第17章 因式分解 课时练习测试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，覆盖提公因式法全知识点，从概念辨析到实际应用，培养抽象能力、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|因式分解概念、公因式确定、简单分解|选择题辨析因式分解与整式乘法区别，填空题强化系数与字母最低次幂取法| |技能应用层|提公因式法步骤、整体思想应用、几何情境结合|解答题结合长方形面积模型理解分解依据，引入整体公因式| |综合拓展层|实际简便计算、探究说理、跨知识联系|综合题通过连续整数乘积证明偶数，体现数学思维与语言表达|

学年人教版数学八年级上册 第章 因式分解 用提公因式法分解因式 课后练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解；因式分解与整式乘法互为逆变形。 · 公因式：多项式各项都含有的相同因式；取各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。 · 提公因式法：，即提出公因式后，括号内是各项除以公因式所得的商。 · 首项为负时，通常先提出负号，此时括号内各项都要变号。 · 整体思想：把 、 等多项式看作一个整体；注意 。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） ． ． ． ． ．多项式 与 的公因式是（　　） ．　　． ．　　． ．把 分解因式，结果正确的是（　　） ．　　． ．　　． ．多项式 提公因式后，另一个因式是（　　） ．　　． ．　　． ．把 分解因式，结果是（　　） ．　　． ．　　． ．把 分解因式，结果是（　　） ．　　． ．　　． ．把 分解因式，结果是（　　） ．　　． ．　　． ．用简便方法计算 的结果是（　　） ．　　． ．　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．分解因式：。 ．分解因式：。 ．分解因式：。 ．分解因式：。 ．已知 ，则 。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分）分解因式：。 ．（本题分）如图，长方形的长为 ，宽为 。 用两种不同的方法表示这个长方形的面积； 由写出把 分解因式的结果，并说明这一变形依据的是什么方法。 ．（本题分）分解因式：。 ．（本题分）分解因式：。 ．（本题分）先分解因式，再求值：，其中 。 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【实际应用】用简便方法计算：。 ．（本题分）【探究与说理】 什么叫因式分解？它与整式乘法有什么关系？ 分解因式：（为正整数）； 利用的结果说明：任意两个连续正整数的乘积一定是偶数。 学年人教版数学八年级上册 第章 因式分解 用提公因式法分解因式 课后练习（满分分，时间分钟） （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． 三、解答题 ． 【分析】公因式为 ，提出后括号内为 。 【详解】··。 【评分标准】确定公因式得分，提公因式后各项正确得分（共分）。 ． 方法一：；方法二：； ，依据是提公因式法。 【分析】整体计算面积为 ；分块计算面积为 ；由两种表示相等可得分解结果。 【详解】 方法一（整体计算）：。 方法二（分块计算）：左边小长方形面积为 ，右边小长方形面积为 ， 所以 。 由 ，得 。 这一变形是把各项的公因式 提出来，依据是提公因式法。 【评分标准】两种方法各得分（共分）；分解结果得分，指出方法名称得分（共分）。 ． 【分析】把 看作一个整体，它是两项的公因式。 【详解】·。 【评分标准】识别整体公因式得分，分解结果正确得分（共分）。 ． 【分析】先利用 把两项化为含相同整体 的形式，再提公因式。 【详解】因为 ， 所以 。 【评分标准】正确转化符号得分，提出整体公因式得分，结果最简得分（共分）。 ． 【分析】先提公因式 ，把式子化为 ，再整体代入求值。 【详解】··。 当 时，原式。 【评分标准】分解因式正确得分，整体代入求值得分（共分）。 四、综合与实践 ． 【分析】两项都含有因数 ，逆用分配律（提公因式）先化简再计算。 【详解】 。 【评分标准】提出公因式得分，计算正确得分（共分）。 ． 见详解； ； 见详解。 【分析】提公因式 ； 与 是相邻整数，其中必有一个偶数，故乘积为偶数。 【详解】 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解； 因式分解与整式乘法互为逆变形（过程相反）。 ··。 因为 与 是两个连续正整数，所以其中必有一个是偶数。 又 是 与 的乘积，其中含有偶数因数， 所以 一定是偶数，即任意两个连续正整数的乘积一定是偶数。 【评分标准】定义分、关系分（共分）；得分；说理充分得分（共分）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 学年人教版数学八年级上册 第章 因式分解 用公式法分解因式 课后练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 平方差公式法：，即两个数的平方差，等于这两数的和与这两数的差的积。 · 完全平方公式法：；。 · 分解因式的一般步骤：先提公因式，再用公式法；分解要彻底，必须分解到每个因式都不能再分解为止。 · 公式中的 、 可以是数、单项式或多项式（整体思想）。 · 判断完全平方式的口诀：首平方、尾平方，积的倍在中央。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） ．　　． ．　　． ．分解因式 的结果是（　　） ．　　． ．　　． ．分解因式 的结果是（　　） ．　　． ．　　． ．分解因式 的结果是（　　） ． ． ． ． ．分解因式 的结果是（　　） ．　　． ．　　． ．若 是完全平方式，则常数 的值为（　　） ．　　． ．　　． ．分解因式 的结果是（　　） ． ． ． ． ．分解因式 的结果是（　　） ． ． ． ． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．分解因式：。 ．如图，正方形的底边被分成两段，长度分别为 和 ，且正方形的面积为 ，则 。 ．分解因式：。 ．一个圆环的外圆半径为 ，内圆半径为 ，利用因式分解计算圆环的面积为 （结果保留 ）。 ．分解因式：。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分）分解因式：。 ．（本题分）分解因式：。 ．（本题分）分解因式：。 ．（本题分）分解因式：。 ．（本题分）分解因式：。 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【实际应用】如图，两个正方形的边长分别为 和 （＞）。 用含 、 的式子表示两个正方形的面积之差； 把中的式子分解因式； 当 时，直接写出两个正方形的面积之差。 ．（本题分）【规律探究与说理】 用简便方法计算 ； 分解因式：（为正整数）； 利用的结果说明：任意两个连续正整数的平方差一定是奇数。 学年人教版数学八年级上册 第章 因式分解 用公式法分解因式 课后练习（满分分，时间分钟） （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． 三、解答题 ． 【分析】，两项符号相反，符合平方差公式结构。 【详解】。 【评分标准】识别平方差结构得分，写出平方得分，结果正确得分（共分）。 ． 【分析】，中间项 ··，符合两数和的完全平方式结构。 【详解】··。 【评分标准】识别完全平方式结构得分，写出中间项分解得分，结果正确得分（共分）。 ． 【分析】先提公因式 ，再用平方差公式继续分解，直到每个因式都不能再分解。 【详解】。 【评分标准】提公因式正确得分，用平方差公式得分，分解彻底得分（共分）。 ． 【分析】把 与 分别看作公式中的 、，用平方差公式分解。 【详解】 。 【评分标准】识别整体平方差得分，套用公式得分，整理结果得分（共分）。 ． 【分析】把 看作一个整体，原式是 与 的差的完全平方式。 【详解】·· 。 【评分标准】识别整体完全平方式得分，正确写出结果得分（共分）。 四、综合与实践 ． ； ； 【分析】面积差先表示为平方差，再用平方差公式化为乘积，最后整体代入。 【详解】 面积之差为 。 。 当 时， 面积之差。 【评分标准】得分；得分；得分（共分）。 ． ； ； 见详解。 【分析】平方差既可以正用（简便运算），也可以逆用（分解因式）；连续整数相差。 【详解】 。 。 由，任意两个连续正整数 与 的平方差等于 。 因为 是偶数，所以 一定是奇数。 所以任意两个连续正整数的平方差一定是奇数。 【评分标准】得分；得分；说理充分得分（共分）。 学科网（北京）股份有限公司 $