 27．记为等差数列的前项和，若，，则______________． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和的性质求解. 【详解】若为等差数列，其前项和满足：仍成等差数列， 所以，则 解得. 28．记分别为数列的前项和，其中满足，且． (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 【答案】(1)， (2)当为小于5的正奇数时，； 当为不小于5的正奇数时，． 【分析】（1）先根据递推式判断为等差数列，进而根据已知条件列出方程组求出公差和首项，进而得到该数列的通项公式和前项和. （2）先列出的表达式，然后作差比较大小即可. 【详解】（1）因为，所以为等差数列． 设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得， 所以， （2）由（1）知，， 当为正偶数时，， ， 则当为正奇数时， ， 则在时单调递增， ．所以； ，所以， ，所以， 由的单调性可知，当取大于5的奇数时，， 综上所述，当为小于5的正奇数时，； 当为不小于5的正奇数时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $