专题 求数列的前n项和的4种常见题型专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦数列求和四大核心方法，构建"方法提炼-题型应用-素养提升"三维训练体系，突出北京考情针对性与解题思维系统性。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倒序相加法|11题（含高斯算法应用）|基于前后项和规律性的对称求和，迁移等差数列求和思想|从函数性质到数列求和，体现数学抽象与逻辑推理| |分组求和法|11题（含等差等比综合）|分解通项为可求和子数列，分步累加|融合等差等比数列概念，培养数学建模能力| |裂项相消法|11题（含5种裂项变形）|通项拆分为两项差，抵消中间项简化运算|从代数变形到极限思想，发展数学运算素养| |错位相减法|10题（含解答题推导）|等比数列乘等差数列的错位相减标准流程|体现方程思想与转化能力，强化数学表达|

专题 求数列的前n项和的4种常见题型（北京专用） 目录 1. 倒序相加法 2. 分组求和法 3.裂项相消法 4.错位相减法 题型 倒序相加法 一、单选题 1．（25-26高二下·北京·阶段测试）已知，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用倒序相加法计算求解. 【详解】， 则 两式相加得 所以， 所以. 故选：A. 2．（2026高二下·北京丰台·阶段检测）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（    ） A．2018 B．4036 C．2019 D．4038 【答案】D 【分析】利用，再等差数列前项和的方法倒序相加法求和即可. 【详解】， ∵函数 ∴， 令，则， ∴， ∴. 故选：D. 3．已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 4．已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 【答案】A 【分析】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【详解】由题设及韦达定理，得， 由等比数列性质，得， 设， 所以， 则， 得 ， 所以. 故选：A 5．已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（   ） A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】先计算，利用倒序相加法即可求解. 【详解】由，所以， 令， ， 所以， 所以，即， 故选：C. 6．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知函数，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定，通过倒序相加即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 令， ， 所以， 即， 故选：A 7．（25-26高二上·北京·阶段检测）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A 8．（24-25高二下·北京西城·阶段检测）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】D 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， 解得. 故选：D. 二、填空题 9．（24-25高二下·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 【答案】1012 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 10．已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________． 【答案】/9.5 【分析】根据给定条件计算当时，的值，再结合等比数列性质计算作答. 【详解】函数，当时，， 因数列是正项等比数列，且，则， ，同理， 令， 又， 则有，， 所以. 故答案为： 三、解答题 11．已知函数． （1）求和的值； （2）记，求； （3）对（2）中的和任意，均有成立，求实数的取值范围．（直接写出答案即可，不要求写求解过程．） 【答案】(1)1,1;(2);(3). 【分析】(1)直接根据的解析式求解即可; (2)结合(1)中的结论,利用倒序相加法求即可; (3)由可得,令,运用换元法求出不等式右边的最小值,即可得解. 【详解】(1), 所以, ; (2)由(1)可知, 又, 即, 两式相加得: , 所以; (3)因为对任意,均有成立, 又由(2)知,因此, 故化简可得:, 令,则, 又在上递减,在上递增, 所以当,时,, 所以. 故的取值范围为. 题型 分组求和法 一、单选题 1．（25-26高二下·北京顺义·期中）若数列{}的通项公式是 则 （   ） A．15 B．12 C．- 12 D．- 15 【答案】A 【详解】由题意可得，奇数项为负数，偶数项为正数且相邻项数的绝对值之差的绝对值为3， 故 2．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】先求出数列和的通项公式，然后利用分组求和求出，再对n进行赋值即可求解. 【详解】因为数列是以1为首项，2为公差的等差数列所以， 因为是以1为首项，2为公比的等比数列所以， 由得： ， 当时，即，即， 当时，， 当时，， 所以n的最大值是. 3．（25-26高二上·北京·期中）已知数列满足：，对于任意的，有，，则（    ） A．5050 B．50 C． D． 【答案】D 【分析】根据题设可推出，再根据求出其通项，最后分组求和即可. 【详解】，即， 则，且 则为首项为0的常数列， 则，则， 又因为，且，可知数列的项的符号正负交替， 则当为奇数时，， 当为偶数时，， 则. 故选：D. 二、填空题 4．（24-25高二下·北京·阶段检测）设数列的前项和为，若，，且.则______________；使得成立的的最小值为_______________. 【答案】 【分析】对于空1，由得即可求解；对于空2，依次求出并结合当时即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以由， 所以 ， ， 又当时， 所以使得成立的的最小值为. 故答案为：；. 5．（2026·北京·阶段测试）____________． 【答案】 【分析】变形得，再分组求和，结合等比数列求和公式得到答案. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 6．（2026·北京通州·一模）“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了关于“方垛”的描述及计算方法：如图1所示“方垛”，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放4个物体，…，第层放个物体，则这层方垛所放的物体总数为．现有某“三角垛”如图2所示，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放3个，第3层放6个，第4层放10个，第5层放15个物体，…，则第8层放________个物体，若该三角垛共有层，利用“方垛”的结论，计算该“三角垛”所放物体的总数为________． 【答案】 【分析】通过观察归纳前四层的物体个数规律，可得第8层物体个数及第层物体个数，并利用方垛所放的物体总数公式及等差数列前项和公式可得“三角垛”所放物体的总数. 【详解】设“三角垛”每层所放物体的个数组成数列， 观察三角垛每层的物体数： 第1层物体数：；第2层物体数：；第3层物体数：； 第4层物体数：； 以此类推，可得第层的物体个数通项公式为：. 所以第8层的物体个数：. 设 “三角垛”所放物体的总数为，则： ， 由题意可知， 又由等差数列的前项和公式可得， 所以 所以该“三角垛”所放物体的总数为. 三、解答题 7．（25-26高二下·北京·期中）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式： (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意求出和的值，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式； （2）根据题意得出，故，利用分组求和计算即可. 【详解】（1）方法1：设等差数列的公差为，， 因为，所以， 又，所以，解得， 因为，所以的通项公式为； 方法2：设等差数列的公差为， 故，，所以； （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 因为，所以， 则 ， 所以数列的前项和为. 8．（25-26高二下·北京·期中）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解； （2）分组求和法，利用等差数列和等比数列的前项和公式求解. 【详解】（1）是等比数列，且，， ，，， ，，，， 是等差数列，，，， ， 即. （2）设的前项和为， 由（1）知，，，则， 设的前项和为， 由（1）知，，，则， 设数列的前项和为，则. 故数列的前项和为. 9．（25-26高二下·北京西城·期末）已知在等比数列中，，公比为，且是和的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足__________，求数列的前项的和. 从①，；②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1). (2)选择任意条件答案相同，的前项和为. 【分析】（1）由题意可得，代入，得，求出的值即可得数列的通项公式； （2）选择①，可得，，且数列是以2为周期的周期数列，求出的通项公式，利用分组求和求解即可; 选择②，可得，用分组求和及等比数的求和公式求解即可; 【详解】（1）因为是和的等差中项， 所以，即， 所以， 解得或（舍）， 所以， 所以； （2）选择①，，， 则有，解得， 且， 所以， 所以数列是以2为周期的周期数列， 所以， 设数列的前项的和， 则 ； 选择②，， 则，， 所以， 设数列的前项的和， 则 ； 10．（25-26高二下·北京昌平·期末）已知数列是公差不为零的等差数列，，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用等比中项建立方程求出公差，写出等差数列通项； (2)分组求和，分别计算等差数列与等比数列的前项和再相加. 【详解】（1）设等差数列的公差为，． 由，，，成等比数列，得， 即． 解得或（舍去）． 所以． （2）由（1）知，所以． 从而数列的前项和 . 11．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公比为，根据等差数列的性质列方程求得后可得通项公式； （2）写出，由分组求和法求和． 【详解】（1）设的公比为（）， 因为，且，，成等差数列， 所以，即，解得， 所以； （2）由（1）， ． 题型 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和. 裂项时常用的五种变形: （1）______; （2）______. （3）______; （4）______. （5）若数列是等差数列，且公差，则______. 【答案】 1．（2026高二下·北京·阶段测试）已知数列的前项和为，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列前项和公式求出数列通项，再利用裂项相消法即可得解. 【详解】解：， 所以. 故选：C. 2．（2025-2026高二·北京·阶段测试）若数列的前项和，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数列的前项和求出该数列的通项，再利用裂项相消法求和作答. 【详解】当时，，而满足上式，则， 因此， 所以 . 故选：A 3．（25-26高二·北京·阶段测试）已知数列满足，且数列的前项和 ，则的值为 （ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据裂项相消法进行求解即可. 【详解】因为， 所以有， 故选：C 4．（2026高二·北京·单元测试）数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将化为，再利用裂项相消法求出它的前项和． 【详解】由题意得，， 所以数列的前项和 ， 故选：A． 5．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知数列1，，，…，，…，其前n项和为，则正整数n的值为（    ）． A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先求出数列的通项公式，再裂项相消求和列方程求n的值. 【详解】， 所以前n项和为， 解得. 故选：C. 6．（25-26高二下·北京·阶段检测）数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据求出的通项公式，可判断A选项，再根据求出的通项公式，可判断B选项，由的通项公式求出的通项公式，利用等比数列求和公式求出数列的前项和可判断C选项，利用裂项法求出的前项和可判断D选项. 【详解】，当时，，. 时，，. 是以为首项，公比的等比数列，. ，A选项错误. ，B选项错误. ，，是以1为首项，公比为4的等比数列. ，C选项错误. ，. D选项正确. 7．（25-26高三下·北京·开学考试）记为等差数列的前项和，为的公差，，则不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A：利用等差数列的基本量，结合，即可求得公差；对B：求得，以及，即可求得；对C：根据等差数列的前项和公式，直接计算即可；对D：求得，再结合裂项求和法，即可求得目标式的结果为，结合，即可判断. 【详解】对A：，故可得，又，故，则A成立； 对B：，故可得，故，则B成立； 对C：，故C不成立； 对D：，故， 则 ，又，则， 故 ，D成立. 故选：C. 二、填空题 8．（25-26高三上·北京通州·期中）已知数列为等差数列，，则__________；若，则 __________． 【答案】 【分析】先通过等差数列的项求出公差和首项，得到通项公式；再对数列进行裂项相消求和. 【详解】设等差数列的公差为. 由，，得，即. 又，故. 由，则. 所以. 故答案为：； 9．（2026高二下·北京昌平·期中）①某班植树小组今年计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数等于_______； ②______ 【答案】 6 / 【分析】①利用等比数列的前项和公式，计算求解； ②利用裂项相消法求和. 【详解】①设每天植树的棵树为，数列是等比数列，首项，公比， 数列的前项和为，，得， 所以至少需要6天； ② . 故答案为：；. 10．已知数列的通项公式为，其前n项和为，则___________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用裂项相消法计算作答. 【详解】因数列的通项公式为，则， 所以. 故答案为： 三、解答题 11．（25-26高一下·北京·阶段测试）（1）观察：、、、、……叙述其中的一般规律，并加以证明． （2）求证：对于任何、，存在，，使得． 【答案】（1）规律：左右两边分子都是1，等式左边的分母是从1开始的连续整数，等号右边的分母是等式左边分母加1和左边分母加1与左边分母的积， 即; 证明：，得证. （2）由于 则， 即 故对于任何、，存在，，使得． 题型错位相减法 一、单选题 1．数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据错位相减法求解即可得答案. 【详解】设的前项和为，则，① 所以，② ①②，得， 所以． 故选：B. 2．已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【分析】方法一：利用错位相减求和可得答案； 方法二：利用代入求出可得答案. 【详解】方法一： 令， 则， 两式相减得 ， 可得， 对一切都成立，那么，； 方法二：对一切都成立， 当时有， 即，解得. 故选：A. 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用错位相减法来求和即可. 【详解】令， 则 两式相减得 所以， 故选：D. 4．数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件构造是等比数列，即可求出通项公式，再由错位相减法进行求和即可. 【详解】，可得，又， 是首项为，公比为的等比数列，，， ，① 则，② ①②可得， . 故选：D. 5．已知数列的通项公式为，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用错位相减法及等比数列前n项和求. 【详解】由题设，则， 两式作差，有， 所以. 故选：B 6．在公差不为零的等差数列中，成等比数列，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等比中项结合等差数列的基本量运算得出通项公式，再应用错位相减法得出前n项和即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由题可得，即，则， 所以，又，所以，解得，则， 所以， ①， ①得，②， ①-②得, 则 ． 故选：B. 7．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】因为， 则， 则， 两式作差得， 所以， 即得， 计算得. 故选：C. 二、填空题 8．已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前5项和_____． 【答案】129 【分析】由与的关系求出的通项公式，用错位相减法求，进而求. 【详解】数列的前项和为，且点总在直线上，所以. 当时，，两式相减得， 又，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，则， ∴，则， 所以， 两式相减得： . 所以，则. 故答案为： 9．() ________． 【答案】 【分析】按照和分类讨论，根据错位相减法即可求解. 【详解】记， 当时，； 当且时，①， 则②， ①-②得： ，因此. 综上，. 故答案为： 三、解答题 10．已知数列的前项和为，且. (1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）先根据时，及已知等式求出. （2）利用错位相减法求和方法进行求解. 【详解】（1）由题意，当时，，解得， 当时，由①，可得②， ①-②，可得，即， 两边同时加6，可得， ，，即. 数列是以2为首项，为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为， （2）由（1）知，，则， ， ， 两式相减，得， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $专题 求数列的前项和的4种常见题型（北京专用） 1.倒序相加法 2.分组求和法 目录 3.裂项相消法 4.错位相减法 题型 倒序相加法 一、单选题 12526商下北京阶假烈已7x+1-=2a,=f0+f日…+片测级 列a,的通项公式为(） A.a=n+1 B.a=2n+1 C.a=2n+2 D.a=4n+2 2.(2026高二下北京丰台阶段检测)已知正数数列a,是公比不等于1的等比数列，且a102016=1:试用 推导等花数列前n项和的方达茶求：若f,则fa,+fa,产+foeg=() A.2018 B.4036 C.2019 D.4038 3.已知函数fxx-+ 则 1 +f 2 +…+f 2024 +f 2025 =() 22 2026 2026 2026 2026 2025 A.2026 B.2025 C.1013 0 4、已知数列如是等比数列，若ag'a是方程-9x+2=0的两个根，则 log2a1+10g2az+l0g2a3++log2a2026 的值为() 2026 A.1013 B. C.2023 D.1022 3 利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得 1 +f 2 +…+f 2025=() 2026 2026 2026 A.1012.5 B.1013 C.2025 D.2026 6.(25-26高二上北京阶段检测)已知函数fx=,X 2+2x 2s-f24+f3fi2*+f224+f2u25-《） 4048 4049 c.4050 D. 4051 A. B. 4 4 4 4 7.（2526高二上·北京阶段检测)德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对 1+2+3+…+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一 定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数f(x戶3k十6078 2x (k>0),则 f1+f2+f3+…+fk+2025等于() A. k+2025 2k+6078 2k+6078 k+2025 D. 3 3 6 6 8.（24-25高二下.北京西城阶段检测)数学家高斯在年幼时，对1+2+3+…+100的求和运算中，提出了 倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯 算法现有函数fx= 4,则 1 2 3 2024 +f =() 4x+2 2025 2025 2025 2025 A.2025 B.2024 C.1013 D.1012 二、填空题 9.(24-25高二下北京丰台期中)高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称. 在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：1+100=101,2+99=101，， 50+51=101,共有50组，所以1+2+3+…+100=50×101=5050，这就是著名的高斯算法，教材中 推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列an}的各项均为正数，且公比不等于1， a,a04=1,试根据提示探究：若f(x)=,1,则f(a1+f(a2)++f代a4)三 1+X 10已加函数fX)X1数列o是正项等比数列，且ae=1,则 f a +f a2 +f a3 +...+f a8 +f as= 三、解答题 11.已知函数fx)=,3 9+3 (1)求f(1)+f(0)和f(x)+f(1-x)的值： 2》记s.=f月+f ++fm+f求s. m m m (3)对(2)中的S和任意 m∈N,均有g>:成立，求实数，的取值范围。（直接写出答案即可， Sm Sm-1 不要求写求解过程.) 题型 分组求和法 一、单选题 1.(25-26高二下北京顺义：期中)若数列a,的通项公式是a,=-1”3n+1,则a1+a++a10= () A.15 B.12 C.-12 D.-15 2.(2026北京朝阳模拟预测)已知数列a,是以1为首项，2为公差的等差数列，b,是以1为首项，2 为公比的等比数列：设c,=a'T,=C,+c,++c,n∈N则当T,<2026时，n的最大值是（） A.8 B.9 C.10 D.11 3.(25-26高二上北京期中)己知数列a,满足：a,=1对于任意的n∈N,有a1-a-2n+1' 0,0n1<0则0，+a,++a10=（） A.5050 B.50 C.-5050 D.-50 二、填空题 4.（2425高二下北京-阶段检测)设数列a,的前n项和为S,若a,=7?a4=8:且 a,+an+1+an+2=10n∈N则a, :使得s,≥2025成立的n的最小值为 5.(2026北京阶段测试)3+33+333+…+333…3= 6.(2026北京通州.一模)“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一.南宋数学家杨辉在《详解九章算 法》中记载了关于“方垛”的描述及计算方法：如图1所示“方垛”，自上而下每层每边物体数依次递增 1个，第1层放1个物体，第2层放4个物体，…，第n层放n个物体，则这n层方垛所放的物体总数为 .1. nn+n*号 现有某“三角垛”如图2所示，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个 物体，第2层放3个，第3层放6个，第4层放10个，第5层放15个物体，…，则第8层放个物 体，若该三角垛共有层，利用“方垛”的结论，计算该“三角垛”所放物体的总数为 图1 图2 三、解答题 7.（25-26高二下北京期中)已知等差数列a,的前n项和为S,'a,1=3”S。-S,=45 1)求a,的通项公式： 2若数列a,+b,是首项为1.公比为2的等比数列，求数列b.的前n项和T 8。(25-26高二下北京期中)已知a,是等差数列，bn是等比数列，且b2=3b=9a,=b'a4=b: (四求a,的通项公式： 2设c,=a,+b。:求数列cn的前n项和， 9. （25-26高二下北京西城期未)已知在等比数列a,中，a1=1公比为gg>0且a,是g利a,-2的等 差中项 1)求数列a 的通项公式： (②)若数列b,满足 求数列a,+b,n的前2n项的和. 从Db,=1b,1b,=2n∈Np②b,+b1=3n∈N这两个条件中选择一个，补充在上面的向题中 并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 10.（25-26高二下北京昌平：期未)已知数列a.是公差不为零的等差数列，a,=3a,a:'a,成等比数 列. (但求数列a的通项公式： ②设b。=a,+2,求数列b.的前n顶和S 11. （25-26高二下北京海淀：期中)已知正项等比数列0的前n项和为S,0,=2:且a,a,+2,a,成等差 数列. 国求数列a 的通项公式： 2设数列b.满是b.=a,+1og2a,:求数列b.的前n项和T, 题型 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和. 裂项时常用的五种变形： 1 (1) k≠0； nn+k 1 (2)1 2n-1川2n+1 1 (3)n+n+k =k≠0： 1 (4) nn+1n+2) (5)若数列an是等差数列，且公差d≠0，则 1 an'an-1 1。(2026高二下北京阶段测试)已知数列a,的前n项和为Sm:若a,=1+2+3+.+n 则S5=() A.2 .2 c 0.3 2.(2025-2026高二·北京阶段测试)若数列[a,的前n项和s,=n(n∈Ny则 1+1++1 等于() aa2 a2a3 anan+1 n 4n n 1 B. c.2n-1 D.- 2n+1 2n+1 n+2 3.(25-26高二北京阶段测试)己知数列an满足an= n2+n ,n∈N,且数列a,的前n项和Sn三 则n的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 1 4.(2026高二北京：单元测试)数列2n-12n+1的前n项和为(） A. n 2n n 2n 2n+1 B.2n+1 C.4n+2 D. n+1 5.(2526商二下北京阶段检测)已知数列11中21+2+3…，1+2+3+…+n,其前项和 11 1 则正整数n的值为(). A.6 B.8 C.9 D.10 6.（25-26高二下北京阶段检测)数列a,的前n项和S,'且S,=2a,-1,b,=1og201则（） A.a5=32 B.bn=2n 2_2”-1 c.a+a+a+…+a7= 1t,1+…+,1=99 3 D.bb2*Bb3 bo b100 100 7.(25-26高三下北京开学考试)记sn为等差数列a的前n项和，d为a的公差，S,=12,a,=6则不 成立的是() A.d=2 B.dg=18 C.S9=72 1+1+…+1<1 D.S S2 Sn 二、填空题 8。、(25-26高三上北京通州：期中)已知数列4为等差数列，a,=3,a4=7:则a,= :若 b,-1 元则b,b,+b,b,++b4bs= 9.(2026高二下北京昌平期中)①某班植树小组今年计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后 每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数nn∈N~等于一： 1×2"2×3"3×4 9×10 1 10.已知数列a,的通项公式为a,F可n+n+,其前0项和为S,则Sg 三、解答题 11.（25-26高一下·北京·阶段测试)(1)观察： 号号哈合六… 叙述其中的一般规律，并加以证明. (2)求证：对于任何n∈N、n≥3，存在m,k∈N",使得 1 1 1 1 n m(m+1) (m+1)(m+2)（m+k)(m+k+1i 题型 错位相减法 一、单选题 列n2的前n项和等于() 1.数列 A.n-1小2-2"+2 B.n-1小2*1+2 c.n-1小2" 0.n-1小21 2.已知1+2×3+3x32+4×3++nx31=3na-b1+子对一切n∈N都成立，那么0，b的值为 () 1 A.a= 4 8.Q=b=1 4 C.a=0,b=1 4 2 3.19×+17×2 +15×}++1 23 2o() A.18+3 0 B.17+3 c.18+ 20 0.17+3 4.数列a满足na1=3n+1a,a1=3数列a的前n项利s为（） A.15n+9n 2 B.n3” c.1+14n-83-2 5.已知数列a,的通项公式为0，》，则数列0，的前n项和5，=(） A.2"-n-1 B.2+1-n-2 c.2”-n+1 D.21-n+2 2” 2" 2 2h 6.在公差不为专的等差数列a,中，a,=30,a2,03,a。成等比数列，则数列，a:的前n项和S。=（) 2n* A.2-2n+3× 2 8.1-2m+1x 2 c-1*2a-1 03-2n+5lx 7.设S=1×22026+2×22025+3×22024+4×22023+5×2202+…+2026×2,则S的值为() A.22027-2028 B.3×22027-4056 C.22028-4056 D.22029-4056 二、填空题 8.已知数列a,的前n项和为s,:且点a,S总在直线y=2x-1上，则数列na,的前5项和T,=一 9.1+2x+3x2+..+nx0-(x≠0)= 三、解答题 10.已知数列a,的前n项和为S,且a,+S,=3n-1 (设b,=3-Q,:证明数列b,是等比数列，并求数列b,的通项公式： 2设c,=2n-1b,'求数列cn的前n项和T,