5.1-5.2 导数的概念及其意义与导数的运算专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

高二上学期 第五章 一元函数的导数及其应用 专项训练 5.1-5.2 导数的概念及其意义与导数的运算（六大题型）专项训练 人教A版选择性必修第二册数学高二上学期 （建议用时：120分钟　测试范围：第五章 一元函数的导数及其应用 5.1~5.2） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项按六个考点编排，每个考点内由易到难，做题前先浏览考点归纳。 2．求切线时先分清“在某点处”（该点是切点）与“过某点”（需设切点）；复合函数求导不要漏乘内层函数的导数。 3．解答题写出求导、设切点、列方程等关键步骤，只写结果不得分。 内容速览　六考点 54 题（选择26·填空16·解答12） 配套解析：解析版 25 页，含速查表、答案、分析、详解、易错提醒；题目配图 4 幅 　考点归纳 1．函数的平均变化率、平均速度与瞬时速度、用导数的定义求导数、极限式与f′(x0)的关系 2．在某点处的切线斜率与切线方程、由切线斜率求切点、过某点的切线、公切线（拓展） 3．常数、幂函数、指数函数、对数函数、正弦余弦函数的导数公式，和差积商的求导法则，含f′(x0)的函数式 4．y＝f(ax＋b)型复合函数的求导法则、在给定点处的导数、由导数值求参数 5．已知切线求参数、切线平行与垂直的条件、切线与坐标轴围成的三角形面积、切线过定点 6．瞬时速度与加速度、成本与浓度的瞬时变化率、冷却与增长模型、切线存在性与切线条数（拓展） 　考点01　平均变化率与瞬时变化率 1．函数f(x)＝－x＋3在区间[1，3]上的平均变化率是(____)。 A．3 B．7 C．14 D． 2．某质点做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足s(t)＝＋t，则该质点在时间段[2，2＋Δt]内的平均速度为________m/s（用含Δt的式子表示）。 3．已知函数f(x)在x＝2处可导，且f′(2)＝4，则limΔx →0的值等于(____)。 A． B．4 C．12 D．－12 4．如图，点P0(2，3)在曲线f(x)＝－x＋3上，点P(2＋Δx，f(2＋Δx))是曲线上的另一点。当Δx →0时，割线P0P无限趋近于曲线在点P0处的切线，则这条切线的方程为________。 5．用导数的定义求得函数f(x)＝在x＝1处的导数f′(1)为(____)。 A． B． C．－1 D． 6．汽车刹车后做减速直线运动，刹车后t s内行驶的路程s（单位：m）满足s(t)＝24t－，则汽车从开始刹车到停止所用的时间为________s。 7．水箱放水时，水面高度h（单位：dm）与时间t（单位：min）满足h(t)＝－3t＋16（0≤t≤6）。 (1)求h(t)在区间[2，2＋Δt]上的平均变化率； (2)用导数的定义求h′(2)，并说明它的实际意义； (3)用导数的定义求h′(t0)，并求水面下降的瞬时速度为1 dm/min时的时刻t0。 8．设f(x)＝＋x，则limΔx →0的值是(____)。 A．4 B．6 C．12 D．8 9．给一个球形气球充气，气球的体积V（单位：c m³）与半径r（单位：cm）满足V(r)＝。 (1)求半径从3 cm增加到(3＋Δr) cm时，体积关于半径的平均变化率； (2)求V′(3)，并解释这个数值在充气过程中表示什么； (3)当体积关于半径的瞬时变化率为16π时，求此时的半径。 　考点02　导数的几何意义与切线 10．曲线y＝－＋3在x＝2处的切线斜率等于(____)。 A．3 B．12 C．4 D．8 11．曲线y＝2ln x＋x在点(1，1)处的切线方程为________。 12．曲线y＝－＋2x在点(2，0)处的切线方程是(____)。 A．y＝2x－4 B．y＝2x C．y＝＋1 D．y＝26x－52 13．曲线y＝＋2x上切线斜率为3的点的坐标为________。 14．过点A(1，3)作曲线y＝＋2x的切线，所得切线的方程为(____)。 A．y＝5x－2 B．y＝5x－2或y＝＋ C．y＝5x＋8或y＝＋ D．y＝＋ 15．已知曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程为y＝－2x＋13，则曲线y＝f(x)＋在x＝3处的切线方程为________。 16．曲线y＝－x＋3在点P处的切线与直线y＝2x－1平行，则点P的坐标是(____)。 A．(－1，3) B．(1，2)或(－1，2) C．(1，3) D．(1，3)或(－1，3) 17．如图，过点P(1，－2)作抛物线y＝＋1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B（点A在点B的左侧）。 (1)求切点A，B的坐标； (2)求直线AB的方程； (3)求△PAB的面积。 18．（拓展）已知函数f(x)＝，g(x)＝＋6x－17。 (1)求曲线y＝f(x)在x＝a处的切线方程（用a表示）； (2)若直线l与曲线y＝f(x)、y＝g(x)都相切，求直线l的方程。 　考点03　基本初等函数与四则运算求导 19．下列求导运算中，正确的为(____)。 A．＝2e B．＝x· C．(cos x)′＝sin x D．(log3x)′＝ 20．已知f(x)＝－＋，则f′(1)＝________。 21．设f(x)＝·，则f′(1)是(____)。 A．2e B．3e C．e D．1＋2e 22．函数f(x)＝在x＝1处的导数f′(1)＝________。 23．已知f(x)＝xsin x＋cos x，则等于(____)。 A．－ B． C． D．＋ 24．已知函数f(x)＝x·ln x－ax，若f′(e)＝3，则f(e)＝________。 25．求下列函数的导数： (1)y＝＋1)(3x－2)； (2)y＝； (3)y＝·cos x。 26．已知函数f(x)＝f′(1)·＋x·ln x，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为(____)。 A．y＝－x B．y＝x C．y＝0 D．y＝－x＋1 27．已知函数f(x)＝＋bln x，且f′(1)＝－1，f′(3)＝5。 (1)求a，b的值； (2)求使f′(x)＞0成立的x的取值范围； (3)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程。 　考点04　简单复合函数求导 28．函数y＝的导数y′是(____)。 A． B． C． D． 29．已知f(x)＝，则＝________。 30．函数f(x)＝在x＝2处的导数为(____)。 A． B． C．3 D． 31．函数y＝ln(1－2x)的导数y′为(____)。 A． B． C． D． 32．函数y＝sin(2x＋在x＝处的导数为________。 33．设f(x)＝x·，则f′(1)是(____)。 A． B． C． D．0 34．求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝cos(3x－； (3)y＝； (4)y＝(x＋1)ln(2x＋1)，并求它在x＝0处的导数。 35．已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋x，若f′(1)＝，则a等于(____)。 A． B． C．－4 D．2 36．已知函数f(x)＝－8ln(2x－1)。 (1)求f′(x)； (2)求曲线y＝f(x)上切线平行于x轴的点的坐标； (3)当x取何值时，f′(x)＜0？ 　考点05　求导与切线综合 37．若曲线y＝＋aln x在x＝1处的切线与直线y＝4x＋1平行，则实数a为(____)。 A．－6 B． C．3 D．2 38．若曲线y＝－2ln x在x＝1处的切线经过原点，则a＝________。 39．如图，直线l与曲线y＝f(x)相切于点P(2，3)，与y轴交于点Q(0，－1)。设g(x)＝，则曲线y＝g(x)在x＝2处的切线方程是(____)。 A．y＝＋1 B．y＝＋2 C．y＝ D．y＝＋ 40．如图，曲线y＝＋1在点P(4，3)处的切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积为________。 41．若曲线y＝＋ax在x＝1处的切线与直线x＋2y－3＝0垂直，则实数a是(____)。 A．1 B． C．－1 D． 42．已知函数f(x)＝aln x＋，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝5x－3。 (1)求a，b的值； (2)求f(x)的图象在x＝2处的切线方程； (3)解关于x的不等式f′(x)＞5。 43．若直线y＝3x＋m是曲线y＝－3x的一条切线，则实数m的值等于(____)。 A． B．± C．±5 D． 44．若直线y＝kx－2与曲线y＝x·ln x相切，则实数k＝________。 45．已知曲线C：y＝ln x。 (1)求曲线C在x＝处的切线l1的方程； (2)求直线l1与两坐标轴围成的三角形的面积； (3)若曲线C的另一条切线l2经过点(0，－2)，求直线l2的方程。 　考点06　导数的实际意义与综合 46．一辆遥控小车沿直线行驶，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足s(t)＝－＋10t，则小车在t＝3 s时的瞬时速度（单位：m/s）为(____)。 A．7 B．10 C．21 D．13 47．某工厂生产某种零件，总成本C（单位：元）与产量x（单位：件）满足C(x)＝2000＋50x－（0≤x≤500），则产量为100件时，总成本关于产量的瞬时变化率为________元/件。 48．某药物注射后，血液中的药物浓度c（单位：mg/L）与时间t（单位：h）满足c(t)＝30t·，则t＝4 h时药物浓度关于时间的瞬时变化率是(____)。 A． B． C． D． 49．一块正方形金属片受热膨胀，边长a（单位：cm）与时间t（单位：s）满足a(t)＝10＋，则t＝5 s时金属片面积关于时间的瞬时变化率为________cm²/s。 50．某细菌培养液中细菌数N（单位：个）与时间t（单位：h）满足N(t)＝，则t＝5 h时细菌数的瞬时增长速度（单位：个/h）等于(____)。 A．1000 B．200 C．200e D．1000e 51．一个物体做直线运动，速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）满足v(t)＝－2t＋6，则t＝3 s时物体的加速度（单位：m/s²）为(____)。 A．9 B．6 C．4 D．3 52．一杯热茶放在室内冷却，经过t min后茶水的温度为T(t)＝20＋（单位：℃）。 (1)求T′(t)； (2)求T′(0)与T′(10)，并说明T′(10)的实际意义； (3)经过多少分钟，茶水温度下降的瞬时速度为每分钟3 ℃？ 53．（拓展）若曲线y＝－ax存在与直线y＝2x平行的切线，则实数a的取值范围为(____)。 A．(－2，e－2)∪(e－2，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(－∞，－2) D．[－2，＋∞) 54．（拓展）已知函数f(x)＝＋2x，点P(－2，m)。 (1)若过点P的直线与曲线y＝f(x)相切于点(t，f(t))，求t满足的方程； (2)若过点P可以作曲线y＝f(x)的两条切线，求实数m的取值范围； (3)当m＝－4时，求过点P的曲线y＝f(x)的切线方程。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B 13＋3Δt D y＝x＋1 A 6 题号 8 10 11 12 13 14 答案 C C y＝3x－2 A (1，3) B 题号 15 16 19 20 21 22 23 答案 y＝4x＋4 D D －4 B C 题号 24 26 28 29 30 31 32 33 答案 2e A D 3 A B －1 C 题号 35 37 38 39 40 41 43 答案 B D 1 A 8 C B 题号 44 46 47 48 49 50 51 答案 1＋ln 2 D 40 A C C 题号 53 答案 A 　考点01　平均变化率与瞬时变化率 1．【答案】B 【解析】【分析】平均变化率是函数值的增量与自变量的增量之比，先算两端函数值，再作商。 f(3)＝2×9－3＋3＝18，f(1)＝2－1＋3＝4， 平均变化率＝＝＝7。 所以选B。 A项是把平均变化率当成了x＝1处的瞬时变化率f′(1)＝4×1－1，按此错法真算得3；C项是只求了函数值的增量f(3)－f(1)，没有除以自变量的增量2，按此错法真算得14；D项是把自变量的增量错当成区间右端点3，算成(18－4)÷3，按此错法真算得。 【点评】平均变化率的几何意义是割线的斜率。 【易错提醒】分母是自变量的增量3－1＝2，不是区间端点；平均变化率与某一点处的瞬时变化率是两回事。 2．【答案】13＋3Δt 【解析】【分析】平均速度是位移的增量除以时间的增量，把Δt当作字母保留，化简到不含分母。 Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝＋(2＋Δt)－(3×4＋2)＝12Δt＋＋Δt＝13Δt＋， 平均速度＝＝13＋3Δt。 所以答案为13＋3Δt。 【点评】含Δt的平均速度表达式令Δt →0，就得到t＝2时的瞬时速度13 m/s，这正是导数定义的思路。 【易错提醒】计算s(2+Δt)时要完整展开，化简时每一项都要除以Δt。 3．【答案】D 【解析】【分析】把极限式凑成导数定义的标准形式：分子中自变量的增量与分母必须完全一致。 当Δx →0时，－3Δx →0。把分式变形：＝－3·， 而limΔx →0＝f′(2)＝4，所以原式＝－3×4＝－12。 故选D。 A项：把系数－3放到了分母上，算成f′(2)÷(－3)，按此错法真算得；B项：忽略了Δx前的系数－3，直接写成f′(2)，按此错法真算得4；C项：只注意到系数3，漏掉了负号，按此错法真算得12。 【点评】limΔx →0＝kf′(x0)，k可正可负。 【易错提醒】分子里的增量是－3Δx，分母也要配成－3Δx，配出的系数－3连同符号一起提到外面。 4．【答案】y＝x＋1 【解析】【分析】先求割线P0P的斜率（含Δx），再令Δx →0得到切线斜率，最后用点斜式写切线方程。 割线P0P的斜率k＝＝＝＝1＋， 当Δx →0时，k无限趋近于1，所以切线的斜率k0＝1。 切线过点P0(2，3)，方程为y－3＝1×(x－2)，即y＝x＋1。 故填y＝x＋1。 【点评】“割线无限逼近切线”是导数几何意义的来源：切线斜率就是割线斜率的极限。 【易错提醒】割线斜率化简时要约去Δx；求出的是切线斜率，还要代入切点写出方程。 5．【答案】A 【解析】【分析】按“求Δy →算→取极限”三步用定义求导。 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－＝＝， ＝，当Δx →0时，2(2＋Δx)→4，所以f′(1)＝limΔx →0＝。 综上，应选A。 B项是求Δy时把相减顺序弄反，写成f(1)－f(1＋Δx)，按此错法真算得；C项是误按f(x)＝求x＝1处的导数，得，按此错法真算得－1；D项是取极限时只把2＋Δx换成2，漏掉了分母中的因子2，按此错法真算得。 【点评】用定义求导的关键是把化简到能直接令Δx →0的形式。 【易错提醒】分式相减要先通分，Δy＝f(1+Δx)－f(1)的顺序不能颠倒；函数是不是。 6．【答案】6 【解析】【分析】汽车停止的时刻就是瞬时速度为0的时刻，先由路程函数求导得速度，再令速度为0。 汽车在t时刻的瞬时速度v(t)＝s′(t)＝24－4t。 汽车停止时瞬时速度为0，由24－4t＝0得t＝6，所以从开始刹车到停止用了6 s（这段时间内行驶了s(6)＝144－72＝72 m）。 因此应填6。 【点评】路程函数的导数是瞬时速度，“停止”“最高点”等时刻都对应瞬时速度为0。 【易错提醒】停止时是速度为0，不是路程为0；s(t)＝0的解t＝12不是停止时刻。 7．【答案】（1）－2＋；（2）h′(2)＝－2，表示此刻水面正以每分钟2个单位的速度下降；（3）h′(t0)＝t0－3，t0＝4 【解析】【分析】(1)先求两端的函数值再作商；(2)(3)用定义对一般的t0求导，再列方程。 【解答】(1)h(2)＝1－6＋16＝11，h(2＋Δt)＝－3(2＋Δt)＋16＝11－2Δt＋， 所以平均变化率＝＝－2＋。 (2)h′(2)＝limΔt →0＝limΔt →0(－2＋＝－2。 实际意义：在t＝2 min附近，水面高度以2 dm/min的速度下降（导数为负表示高度在减小）。 (3)Δh＝h(t0＋Δt)－h(t0)＝－t0²]－3Δt＝t0－3)Δt＋， ＝t0－3＋，所以h′(t0)＝t0－3。 水面下降的瞬时速度为1 dm/min，即h′(t0)＝－1，由t0－3＝－1得t0＝4，且0≤4≤6，符合题意。 【点评】导数的符号表示变化方向：h′(t)＜0说明高度在减小，|h′(t)|是变化的快慢。 【易错提醒】水面下降的瞬时速度为1 dm/min对应h′(t0)＝－1，不是＋1；求出的t0要在0≤t≤6内。 8．【答案】C 【解析】【分析】把分子拆成f(1＋2Δx)－f(1)与f(1)－f(1－Δx)两段，分别对应导数的定义。 把分子拆成两段：f(1＋2Δx)－f(1－Δx)＝[f(1＋2Δx)－f(1)]＋[f(1)－f(1－Δx)]， limΔx →0＝2f′(1)，limΔx →0＝f′(1)，所以原式＝3f′(1)。 f′(x)＝＋1，f′(1)＝4，原式＝3×4＝12。 所以选C。 A项：把两个增量的系数2与－1直接相加得1，算成1×f′(1)，按此错法真算得4；B项：把f′(1)误算成函数值f(1)＝2，得3×2，按此错法真算得6；D项：只看了f(1＋2Δx)一项的系数2，算成2f′(1)，按此错法真算得8。 【点评】两侧增量型极限式：limΔx →0＝(m＋n)f′(x0)。 【易错提醒】f(1)－f(1－Δx)对应的增量是－Δx，两段合起来是2f′(1)＋f′(1)＝3f′(1)。 9．【答案】（1）36π＋12πΔr＋；（2）V′(3)＝36π，表示此时半径每增加1个单位，体积约增加36π个单位；（3）r＝2 【解析】【分析】体积关于半径的平均变化率是ΔV与Δr之比；瞬时变化率是Δr →0时的极限。 【解答】(1)ΔV＝－27]＝[27Δr＋＋， 所以＝[27＋9Δr＋＝36π＋12πΔr＋。 (2)V′(3)＝limΔr →0＝36π。它表示半径为3 cm时，体积关于半径的瞬时变化率为36π，即此时半径每增加1 cm，体积大约增加36π c m³。 (3)同理，＝[3r0²＋3r0Δr＋，所以V′(r0)＝4πr0²。 由4πr0²＝16π得r0²＝4，又r0＞0，所以r0＝2，即半径为2 cm。 【点评】V′(r)＝恰好是球的表面积，体积对半径的变化率等于表面积，可作为结果的检验。 【易错提醒】＝27＋27Δr＋＋，展开时不要漏项；半径为正，负根舍去。 　考点02　导数的几何意义与切线 10．【答案】C 【解析】【分析】曲线在某点处的切线斜率就是该点处的导数值，先求导再代入。 y′＝－4x，由导数的几何意义，曲线在x＝2处的切线斜率k＝3×－4×2＝4。 故选C。 A项是把切点的纵坐标f(2)当成了切线斜率，按此错法真算得3；B项是求导时漏掉了这一项，只算了3×，按此错法真算得12；D项是把算成－2x，得3×4－2×2，按此错法真算得8。 【点评】“求切线斜率”就是“求导数值”，这是导数几何意义的直接应用。 【易错提醒】切线斜率是导数值f′(2)，不是函数值f(2)；的导数是－4x。 11．【答案】y＝3x－2 【解析】【分析】先确认点在曲线上，再求导得斜率，最后用点斜式。 点(1，1)在曲线上（2ln 1＋1＝1）。y′＝＋1，切线斜率k＝＋1＝3， 切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2。 所以答案为y＝3x－2。 【点评】在某点处的切线：切点已知，斜率＝导数值，一步点斜式。 【易错提醒】(2ln x)′＝，不要写成2ln x；写切线方程要用切点(1，1)。 12．【答案】A 【解析】【分析】点(2，0)在曲线上，是切点，求导得斜率后写点斜式。 点(2，0)在曲线上（8－12＋4＝0）。y′＝－6x＋2，切线斜率k＝12－12＋2＝2， 切线方程为y－0＝2(x－2)，即y＝2x－4。 综上，应选A。 B项：点斜式中漏掉了切点横坐标，写成y－0＝2x，按此错法真算得y＝2x；C项：把切线斜率取成了2的负倒数，按此错法真算得y＝＋1；D项：求导时把－6x写成＋6x，斜率算成3×4＋6×2＋2＝26，按此错法真算得y＝26x－52。 【点评】“在点处”的切线只有一条，切点就是已知点。 【易错提醒】点斜式是y－y0＝k(x－x0)，x0＝2不能漏；的导数是－6x，符号要带着。 13．【答案】(1，3) 【解析】【分析】已知切线斜率求切点：令导函数等于斜率，解出切点横坐标，再代入原函数求纵坐标。 y′＝＋2。令＋2＝3，得＝1，x－1＝0，x＝1， 此时y＝＋2＝3，所以所求点的坐标为(1，3)。 故填(1，3)。 【点评】由斜率反求切点是“导数值→自变量”的逆向运用，最后一定回到原函数求纵坐标。 【易错提醒】纵坐标要代入原函数y＝＋2x，不是代入导函数。 14．【答案】B 【解析】【分析】“过点A的切线”要设切点，写出切线方程后代入A，解出所有切点。 点A在曲线上（1＋2＝3），但“过点A的切线”的切点不一定是A。设切点为(t，＋2t)，y′＝＋2， 切线方程为y－＋2t)＝＋2)(x－t)。把A(1，3)代入并整理得－＋1＝0，即(2t＋1)＝0，t＝1或t＝。 t＝1时切线斜率为5，切线方程为y＝5x－2；t＝时切点为，，斜率为，切线方程为y＝＋。 所以所求切线方程为y＝5x－2或y＝＋。 所以选B。 A项是只求了以A为切点的切线，漏掉了切线经过A而切点不是A的情形，按此错法真算得y＝5x－2；C项是写点斜式时把x－1写成了x＋1，按此错法真算得y＝5x＋8或y＝＋；D项是只求出了切点为，的那一条，按此错法真算得y＝＋。 【点评】“在点A处”与“过点A”的区别：前者A是切点，后者只要求切线经过A，切点需设出来求解。 【易错提醒】点A在曲线上时，过A的切线除了以A为切点的那条，还可能有切点不是A的切线；三次方程有重根t＝1。 15．【答案】y＝4x＋4 【解析】【分析】由已知切线读出f(3)与f′(3)，再对新函数求导、写切线。 由导数的几何意义，f′(3)＝－2；切点(3，f(3))在切线上，f(3)＝－2×3＋13＝7。 设g(x)＝f(x)＋，则g(3)＝7＋9＝16，g′(x)＝f′(x)＋2x，g′(3)＝－2＋6＝4， 所求切线方程为y－16＝4(x－3)，即y＝4x＋4。 因此应填y＝4x＋4。 【点评】切点“既在曲线上又在切线上”，由切线可以同时读出函数值与导数值。 【易错提醒】f(3)由切线方程在x＝3时的值得到；新函数的导数是f′(x)＋2x，两项都要算。 16．【答案】D 【解析】【分析】切线与已知直线平行，斜率相等，令导数等于2解出切点横坐标，再代入原函数求纵坐标。 y′＝－1。切线与直线y＝2x－1平行，斜率为2，令－1＝2，得＝1，x＝1或x＝－1。 x＝1时y＝1－1＋3＝3；x＝－1时y＝－1＋1＋3＝3。两点处的切线分别为y＝2x＋1与y＝2x＋5，都与直线y＝2x－1平行（不重合）。 所以点P的坐标为(1，3)或(－1，3)。 故选D。 A项：解＝1时漏掉了正根，按此错法真算得(－1，3)；B项：求纵坐标时把x的值代入了导函数－1，按此错法真算得(1，2)或(－1，2)；C项：解＝1时漏掉了负根，按此错法真算得(1，3)。 【点评】已知切线方向求切点，可能有多个切点，逐一代回原函数并检验是否与已知直线重合。 【易错提醒】＝1有两个解，两个点都要写；还要检验切线与已知直线不重合。 17．【答案】（1）A(－1，2)，B(3，10)；（2）y＝2x＋4；（3）16 【解析】【分析】设切点(t，＋1)，用“切线过点P”列关于t的方程，得到两个切点；再用两点式与点到直线的距离求面积。 【解答】(1)设切点为(t，＋1)，y′＝2x，切线斜率为2t，切线方程为y－＋1)＝2t(x－t)，即y＝2tx－＋1。 切线过P(1，－2)，所以－2＝2t－＋1，整理得－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3。 所以A(－1，2)，B(3，10)（此时PA：y＝－2x，PB：y＝6x－8，都经过点P）。 (2)直线AB的斜率为＝2，方程为y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4。 (3)|AB|＝＝；|2×1－(－2)＋4|＝8，所以点P到直线2x－y＋4＝0的距离d＝， 所以△PAB的面积S＝××＝16。 【点评】过曲线外一点作切线的通法：设切点→写切线→代入已知点→解切点。 【易错提醒】点P不在抛物线上，不能把P当切点；面积用|AB|乘P到直线AB的距离的一半。 18．【答案】（1）y＝2ax－；（2）y＝－2x－1或y＝8x－16 【解析】【分析】分别写出两条曲线上的切线方程，令斜率相等、纵截距相等，得到关于两切点横坐标的方程组。 【解答】(1)f′(x)＝2x，切点(a，，切线方程为y－＝2a(x－a)，即y＝2ax－。 (2)设直线l与y＝g(x)的切点为(b，＋6b－17)，g′(x)＝－2x＋6，该处切线方程为y－＋6b－17)＝(－2b＋6)(x－b)，即y＝(－2b＋6)x＋－17。 两条切线是同一条直线，斜率与纵截距分别相等：2a＝－2b＋6，＝－17。 由第一式得a＝3－b，代入第二式：＝－17，整理得－3b－4＝0，解得b＝－1或b＝4。 b＝－1时a＝4，直线l：y＝8x－16；b＝4时a＝－1，直线l：y＝－2x－1。 所以直线l的方程为y＝－2x－1或y＝8x－16。 【点评】公切线问题的通法：设两个切点，用两条切线方程重合列方程组。 【易错提醒】两条切线“是同一条直线”要斜率和截距都相等；两组解对应两条公切线，都要写出。 　考点03　基本初等函数与四则运算求导 19．【答案】D 【解析】【分析】逐一对照基本初等函数的导数公式判断。 由对数函数的导数公式(logax)′＝，得(log3x)′＝，正确。 综上，应选D。 A项错误：是常数，它的导数是0，误把它当成幂函数求导；B项错误：指数函数的导数应为＝·ln 3，误把它当成幂函数套用了＝；C项错误：(cos x)′＝－sin x，漏掉了负号。 【点评】＝·ln a，(logax)′＝，两个公式都含ln a，但一个乘、一个在分母。 【易错提醒】指数函数与幂函数的导数公式不能混用；常数的导数是0；(cos x)′带负号。 20．【答案】－4 【解析】【分析】逐项用幂函数的导数公式，写成再求导。 f′(x)＝－6x－， 所以f′(1)＝4－6－2＝－4。 所以答案为－4。 【点评】分式形式的幂函数先改写成负指数幂，再用＝。 【易错提醒】＝，负号不能丢。 21．【答案】B 【解析】【分析】两个函数的积用积的求导法则：前导后不导加前不导后导。 由积的求导法则，f′(x)＝＋＝2x·＋·＝＋2x)， 所以f′(1)＝(1＋2)e＝3e。 所以选B。 A项是把积的导数当成导数之积，算成·＝2x·，按此错法真算得2e；C项是只写了·这一项，漏掉了·，按此错法真算得e；D项是把误写成x·，按此错法真算得1＋2e。 【点评】[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)。 【易错提醒】积的导数不等于导数的积；两项都要写出。 22．【答案】 【解析】【分析】用商的求导法则，分子是“上导下不导减上不导下导”，分母是原分母的平方。 由商的求导法则，f′(x)＝＝， 所以f′(1)＝＝。 故填。 【点评】＝（g(x)≠0）。 【易错提醒】分子两项的顺序不能颠倒；分母是。 23．【答案】C 【解析】【分析】xsin x用积的求导法则，cos x直接用公式，化简后再代值。 f′(x)＝(x)′sin x＋x(sin x)′＋(cos x)′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， 所以＝×cos ＝×＝。 故选C。 A项：xsin x求导时漏掉了(x)′sin x这一项，得f′(x)＝xcos x－sin x，按此错法真算得－；B项：把xsin x的导数当成导数之积(x)′·(sin x)′＝cos x，得f′(x)＝cos x－sin x，按此错法真算得；D项：把(cos x)′记成sin x，得f′(x)＝2sin x＋xcos x，按此错法真算得＋。 【点评】先化简导函数再代值，往往能大大减少计算量。 【易错提醒】(cos x)′＝－sin x；化简后sin x与－sin x抵消，f′(x)＝xcos x。 24．【答案】2e 【解析】【分析】先用积的求导法则求f′(x)，由f′(e)＝3求出a，再代回原函数求f(e)。 f′(x)＝(x)′ln x＋x·(ln x)′－a＝ln x＋1－a（x＞0）。 由f′(e)＝2－a＝3得a＝－1，f(x)＝x·ln x＋x，所以f(e)＝e＋e＝2e。 因此应填2e。 【点评】由导数值求参数后，函数解析式就确定了，再求函数值或切线。 【易错提醒】(x·ln x)′＝ln x＋1，不是；所求是函数值f(e)，不是导数值f′(e)。 25．【答案】（1）y′＝－4x＋3；（2）y′＝；（3）y′＝ 2·cos x－·sin x 【解析】【分析】(1)用积的法则或先展开；(2)用商的法则；(3)用积的法则和指数函数的导数公式。 【解答】(1)方法一：y′＝＋1)′(3x－2)＋＋1)(3x－2)′＝2x(3x－2)＋＋1)＝－4x＋3。 方法二：先展开y＝－＋3x－2，再求导得y′＝－4x＋3，两种方法结果一致。 (2)y′＝＝＝＝。 (3)y′＝ x＋(cos x)′＝ 2·cos x－·sin x。 【点评】积的函数也可以先展开成多项式再求导，两种方法可以互相检验。 【易错提醒】(2)中分母是＝，化简时约去x；(3)中＝ 2。 26．【答案】A 【解析】【分析】f′(1)是一个确定的常数，求导时把它当作系数，再令x＝1列方程求出f′(1)，最后写切线。 f′(1)是一个常数，对f(x)求导得f′(x)＝2f′(1)·x＋ln x＋1。 令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋0＋1，所以f′(1)＝－1，f(x)＝＋x·ln x， f(1)＝－1＋0＝－1，切线斜率为f′(1)＝－1，切线方程为y＋1＝－(x－1)，即y＝－x。 综上，应选A。 B项是把f′(1)·的导数当成0，得f′(1)＝1，按此错法真算得y＝x；C项是把(x·ln x)′写成ln x，得f′(1)＝0，按此错法真算得y＝0；D项是求f(1)时漏了f′(1)·这一项，把切点当成(1，0)，按此错法真算得y＝－x＋1。 【点评】含f′(x0)的函数式：先求导，再令x＝x0，得到关于f′(x0)的一次方程；求出后函数就完全确定了。 【易错提醒】(f′(1)·＝2f′(1)·x，不是0；(x·ln x)′＝ln x＋1，x＝1时等于1；切点纵坐标f(1)要带上f′(1)这一项。 27．【答案】（1）a＝1，b＝－3；（2），＋∞)；（3）y＝－x＋2 【解析】【分析】先求导，用两个导数值列方程组求a，b；再解不等式；最后求切线。 【解答】(1)f′(x)＝2ax＋（x＞0）。由f′(1)＝2a＋b＝－1，f′(3)＝6a＋＝5， 由第一式得b＝－1－2a，代入第二式：6a＋＝5，即18a－1－2a＝15，a＝1，b＝－3。 (2)f′(x)＝2x－＝，x＞0。由f′(x)＞0得－3＞0，结合x＞0得x＞， 所以不等式f′(x)＞0的解集为，＋∞)。 (3)f(1)＝1＋0＝1，切线斜率f′(1)＝－1，切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2。 【点评】由导数值列方程求参数、解f′(x)＞0，都是先写出导函数，再按代数问题处理。 【易错提醒】定义域是x＞0，解不等式f′(x)＞0时要结合定义域；切线斜率用f′(1)＝－1。 　考点04　简单复合函数求导 28．【答案】D 【解析】【分析】把函数看作y＝与u＝2x－3的复合，外层导数乘内层导数。 y＝可以看作y＝与u＝2x－3的复合函数， yx′＝yu′·ux′＝×2＝。 所以选D。 A项：求导时漏乘了内层函数u＝2x－3的导数2，按此错法真算得；B项：只乘了内层函数的导数2，外层求导时漏乘了指数5，按此错法真算得；C项：乘了系数5和2，但外层求导时指数没有减1，按此错法真算得。 【点评】yx′＝yu′·ux′：先对外层求导（内层整体看作u），再乘内层的导数。 【易错提醒】外层求导后指数减1，还要乘内层导数2。 29．【答案】3 【解析】【分析】是y＝与u＝3x－1的复合，求导后代值。 f′(x)＝·(3x－1)′＝， 所以＝＝3。 所以答案为3。 【点评】形如的函数，导数是。 【易错提醒】＝，内层导数3不能漏；代入x＝时指数为0。 30．【答案】A 【解析】【分析】把看作y＝与u＝2x＋5的复合，外层导数乘内层导数后代值。 f(x)可以看作y＝与u＝2x＋5的复合函数，f′(x)＝×2＝， 所以f′(2)＝＝。 故选A。 B项是漏乘了内层函数2x＋5的导数2，得，按此错法真算得；C项是把函数值f(2)＝当成了导数，按此错法真算得3；D项是把记成，再乘内层导数2，按此错法真算得。 【点评】形如的函数，导数是。 【易错提醒】＝，再乘内层导数2，两个2恰好约去。 31．【答案】B 【解析】【分析】ln(1－2x)是y＝ln u与u＝1－2x的复合，外层导数乘内层导数－2。 y＝ln(1－2x)可以看作y＝ln u与u＝1－2x的复合函数， yx′＝yu′·ux′＝×(－2)＝＝。 综上，应选B。 A项：把内层函数1－2x的导数写成了2，按此错法真算得；C项：漏乘了内层函数1－2x的导数－2，按此错法真算得；D项：把内层导数－2乘到了分母上，写成，按此错法真算得。 【点评】形如ln(ax＋b)的函数，导数是。 【易错提醒】内层导数是－2，带着负号；结果可化为。 32．【答案】－1 【解析】【分析】sin(2x＋是y＝sin u与u＝2x＋的复合，求导后代值。 y′＝cos(2x＋·(2x＋＝2cos(2x＋， 当x＝时，y′＝2cos ＝2×＝－1。 故填－1。 【点评】形如sin(ωx＋φ)的函数，导数是ωcos(ωx＋φ)。 【易错提醒】外层导数是cos u，还要乘内层导数2；cos ＝。 33．【答案】C 【解析】【分析】积的求导法则与复合函数求导结合：的导数是。 f′(x)＝(x)′·＋x·＝＋x··(－2)＝(1－2x)， 所以f′(1)＝(1－2)＝。 所以选C。 A项是把积的导数当成导数之积，算成(x)′·＝，按此错法真算得；B项是把内层函数－2x的导数取成＋2，按此错法真算得；D项是把写成，内层导数－2只取了负号，按此错法真算得0。 【点评】积与复合同时出现时，先按积的法则拆成两项，每项再按复合函数求导。 【易错提醒】＝，不是；两项都要写全。 34．【答案】（1）y′＝；（2）y′＝－3sin(3x－；（3）y′＝－2· 3；（4）y′＝ln(2x＋1)＋，x＝0处的导数为2 【解析】【分析】逐个找出外层函数与内层函数，按yx′＝yu′·ux′求导。 【解答】(1)y＝，u＝4x＋1，y′＝×4＝。 (2)y＝cos u，u＝3x－，y′＝－sin u×3＝－3sin(3x－。 (3)y＝，u＝1－2x，y′＝ 3×(－2)＝－2· 3。 (4)y′＝(x＋1)′ln(2x＋1)＋(x＋1)[ln(2x＋1)]′＝ln(2x＋1)＋(x＋1)·＝ln(2x＋1)＋， 当x＝0时，y′＝ln 1＋＝2。 【点评】复合函数求导“由外向内、层层相乘”，内层都是ax＋b型时，只需乘系数a。 【易错提醒】＝；(cos u)′＝－sin u；＝ 3；第(4)题先用积的法则。 35．【答案】B 【解析】【分析】先对f(x)求导，由f′(1)＝列关于a的方程，再解方程。 f′(x)＝＋1，由f′(1)＝＋1＝，得＝， 即3a＝a＋1，a＝。检验：a＋1＝＞0，x＝1在函数的定义域内。 故选B。 A项：去分母时把3a＝a＋1写成了3a＝a－1，按此错法真算得；C项：漏掉了x的导数1，由＝解得，按此错法真算得－4；D项：求导时漏乘了内层函数ax＋1的导数a，由＋1＝解得，按此错法真算得2。 【点评】由导数值求参数：求导→代值→解方程，最后检验所给的点在定义域内。 【易错提醒】(ln(ax+1))′＝，分子上的a是内层导数；x的导数1不能漏。 36．【答案】（1）f′(x)＝4(2x－1)－（x＞）；（2），4－8ln 2)；（3）， 【解析】【分析】先定定义域，再用复合函数的求导法则求f′(x)；切线平行于x轴即f′(x)＝0；解f′(x)＜0时注意分母符号。 【解答】(1)定义域为x＞。＝2(2x－1)×2＝4(2x－1)，[ln(2x－1)]′＝， 所以f′(x)＝4(2x－1)－＝（x＞）。 (2)切线平行于x轴，即切线斜率为0。令f′(x)＝0，得＝4，又2x－1＞0，所以2x－1＝2，x＝。 ＝－8ln 2＝4－8ln 2，所求点的坐标为，4－8ln 2)。 (3)x＞时分母2x－1＞0，f′(x)＜0等价于－16＜0，即＜4， 又2x－1＞0，所以0＜2x－1＜2，＜x＜，解集为，。 【点评】“切线平行于x轴”就是“导数等于0”；含对数的函数一定先写定义域。 【易错提醒】定义域是x＞，所以2x－1＞0，负根要舍去；ln(2x－1)求导后分子上有内层导数2。 　考点05　求导与切线综合 37．【答案】D 【解析】【分析】两直线平行则斜率相等，令曲线在x＝1处的导数等于4。 y′＝2x＋，曲线在x＝1处的切线斜率为2＋a。两直线平行，斜率相等，所以2＋a＝4，a＝2。 检验：a＝2时切点为(1，1)，切线方程为y＝4x－3，与直线y＝4x＋1不重合，符合题意。 综上，应选D。 A项是把平行条件写成两斜率之和为0，令2＋a＝－4，按此错法真算得－6；B项是把平行误当成垂直，令2＋a＝，按此错法真算得；C项是把写成x，令1＋a＝4，按此错法真算得3。 【点评】已知切线方向求参数：切线斜率＝导数值，列方程求解后检验切线与已知直线不重合。 【易错提醒】平行是斜率相等，垂直是斜率之积为－1；(aln x)′＝。 38．【答案】1 【解析】【分析】先写出x＝1处的切线方程（含a），再把原点代入。 x＝1时y＝a，切点为(1，a)。y′＝－，切线斜率k＝3a－2， 切线方程为y－a＝(3a－2)(x－1)。切线经过原点，把(0，0)代入得－a＝－(3a－2)，即2a＝2，a＝1。 检验：a＝1时切线为y＝x，经过原点。 因此应填1。 【点评】切线含参数时，先把切点和斜率都用参数表示出来，再用已知条件列方程。 【易错提醒】切点是(1，a)，斜率是3a－2；“切线经过原点”要把(0，0)代入点斜式，不是令斜率为0。 39．【答案】A 【解析】【分析】由图中切线上的两点求斜率得f′(2)，由切点得f(2)，再用商的求导法则求g′(2)，最后写切线方程。 切线l过P(2，3)，Q(0，－1)，斜率为＝2，由导数的几何意义，f′(2)＝2；又f(2)＝3。 g′(x)＝，所以g′(2)＝＝，g(2)＝。 切线方程为y－＝(x－2)，即y＝＋1。 所以选A。 B项：商的求导法则分子顺序颠倒，算成(f(2)－2f′(2))÷4＝，按此错法真算得y＝＋2；C项：把f′(2)误读成切点的纵坐标3，算成(2×3－3)÷4＝，按此错法真算得y＝；D项：分母漏了平方，算成(2×2－3)÷2＝，按此错法真算得y＝＋。 【点评】没有函数解析式时，切点与切线斜率提供了f(x0)与f′(x0)两个信息，足以求出由f(x)构造的新函数的切线。 【易错提醒】g′(x)＝，分子顺序不能颠倒、分母要平方；g(2)＝f(2)÷2＝。 40．【答案】8 【解析】【分析】先求切线方程，再求切线与两坐标轴的交点，最后算三角形面积。 y′＝，切线斜率k＝＝，切线方程为y－3＝(x－4)，即y＝＋2。 令x＝0，得B(0，2)；令y＝0，得A(－8，0)。 所以△AOB的面积为×8×2＝8。 所以答案为8。 【点评】切线与坐标轴围成的三角形面积＝×|横截距|×|纵截距|。 【易错提醒】＝；横截距为负，面积要取长度8。 41．【答案】C 【解析】【分析】先求已知直线的斜率，得到与它垂直的切线斜率，再令导数值等于它。 直线x＋2y－3＝0的斜率为，与它垂直的直线斜率为2。 y′＝＋a，曲线在x＝1处的切线斜率为3＋a，所以3＋a＝2，a＝－1。 故选C。 A项是把切线斜率写成函数值f(1)＝1＋a，令1＋a＝2，按此错法真算得1；B项是把直线x＋2y－3＝0的斜率看成－2，令3＋a＝，按此错法真算得；D项是把垂直当成平行，令3＋a＝，按此错法真算得。 【点评】一般式Ax＋By＋C＝0（B≠0）的斜率为，别把系数直接当斜率。 【易错提醒】直线x＋2y－3＝0的斜率是；垂直时斜率之积为－1，所求斜率是2。 42．【答案】（1）a＝1，b＝2；（2）y＝＋ln 2－9；（3）(0，∪(1，＋∞) 【解析】【分析】切线方程给出两个条件：切点在切线上（得f(1)），斜率等于导数值（得f′(1)）。 【解答】(1)f′(x)＝＋2bx（x＞0）。切点在切线上，f(1)＝5×1－3＝2，而f(1)＝aln 1＋b＝b，所以b＝2； 切线斜率f′(1)＝a＋2b＝5，所以a＝5－4＝1。 (2)f(x)＝ln x＋，f(2)＝ln 2＋8，f′(x)＝＋4x，f′(2)＝＋8＝， 切线方程为y－(ln 2＋8)＝(x－2)，即y＝＋ln 2－9。 (3)f′(x)＞5即＋4x＞5，因为x＞0，两边乘x得－5x＋1＞0，即(4x－1)(x－1)＞0，x＜或x＞1， 结合x＞0，解集为(0，∪(1，＋∞)。 【点评】“切线方程已知”＝“函数值、导数值各一个”，可以确定两个参数。 【易错提醒】f(1)要用切线方程算：5×1－3＝2；解f′(x)＞5时两边乘x，要用到x＞0。 43．【答案】B 【解析】【分析】切线斜率已知，令导数等于3求出切点，再由切点在直线上求m。 设切点为(t，－3t)，y′＝－3，由切线斜率为3得－3＝3，＝2，t＝±。 t＝时切点为，，m＝－＝；t＝时切点为，，m＝＋＝。 所以m＝±。 综上，应选B。 A项：只求了切点横坐标t＝的一种情况，按此错法真算得；C项：解－3＝3时漏移项，得＝1，t＝±1，按此错法真算得±5；D项：只求了切点横坐标t＝的一种情况，按此错法真算得。 【点评】已知切线斜率时，可能有多个切点，每个切点对应一条切线。 【易错提醒】＝2有两个解，两个切点都要考虑；m由切点坐标代入y＝3x＋m求出。 44．【答案】1＋ln 2 【解析】【分析】斜率未知时，设切点写出切线方程，再与已知直线比较纵截距和斜率。 设切点为(x0，x0ln x0)（x0＞0），y′＝ln x＋1，切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，即y＝(ln x0＋1)x－x0。 它与直线y＝kx－2是同一条直线，纵截距相等：－x0＝－2，x0＝2；斜率相等：k＝ln 2＋1。 检验：切点(2，2ln 2)在直线y＝(1＋ln 2)x－2上。所以k＝1＋ln 2。 故填1＋ln 2。 【点评】y＝x·ln x的切线纵截距只与切点横坐标有关（为－x0），已知截距就能直接定出切点。 【易错提醒】曲线y＝x·ln x在x＝x0处的切线纵截距恰为－x0；斜率是ln x0＋1，不是ln x0。 45．【答案】（1）y＝＋1；（2）；（3）y＝ex－2 【解析】【分析】(1)(2)求导写切线，再求截距算面积；(3)设切点，用“切线过已知点”列方程。 【解答】(1)y′＝，切点为，2)，切线斜率为，切线方程为y－2＝(x－，即y＝＋1。 (2)在直线l1中令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝，所以围成的三角形面积为××1＝。 (3)设直线l2的切点为(t，ln t)（t＞0），切线方程为y－ln t＝(x－t)，即y＝＋ln t－1。 把点(0，－2)代入得ln t－1＝－2，ln t＝－1，t＝，此时切线斜率为e， 所以直线l2的方程为y＝ex－2。 【点评】过曲线外一点的切线要设切点；对数曲线的切线纵截距为ln t－1，是解题的关键式。 【易错提醒】(x－展开后常数项是－1；(3)中要设切点，不能把(0，－2)当切点。 　考点06　导数的实际意义与综合 46．【答案】D 【解析】【分析】瞬时速度是位移关于时间的导数，先求s′(t)再代入t＝3。 瞬时速度是位移关于时间的导数，v(t)＝s′(t)＝－8t＋10， 所以v(3)＝27－24＋10＝13（m/s）。 所以选D。 A项是求的是前3 s的平均速度s(3)÷3，按此错法真算得7；B项是把速度与加速度混淆，求了v′(3)＝6×3－8，按此错法真算得10；C项是把t＝3时的位移s(3)当成了瞬时速度，按此错法真算得21。 【点评】导数在运动学中的意义：s′(t)是速度，v′(t)是加速度。 【易错提醒】位移、平均速度、瞬时速度、加速度要分清：瞬时速度是s′(t)，加速度是v′(t)。 47．【答案】40 【解析】【分析】总成本关于产量的瞬时变化率就是C′(x)在x＝100处的值。 C′(x)＝50－， C′(100)＝50－10＝40，即产量为100件时，每多生产1件，总成本大约增加40元。 因此应填40。 【点评】C′(x0)表示产量为x0时再多生产1件，总成本大约增加的数量。 【易错提醒】的导数是；常数2000的导数是0。 48．【答案】A 【解析】【分析】c(t)是30t与的积，用积的求导法则，按复合函数求导。 c′(t)＝＋30t··＝(30－15t)， c′(4)＝(30－60)＝，负号表示此时药物浓度正在降低。 故选A。 B项：漏乘内层函数的导数，把写成，按此错法真算得；C项：只对30t求导，把当成常数，按此错法真算得；D项：把算成，内层导数只取了负号，按此错法真算得。 【点评】实际问题中导数的正负表示增减，绝对值表示变化的快慢。 【易错提醒】＝；结果为负表示浓度在减小。 49．【答案】 【解析】【分析】先写出面积关于时间的函数S(t)＝，再按复合函数求导。 面积S(t)＝，由复合函数的求导法则，S′(t)＝2(10＋×， S′(5)＝2×11×＝，即此时面积每秒大约增加 cm²。 所以答案为。 【点评】“面积关于时间的变化率”要先把面积写成时间的函数，再对时间求导。 【易错提醒】内层函数10＋的导数是，不能漏乘。 50．【答案】C 【解析】【分析】N(t)是常数与复合函数的积，求导后代入t＝5。 N′(t)＝×0.2＝， 所以N′(5)＝＝200e。 综上，应选C。 A项是把误写成0.2t·，按此错法真算得1000；B项是只对指数0.2t求导，漏乘了，按此错法真算得200；D项是漏乘了内层函数0.2t的导数0.2，按此错法真算得1000e。 【点评】指数型增长模型的瞬时增长速度与当时的数量成正比：N′(t)＝0.2N(t)。 【易错提醒】＝，不能套用幂函数公式。 51．【答案】C 【解析】【分析】加速度是速度关于时间的瞬时变化率，对v(t)求导后代入t＝3。 加速度是速度关于时间的导数，a(t)＝v′(t)＝2t－2， 所以t＝3 s时的加速度a(3)＝6－2＝4（m/s²）。 所以选C。 A项：把t＝3时的速度v(3)当成了加速度，按此错法真算得9；B项：求导时漏掉了－2t的导数，把v′(t)算成2t，按此错法真算得6；D项：用v(3)÷3求平均，把它当成了加速度，按此错法真算得3。 【点评】位移求一次导得速度，速度再求一次导得加速度。 【易错提醒】加速度是v′(3)，不是速度v(3)；－2t+6)′＝2t－2。 52．【答案】（1）T′(t)＝；（2）T′(0)＝－6，T′(10)＝，表示此刻水温每分钟约下降度；（3）t＝10ln 2 【解析】【分析】对T(t)按复合函数求导；(3)中“下降的瞬时速度为3”即T′(t)＝－3。 【解答】(1)T′(t)＝×＝。 (2)T′(0)＝＝－6，T′(10)＝＝。 T′(10)＝表示在t＝10 min附近，茶水温度大约每分钟下降 ℃（约2.2 ℃）。 (3)温度下降的瞬时速度为每分钟3 ℃，即T′(t)＝－3，＝3，＝， 所以＝＝－ln 2，t＝10ln 2，即约经过10ln 2 min（约6.9 min）。 【点评】冷却模型T′(t)＝(T(t)－20)：温差越大，降温越快。 【易错提醒】T′(t)为负表示降温，下降速度是它的绝对值；解方程时两边取自然对数。 53．【答案】A 【解析】【分析】存在斜率为2的切线等价于方程－a＝2有解；“平行”还要排除切线与直线重合。 y′＝－a。存在斜率为2的切线，即方程－a＝2有实数解，＝a＋2，需a＋2＞0，a＞－2，此时切点横坐标x0＝ln(a＋2)。 切线方程为y＝2x＋－ax0－2x0)＝2x＋(a＋2)(1－x0)。“平行”要求切线与y＝2x不重合，即(a＋2)(1－x0)≠0， 由a＋2＞0得x0≠1，即ln(a＋2)≠1，a≠e－2。 所以a的取值范围是(－2，e－2)∪(e－2，＋∞)。 故选A。 B项是只要求方程＝a＋2有解，漏掉了切线与直线y＝2x重合的情形，按此错法真算得(－2，＋∞)；C项是解＝a＋2＞0时不等号方向写反，按此错法真算得(－∞，－2)；D项是认为a＋2≥0即可，并且也漏掉了重合的情形，按此错法真算得[－2，＋∞)。 【点评】“存在切线平行于某直线”：先保证导数方程有解，再检验切线是否与该直线重合。 【易错提醒】“平行”不包括“重合”；a＝e－2时切线就是y＝2x本身，要去掉。 54．【答案】（1）＋4t＋m＋4＝0；（2）m＜0；（3）y＝2x或y＝－6x－16 【解析】【分析】设切点(t，f(t))写出切线，代入P得关于t的方程；切线条数就是这个方程的实根个数。 【解答】(1)f′(x)＝2x＋2，曲线在点(t，＋2t)处的切线方程为y－＋2t)＝(2t＋2)(x－t)。 切线过P(－2，m)，代入得m－－2t＝(2t＋2)(－2－t)＝－6t－4，整理得＋4t＋m＋4＝0。 (2)每一个切点对应一条切线（抛物线上不同点处的切线斜率2t＋2不同），过P能作两条切线，等价于关于t的方程＋4t＋m＋4＝0有两个不等实根， 所以Δ＝16－4(m＋4)＝－4m＞0，m＜0。 (3)m＝－4时方程为＋4t＝0，t＝0或t＝－4。t＝0时切点(0，0)，斜率2，切线y＝2x；t＝－4时切点(－4，8)，斜率－6，切线y－8＝－6(x＋4)，即y＝－6x－16。 检验：两条切线都经过点P(－2，－4)。所以切线方程为y＝2x或y＝－6x－16。 【点评】“过某点可作几条切线”转化为“关于切点横坐标的方程有几个解”。 【易错提醒】抛物线上不同点的切线斜率不同，切点个数与切线条数一一对应；Δ＞0取不到等号。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二上学期 第五章 一元函数的导数及其应用 专项训练 5.1-5.2 导数的概念及其意义与导数的运算（六大题型）专项训练 人教A版选择性必修第二册数学高二上学期 （建议用时：120分钟　测试范围：第五章 一元函数的导数及其应用 5.1~5.2） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项按六个考点编排，每个考点内由易到难，做题前先浏览考点归纳。 2．求切线时先分清“在某点处”（该点是切点）与“过某点”（需设切点）；复合函数求导不要漏乘内层函数的导数。 3．解答题写出求导、设切点、列方程等关键步骤，只写结果不得分。 内容速览　六考点 54 题（选择26·填空16·解答12） 配套解析：解析版 25 页，含速查表、答案、分析、详解、易错提醒；题目配图 4 幅 　考点归纳 1．函数的平均变化率、平均速度与瞬时速度、用导数的定义求导数、极限式与f′(x0)的关系 2．在某点处的切线斜率与切线方程、由切线斜率求切点、过某点的切线、公切线（拓展） 3．常数、幂函数、指数函数、对数函数、正弦余弦函数的导数公式，和差积商的求导法则，含f′(x0)的函数式 4．y＝f(ax＋b)型复合函数的求导法则、在给定点处的导数、由导数值求参数 5．已知切线求参数、切线平行与垂直的条件、切线与坐标轴围成的三角形面积、切线过定点 6．瞬时速度与加速度、成本与浓度的瞬时变化率、冷却与增长模型、切线存在性与切线条数（拓展） 　考点01　平均变化率与瞬时变化率 1．函数f(x)＝－x＋3在区间[1，3]上的平均变化率是(____)。 A．3 B．7 C．14 D． 2．某质点做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足s(t)＝＋t，则该质点在时间段[2，2＋Δt]内的平均速度为________m/s（用含Δt的式子表示）。 3．已知函数f(x)在x＝2处可导，且f′(2)＝4，则limΔx →0的值等于(____)。 A． B．4 C．12 D．－12 4．如图，点P0(2，3)在曲线f(x)＝－x＋3上，点P(2＋Δx，f(2＋Δx))是曲线上的另一点。当Δx →0时，割线P0P无限趋近于曲线在点P0处的切线，则这条切线的方程为________。 5．用导数的定义求得函数f(x)＝在x＝1处的导数f′(1)为(____)。 A． B． C．－1 D． 6．汽车刹车后做减速直线运动，刹车后t s内行驶的路程s（单位：m）满足s(t)＝24t－，则汽车从开始刹车到停止所用的时间为________s。 7．水箱放水时，水面高度h（单位：dm）与时间t（单位：min）满足h(t)＝－3t＋16（0≤t≤6）。 (1)求h(t)在区间[2，2＋Δt]上的平均变化率； (2)用导数的定义求h′(2)，并说明它的实际意义； (3)用导数的定义求h′(t0)，并求水面下降的瞬时速度为1 dm/min时的时刻t0。 8．设f(x)＝＋x，则limΔx →0的值是(____)。 A．4 B．6 C．12 D．8 9．给一个球形气球充气，气球的体积V（单位：c m³）与半径r（单位：cm）满足V(r)＝。 (1)求半径从3 cm增加到(3＋Δr) cm时，体积关于半径的平均变化率； (2)求V′(3)，并解释这个数值在充气过程中表示什么； (3)当体积关于半径的瞬时变化率为16π时，求此时的半径。 　考点02　导数的几何意义与切线 10．曲线y＝－＋3在x＝2处的切线斜率等于(____)。 A．3 B．12 C．4 D．8 11．曲线y＝2ln x＋x在点(1，1)处的切线方程为________。 12．曲线y＝－＋2x在点(2，0)处的切线方程是(____)。 A．y＝2x－4 B．y＝2x C．y＝＋1 D．y＝26x－52 13．曲线y＝＋2x上切线斜率为3的点的坐标为________。 14．过点A(1，3)作曲线y＝＋2x的切线，所得切线的方程为(____)。 A．y＝5x－2 B．y＝5x－2或y＝＋ C．y＝5x＋8或y＝＋ D．y＝＋ 15．已知曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程为y＝－2x＋13，则曲线y＝f(x)＋在x＝3处的切线方程为________。 16．曲线y＝－x＋3在点P处的切线与直线y＝2x－1平行，则点P的坐标是(____)。 A．(－1，3) B．(1，2)或(－1，2) C．(1，3) D．(1，3)或(－1，3) 17．如图，过点P(1，－2)作抛物线y＝＋1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B（点A在点B的左侧）。 (1)求切点A，B的坐标； (2)求直线AB的方程； (3)求△PAB的面积。 18．（拓展）已知函数f(x)＝，g(x)＝＋6x－17。 (1)求曲线y＝f(x)在x＝a处的切线方程（用a表示）； (2)若直线l与曲线y＝f(x)、y＝g(x)都相切，求直线l的方程。 　考点03　基本初等函数与四则运算求导 19．下列求导运算中，正确的为(____)。 A．＝2e B．＝x· C．(cos x)′＝sin x D．(log3x)′＝ 20．已知f(x)＝－＋，则f′(1)＝________。 21．设f(x)＝·，则f′(1)是(____)。 A．2e B．3e C．e D．1＋2e 22．函数f(x)＝在x＝1处的导数f′(1)＝________。 23．已知f(x)＝xsin x＋cos x，则等于(____)。 A．－ B． C． D．＋ 24．已知函数f(x)＝x·ln x－ax，若f′(e)＝3，则f(e)＝________。 25．求下列函数的导数： (1)y＝＋1)(3x－2)； (2)y＝； (3)y＝·cos x。 26．已知函数f(x)＝f′(1)·＋x·ln x，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为(____)。 A．y＝－x B．y＝x C．y＝0 D．y＝－x＋1 27．已知函数f(x)＝＋bln x，且f′(1)＝－1，f′(3)＝5。 (1)求a，b的值； (2)求使f′(x)＞0成立的x的取值范围； (3)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程。 　考点04　简单复合函数求导 28．函数y＝的导数y′是(____)。 A． B． C． D． 29．已知f(x)＝，则＝________。 30．函数f(x)＝在x＝2处的导数为(____)。 A． B． C．3 D． 31．函数y＝ln(1－2x)的导数y′为(____)。 A． B． C． D． 32．函数y＝sin(2x＋在x＝处的导数为________。 33．设f(x)＝x·，则f′(1)是(____)。 A． B． C． D．0 34．求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝cos(3x－； (3)y＝； (4)y＝(x＋1)ln(2x＋1)，并求它在x＝0处的导数。 35．已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋x，若f′(1)＝，则a等于(____)。 A． B． C．－4 D．2 36．已知函数f(x)＝－8ln(2x－1)。 (1)求f′(x)； (2)求曲线y＝f(x)上切线平行于x轴的点的坐标； (3)当x取何值时，f′(x)＜0？ 　考点05　求导与切线综合 37．若曲线y＝＋aln x在x＝1处的切线与直线y＝4x＋1平行，则实数a为(____)。 A．－6 B． C．3 D．2 38．若曲线y＝－2ln x在x＝1处的切线经过原点，则a＝________。 39．如图，直线l与曲线y＝f(x)相切于点P(2，3)，与y轴交于点Q(0，－1)。设g(x)＝，则曲线y＝g(x)在x＝2处的切线方程是(____)。 A．y＝＋1 B．y＝＋2 C．y＝ D．y＝＋ 40．如图，曲线y＝＋1在点P(4，3)处的切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积为________。 41．若曲线y＝＋ax在x＝1处的切线与直线x＋2y－3＝0垂直，则实数a是(____)。 A．1 B． C．－1 D． 42．已知函数f(x)＝aln x＋，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝5x－3。 (1)求a，b的值； (2)求f(x)的图象在x＝2处的切线方程； (3)解关于x的不等式f′(x)＞5。 43．若直线y＝3x＋m是曲线y＝－3x的一条切线，则实数m的值等于(____)。 A． B．± C．±5 D． 44．若直线y＝kx－2与曲线y＝x·ln x相切，则实数k＝________。 45．已知曲线C：y＝ln x。 (1)求曲线C在x＝处的切线l1的方程； (2)求直线l1与两坐标轴围成的三角形的面积； (3)若曲线C的另一条切线l2经过点(0，－2)，求直线l2的方程。 　考点06　导数的实际意义与综合 46．一辆遥控小车沿直线行驶，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足s(t)＝－＋10t，则小车在t＝3 s时的瞬时速度（单位：m/s）为(____)。 A．7 B．10 C．21 D．13 47．某工厂生产某种零件，总成本C（单位：元）与产量x（单位：件）满足C(x)＝2000＋50x－（0≤x≤500），则产量为100件时，总成本关于产量的瞬时变化率为________元/件。 48．某药物注射后，血液中的药物浓度c（单位：mg/L）与时间t（单位：h）满足c(t)＝30t·，则t＝4 h时药物浓度关于时间的瞬时变化率是(____)。 A． B． C． D． 49．一块正方形金属片受热膨胀，边长a（单位：cm）与时间t（单位：s）满足a(t)＝10＋，则t＝5 s时金属片面积关于时间的瞬时变化率为________cm²/s。 50．某细菌培养液中细菌数N（单位：个）与时间t（单位：h）满足N(t)＝，则t＝5 h时细菌数的瞬时增长速度（单位：个/h）等于(____)。 A．1000 B．200 C．200e D．1000e 51．一个物体做直线运动，速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）满足v(t)＝－2t＋6，则t＝3 s时物体的加速度（单位：m/s²）为(____)。 A．9 B．6 C．4 D．3 52．一杯热茶放在室内冷却，经过t min后茶水的温度为T(t)＝20＋（单位：℃）。 (1)求T′(t)； (2)求T′(0)与T′(10)，并说明T′(10)的实际意义； (3)经过多少分钟，茶水温度下降的瞬时速度为每分钟3 ℃？ 53．（拓展）若曲线y＝－ax存在与直线y＝2x平行的切线，则实数a的取值范围为(____)。 A．(－2，e－2)∪(e－2，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(－∞，－2) D．[－2，＋∞) 54．（拓展）已知函数f(x)＝＋2x，点P(－2，m)。 (1)若过点P的直线与曲线y＝f(x)相切于点(t，f(t))，求t满足的方程； (2)若过点P可以作曲线y＝f(x)的两条切线，求实数m的取值范围； (3)当m＝－4时，求过点P的曲线y＝f(x)的切线方程。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $