第二章 有理数 专题2.3 数轴中的规律类问题 2026-2027学年七年级数学苏科版上册

专题2.3 数轴中的规律问题 【新教材苏科版】 【知识讲解】 1 【题型1 数列中的折叠问题】 1 【题型2 数列中的规律循环类】 3 【题型3 数轴中数的变化规律】 4 【题型4 数轴中左右跳跃型规律】 5 【举一反三】 6 【知识讲解】 运动规律性：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 代数表达：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 分类讨论：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 【题型1 数列中的折叠问题】 【例1】小超在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为在B的左侧，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【变式1-2】已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．    (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示_______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【变式1-3】根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    (1)请你根据图中A、B（在，的正中间）两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：_________； B：_________； (2)在数轴上与点A的距离为3的点表示的数是__________； (3)若经过折叠，A点与表示的点重合，则B点与数________表示的点重合； (4)若数轴上M、N两点之间的距离为9（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：________； N：________． 【变式1-4】根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：_________  ：_________； (2)观察数轴，与原点距离为的点表示的数是_________； (3)若将该数轴中标有刻度的部分折叠，使得点与表示的点重合，回答以下问题： ①点与数_________表示的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示的数是_________，点表示的数是_________． 【变式1-5】如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． （1）折叠纸条使数轴上表示﹣1的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是____ ；如果数轴上两点之间的距离为10，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ___； （2）如图2，点A、B表示的数分别是﹣2、4，数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B距离的3倍，那么点C表示的数是_____ ； （3）如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 【题型2 数列中的规律循环类】 【例2】等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和，若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2018次后，点B为（    ） A．不对应任何数 B．对应的数是2016 C．对应的数是2017 D．对应的数是2018 【变式2-1】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2，则翻转2020次后，数轴上数2021所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2-2】正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2016次后，数轴上数2016所对应的点是 ． 【变式2-3】等边ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若ABC绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2020次后，点B对应的数是______ ． 【题型3 数轴中数的变化规律】 【例3】在数轴上有一个动点从原点出发，每次向正方向或负方向移2个单位长度，经过4次移动后，动点落在表示数4的点上，则动点的不同运动方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式3-1】如图，数轴上点、表示的数分别是、，．为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【变式3-2】如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm）则木棒MN长为 cm． 【变式3-3】如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题： (1)如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是_____，A，B两点间的距离是_________； (2)如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是_______，A，B两点间的距离为___________； (3)如果点A表示数，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动_______个单位长度，那么终点B表示的数是_______，A、B两点间的距离是8； (4)如果A点表示的数为4，动点Р从A点出发沿着数轴移动，向右每次只允许移动1个单位长度，向左每次只允许移动3个单位长度，经过6次移动，终点B与A两点间的距离为2，则动点P的移动方法有多少种？ 【题型4 数轴中左右跳跃型规律】 【例4】在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度… （1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置； （2）求出7秒钟后动点Q所处的位置； （3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由． 【例4-1】如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 【例4-2】一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，若表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，则 ； ； ． 【例4-3】一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为，点表示的数为1；第二次从点起跳，落点为的中点；第三次从点起跳，落点为的中点；如此跳跃下去…最后落点为的中点，则点表示的数为 ． 【变式4-4】在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【变式4-5】如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 【举一反三】 1、如图，点表示的数分别是，点在0 和1 对应的两点(不包括这两点)之间移动，点在和对应的两点之间移动，下列四个代数式可能比2023大的是（    ）    A． B． C． D． 2、小明同学将铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（　　） A． B． C． D． 3、如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上-2025的点是点（    ） A． B． C． D． 4、小华在纸上画了一条数轴后，折叠纸使数轴上表示1的点与表示－3的点重合，若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经上述折叠后重合，则点表示的数为（    ） A．－1010 B．－1011 C．－1012 D．－1013 5、数轴上点A表示，从A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的正数是 ． 6、正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 7、在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，7，点C在线段上，沿点C将数轴向右折叠，使点A落在点B的左侧点处，且，则点C表示的数是 ． 8、根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    (1)请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：__________，B：__________； (2)若经过折叠，A点与表示的点重合，则B点与数__________表示的点重合； (3)若数轴上M、N两点之间的距离为15（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中的折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：__________，N：__________； (4)若数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中的折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：__________，N：__________． 9、根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：_________  ：_________； (2)观察数轴，与原点距离为的点表示的数是_________； (3)若将该数轴中标有刻度的部分折叠，使得点与表示的点重合，回答以下问题： ①点与数_________表示的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示的数是_________，点表示的数是_________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 数轴中的规律问题 【新教材苏科版】 【知识讲解】 1 【题型1 数列中的折叠问题】 1 【题型2 数列中的规律循环类】 6 【题型3 数轴中数的变化规律】 9 【题型4 数轴中左右跳跃型规律】 12 【举一反三】 16 【知识讲解】 运动规律性：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 代数表达：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 分类讨论：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 【题型1 数列中的折叠问题】 【例1】小超在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为在B的左侧，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，以对应的点对折，根据数轴上点的位置判断即可得到结果． 【详解】解：根据折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，得到以对应的点对折， ∵数轴上A、B两点之间的距离为6（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴A表示的数为，B表示的数为2． 故选：A． 【变式1-1】已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数． 【详解】解：依题意得：两数是关于和8的中点对称，即关于对称， 、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经以上方法折叠后重合，则、关于所表示的点对称， ． 故答案为：． 【变式1-2】已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．    (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示 的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到折痕是解决问题的关键． （1）根据对称的知识，若表示的点与1表示的点重合，则折痕是原点，从而找到3的对称点； （2）由表示1的点与表示的点重合，可确定折痕是表示的点，则： ①表示0的点与表示的点重合； ②由题意可得、两点距离折痕的距离为4，据此求解． 【详解】（1）解：表示的点与1表示的点重合， 折痕在原点处， 表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：①表示1的点与表示的点重合， 折痕在处， 表示0的点与表示的点重合， 故答案为：； ②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧）， 则点表示的数是， 点表示的数是． 所以、两点表示的数分别是，2． 【变式1-3】根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    (1)请你根据图中A、B（在，的正中间）两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：_________； B：_________； (2)在数轴上与点A的距离为3的点表示的数是__________； (3)若经过折叠，A点与表示的点重合，则B点与数________表示的点重合； (4)若数轴上M、N两点之间的距离为9（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：________； N：________． 【答案】(1)1， (2)或4 (3) (4)，3 【分析】（1）根据数轴上两点的位置求解即可； （2）在点A的左右两边找到与点A的距离为3的点即可求解； （3）找到对称点为，进而可求解； （4）根据对称性质求解即可． 【详解】（1）解：由数轴知，点A表示的数为1，点B表示的数为， 故答案为：1，； （2）解：由数轴知，与点A的距离为3的点表示的数为或， 故答案为：或4； （3）解：根据题意，对称点为， ∴点B与数表示的点重合， 故答案为：； （4）解：由（3）知对称点为， ∵数轴上M、N两点之间的距离为9（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后重合， ∴M、N两点表示的数分别是，， 故答案为：，3． 【变式1-4】根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：_________  ：_________； (2)观察数轴，与原点距离为的点表示的数是_________； (3)若将该数轴中标有刻度的部分折叠，使得点与表示的点重合，回答以下问题： ①点与数_________表示的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示的数是_________，点表示的数是_________． 【答案】(1)， (2) (3)①2；②， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上的两点距离计算： （1）根据数轴上点的位置即可得到答案； （2）根据数轴上两点距离计算公式即可得到答案； （3）①根据数轴上两点的距离计算公式求出折叠中心，进而B点到折叠中心的距离即可得到答案；②求出C点和D点到折叠中心的距离都为1012，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示数，点表示数， 故答案为：，； （2）解：根据数轴可知：与原点距离为的点表示的数为， 故答案为：； （3）解：∵为折叠前A点表示的数为1，且折叠后A点与表示的点重合， ∴折叠中心为， ∵B点表示的数为， ∴B点与折叠中心的距离为， ∴折叠后点与数表示的点重合， 故答案为：2； ②∵数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合， ∴C点和D点到折叠中心的距离都为， ∴点表示是数为：，点表示的数为：， 故答案为：，． 【变式1-5】如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． （1）折叠纸条使数轴上表示﹣1的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上两点之间的距离为10，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ； （2）如图2，点A、B表示的数分别是﹣2、4，数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B距离的3倍，那么点C表示的数是 ； （3）如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 【答案】（1）2，；（2）2.5或7；（3）． 【分析】（1）设折痕与数轴的交点表示的数为，根据折痕与数轴的交点是−1与5对应点的中点可得方程，解方程即可求得答案；按照（1）的折叠方式，中点为2，两点之间的距离为10，则左边数到中点的距离为5个单位，可得方程，解方程即可求得答案； （2）要分点C在A、B之间和B点右侧两种情况； （3）A、B两点之间距离为，连续对折5次后，共有段，每两条相邻折痕间的距离为，则最右端的折痕与数轴的交点为，即可解得答案． 【详解】解：（1）设折痕与数轴的交点表示的数为，则，解得， 故答案为：2； 设左边点表示的数为，则，解得， 故答案为：； （2）设点C表示的数为， ∵， ∴点C离点B较近，只有两种情况： ①点C在线段AB上时，，解得：； ②当点C在点B的右边数轴上时，，解得：． 故答案为：2.5或7． （3）对折5次后，每两条相邻折痕间的距离， ∴最右端的折痕与数轴的交点表示的数为． 【题型2 数列中的规律循环类】 【例2】等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和，若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2018次后，点B为（    ） A．不对应任何数 B．对应的数是2016 C．对应的数是2017 D．对应的数是2018 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，解题的关键是找到其中的变化规律；结合数轴根据翻折的次数，发现点B所对应的数字变化规律是第1次和第2次对应的数字都是1，第4次和第5次对应的数字都是4，第7次和第8次对应的数字都是7，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由数轴及翻转可知：点B所对应的数字变化规律是第1次和第2次对应的数字都是1，第4次和第5次对应的数字都是4，第7次和第8次对应的数字都是7，……；所以是每3次翻转为一个循环， ∵， ∴翻转2018次后点B在数轴上，即点B对应的数是； 故选C． 【变式2-1】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2，则翻转2020次后，数轴上数2021所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】根据在翻转过程中落在数轴上的点四次一循环的规律，可以推算出此题结果． 【详解】解：在翻转过程中，1对应的数是A，2对应的数是B，3对应的数是C，4对应的数是D，…依次4次一循环的出现， ∵， ∴2021所对应的点是A， 故选：A． 【变式2-2】正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2016次后，数轴上数2016所对应的点是 ． 【答案】D 【分析】正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定2016所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次，第一次翻转A对应1，第二次翻转B对应2，第三次翻转C对应3，第四次D对应4，… 四次一个循环， ， 2016所对应的点是D． 故答案为：D． 【变式2-3】等边ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若ABC绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2020次后，点B对应的数是 ． 【答案】2020 【分析】先确定AB＝AC＝BC＝1，翻转1次后，点B所对应的数为1；翻转4次后，点B所对应的数为1+3×1；翻转7次后，点B所对应的数为1+3×2，由于2020＝1+673×3，从而可判断△ABC连续翻转2020次后，点B对应的数为1+673×3． 【详解】解：∵点A、C对应的数分别为0和﹣1， ∴AC＝1， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝1， ∵△ABC绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，翻转3次后，点B所对应的数为3，翻转4次后，点B所对应的数为1+3×1；翻转7次后，点B所对应的数为1+3×2， 而2020＝1+673×3， ∴△ABC连续翻转2020次后，点B对应的数为1+673×3＝2020． 故答案为2020． 【题型3 数轴中数的变化规律】 【例3】在数轴上有一个动点从原点出发，每次向正方向或负方向移2个单位长度，经过4次移动后，动点落在表示数4的点上，则动点的不同运动方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】根据数轴的特点找出几种不同的路线即可．本题考查的是数轴，熟知有理数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键． 【详解】解：动点的运动方案有： ； ； ； ；共4种． 故选：C 【变式3-1】如图，数轴上点、表示的数分别是、，．为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据的值始终保持不变可知点M在点A和点B之间，然后根据即可求出的值． 【详解】解：∵的值始终保持不变， ∴点M在点A和点B之间， ∵，， ∴． 故选：C． 【变式3-2】如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm）则木棒MN长为 cm． 【答案】5 【分析】由数轴观察知三根木棒长是20-5＝15(cm)，则此木棒长为5cm． 【详解】解：由数轴观察知三根木棒长是20-5＝15(cm)，则此木棒长为15÷3＝5(cm)， 故答案为：5． 【变式3-3】如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题： (1)如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是_____，A，B两点间的距离是_________； (2)如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是_______，A，B两点间的距离为___________； (3)如果点A表示数，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动_______个单位长度，那么终点B表示的数是_______，A、B两点间的距离是8； (4)如果A点表示的数为4，动点Р从A点出发沿着数轴移动，向右每次只允许移动1个单位长度，向左每次只允许移动3个单位长度，经过6次移动，终点B与A两点间的距离为2，则动点P的移动方法有多少种？ 【答案】(1)4，7 (2)1，2 (3)24，或8，4 (4)21种 ． 【分析】本题考查数轴上点的移动和两点间的距离，解题的关键是掌握点的移动方法和距离的计算方法． （1）根据数轴上的点右移加，左移减，求出终点B表示的数，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据数轴上的点右移加，左移减，求出终点B表示的数，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （3）根据数轴上的点右移加，左移减，求出终点B表示的数，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （4）由题意得终点B表示的数为：6或2，再分别求得向右或向左各自移动的次数，即可求得动点P的移动方法的多少种． 【详解】（1）解：表示的数为：； A，B两点间的距离为：； 故答案为：4，7； （2）解：表示的数为：； A，B两点间的距离为：； 故答案为：1，2； （3）解：∵点A表示数，A、B两点间的距离是8， 当点B在A左侧时，表示的数为：； 将A点向右移动16个单位长度，表示的数为， 再向左移动个单位长度，表示的数为； 当点B在A右侧时，表示的数为：； 将A点向右移动16个单位长度，表示的数为， 再向左移动个单位长度，表示的数为4； 故答案为：24，或8，4； （4）解：∵A点表示的数为4，终点B与A两点间的距离为2， ∴终点B表示的数为：6或2， 当终点B表示的数为6时， 设向右移动次，则向左移动次， 由题意得， 解得， 即A点向右移动5次，则向左移动1次，得到终点B， 若移动规律为右左右右右右或右右左右右右共有5种， 若移动规律为左右右右右右共有1种， 当终点B表示的数为2时， 设向右移动次，则向左移动次， 由题意得， 解得， 即A点向右移动4次，则向左移动2次，得到终点B， 若移动规律为右左右左右右或右左右右左右或右左右右右左， 右右左右左右或右右左右右左， 或右右右左右左或右右右右左左， 或右左左右右右或右右左左右右或右右右左左右， 若移动规律为左右左右右右或左右右左右右或左右右右左右或左右右右右左， 左左右右右右， 综上，动点P共有21种移动方法． 【题型4 数轴中左右跳跃型规律】 【例4】在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度… （1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置； （2）求出7秒钟后动点Q所处的位置； （3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】（1）-2 ；（2）4 ；（3）1140秒或1164秒． 【详解】解：（1）∵4×2.5=10，∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，Q处于：1-2+3-4=4-6=-2； （2）∵4×7=28，∴点Q走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，Q处于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4； （3）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则，解得n=95， ∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95=1+2+3+…+95==4560， ∴时间=4560÷4=1140(秒)； ②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则=48，解得n=96， ∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|=1+2+3+…+96==4656， ∴时间=4656÷4=1164(秒) ． 【例4-1】如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 【答案】 【详解】解：第个秒，即第一次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为，， ∵，而， 即第次秒后先向左移动秒，再向右移动秒，此时这个点所对应的数为， ∴运动到第秒时所对应的数为，故答案为：． 【例4-2】一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，若表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，则 ； ； ． 【答案】 1 6 406 【详解】解：根据题意，，，，，， 由“每前进3步后退2步”可知这5秒组成一个循环结构，前进1个单位长度，所以，， 因为，所以，．故答案为：1，6，406． 【例4-3】一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为，点表示的数为1；第二次从点起跳，落点为的中点；第三次从点起跳，落点为的中点；如此跳跃下去…最后落点为的中点，则点表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：第一次落点为处，点表示的数为1； 第二次落点为的中点，点表示的数为； 第三次落点为的中点，点表示的数为；… 则点表示的数为，即点表示的数为；故答案为：． 【变式4-4】在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 【变式4-5】如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 【答案】 7 13 【分析】此题考查规律型：数字变化类，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键． 序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到表示的数为，表示的数为，则可判断点与原点的距离不小于20时，n的最小值是． 【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数，； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为； …； 则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是． 故答案为：7；13． 【举一反三】 1、如图，点表示的数分别是，点在0 和1 对应的两点(不包括这两点)之间移动，点在和对应的两点之间移动，下列四个代数式可能比2023大的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数大小比较及数轴的知识，根据数轴得出，，，即可判断A、B，求出，即可判断C；求出即可判断D；根据数轴得出的范围是解此题的关键． 【详解】解：A、由数轴得，故，故本选项错误，不符合题意； B、， ， ，故本选项错误，不符合题意； C、，， ，， 的值可能比2023大，故本选项正确，符合题意； D、，， ， ，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2、小明同学将铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了规律型∶数字的变化类，数轴和有理数的加减法，理解正负数的意义是解答此题的关键．按照题意规定正负，运用有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故选：D． 3、如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上-2025的点是点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索，由于圆的周长为个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合． 【详解】解：由图形可知，每滚动一周，向数轴负方向前进6个单位长度，在第一次滚动过程中，点对应的数是0，点对应的数为1，点对应的数为，点对应的数据为，点对应的数为，点对应的数为，……， 以此类推，从数字1开始向左数，A、B、C、D、E、F与数轴上的整点依次对应，且A、B、C、D、E、F循环出现， ∵在数轴上到1的距离为，， ∴数轴上的点与对应的点相同，即点． 故选D． 4、小华在纸上画了一条数轴后，折叠纸使数轴上表示1的点与表示－3的点重合，若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经上述折叠后重合，则点表示的数为（    ） A．－1010 B．－1011 C．－1012 D．－1013 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的特点、有理数的四则混合运算等知识，根据题意得到A、B两点之间的距离为2024且折叠后重合，则A、B关于对称，又A在B的左侧，则A点坐标为：，即可得到答案． 【详解】解：依题意得：两数是关于1和的中点对称， 即关于对称； ∵A、B两点之间的距离为2024且折叠后重合，则A、B关于对称，又A在B的左侧， ∴A点坐标为：， 故选：D． 5、数轴上点A表示，从A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的正数是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，要考虑两种情况，熟练掌握有理数的加减法是解题的关键．点B可以在A的左边或右边，即或． 【详解】解：当B点在A的左边，则B表示的数为：； 若B点在A的右边，则B表示的数为， ∵点B表示的正数， ∴点B表示的数为2． 故答案为：2． 6、正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 【答案】C 【分析】正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定2023所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次，第一次翻转A对应1，第二次翻转B对应2，第三次翻转C对应3，第四次D对应4，… 四次一个循环， ， 2023所对应的点是C． 故答案为：C． 7、在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，7，点C在线段上，沿点C将数轴向右折叠，使点A落在点B的左侧点处，且，则点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴，解一元一次方程．设点表示的数是，利用，列出方程解答即可． 【详解】解：设点表示的数是， 则，， ∵， 即， 解得：， 点表示的数是． 故答案为：． 8、根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    (1)请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：__________，B：__________； (2)若经过折叠，A点与表示的点重合，则B点与数__________表示的点重合； (3)若数轴上M、N两点之间的距离为15（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中的折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：__________，N：__________； (4)若数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中的折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：__________，N：__________． 【答案】(1)1； (2)0 (3)； (4)；1010 【分析】本题考查了数轴，数轴上两点间距离，解答此题的关键是利用了数轴上两点间的距离． （1）观察数轴得出答案即可； （2）根据点A与表示的点重合可得对折点为，继而可得点B关于对称的点； （3）数轴上M、N两点之间的距离为15，对折点为，结合M在N的左侧，分别求出M、N两点表示的数即可； （4）根据解析（3）的方法，求出M、N两点表示的数即可． 【详解】（1）解：由数轴可知点A表示数1，点B表示数； （2）解：∵经过折叠，A点与表示的点重合， ∴对称中心为， ∴与点B与重合的数为， （3）解：∵数轴上M、N两点之间的距离为15，且M、N两点经过（2）中的折叠后重合， ∴M、N两点关于对称， ∵M在N的左侧， ∴点M表示的数为：， 点N表示的数为：； （4）解：∵数轴上M、N两点之间的距离为2024，且M、N两点经过（2）中的折叠后重合， ∴M、N两点关于对称， ∵点M在点N的左侧时，点M表示的数为：， 点N表示的数为：． 9、根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：_________  ：_________； (2)观察数轴，与原点距离为的点表示的数是_________； (3)若将该数轴中标有刻度的部分折叠，使得点与表示的点重合，回答以下问题： ①点与数_________表示的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示的数是_________，点表示的数是_________． 【答案】(1)， (2) (3)①2；②， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上的两点距离计算： （1）根据数轴上点的位置即可得到答案； （2）根据数轴上两点距离计算公式即可得到答案； （3）①根据数轴上两点的距离计算公式求出折叠中心，进而B点到折叠中心的距离即可得到答案；②求出C点和D点到折叠中心的距离都为1012，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示数，点表示数， 故答案为：，； （2）解：根据数轴可知：与原点距离为的点表示的数为， 故答案为：； （3）解：∵为折叠前A点表示的数为1，且折叠后A点与表示的点重合， ∴折叠中心为， ∵B点表示的数为， ∴B点与折叠中心的距离为， ∴折叠后点与数表示的点重合， 故答案为：2； ②∵数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合， ∴C点和D点到折叠中心的距离都为， ∴点表示是数为：，点表示的数为：， 故答案为：，． 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