第17章 因式分解 17.1～17.2 周练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

初中数学同步周练　|　人教版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 八年级上册数学周练 第17章 因式分解（17.1～17.2） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2026•延安一模）·【A】多项式6ab2﹣cb的公因式是（　　） A．b B．ab C．b2 D．c 2．（2026秋•同步）·【A】数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲：M+N B．乙：M﹣N C．丙：N+P D．丁：N﹣P 3．（2025秋•沙坪坝区校级月考）·【A】多项式（1﹣a）xy+（a﹣1）因式分解的结果正确的是（　　） A．（1﹣a）（xy+1） B．（1﹣a）（xy﹣1） C．（a﹣1）（xy﹣1） D．（a﹣1）（xy+1） 4．（2025秋•双阳区校级期末）·【A】下列去括号或添括号的变形中，正确的一项是（　　） A．2a﹣（3b+c）＝2a﹣3b+c B．3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣1 C．a+2b﹣4c＝a+（2b﹣4c） D．m﹣n+b﹣a＝m（n+b﹣a） 5．（2026春•泰和县期末）·【A】因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　） A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1） C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4） 6．（2025秋•鹿邑县期末）·【B】小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．惠济游 C．我爱惠济 D．美我惠济 二．填空题（共6小题） 7．（2026•辽宁）·【A】因式分解：x2﹣xy＝　 　 ． 8．（2026•蓬江区模拟）·【A】因式分解：x2y﹣xy2＝　 　 ． 9．（2025秋•龙凤区校级期末）·【A】根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　 ． 10．（2026春•金牛区校级月考）·【A】分解因式：2x2﹣8＝　 　 ． 11．（2026•滨湖区模拟）·【A】因式分解2x2﹣8y2＝　 　 ． 12．（2026•连云港）·【B】分解因式：a2﹣4＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•铁西区期末）·【A】已知n为正整数，求证：（4n+3）2﹣（2n+3）2能被24整除． 14．（2026春•同步）·【A】确定下列多项式的公因式． （1）ax+ay； （2）3mx﹣6nx2； （3）4a2b+10ab﹣2ab2． 15．（2026秋•同步）·【A】先分解因式，再求值： （1）（a﹣2）2﹣6（2﹣a），其中a＝﹣2； （2）4x（y+4）﹣x（y+4）2，其中x＝2，y＝5． 16．（2025秋•福州校级月考）·【A】因式分解： （1）18a3﹣2a； （2）m3+6m2+9m． 17．（2026春•兰州期末）·【A】阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 　 　 ； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　 ； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 18．（2026秋•同步）·【B】下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ （1）6ax﹣3ax2＝3ax（2﹣x）； （2）a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1； （3）x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2； （4）a2b﹣3ab2+ab＝ab（a﹣3b+1）． 19．（2025春•连云港校级期中）·【C】学习整式乘法时，小优老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． （1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：　 　 ； （2）请用上题得到的等式求解下面问题：已知（2025﹣x）（x﹣2020）＝5， 求（2025﹣x）2+（x﹣2020）2的值； （3） 请用这3种卡片拼出一个面积为a2+4ab+3b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽． （4） 选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若Q＝S1﹣S2，且Q为定值，则a与b有什么关系？请说明理由． （5） 如图5，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．试用不同的方法计算这个图形的面积，探究直角三角形三边a，b，c的关系，试说明理由． 20．（2024秋•阳新县期末）·【C】对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解． （1）求式子中m、n的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D B C D C 1．（2026•延安一模）·【A】多项式6ab2﹣cb的公因式是（　　） A．b B．ab C．b2 D．c 【答案】A 【解答】解：多项式6ab2﹣cb的公因式是b， 故选：A． 2．（2026秋•同步）·【A】数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲：M+N B．乙：M﹣N C．丙：N+P D．丁：N﹣P 【答案】D 【解答】解：A、甲：M+N＝x2+5x+12+5x+13＝x2+10x+25＝（x+5）2，故此选项不符合题意； B、乙：M﹣N＝x2+5x+12﹣5x﹣13＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项不符合题意； C、丙：N+P＝5x+13+x2﹣13＝x2+5x＝x（x+5），故此选项不符合题意； D、丁：N﹣P＝5x+13﹣x2+13＝﹣x2+5x+26，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2025秋•沙坪坝区校级月考）·【A】多项式（1﹣a）xy+（a﹣1）因式分解的结果正确的是（　　） A．（1﹣a）（xy+1） B．（1﹣a）（xy﹣1） C．（a﹣1）（xy﹣1） D．（a﹣1）（xy+1） 【答案】B 【解答】解：（1﹣a）xy+（a﹣1） ＝（1﹣a）xy﹣（1﹣a） ＝（1﹣a）（xy﹣1）， 故选：B． 4．（2025秋•双阳区校级期末）·【A】下列去括号或添括号的变形中，正确的一项是（　　） A．2a﹣（3b+c）＝2a﹣3b+c B．3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣1 C．a+2b﹣4c＝a+（2b﹣4c） D．m﹣n+b﹣a＝m（n+b﹣a） 【答案】C 【解答】解：A.2a﹣（3b+c）＝2a﹣3b﹣c，故此选项不合题意； B.3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣2，故此选项不合题意； C．a+2b﹣4c＝a+（2b﹣4c），故此选项符合题意； D．m﹣n+b﹣a＝m﹣（n﹣b+a），故此选项不合题意； 故选：C． 5．（2026春•泰和县期末）·【A】因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　） A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1） C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4） 【答案】D 【解答】解：原式＝[（x﹣1）+3][（x﹣1）﹣3] ＝（x+2）（x﹣4）． 故选：D． 6．（2025秋•鹿邑县期末）·【B】小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．惠济游 C．我爱惠济 D．美我惠济 【答案】C 【解答】解：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 ＝（x2﹣y2）（a2﹣b2） ＝（x+y）（x﹣y）（a+b）（a﹣b）， 因为a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美， 所以结果呈现的密码信息可能是：我爱惠济． 故答案为：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2026•辽宁）·【A】因式分解：x2﹣xy＝x（x﹣y）　 ． 【答案】x（x﹣y） 【解答】解：x2﹣xy＝x（x﹣y）． 故答案为：x（x﹣y）． 8．（2026•蓬江区模拟）·【A】因式分解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）　 ． 【答案】xy（x﹣y）． 【解答】解：原式＝xy（x﹣y）， 故答案为：xy（x﹣y）． 9．（2025秋•龙凤区校级期末）·【A】根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）　 ． 【答案】x2+6x+8＝（x+2）（x+4） 【解答】解：四个独立图形的面积和：x2+2x+4x+4×2＝x2+6x+8， 组合图形面积：（x+2）（x+4）， ∴x2+6x+8＝（x+2）（x+4）， 故答案为：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）． 10．（2026春•金牛区校级月考）·【A】分解因式：2x2﹣8＝　2（x+2）（x﹣2）　 ． 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解答】解：2x2﹣8 ＝2（x2﹣4） ＝2（x+2）（x﹣2）； 故答案为：2（x+2）（x﹣2）． 11．（2026•滨湖区模拟）·【A】因式分解2x2﹣8y2＝　2（x+2y）（x﹣2y）　 ． 【答案】2（x+2y）（x﹣2y）． 【解答】解：2x2﹣8y2 ＝2（x2﹣4y2） ＝2（x+2y）（x﹣2y）． 故答案为：2（x+2y）（x﹣2y）． 12．（2026•连云港）·【B】分解因式：a2﹣4＝　（a+2）（a﹣2）　 ． 【答案】（a+2）（a﹣2） 【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）， 故答案为：（a+2）（a﹣2）． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•铁西区期末）·【A】已知n为正整数，求证：（4n+3）2﹣（2n+3）2能被24整除． 【答案】（4n+3）2﹣（2n+3）2 ＝[（4n+3）+（2n+3）][（4n+3）﹣（2n+3）] ＝（4n+3+2n+3）（4n+3﹣2n﹣3） ＝（6n+6）•2n ＝12n（n+1）． ∵n为正整数， ∴n和n+1是连续的正整数， ∴n和n+1中一定有一个是偶数， ∴12n（n+1）一定是24的倍数， ∴（4n+3）2﹣（2n+3）2能被24整除． 【解答】证明：（4n+3）2﹣（2n+3）2 ＝[（4n+3）+（2n+3）][（4n+3）﹣（2n+3）] ＝（4n+3+2n+3）（4n+3﹣2n﹣3） ＝（6n+6）•2n ＝12n（n+1）． ∵n为正整数， ∴n和n+1是连续的正整数， ∴n和n+1中一定有一个是偶数， ∴12n（n+1）一定是24的倍数， ∴（4n+3）2﹣（2n+3）2能被24整除． 14．（2026春•同步）·【A】确定下列多项式的公因式． （1）ax+ay； （2）3mx﹣6nx2； （3）4a2b+10ab﹣2ab2． 【答案】（1）a； （2）3x； （3）2ab． （2）提取公因式即可； （3）提取公因式即可． 【解答】解：（1）ax+ay ＝a（x+y）， 则公因式为a； （2）3mx﹣6nx2 ＝3x（m﹣2nx）， 则公因式为3x； （3）4a2b+10ab﹣2ab2． ＝2ab（2a+5﹣b）， 则公因式为2ab． 15．（2026秋•同步）·【A】先分解因式，再求值： （1）（a﹣2）2﹣6（2﹣a），其中a＝﹣2； （2）4x（y+4）﹣x（y+4）2，其中x＝2，y＝5． 【答案】（1）（a﹣2）（a+4），﹣8； （2）﹣xy（y+4），﹣90． （2）利用提取公因式法分解，再代入求值． 【解答】解：（1）（a﹣2）2﹣6（2﹣a） ＝（a﹣2）2+6（a﹣2） ＝（a﹣2）（a﹣2+6） ＝（a﹣2）（a+4）， 当a＝﹣2时，原式＝（﹣2﹣2）（﹣2+4）＝﹣8； （2）4x（y+4）﹣x（y+4）2 ＝（y+4）[4x﹣x（y+4）] ＝﹣xy（y+4）， 当x＝2，y＝5时，原式＝﹣2×5×（5+4）＝﹣90． 16．（2025秋•福州校级月考）·【A】因式分解： （1）18a3﹣2a； （2）m3+6m2+9m． 【答案】（1）2a（3a+1）（3a﹣1）； （2）m（m+3）2． （2）直接提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）18a3﹣2a ＝2a（9a2﹣1） ＝2a（3a+1）（3a﹣1）； （2）m3+6m2+9m ＝m（m2﹣6m+9） ＝m（m+3）2． 17．（2026春•兰州期末）·【A】阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 C ； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　（x﹣2）4 ； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 【答案】见试题解答内容 （2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式． 【解答】解：（1）故选：C； （2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9， 设x2﹣4x＝y， 原式＝（y+1）（y+7）+9， ＝y2+8y+16， ＝（y+4）2， ＝（x2﹣4x+4）2， ＝（x﹣2）4； 故答案为：（x﹣2）4； （3）设x2+2x＝y， 原式＝y（y+2）+1， ＝y2+2y+1， ＝（y+1）2， ＝（x2+2x+1）2， ＝（x+1）4． 18．（2026秋•同步）·【B】下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ （1）6ax﹣3ax2＝3ax（2﹣x）； （2）a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1； （3）x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2； （4）a2b﹣3ab2+ab＝ab（a﹣3b+1）． 【答案】（1）是；理由：因为变形后的式子是整式3ax与整式（2﹣x）的积，符合因式分解的定义． （2）不是；理由：因为变形后的式子（a+b）（a﹣b）+1不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义． （3）是；理由：因为变形后的式子是整式（x﹣y）与整式（x﹣y）的积，符合因式分解的定义． （4）是；理由：因为变形后的式子是整式ab与整式（a﹣3b+1）的积，符合因式分解的定义． 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： （1）是因式分解，因为变形后的式子是整式3ax与整式（2﹣x）的积，符合因式分解的定义． （2）不是因式分解，因为变形后的式子（a+b）（a﹣b）+1不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义． （3）是因式分解，因为变形后的式子是整式（x﹣y）与整式（x﹣y）的积，符合因式分解的定义． （4）是因式分解，因为变形后的式子是整式ab与整式（a﹣3b+1）的积，符合因式分解的定义． 19．（2025春•连云港校级期中）·【C】学习整式乘法时，小优老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． （1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ； （2）请用上题得到的等式求解下面问题：已知（2025﹣x）（x﹣2020）＝5，求（2025﹣x）2+（x﹣2020）2的值； （3）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+4ab+3b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽． （4）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若Q＝S1﹣S2，且Q为定值，则a与b有什么关系？请说明理由． （5）如图5，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．试用不同的方法计算这个图形的面积，探究直角三角形三边a，b，c的关系，试说明理由． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）15； （3）见解析； （4）若Q为定值时，a＝3b； （5）c2＝a2+b2． （2）设2025﹣x＝a，x﹣2020＝b，得到ab＝5，a+b＝2025﹣x+x﹣2020＝5，利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）由a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b），画出图形即可； （4）设MN长为x，求出S1，S2即可解决问题； （5）由题意得大正方形的面积为c2，中间小正方形的面积为（a﹣b）2，四个直角三角形的面积和为2ab，据此计算即可求解． 【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2， 故（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）设2025﹣x＝a，x﹣2020＝b， ∴ab＝5，a+b＝5， ∴（2025﹣x）2+（x﹣2020）2＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝52﹣2×5＝15； （3）由图可知：a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）， 图形如下， （4）a＝3b，理由如下： 设MN长为x． ∵，S2＝3bx﹣3ab， ∴， 由题意可知当3b﹣a＝0时，即a＝3b时，Q＝a2﹣2ab为定值， ∴若Q为定值时，a＝3b； （5）大正方形的面积为c2，中间小正方形的面积为（a﹣b）2，四个直角三角形的面积和为， ∴c2＝（a﹣b）2+2ab， 整理得c2＝a2+b2． 20．（2024秋•阳新县期末）·【C】对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解． （1）求式子中m、n的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4． 【答案】见试题解答内容 （2）由把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案． 【解答】解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中， 分别令x＝0，x＝1， 即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5 （2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0， 则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式， 用上述方法可求得：a＝4，b＝4， 所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4）， ＝（x+1）（x+2）2． 解法二：把x＝﹣2代入x3+5x2+8x+4，得其值为0， 则多项式可分解为（x+2）（x2+ax+b）的形式， 用上述方法可求得：a＝3，b＝2， 所以x3+5x2+8x+4＝（x+2）（x2+3x+2）， ＝（x+1）（x+2）2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $