周练 错题巩固与压轴训练 16.3 乘法公式 2026-20207学年人教版八年级数学上册

初中数学同步周练　|　人教版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 八年级上册数学周练 第16章 整式的乘法（16.3） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2024秋•邯郸校级期末）·【A】小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　） A．+10xy B．+10xy或﹣10xy C．+20xy D．+20xy或﹣20xy 2．（2025秋•双阳区校级期末）·【A】下列去括号或添括号的变形中，正确的一项是（　　） A．2a﹣（3b+c）＝2a﹣3b+c B．3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣1 C．a+2b﹣4c＝a+（2b﹣4c） D．m﹣n+b﹣a＝m（n+b﹣a） 3．（2025秋•徐闻县期末）·【A】我们可以利用图形的面积解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是（　　） A．a（a+9）＝a2+9a B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 C．（a+3）（a﹣6）＝a2﹣3a﹣36 D．（a+3）2＝a2+6a+9 4．（2026春•城关区期末）·【A】如图，在边长为a+b的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为a，b的四个直角三角形，则剩余部分面积，即图中的阴影部分的面积是（　　） A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab 5．（2025秋•辛集市期末）·【A】如图，小华同学用四个边长为a的正方形，两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（　　） ①a＝2b； ②4a（a+b）＝（2a+b）2﹣b2； ③（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2； ④（2a+b）2＞4a（a+b）． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 6．（2026春•沛县期中）·【B】一位庄园主把一块边长为a米的正方形土地租给租户，第二年，他对租户说：“我把这块地的一组对边增加10米，一组对边减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样，你觉得租户的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•赵县期末）·【A】已知：a、b、c是△ABC三边长，且M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c），那么M　 　 0（填“＞”，“＜”或“＝”）． 8．（2026春•成都校级期末）·【A】若x2﹣y2＝﹣1，则（x﹣y）2025（x+y）2025＝　 　 ． 9．（2026•宿迁）·【A】已知a+b＝3，a2+b2＝5，则ab的值是 　 　 ． 10．（2026•湖州一模）·【A】化简（a+b）（a﹣b）＝　 　 ． 11．（2026春•同步）·【A】在等号右边的括号内填上适当的项． （1）a+b﹣c＝a+（ 　 　 ）； （2）a﹣b+c＝a﹣（ 　 　 ）； （3）a﹣b﹣c＝a+（ 　 　 ）； （4）a+b+c＝a﹣（ 　 　 ）． 12．（2026春•同步）·【A】若（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12×k，则k＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•同步）·【A】计算： （1）（x﹣1）（x+1）（x2+1）； （2）（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y+5）； （3）102×98． 14．（2026春•同步）·【A】运用完全平方公式计算： （1）（2a+5b）2； （2）（4x﹣3y）2； （3）（﹣2m﹣1）2； （4） ； （5）632； （6）852． 15．（2025秋•周口期末）·【A】（1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：（a+b）2﹣（ 　 　 ）2＝（ 　 　 ）； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值； ②已知（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5，请利用上述等式求mn的值． 16． （2026秋•单元）·【A】（1+x）（1+x2）（1﹣x）． 17． （2026春•单元）·【A】一张正方形纸片的边长减少2cm，它的面积就减少20cm2，这张正方形纸片的边长是多少？ 18．（2026春•同步）·【B】运用完全平方公式计算： （1）982； （2）70.52． 19．（2026春•栾城区期末）·【C】阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　 　 ，DF＝　 　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 20．（2026春•和平区校级月考）·【C】【方法回顾】 在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】 （1）如图1，正方形ABCD是由长为a，宽为b的4个全等小长方形拼接而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系，请你写出这个等量关系　 　 ． 【方法迁移】 （2）如图2，长方形ABCD是由8个长为a，宽为b的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”的基本思想，解答下列问题： ①求a、b之间的数量关系　 　 ． ②若长方形ABCD的宽AB＝20cm，求小长方形的面积． 【拓展应用】 （3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10，P是△ABC三条角平分线的交点，求点P到边AC的距离　 　 ． （4）当“等积法”与等腰三角形相联系时，我们发现：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．如图4，在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求证：CD＝PE+PF． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C B C D A 1．（2024秋•邯郸校级期末）·【A】小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　） A．+10xy B．+10xy或﹣10xy C．+20xy D．+20xy或﹣20xy 【答案】D 【解答】解：4x2＝（2x）2，25y2＝（5y）2， ∵（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2， ∴墨迹覆盖的这一项是±20xy， 故选：D． 2．（2025秋•双阳区校级期末）·【A】下列去括号或添括号的变形中，正确的一项是（　　） A．2a﹣（3b+c）＝2a﹣3b+c B．3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣1 C．a+2b﹣4c＝a+（2b﹣4c） D．m﹣n+b﹣a＝m（n+b﹣a） 【答案】C 【解答】解：A.2a﹣（3b+c）＝2a﹣3b﹣c，故此选项不合题意； B.3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣2，故此选项不合题意； C．a+2b﹣4c＝a+（2b﹣4c），故此选项符合题意； D．m﹣n+b﹣a＝m﹣（n﹣b+a），故此选项不合题意； 故选：C． 3．（2025秋•徐闻县期末）·【A】我们可以利用图形的面积解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是（　　） A．a（a+9）＝a2+9a B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 C．（a+3）（a﹣6）＝a2﹣3a﹣36 D．（a+3）2＝a2+6a+9 【答案】B 【解答】解：图中阴影部分是长为a+3，宽为a﹣3的长方形，因此面积为（a+3）（a﹣3），图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣32， 所以有（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9， 故选：B． 4．（2026春•城关区期末）·【A】如图，在边长为a+b的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为a，b的四个直角三角形，则剩余部分面积，即图中的阴影部分的面积是（　　） A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab 【答案】C 【解答】解：由题意得，S阴影部分＝S正方形﹣4S三角形＝（a+b）2ab×4＝a2+2ab+b2﹣2ab＝a2+b2， 故选：C． 5．（2025秋•辛集市期末）·【A】如图，小华同学用四个边长为a的正方形，两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（　　） ①a＝2b； ②4a（a+b）＝（2a+b）2﹣b2； ③（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2； ④（2a+b）2＞4a（a+b）． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【解答】解：由题意得，图1的面积为4a（a+b）， 图2的面积为（2a+b）2﹣b2， ∴4a（a+b）＝（2a+b）2﹣b2， （2a+b）2＞4a（a+b）， ∴能利用图1和图2验证关系式②④， 故选：D． 6．（2026春•沛县期中）·【B】一位庄园主把一块边长为a米的正方形土地租给租户，第二年，他对租户说：“我把这块地的一组对边增加10米，一组对边减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样，你觉得租户的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵长方形的长为（a+10）米，长方形的宽为（a﹣10）米， ∴长方形的面积为（a+10）（a﹣10）＝a2﹣100， ∴长方形的面积比正方形的面积a2小了100平方米， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•赵县期末）·【A】已知：a、b、c是△ABC三边长，且M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c），那么M　＜　 0（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＜． 【解答】解：∵a、b、c是△ABC三边长， ∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）＜0， 故答案为：＜． 8．（2026春•成都校级期末）·【A】若x2﹣y2＝﹣1，则（x﹣y）2025（x+y）2025＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：原式＝[（x+y）（x﹣y）]2025 ＝（x2﹣y2）2025 ＝（﹣1）2025 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 9．（2026•宿迁）·【A】已知a+b＝3，a2+b2＝5，则ab的值是 　2　 ． 【答案】2 【解答】解：∵a+b＝3， ∴（a+b）2＝9， 即a2+2ab+b2＝9， ∵a2+b2＝5， ∴ab＝（9﹣5）÷2＝2． 故答案为：2． 10．（2026•湖州一模）·【A】化简（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ． 【答案】a2﹣b2 【解答】解：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 故答案为a2﹣b2． 11．（2026春•同步）·【A】在等号右边的括号内填上适当的项． （1）a+b﹣c＝a+（ b﹣c ）； （2）a﹣b+c＝a﹣（ b﹣c ）； （3）a﹣b﹣c＝a+（ 　﹣b﹣c ）； （4）a+b+c＝a﹣（ 　﹣b﹣c ）． 【答案】（1）b﹣c； （2）b﹣c； （3）﹣b﹣c； （4）﹣b﹣c． 【解答】解：（1）a+b﹣c＝a+（b﹣c）， 故答案为：b﹣c； （2）a﹣b+c＝a﹣（b﹣c）， 故答案为：b﹣c； （3）a﹣b﹣c＝a+（﹣b﹣c）， 故答案为：﹣b﹣c； （4）a+b+c＝a﹣（﹣b﹣c）， 故答案为：﹣b﹣c． 12．（2026春•同步）·【A】若（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12×k，则k＝　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：∵（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12×k， ∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12×k， ∴10×8×12×10＝8×10×12×k， ∴k＝10， 故答案为：10． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•同步）·【A】计算： （1）（x﹣1）（x+1）（x2+1）； （2）（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y+5）； （3）102×98． 【答案】（1）x4﹣1； （2）﹣4y+1； （3）9996． （2）先根据平方差公式、多项式乘多项式法则计算乘法，再合并同类项即可； （3）利用平方差公式进行简便运算． 【解答】（1）（x﹣1）（x+1）（x2+1） ＝（x2﹣1）（x2+1） ＝x4﹣1； （2）（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y+5） ＝y2﹣4﹣（y2+5y﹣y﹣5） ＝y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5 ＝﹣4y+1； （3）102×98 ＝（100+2）（100﹣2） ＝1002﹣22 ＝10000﹣4 ＝9996． 14．（2026春•同步）·【A】运用完全平方公式计算： （1）（2a+5b）2； （2）（4x﹣3y）2； （3）（﹣2m﹣1）2； （4）； （5）632； （6）852． 【答案】（1）4a2+25b2+20ab； （2）16x2+9y2﹣24xy； （3）4m2+4m+1； （4）2.25a2b2﹣2ab； （5）3969； （6）7225． （2）直接利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，求出即可； （3）直接利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，求出即可； （4）直接利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，求出即可； （5）直接利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，求出即可； （6）直接利用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，求出即可． 【解答】解：（1）（2a+5b）2＝4a2+25b2+20ab； （2）（4x一3y）2＝16x2+9y2﹣24xy； （3）（﹣2m﹣1）2＝4m2+4m+1； （4）（1.5ab）2＝2.25a2b2﹣2ab； （5）632＝（60+3）2＝3600+9+360＝3969； （6）852＝（80+5）2＝6400+25+800＝7225． 15．（2025秋•周口期末）·【A】（1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：（a+b）2﹣（ a﹣b ）2＝（ 　4ab ）； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值； ②已知（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5，请利用上述等式求mn的值． 【答案】见试题解答内容 （2）①根据完全平方公式即可得到结论； ②根据完全平方公式即可得到结论． 【解答】解：（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab+b2＝4ab； 故答案为：a﹣b，4ab； （2）①∵m+n＝8，mn＝12， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝82﹣4×12＝16， ∴m﹣n＝±4； ②∵（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5， ∴（2m+n）2﹣（2m﹣n）2＝（2m+n﹣2m+n）（2m+n+2m﹣n）＝2n×4m＝8mn＝13﹣5＝8， ∴mn＝1． 16．（2026秋•单元）·【A】（1+x）（1+x2）（1﹣x）． 【答案】1﹣x4． 【解答】解：（1+x）（1+x2）（1﹣x） ＝（1+x）（1﹣x）（1+x2） ＝（1﹣x2）（1+x2） ＝1﹣x4． 17．（2026春•单元）·【A】一张正方形纸片的边长减少2cm，它的面积就减少20cm2，这张正方形纸片的边长是多少？ 【答案】这个正方形的边长是6厘米． 【解答】解：设正方形的边长为xcm， 根据题意得： x2﹣（x﹣2）2＝20， x2﹣（x2﹣4x+4）＝20， 4x＝24， x＝6． 答：这个正方形的边长是6厘米． 18．（2026春•同步）·【B】运用完全平方公式计算： （1）982； （2）70.52． 【答案】（1）9604； （2）4970.25． （2）把70.52转化成（70+0.5）2，再根据完全平方公式简便计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（100﹣2）2 ＝1002﹣2×100×2+22 ＝9604； （2）原式＝（70+0.5）2 ＝702+2×70×0.5+0.52 ＝4970.25． 19．（2026春•栾城区期末）·【C】阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝x﹣1　 ，DF＝x﹣3　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 （2）①由正方形ABCD边长为x，即可表示出MF与DF； ②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3； ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 20．（2026春•和平区校级月考）·【C】【方法回顾】 在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】 （1）如图1，正方形ABCD是由长为a，宽为b的4个全等小长方形拼接而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系，请你写出这个等量关系　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ． 【方法迁移】 （2）如图2，长方形ABCD是由8个长为a，宽为b的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”的基本思想，解答下列问题： ①求a、b之间的数量关系a＝3b ． ②若长方形ABCD的宽AB＝20cm，求小长方形的面积． 【拓展应用】 （3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10，P是△ABC三条角平分线的交点，求点P到边AC的距离　2　 ． （4）当“等积法”与等腰三角形相联系时，我们发现：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．如图4，在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求证：CD＝PE+PF． 【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）①a＝3b；②75cm2； （3）2； （4）CD＝PE+PF． （2）①从图中找出长方形长的两种表达式；令两种表达式相等，化简得a与b的关系；②用a、b表示长方形的宽，结合已知宽列方程；代入a与b的关系，求出a、b的值；计算小长方形面积； （3）计算△ABC的面积；利用角平分线性质，设点P到三边距离为r；用r表示三个小三角形面积之和，结合总面积列方程求解r． （4）连接AP，通过三角形ABC的面积等于S△ABP+S△ACP，即可解答． 【解答】（1）解：大正方形边长为a+b，面积为（a+b）2； 大正方形由4个小长方形（面积4ab）和1个小正方形（边长a﹣b，面积（a﹣b）2）组成， 总面积为（a﹣b）2+4ab；两种面积表示相等， 得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）①长方形的长可表示为a+3b或2a；因此a+3b＝2a，化简得a＝3b； ②长方形宽AB＝a+b＝20， 代入a＝3b得：3b+b＝20， 解得b＝5，则a＝3×5＝15； 小长方形面积为15×5＝75（cm2）； 答：小长方形的面积为75cm2． 故答案为：a＝3b； （3）△ABC面积为：，点P到三边距离相等， 设为r，则△ABC面积等于三个小三角形面积之和：24， 化简得12r＝24， 解得r＝2． 答：点P到边AC的距离是2． 故答案为：2． （4）连接AP，如图1所示， ∵S△ABCAB•CD，S△PABAB•PE，S△PACAC•PF， ∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC， ∴AB•CDAB•PEAC•PF， ∵AB＝AC， ∴CD＝PE+PF． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $