专题01 二次函数的概念和图象与性质（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期

**基本信息** 上海2025-2026年区县模考及期末二次函数专题汇编，覆盖概念、图象性质等5大高频考点，基础题与综合应用题结合 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|19|二次函数概念（如第5题求参数值）、图象性质（如第11题判断系数范围）|结合图象分析系数符号（如第21题根据图像判断a,b,c符号）| |填空|17|待定系数法（如第31题写最低点坐标的解析式）、对称平移（如第44题平移后对称轴）|开放型问题（如第6题写满足条件的抛物线表达式）| |解答|13|综合应用（如第37题根据描述构造抛物线）、动态问题（如第38题动点与抛物线交点）|关联真题趋势，注重几何直观与逻辑推理（如第49题平移后点坐标关系）|

专题01 二次函数的概念和图象与性质 5大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数的图象与性质 考点03 二次函数图象与各项系数符号 考点04 待定系数法求二次函数解析式 考点05 二次函数的对称、平移与最值 地 城 考点01 二次函数的概念 1．（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 6．（2025·上海黄浦·一模）某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是__________． 7．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 地 城 考点02 二次函数的图象与性质 8．（2026·上海金山·一模）在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·上海普陀·期末）下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 10．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 11．（2026·上海长宁·一模）已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 12．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 13．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如果抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 14．（25-26九年级上·上海崇明·期末）已知点、为二次函数图像上的两点，那么__________（填“”、“”或“”） 15．（25-26九年级上·上海·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 16．（2026·上海虹口·二模）已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 17．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________． 18．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知抛物线，若点，点，且线段与该抛物线图像有交点，则t的取值范围是______． 19．（2026·上海金山·一模）对于抛物线，沿着轴正方向看，抛物线在直线左侧的部分是下降的，写出一个符合条件的的值是____． 20．（24-25九年级上·上海静安·期末）【问题提出】已知抛物线的顶点在第二象限，求的取值范围 【分析问题】用配方法把该二次函数的解析式化为的形式： ，则顶点坐标为 ．根据“顶点在第二象限”，得出不等式 ，解出的取值范围是 ； 【反思评价】我们首先通过配方法配出该抛物线的顶点（用含的代数式表示）、接着根据题意得出对应的不等式，解不等式最后得出答案．请你根据上述解答的方法，再提出一类似解法的问题．（不需要求解） 地 城 考点03 二次函数图象与各项系数符号 21．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 22．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知二次函数的图像如图所示，那么下列各式中，成立的是（   ） A． B． C． D．． 23．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，那么下列关于此拋物线的说法：①抛物线的对称轴是直线；②；③；④中，正确的个数有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）已知抛物线（、、是常数，）的顶点为．某同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 25．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 26．（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 28．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为________ ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 地 城 考点04 待定系数法求二次函数解析式 29．（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 30．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如表，根据表中的数据，下列判断中不正确的是（   ） … 0 1 2 3 … … 0 … A．函数图象开口向上 B．对称轴是直线 C． D． 31．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知一个二次函数的图像最低点坐标为，那么该二次函数的解析式可以是______．（写出一个即可） 32．（2025·上海黄浦·二模）定义：抛物线上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的倍后得到新的抛物线，叫的“倍衍生抛物线”．例如：求抛物线的“5倍衍生抛物线”．设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为点，因为点在抛物线上，所以，整理得到，即抛物线的表达式为．参考上述方法，抛物线的“倍衍生抛物线”的表达式为_______________． 33．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是________． 34．（2026·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点和． (1)求此抛物线的表达式； (2)指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况． 35．（25-26九年级上·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 36．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 37．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）数学课上老师给同学们出示了一条抛物线，甲、乙、丙三位同学分别用一句话描述了它： 甲：这条抛物线的对称轴是直线； 乙：将这条抛物线向下平移2个单位，会经过原点； 丙：这条抛物线在对称轴的右侧部分是下降的； (1)如果这三位同学关于这条抛物线的描述都是正确的，请你写出一个同时满足这些描述的抛物线的表达式，并求出此时它的顶点坐标； (2)请你根据老师给出的这条抛物线，再写出一个正确结论．（与三位同学的描述不一样） 38．（2026·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)点为抛物线上的动点，过点作直线． ①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值； ②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，连接，当抛物线的顶点在内部时，直接写出的取值范围． 地 城 考点05 二次函数的对称、平移与最值 39．（2025·上海松江·一模）已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 40．（2026·上海闵行·一模）如图，已知抛物线与轴交于两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点．若直线与这条抛物线交于点，则这个点的横坐标之和是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为0；④图像不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 42．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 43．（2025·上海松江·二模）已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么__． 44．（2026·上海闵行·二模）已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 45．（2025·上海嘉定·一模）已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________． 46．（2025·上海奉贤·一模）二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为____________． 47．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 48．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知抛物线解析式． (1)如果这条抛物线经过点，求的值，并用配方法将该解析式化为的形式； (2)如果这条抛物线经过两点，且，求的值． 49．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的概念和图象与性质 5大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数的图象与性质 考点03 二次函数图象与各项系数符号 考点04 待定系数法求二次函数解析式 考点05 二次函数的对称、平移与最值 地 城 考点01 二次函数的概念 1．（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】识别一次函数、二次函数的识别 【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可． 【详解】解：对于选项A：是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意； 对于选项B： 是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项C： 是一条平行于轴的直线，不符合题意； 对于选项D： 是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意． 3．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数需满足最高次项为且系数不为0， A.，最高次项为，不是二次函数，不符合题意； B.，若，则，不是二次函数，不符合题意； C. ，∵，∴，恒满足二次函数定义，符合题意； D.，若，则，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 4．（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．符合二次函数定义，则A符合题意； B．不是二次函数，则B不符合题意； C．，最高次项系数不是2，故不是二次函数，则C不符合题意； D．最高次项系数不是2，故不是二次函数，则D不符合题意； 故选：A． 5．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 6．（2025·上海黄浦·一模）某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的关键. 根据抛物线的最高点在y轴上，可知，，抛物线与x轴有两个交点，可知，据此写出答案即可. 【详解】解：∵抛物线的最高点在y轴上， ∴，，， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴这条抛物线的表达式可以是：. 故答案是：（答案不唯一） 7．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 地 城 考点02 二次函数的图象与性质 8．（2026·上海金山·一模）在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数图象上的点，根据二次函数图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，；当时，； 故只有D选项的点在抛物线上，符合题意； 故选D． 9．（25-26九年级上·上海普陀·期末）下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的对称轴，掌握抛物线的对称轴为是解题的关键． 逐项验证时的坐标和对称轴即可． 【详解】解：选项A：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项B：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项C：经过，对称轴为直线，符合题意； 选项D：经过，对称轴为直线，不符合题意； 故选C． 10．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握将非标准形式转化为标准顶点式并从中识别顶点坐标是解题的关键． 先将给定的抛物线表达式转化为标准顶点式，再根据标准顶点式直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点形式为，对应,，顶点坐标为， 故选：C． 11．（2026·上海长宁·一模）已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、y=ax²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据三个条件分别求m的取值范围：条件（1）要求抛物线开口向下，得；条件（2）要求对称轴在轴右侧，得；条件（3）要求抛物线在轴左侧下降，得，综合判断选项即可． 【详解】解：对于（1），抛物线的最高点就是它的顶点，则图象开口向下， ∴，即； 对于（2），抛物线的对称轴为直线， ∵的对称轴在轴的右侧， ∴，即； 对于（3），抛物线在轴左侧是下降的，则图象开口向上， ∴，即； 综上所述，，选项中只有符合． 故选：B． 12．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如果抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象性质，抛物线的开口方向由二次项系数的符号决定：当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；大于0时，开口向上． 【详解】解：抛物线的二次项系数为． ∵抛物线开口向下， ∴，解得； 故答案为：． 14．（25-26九年级上·上海崇明·期末）已知点、为二次函数图像上的两点，那么__________（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，关键是利用开口方向和对称轴判断函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵开口向下时，点离对称轴越近，函数值越大，且， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·上海·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 【答案】/ 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，用代入法求解是关键．通过直接计算二次函数在各点处的函数值，比较大小关系即可． 【详解】解：对于二次函数， 当时，； 当时，； 当时，； ． 故答案为：． 16．（2026·上海虹口·二模）已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 【答案】或 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、因式分解法解一元二次方程、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】利用二次函数顶点解析式以及待定系数法进行求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得，， 将代入解析式得， 解得或． 17．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数的对称轴，与y轴的交点为．由抛物线对称轴是y轴，得，代入求出，再代入解析式得到，最后求顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴对称轴方程为， 解得，代入得， 当时，， ∴顶点坐标为． 故答案为． 18．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知抛物线，若点，点，且线段与该抛物线图像有交点，则t的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数点的坐标特征，一元二次方程，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． 根据题意，利用待定系数法得出的解析式为，再分、、三种情况，结合图像求解即可． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为，与轴交于点， 设的解析式为， ，解得， 的解析式为， ①当时，，即， ，即， 解得或， 又， ， ②时，在抛物线上，符合题意； ③当时，令，即， ，解得， 的对称轴为， 与轴交于点，且， 当时，在上，方程有一个解， 又， 时，线段与该抛物线图像有交点， 综上，． 故答案为：． 19．（2026·上海金山·一模）对于抛物线，沿着轴正方向看，抛物线在直线左侧的部分是下降的，写出一个符合条件的的值是____． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查了二次函数的性质，首先判断出抛物线开口向上，然后根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线中二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∵沿着轴正方向看，抛物线在直线左侧的部分是下降的， ∴ ∴ ∴写出一个符合条件的的值是． 故答案为：（答案不唯一）． 20．（24-25九年级上·上海静安·期末）【问题提出】已知抛物线的顶点在第二象限，求的取值范围 【分析问题】用配方法把该二次函数的解析式化为的形式： ，则顶点坐标为 ．根据“顶点在第二象限”，得出不等式 ，解出的取值范围是 ； 【反思评价】我们首先通过配方法配出该抛物线的顶点（用含的代数式表示）、接着根据题意得出对应的不等式，解不等式最后得出答案．请你根据上述解答的方法，再提出一类似解法的问题．（不需要求解） 【答案】；；；； 反思评价：已知抛物线的顶点在第四象限，求的取值范围．(答案不唯一，合理即可) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、已知点所在的象限求参数、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数的顶点式与顶点坐标，先通过配方法将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标，再根据第二象限内点的坐标特征(横坐标小于，纵坐标大于)列出不等式，求解即可 【详解】解： ， ∴该抛物线的顶点坐标为, ∵第二象限内点的坐标特征是横坐标小于，纵坐标大于， ∴， ∴， 故答案为：；；；； 已知抛物线的顶点在第四象限，求的取值范围．(答案不唯一，合理即可) 地 城 考点03 二次函数图象与各项系数符号 21．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 22．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知二次函数的图像如图所示，那么下列各式中，成立的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系及根据二次函数的图象判断式子符号，根据对称轴和函数图像判断、、的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断的符号，由的符号结合对称轴判断的符号，由图可知，当时，，即可判断的符号，当时，，即可判断的符号． 【详解】解：A、∵抛物线开口向上， ∴， ∴A错误，该选项不符合题意； B、∵，对称轴位于轴左侧， ∴， ∴B错误，该选项不符合题意； C、∵由图可知，当时，， ∴， ∴C错误，该选项不符合题意； D、∵由图可知，当时，， ∴， ∴D正确，该选项符合题意． 故选：D． 23．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，那么下列关于此拋物线的说法：①抛物线的对称轴是直线；②；③；④中，正确的个数有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟知：对于二次函数，若其图象与轴的两交点分别为、，则对称轴公式为；当时，抛物线开口向上，当，抛物线开口向下；二次函数的对称轴公式为：；在二次函数中，为函数图象与轴交点的纵坐标．根据二次函数图象与轴的交点坐标求出对称轴，再结合二次函数的开口方向、对称轴与轴的交点位置来判断、、的正负性即可． 【详解】解：二次函数的图像与轴交于、两点， 该函数的对称轴是直线，故①正确； 该二次函数图象开口向下， ，故②错误； 根据二次函数的对称轴公式， 可得， ， ，故③正确； 二次函数与轴交于正半轴， ，故④错误； 综上，正确的有①③， 故选：． 24．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）已知抛物线（、、是常数，）的顶点为．某同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：∵抛物线（、、是常数，）的顶点为， ∴， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②不正确； ， 抛物线为， 依题意，将代入， 得， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有③， 故选：C 25．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，数形结合是解题的关键；由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点可判定①；由抛物线与x轴的交点可判定②；由对称轴可判定③；由图象知，当时函数值为负，即可判定④，最后可确定答案． 【详解】解：由图象知，抛物线开口向下，则， 抛物线的对称轴为直线，即， ∴ ∴， 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，则， ∴，故①错误； 由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，即有两个不相等的实数解， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 由图象知，当时，即，故④正确； 综上，正确的有3个， 故选：B． 26．（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A． ∵抛物线开口向上， ∴， ∴A成立，不符合题意； B． ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C． ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D． 由图象知：当时，， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 27．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图象性质，抛物线的开口方向由二次项系数决定：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得， 故答案为：． 28．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为________ ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 【答案】①②③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将，代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为，， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 故答案为：①②③④． 地 城 考点04 待定系数法求二次函数解析式 29．（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质． 根据表中数据，得到函数的解析式，根据二次函数的性质逐项判断选项正误即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为；，该二次函数的对称轴为直线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；函数的最小值为； 故A，B，C错误；D正确． 故选：D． 30．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如表，根据表中的数据，下列判断中不正确的是（   ） … 0 1 2 3 … … 0 … A．函数图象开口向上 B．对称轴是直线 C． D． 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据表格数据代入点求解析式，再逐一判断选项即可． 【详解】解：由表格知：点在函数上，代入得： ， 解得：， ∴， 判断选项： A.∵，∴开口向上，正确； B.对称轴为直线，正确； C.∵，，∴，∴原结论不正确； D. ，， ∵，∴，正确； 故选C． 31．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知一个二次函数的图像最低点坐标为，那么该二次函数的解析式可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式；根据二次函数顶点坐标公式，结合最低点条件，确定解析式形式，进而即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图像最低点坐标为，可知顶点为，且抛物线开口向上，即． 设二次函数解析式为，其中为顶点坐标， 代入，得． 取，得． 故答案为． 32．（2025·上海黄浦·二模）定义：抛物线上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的倍后得到新的抛物线，叫的“倍衍生抛物线”．例如：求抛物线的“5倍衍生抛物线”．设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为点，因为点在抛物线上，所以，整理得到，即抛物线的表达式为．参考上述方法，抛物线的“倍衍生抛物线”的表达式为_______________． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为，从而，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为， ∴， ∴， 故答案为：， 33．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键．根据抛物线在轴右侧的部分是下降的，确定其开口方向和对称轴所在位置，然后根据经过的点的坐标确定解析式即可． 【详解】解：抛物线在轴右侧的部分是下降的， 抛物线开口向下，且对称轴为轴或在轴的左侧， 设抛物线的解析式可以为， 抛物线经过， 抛物线的解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 34．（2026·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点和． (1)求此抛物线的表达式； (2)指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是本题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可求得． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和 ∴把和代入解析式得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． 35．（25-26九年级上·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征及平移规律． （1）直接将点、代入，解得b、c的值即可求得表达式； （2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到x轴上即可． 【详解】（1）解：将点、代入， 得解得 抛物线的表达式． （2）解：， 该抛物线的顶点为． 要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上， 顶点纵坐标应为0． 将该抛物线向上平移5个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 的值是5． 36．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 【答案】(1) (2)向右平移个单位，再向上平移个单位 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及平移规则是解题的关键： （1）待定系数法求函数解析式，即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，进行判断即可． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的顶点移动到点，，； 故平移的方法是先向右平移个单位，再向上平移个单位． 37．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）数学课上老师给同学们出示了一条抛物线，甲、乙、丙三位同学分别用一句话描述了它： 甲：这条抛物线的对称轴是直线； 乙：将这条抛物线向下平移2个单位，会经过原点； 丙：这条抛物线在对称轴的右侧部分是下降的； (1)如果这三位同学关于这条抛物线的描述都是正确的，请你写出一个同时满足这些描述的抛物线的表达式，并求出此时它的顶点坐标； (2)请你根据老师给出的这条抛物线，再写出一个正确结论．（与三位同学的描述不一样） 【答案】(1) 抛物线的表达式为 ，顶点坐标为 （答案不唯一） (2) 抛物线经过点 （答案不唯一） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键； （1）利用待定系数法按照甲乙的描述确定好三者的关系，然后根据丙同学描述可取，进而可求解； （2）求出与轴的交点，然后利用对称性可得到抛物线经过点． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为 甲描述：对称轴为直线 ，即 ，整理得 乙描述：向下平移2个单位后表达式为 ，经过原点 代入得 ，即 ，解得 丙描述：对称轴右侧部分下降，即抛物线开口向下，所以 取 ，则 ， 抛物线表达式为 ， ∵对称轴为 ， ∴代入得 ， ∴顶点为 ． （2）解：当时，， ∴二次函数与轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴点 关于 的对称点为 ， ∴抛物线经过点． 38．（2026·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)点为抛物线上的动点，过点作直线． ①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值； ②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，连接，当抛物线的顶点在内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，求二次函数的解析式，二次函数与几何综合，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由对称轴可得，进而再将代入求出值即可求出抛物线解析式，进而求出顶点坐标； （2）①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小，点即为最高点，据此求解即可； ②分两种情况或分类讨论，每种情况下当点在线段和上时为临界点，据此求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， ； （2）解：①由题可知， 当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小， 点即为最高点， 此时， 解得， 在对称轴右侧，即， ； ②当，如图， 找出临界值，点在上时， 由题可知， ， 解得或（舍去）， ； 点B在线段上时， 由题意， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得 ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： （舍去），， 综上 当点在点左侧时，即，如图， 同理可得； 点B在线段上时， 由题意， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得 ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： （舍去）， ∴ 综上，或． 地 城 考点05 二次函数的对称、平移与最值 39．（2025·上海松江·一模）已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数图象的性质判定函数值的大小，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式确定图象开口向上，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越大，再确定两点与对称轴的距离，由此即可求解． 【详解】解：抛物线中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴离对称轴直线越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C ． 40．（2026·上海闵行·一模）如图，已知抛物线与轴交于两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点．若直线与这条抛物线交于点，则这个点的横坐标之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数自变量函数值的计算，根据抛物线，得对称轴为直线，设和的横坐标分别为，，所以，则，即与的横坐标和为，同理与的横坐标和为，与的横坐标和为，由此即可求解，掌握二次函数平移的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴交于两点， ∴对称轴为直线， 令，则， 解得：， ， ， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， ∵将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点； ， ∴将抛物线向右平移6个单位得到抛物线， ∴， ∴对称轴为直线， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， 同理，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，交轴于点， ∴， ∴对称轴为直线， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， ∴这个点的横坐标之和， 故选： ． 41．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为0；④图像不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线与系数的关系，顶点坐标，对称轴，对称性，增减性，是解题的关键 根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；根据图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的．判断⑤． 【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上， 故①错误； 抛物线的对称轴是直线， 故②正确； 当或时， ， 故m的值为0， 故③正确； ∵图象过原点，对称轴为直线， ∴图象不过第三象限， 故④正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升的． 故⑤不正确． ∴正确的有②③④． 故选：C． 42．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的关键． 根据表格，可知：该抛物线的对称轴是：直线，当时，随的增大而增大，从而可得到答案． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴该抛物线的对称轴是：直线，故D错误； ∵该抛物线的对称轴是：直线， ∴点和点是对称点，即点在抛物线上，故C正确； ∵由表格可知：当时，随的增大而增大， ∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A，B错误； 故选：C． 43．（2025·上海松江·二模）已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么__． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；先求出对称轴，再根据纵坐标相等的两点关于对称轴对称即可得解； 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线，， ， ． 故答案为：. 44．（2026·上海闵行·二模）已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 【答案】直线 【知识点】二次函数图象的平移、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】先根据抛物线上纵坐标相等的两点坐标求出原抛物线的对称轴，再根据抛物线平移规律得到平移后抛物线的对称轴． 【详解】∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴原抛物线的对称轴为：直线， ∵将抛物线向右平移个单位时，对称轴同步向右平移个单位， ∴平移后抛物线的对称轴为直线 ． 45．（2025·上海嘉定·一模）已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查求二次函数的对称轴，由题意得，点和是对称点，根据二次函数对称的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，点和关于对称轴对称， ∴二次函数图像的对称轴为直线， 故答案为：． 46．（2025·上海奉贤·一模）二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为____________． 【答案】/0.6 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】根据得抛物线的对称轴为直线，，抛物线变形为，把代入得；把代入，得到，解答即可． 本题考查了抛物线的对称轴的意义，图象于点的关系，对称点坐标与对称轴的关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是抛物线图象上的点， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴抛物线变形为， 把代入得； 把代入，得， ∴． 故答案为：． 47．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 【答案】(1) (2)直线； (3) 由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称，且当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴函数图象上的点离对称轴越近，其函数值越大， ，， ∵， ∴点比点更接近对称轴， ∴． 【知识点】根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据表格容易判断出这个二次函数的对称轴与增减性，逐个判断即可； （2）根据表格判断出这个二次函数的对称轴与增减性，从而判断出的取值范围； （3）结合二次函数的对称轴和增减性，判断和的大小即可． 【详解】（1）解：由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称， 点关于对称轴直线的对称点为为， 因此对应的y值应为而非5； 故答案为：． （2）解：由表格中的坐标可知，函数图象的对称轴为直线，且开口向下；当时，的取值范围为； 故答案为：直线；． （3）略 48．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知抛物线解析式． (1)如果这条抛物线经过点，求的值，并用配方法将该解析式化为的形式； (2)如果这条抛物线经过两点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）将点代入，求得，进而得出解析式，并化为顶点式，即可求解； （2）根据二次函数图象的对称性求得对称轴为直线，进而求得，将代入解析式，即可得出的值． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴ 解得：， ∴解析式为 （2）解：∵抛物线经过两点，且， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线为，对称轴为直线 ∴， ∴ ∴抛物线解析式为， 当时， 49．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)的取值范围为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】（1）①根据，，可得对称轴为直线，求出的值，再根据抛物线经过点，求出，从而得出抛物线解析式； ②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把代入解析式即可求出的值； （2）根据题意分对称轴在轴左侧和右侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，，，，且，， ，两点关于抛物线的对称轴对称，， ∴对称轴为直线， 根据对称轴公式可知：， ， ∴， 把代入得：， 解得， ∴该抛物线的表达式为； ②∵， ∴把抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线解析式为，即， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：当时，抛物线过点，且、、中有且仅有一个值小于0， ∴把代入二次函数解析式得：， ∴， ∴二次函数解析式， 当抛物线对称轴在轴左侧时，即，且经过点，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：， ∵， ∴由图象可知：只有当时，成立， ∴， 解得：， 当抛物线对称轴在轴右侧时，即，且经过，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：只有满足题意， ∴， 解得：； 当时，则对称轴为轴，且图象经过点，所以二次函数与轴的另一个交点坐标为，根据二次函数的性质可知：、、的值都大于0，故不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $