专题05 有理数运算中的新定义型及规律探究问题有关的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算的五种创新模型，通过程序、古代数学、实际应用、新定义、规律探究题型，系统培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |程序问题|5题|含流程图、数值转换等，需理解算法逻辑|以有理数四则运算为基础，构建输入输出的数学模型| |古代数学问题|5题|结合《九章算术》、算筹、幻方等历史情境|从传统数学文化中抽象运算规则，强化数学文化理解| |实际应用问题|5题|涉及行程、销售、股票等生活场景|将实际问题转化为有理数运算，培养模型意识| |新定义问题|5题|自定义运算规则（如“*”“圈n次方”）|通过符号理解新运算本质，提升数学语言表达能力| |规律探究问题|5题|观察等式找运算规律，需归纳推理|从特殊到一般，发展推理意识与创新思维|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05有理数运算中的新定义型及规律探究问题有关的五种模型 题型归纳 题型一有理数运算中的程序问题 题型二古代中的有理数运算问题 题型三有理数运算的实际应用问题 题型四有理数运算中的新定义型问题 题型五有理数运算中的规律探究问题 题型专练 题型一：有理数运算中的程序问题 1.1 2.29 1 3.20.5 4.9或20 7或16 5. 【答案】(1)①7：②206 (2)a=-4或a=-8 【详解】(1)解：①[(-3)×2-(-5)]+6 =(-6+5)2+6 =(-1)2+6 =1+6 =7: ②[5-(-5)]×2+6 =(5+5)2×2+6 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =102×2+6 =100×2+6 =206: (2)解：由题意知，(a+6)}×2-(-5)=13, .(a+6)'×2=8, .(a+6}=4, .a+6=2或a+6=-2, ∴.a=-4或a=-8. 题型二：古代中的有理数运算问题 6.5+(-2)=3 7.-6023 8. 【答案】(1)13； (②(101001)2： (3)2494； (4)3751 【详解】(1)解：1×23+1×22+0×2+1×2°=8+4+0+1=13， :.(（11012=13: (2)解：(110110)2 =1×25+1×24+0×23+1×22+1×2+0×2° =32+16+0+1×4+1×2+0 =32+16+4+2 =54, (（1101)2 =1×23+1×22+0×2+1×2° =8+4+1 =13, :(110110）2-(11012； 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =54-13 =41, 如下图所示， 241 ----1 220--0 210--0 25-1 22--0 1 (41)。=(1010012, :.(110110）2-(1101)2=(101001)2: (3)解：1×64+5×63+3×62+1×6+4×6 =1296+1080+108+6+4 =2494 答：书生努力学习的天数为2494天： (4)解：如下图所示， 82025-1 8253-5 831---7 3 ∴(2025)。=(3751)8 9. 【答案】(1)1；-1；5 (2)①m的值为2： ②填方格如图： 0 10 -4 -2 2 6 8 -6 【详解】(1)~斜对角线上的三个数字之和为6+3+0=9， 该方格的“幻和”为9， ∴a=9-6-2=1,b=9-6-4=-1,c=9-4-0=5, 故答案为：1，-1,5： 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 每行数字之和为9，共3行， 图1中所有数字之和为9×3=27， ∴图1中所有数的和为其“幻和”的3倍： (2)①m=)-6-4-2+0+2+4+6+8+10=2, ∴.中间数m的值为2； ②由①可知，平均每个方格的值为2， 则3个方格之和为6， 幻和为6 10. 【答案】(1)6 (2)1046 【详解】(1)解：纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等， ∴最左边的一列三个数字和为4+3+8=15， 右下角代表的数是15-2-7=6： (2)解：八进制数3745换算成十进制数是3×8+7×82+4×8+5×8°=2021， 八进制2026换算成十进制数是2×8°+0×82+2×8+6×8°=1046， 题型三：有理数运算的实际应用问题 11. 【答案】(1)第五次 (2)收工时在A地正东方向，距A地km (3)共耗油12.3升 【详解】(1)解：第-次记录时：4=4(km), 第二次记录时：4+7=3=3(km), 第三次记录时：3-9=6=6(km）, 第四次记录时：6+8=2=2(km), 第五次记录时：2+6=8=8(km), 第六次记录时：8-5=3=3(km), 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第七次记录时：3-2=川=1(km), 由此可知，在第五次记录时距A地最远， (2)解：（-4)+(+7)+(-9)+(+8)+(+6)+(-5)+(-2) =-4+7-9+8+6-5-2 =1(km), ,规定向东行驶为正， ∴.收工时在A地正东方向，距A地lkm (3)解：(-4++7+9++8++6+-5+-2)x0.3 =(4+7+9+8+6+5+2)×0.3 =41×0.3 =12.3(升)， 答：共耗油12.3升. 12. 【答案】(1)162次 (2)总积分为56分 【详解】(1)解：[-14+(+15)+(+6)+0+(+10)+(+9)+(-8)+(-2)]÷8 =16÷8 =2(次). 160+2=162(次). 答：七年级9班参赛学生平均每人1分钟跳绳162次. (2)解：方法1： (+15)×2+(+6)×2+0+(+10)×2+(+9)×2+(-14)×1+(-8)×1+(-2)×1 =30+12+20+18-14-8-2 =56(分)· 方法2：(+15+6+10+9)×2+(-14-8-2)×1=40×2-24=80-24=56（分）. 答：七年级9班此次团体跳绳比赛的总积分为56分. 13. 【答案】(1)33 (2)34,24 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)盈利了845.5元. 【详解】(1)解：星期三收盘时，每股是25+4+5-1=33（元）； (2)解：周二每股最高：25+4+5=34（元）： 周五每股最低：25+4+5-1-3-6=24（元）： (3)解：34-1-3-6+2=26（元）， 1000×26=26000(元)， 1000×25=25000(元)， 26000-25000-25000×1.5%0-26000×(1.5%0+3%0) =1000-37.5-117. =845.5(元)： 所以小强爸爸盈利了845.5元. 14. 【答案】(1) A地在学校的东边，距离学校2千米 (2) 巡逻车平均每千米耗油0.96升 【详解】(1)解：+7+(-6)+(-5)+(-2)+(+8)=15-13=2， 所以A地在学校的东边，距离学校2千米： (2)解：+7+6+5+-2=7+6+5+2=20. 则(27-7.8)÷20=0.96 所以巡逻车平均每千米耗油0.96升。 15. 【答案】(1)四，1026 (2)826元 (3)饭堂更希望方案一卖出 【详解】(1)解：由表格数据可知，最小销售量对应的是第四周， 销售量最高的是第一周，实际销售量为200+28=228（块） 销售额为228×4.5=1026（元）： (2)解：计算每周实际销售量第一周：200+28=228（块） 第二周：200+16=216（块） 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三周：200-6=194（块） 第四周：200-12=188（块） 总销售量为228+216+194+188=826（块） 每块面包的盈利为4.5-3.5=1（元） 总盈利为826×1=826（元） 答：开学第一月的总盈利是826（元） (3)解：方案一：每块面包售价为6-0.3=5.7（元） 饭堂的利润为7×(5.7-3.5)=7×2.2=15.4（元） 方案二：3块面包的利润为3×(6-3.5)=3×2.5=7.5（元） 超过3块的数量为7-3=4（块） 这4块面包的售价为6×0.9=5.4（元） 这4块的利润为4×(5.4-3.5)=4×1.9=7.6（元） 总利润为7.5+7.6=15.1（元） 15.4>15.1 ∴，饭堂更希望方案一卖出 题型四：有理数运算中的新定义型问题 16. 【答案】(1)0 (2)5 【详解】(1)解：-3*5=(-3)}-52-(-3)×5+1 =9-25-（-15)+1 =9-25+15+1 =0 (2)解：（-1*3)*(-2) [（-2-32-（-)×3+1*(-2) =(1-9+3+1)*(-2) =(-4)*(-2) 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(-4)2-(-2)2-(4)x(-2)+1 =16-4-8+1 =5. 17. 【答案】(1)6 (2)480 【详解】(1)解：由题意得：（-2)※3 =(-2)}2×3+(-2)×3 =12+(-6) =6: (2)解：由题意得：(-5)※[(-4)※2] =(-5)※[(-4}x2+(-4)×2] =(-5)※(32-8) =(-5)※24 =(5)}'×24+(-5)×24 =600-120 =480 18. 【答案】(1)-1 (2)6 【详解】(1)解：（-2)85=(2)-5=4-5=-1； (2)解：因为08(-3)=0-(-3)=3， 所以(-3)8[08(-3)]=(-3)83=(-3)}2-3=9-3=6 19. 【答案】()(-2) (2)1 (3)33 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：（-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)=（-2)， 故答案为：(-2). (2)解：2023②=2023÷2023=1， 故答案为：1. （8)解：4(2P+=-16(》1=3, (4)解：原式 m。aag n-2个 故答案为： 20. 【答案1四24 (2)C 周.周 (43-2 161 (5)9 【详解】(1)解：2=2÷2÷2= 2 故答案为：2,4. (2解：=3+343=行，4=4444 16 曲于6 30≠40， 其它三个选项均正确， 所以选项C错误， 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：C. 解：°=(3)(--0=(3)=(3x3x3x(3（-周： 50=5÷5÷5÷5÷5÷5=5× 55^5^55 1.1.1.1.1.1.1.1.1.11 22222*222222×2x2x2x2x2×2×2×2x2=2: 故答案为： :周： (4)解：3的圈n(n≥3)次方=333 =1x3x3xx3=32, 故答案为：3”2； 解2( =144÷(-3)}-(-2)-(-3}2÷3 =144÷9+2-32÷3 =16+2-g =161 9 题型五：有理数运算中的规律探究问题 21. 99101 【答案】()100,100 1012 (22023 【球解1少解出中管几个式子内复种得：1上而一总调。 99101 故答案为： 100’100 (2)解：由题意， -) 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13242021202320222024 2022202220232023 12024 22023 1012 2023' 1012 故答案为： 2023· 22. 【o传动 50 2101 【1少解：由题意得室5个等式0行动) 1 11.1 (2)解：22-+4-+6-+8-+…+1002- [日-6店》-ga】 99101 50 101 23. 【答案】(1)(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53 (2)3025 (3)2800 【详解】(1)解：由题意，得：第五个式子为：(1+2+3+4+5)2=1+23+3+4+5。 (2)解：由题意，得(1+2+3+4+5+..+n)2=13+2+3+43+53+..+n3, 则13+23+33+43+…+10 =(（1+2+3+.+10)2 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =552=3025 (3)解：6+73+8+9+103=(+2+3+4+5++10）-(+2+33+4+5) =3025-(1+2+3+4+5) =3025-225 =2800 24. 【答案】(1) 7x9+1=82: (2) n(n+2)+1=(n+1} (3) 1125 1013· 【详解】(1)解：第①个式子1×3+1=22， 第②个式子2×4+1=32， 第③个式子3×5+1=42， 第④个式子4×6+1=52， 故答案为：7×9+1=82： 解0中可。个子为aa+21-[a+2习-a+. 故答案为：n(n+2)+1=(n+)': (3)解：由 1 9×11+110×12+111×13+1 2024×2026+1 X…X 9×1110×1211×13 2024×2026 102112.122 20252 X…X 9×1110×1211×132024×2026 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -10×10×Lx1Lx12×12×x2025×2025 X…X 91110121113 20242026 10.2025 X 92026 -1125 1013 25. 【答案】(1)49,72 (2)解：(n+2)+1=(n+),理由见解析： 01×3+1=4=22=(1+1)2, ②2×4+1=9=32=(1+2)}， ③3×5+1=16=42=(1+3}， ④4×6+1=25=52=(1+4)， .n(n+2)+1=(n+1)2. 4048 (3)2025 【详解】(1)解：6×8+1=49=7， 故答案为：49,72. (2)略 1×3+12×4+13×5+12023×2025+1 (3)解：原式=1×3× 2×4 3×5x…x 2023×2025 2232 42 20242 1x3×2x4×3x5 -X X…X 2023×2025 2×2×3×3×4×4×.×2024×2024 1×3×2×4×3×5×.×2023×2025 2×2024 1×2025 4048 2025· 13/13面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05有理数运算中的新定义型及规律探究问题有关的五种模型 题型归纳 题型一有理数运算中的程序问题 题型二古代中的有理数运算问题 题型三有理数运算的实际应用问题 题型四有理数运算中的新定义型问题 题型五有理数运算中的规律探究问题 题型专练 题型一：有理数运算中的程序问题 1.(2026陕西榆林·模拟预测)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”.如图所示的程序框图，当输入x的值是-1时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算 输出的结果是一2，…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是 x为负数 输入x 输出 x为非负数 -3 2. (25-26七年级上：陕西汉中·期末)在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是-2，则最终输出的 结果是 输入n的值 计算：2n+3 是 >15? 输出结果 否 (25-26七年级上山东滨州期末)有一个数值转换程序，其工作原理如下图所示： 否 输入x--12→(-2)0 输出 若输入的x值为1，则输出的结果为 4.(25-26九年级上四川成都期末)小明同学设计了一种运算程序：输入正整数m,则输出另一个正整 119 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数n·具体程序如下：①若m为偶数，则输出n=2:②若m为奇数，则输出n=m+小 对正整数m进行 一次输入和输出称为对m的一次变换，对第一次输出的再次输入和输出则称为对m的二次变换，依此类 推。例如，输入正整数m=6根据6是偶数，对6进行一次变换输出的数为3，将3再次输入，根据3 6 是奇数，对6进行二次变换后输出的数为3+1=4」 (1)若输入正整数m进行二次变换后输出的数为5，则满足条件的m的值为 (2)已知输入正整数k,若对k进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为32，则正整数k的值 为 5.(25-26六年级上山东淄博·期中)在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表 一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数， 其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品 下面我们用四个卡片代表四名同学： A:乘2 B:减-5 C:平方 D:加6 (1)列式，并计算： ①-3经过A,B,C,D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B,C,A,D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D,C,A,B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 题型二：古代中的有理数运算问题 6.(25-26七年级上·山西运城期中)我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家.在古代数学著作 《九章算术》里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1解释了算式“3+(4)=-1”的运算过程与 结果.按照这种方法，图2可以解释算式“ ”的运算过程与结果 98888 88 88 ●● 图1 图2 7.(2425七年级上山东青岛期中)名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算 筹”，在我国古代的数学名著《九章算术》和《孙子算经》中都有记载.“算筹”是古代用来进行计算的 工具之一，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，“算筹”的摆放有纵、横两种形式（如图①）· 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则图②中“算筹”表示的减法算式的运算结果为 1 2 4 5 6789 ‖ⅢIL MTT TT1 而纵式 三 瓜≡-⊥M⊥ 图① 图② 8.(25-26七年级上·湖北武汉·期中)不同进位制的数之间可以转换.例如：八进制数(365)%换算成十进 制数是3×82+6×8+5×8°=245」 (1)直接写出二进制数(1101)2换算成十进制数的结果； (2)计算(110110)2-(1101)2： (3)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，是一位书生在从 右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，记录了他准备科举考试的学习天数，直接写出该书生努力学习 的天数： (4)直接写出十进制数2025换算成八进制数的结果， 9.(24-25七年级上·全国单元复习)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方 一一九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和 叫作幻和。 0 -4 b 名 0 图1 图2 (1)图1是一个“幻方”，则a= b= (2)小明要将6,4，-2,0,2,4,6,8,10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发 现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数m是 上述9个数的平均数. 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求中心数m的值； ②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满 10.(25-26七年级上广东中山期中)新数学教材注重把古代数学经典问题古为今用. 洛书 0-00-0-0-0-0-0-0● ICmE-14 图2 图1 ()如图1是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上 的三个数字，其和都相等，请求出右下角代表的数。 (②)第十四届国际数学教育大会(CME-14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的 文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数 的数字系统，有0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是3×8+7×82+4×8+5×8°=2021， 表示ICME-14的举办年份.问：八进制2026换算成十进制是多少？（注：8°=1） 题型三：有理数运算的实际应用问题 11,(25-26七年级上山东德州期中)某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向 东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下. （单位：km)-4,+7,-9,+8,+6,-5,-2 (1)在第几次记录时距A地最远 (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 12.(25-26七年级上河南鹤壁·期末)为了增强学生身体素质，激发学生锻炼热情，某校七年级每个班选 派8名同学代表班级参加团体跳绳比赛，以1分钟跳160次作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分 记为负数.七年级9班参赛学生的1分钟跳绳次数记录如下（单位：次）： -14,+15,+6,0,+10,+9,-8,-2 (1)求七年级9班参赛学生平均每人1分钟跳绳的次数： (2)本次活动采取积分制，跳绳次数超过标准1次记“+2”分，跳绳次数不足标准1次记“-1”分，刚好 达到标准记“0”分.例如：1分钟跳162次记“+4”分，155次记“-5”分，计算七年级9班此次团体跳 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 绳比赛的总积分 13.(25-26六年级上·上海黄浦开学考试)小强的爸爸炒股，上周末买进股票1000股，每股25元，下表 为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 二 三 四 五 六 每股涨 +4 +5 -1 -3 -6 +2 跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价是多少元？最低价是多少元？ (3)小强爸爸买进股票时付了1.5%0的手续费，卖出时需付成交额1.5%的手续费和3%的交易税.如果小 强爸爸在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 14.(25-26七年级上陕西西安·阶段检测)为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学 校出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶 为负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 行驶情况 +7 -6 -5 -2 +8 (1)请你帮忙确定A地在学校的什么方向？距离学校多远？ (2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8升，请通过计算 说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？ 15.(25-26七年级上广东梅州期中)某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售 价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块 4.5元.从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的 记为负，这周的销售情况如表： 周次 二 三 四 销售量 28 16 -6 -12 (1)开学第一月中，最小销售量是第 周，销售量最高的那周销售额是 元 (2)开学第一月的总盈利是多少元？（盈利=销售额成本） (3)为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价0.3元： 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折， 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出？ 题型四：有理数运算中的新定义型问题 16.(25-26七年级上·吉林长春·期中)a,b为有理数，若规定一种新的运算“*”，定义 a*b=a2-b2-ab+1,请根据“*”的定义计算： (1)-3*5； (2)(-1*3)*(-2) 17.(25-26七年级上陕西咸阳期中)新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义 了一种新运算“※”，规定如下：对于任意有理数a,b,满足a※b=ab+ab. (①)求(-2)※3的值： (2)求（-5)※[(4)※2]. 18.(25-26七年级上江苏苏州阶段检测)定义新运算：a⑧b=a2-b,如3⑧(-2)=32-(-2)=9+2=11， 计算下列各式 (①)(-2)85， (2)(-3)®[0®(-3]. 19.(23-24七年级上广东广州期末)定义新运算：求若干个相同的有理数a(a≠0)的除法运算叫做除方. a÷a六at9记作a@,比如把2+2÷2记作2@，（3)÷(-3)(-3)(3)记作(-3)°.特别地，规定 n个a a0=a. (1)根据除方的定义，（-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)可记作」 (2)直接写出计算结果：2023®=】 (3)计算：-42÷(-2)®+(-1)： (④)对于有理数a(a≠0)，n之3时，a= 20.(25-26六年级上山东泰安·期中)【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3)÷(-3)(-3)(-3)等。 类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2，读作“2的圈3次方”，（-3)=(-3)：(-3)÷(-3)记作(-3)°， 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 读作“-3的圈4次方”，一般地，把记作a°，读作“a的圈n次方”. 【初步探究】 (①直接写出计算结果：2®。 -2 (2)关于除方，下列说法错误的是() A.任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； B.对于任何正整数n,1=1; C.3®=40 D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数。 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如 何转化为乘方运算呢？ 20=2÷2÷2÷2 除 111 =2×二×二× 方 222 乘方 幂的形式 (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式. (④想一想：3的圈n(n≥3)次方写成幂的形式等于-· 9m-:2-(() 题型五：有理数运算中的规律探究问题 21.(25-26七年级上江苏徐州阶段检测)观察下列各式，回答问题 111好 -2222’ 4244… 按上述规律填空： 1 (01-100 719 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 oi:（-k10-2) 22.(25-26七年级下·安徽毫州期末)观察以下等式： 1=1×1_1 第1个等式：22-12(13 第2个等式： 附》 第3个等方传》 第4个号零行》 … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： 、 111 ②运用你发现的规律求2一十4一十6一十g一+…+100一的值。 23.(25-26七年级上江苏镇江期中)观察下列等式： 第1个等式：12=13； 第2个等式：(1+2=1+2： 第3个等式：(1+2+3)2=1P+23+3； 第4个等式：(（1+2+3+4)=1+2+32+4； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： (2)计算：13+23+33+43+…+103= (3)利用你发现的规律计算63+73+8°+93+103值」 24.(25-26七年级上福建厦门期中)研究下列式子，你能发现什么规律？ 1×3+1=22,2×4+1=32,3×5+1=42,4×6+1=52,…, (1)第⑦个式子是 (2)请用含n(n为正整数)的式子表示你发现的规律 (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 819 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1O220) 25. (2025·安徽滁州一模)观察下列等式： ①1×3+1=4=22： ②2×4+1=9=32： ③3×5+1=16=42； ④4×6+1=25=52： (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥6×8+1= (2)探究规律：用含的式子表示你发现的一般规律，并说明理由： 8州你发提份规体计#04g0*2405n46-0*20n30s 1 919 专题05 有理数运算中的新定义型及规律探究问题有关的五种模型 题型一 有理数运算中的程序问题 题型二 古代中的有理数运算问题 题型三 有理数运算的实际应用问题 题型四 有理数运算中的新定义型问题 题型五 有理数运算中的规律探究问题 题型一：有理数运算中的程序问题 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【答案】1 【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案． 【详解】解：当输入时，第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是． 2．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，则最终输出的结果是______． 【答案】29 【分析】根据运算程序列式计算，直至结果大于15即可． 【详解】解：若开始输入的值是， 则，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，输出结果． 3．（25-26七年级上·山东滨州·期末）有一个数值转换程序，其工作原理如下图所示： 若输入的值为1，则输出的结果为_____． 【答案】/ 【分析】考查了有理数的混合运算，程序流程图的理解，求代数式的值，严格遵循流程、准确计算是解题的关键．解题关键是弄清题意，根据题意把的值代入，按程序一步一步计算即可求得结果． 【详解】解：明确流程图的运算为，判断能否成立， 若成立，输出 y； 若不成立，将 y 作为新的 x 再次代入运算，直到满足条件， 将代入上式，得， 将代入上式，得，， 输出的结果为． 故答案为：. 4．（25-26九年级上·四川成都·期末）小明同学设计了一种运算程序：输入正整数，则输出另一个正整数．具体程序如下：①若为偶数，则输出；②若为奇数，则输出．对正整数进行一次输入和输出称为对的一次变换，对第一次输出的再次输入和输出则称为对的二次变换，依此类推．例如，输入正整数，根据是偶数，对进行一次变换输出的数为；将再次输入，根据是奇数，对进行二次变换后输出的数为． （1）若输入正整数进行二次变换后输出的数为，则满足条件的的值为__________； （2）已知输入正整数，若对进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为，则正整数的值为__________． 【答案】 或 或 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． (1)根据二次变换输出的数为，逆推第一次变换输出为，再逆推输入为或； (2)根据两次变换输出积为，推导第一次输出为，再逆推输入为或． 【详解】(1) 解：设第一次变换后输出的数为， 二次变换后输出的数为， 当为偶数时，， ， 当为奇数时，， ， 当为偶数时，， ； 当为奇数时，， ， 不符合题意，舍去； 故答案为：或； (2) 设第一次变换输出为，第二次变换输出为，则有， 若为偶数，则， 则有， 解得：， 或， 或； 若为奇数，则， ， 整理得：， 方程无整数解； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 5．（25-26六年级上·山东淄博·期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 【答案】(1)①7；②206 (2)或 【分析】（1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； ②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 题型二：古代中的有理数运算问题 6．（25-26七年级上·山西运城·期中）我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学著作《九章算术》里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1解释了算式“”的运算过程与结果．按照这种方法，图2可以解释算式“______”的运算过程与结果． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是理解图1表示的计算． 由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式． 【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数，图2表示的过程应是． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·山东青岛·期中）名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，在我国古代的数学名著《九章算术》和《孙子算经》中都有记载．“算筹”是古代用来进行计算的工具之一，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，“算筹”的摆放有纵、横两种形式（如图①）．则图②中“算筹”表示的减法算式的运算结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据“算筹”的意义，列式，然后计算即可作答． 【详解】解：依题意，图②中“算筹”表示的减法算式是， 则， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）不同进位制的数之间可以转换．例如：八进制数换算成十进制数是． (1)直接写出二进制数换算成十进制数的结果； (2)计算； (3)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，是一位书生在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，记录了他准备科举考试的学习天数，直接写出该书生努力学习的天数； (4)直接写出十进制数换算成八进制数的结果． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了含有乘方的有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题干中不同进位制的数之间的转换的计算方法，根据题干中的方法进行计算． 根据题干中提供的方法进行计算； 先把二进制数转化为十进制数进行计算，再把计算的结果转化二进制数； 根据题干中提供的方法把六进制转换十进制即可； 用短除法把十进制转换为八进制即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ， ， ； ， 如下图所示， ， ； （3）解： ， 答：书生努力学习的天数为天； （4）解：如下图所示， ． 9．（24-25七年级上·全国·单元复习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫作幻和． (1)图1是一个“幻方”，则___________；___________；___________； (2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数是上述9个数的平均数． ①求中心数的值； ②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满． 【答案】(1)1； ；5 (2)①的值为2； ②填方格如图： 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据“幻和”的定义可一次求出，，； （2）①求，，，0，2，4，6，8，10这9个数的平均数即可； ②平均每个方格的值为2和“幻和”的定义即可求得每个数． 【详解】（1）斜对角线上的三个数字之和为， 该方格的“幻和”为9， ，，， 故答案为：1，，5； 每行数字之和为9，共3行， 图1中所有数字之和为， 图1中所有数的和为其“幻和”的3倍； （2）①， 中间数的值为2； ②由①可知，平均每个方格的值为2， 则3个方格之和为6， 幻和为6． 10．（25-26七年级上·广东中山·期中）新数学教材注重把古代数学经典问题古为今用． (1)如图1是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，请求出右下角代表的数． (2)第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．问：八进制2026换算成十进制是多少？（注：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）求出最左边的一列三个数字和，再结合纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，计算即可得解； （2）根据八进制换成十进制数的计算方法列式计算即可得解． 【详解】（1）解：纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等， 最左边的一列三个数字和为， 右下角代表的数是； （2）解：八进制数3745换算成十进制数是， 八进制2026换算成十进制数是． 题型三：有理数运算的实际应用问题 11．（25-26七年级上·山东德州·期中）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下． （单位：） (1)在第几次记录时距A地最远． (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 【答案】(1)第五次 (2)收工时在地正东方向，距地 (3)共耗油升 【分析】（1）根据记录的数字，求出第一次第七次记录时，距地的距离，由此即可得； （2）将记录的数字相加求和即可； （3）将记录的数字的绝对值相加，再乘以每千米耗油量即可． 【详解】（1）解：第一次记录时：， 第二次记录时：， 第三次记录时：， 第四次记录时：， 第五次记录时：， 第六次记录时：， 第七次记录时：， 由此可知，在第五次记录时距地最远． （2）解： ， ∵规定向东行驶为正， ∴收工时在地正东方向，距地． （3）解： （升）， 答：共耗油升． 12．（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）为了增强学生身体素质，激发学生锻炼热情，某校七年级每个班选派8名同学代表班级参加团体跳绳比赛，以1分钟跳160次作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．七年级9班参赛学生的1分钟跳绳次数记录如下（单位：次）： ，，，，，，，． (1)求七年级9班参赛学生平均每人1分钟跳绳的次数； (2)本次活动采取积分制，跳绳次数超过标准1次记“”分，跳绳次数不足标准1次记“”分，刚好达到标准记“0”分．例如：1分钟跳162次记“”分，155次记“”分．计算七年级9班此次团体跳绳比赛的总积分． 【答案】(1)162次 (2)总积分为56分 【分析】本题主要考查了正数和负数的实际应用，有理数的混合运算，掌握平均数的计算方法以及有理数混合运算法则是解题的关键． （1）根据平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据积分规则计算得分即可． 【详解】（1）解： （次）． （次）． 答：七年级9班参赛学生平均每人1分钟跳绳162次． （2）解：方法1： （分）． 方法2：（分）． 答：七年级9班此次团体跳绳比赛的总积分为56分． 13．（25-26六年级上·上海黄浦·开学考试）小强的爸爸炒股，上周末买进股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价是多少元？最低价是多少元？ (3)小强爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税．如果小强爸爸在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)33 (2)34，24 (3)盈利了845.5元． 【分析】（1）从上周末买入价25元出发，依次累加周一、周二、周三三天的涨跌额，得到周三收盘时的每股价格； （2）根据正负数的意义结合表格数据求解即可； （3）收益卖出实际到手的钱买入总共花的钱，买卖都有手续费，卖出还要额外交税． 【详解】（1）解：星期三收盘时，每股是（元； （2）解：周二每股最高：（元； 周五每股最低：（元； （3）解：（元， （元， （元， ， （元； 所以小强爸爸盈利了845.5元． 14．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学校出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶为负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 行驶情况 (1)请你帮忙确定A地在学校的什么方向？距离学校多远？ (2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8升，请通过计算说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？ 【答案】(1) A地在学校的东边，距离学校2千米 (2) 巡逻车平均每千米耗油升 【分析】（1）将各数相加，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）先求出前四次巡逻车行驶的总路程，再求出总的耗油量，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 所以A地在学校的东边，距离学校2千米； （2）解：， 则， 所以巡逻车平均每千米耗油0.96升． 15．（25-26七年级上·广东梅州·期中）某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5元．从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这周的销售情况如表： 周次 一 二 三 四 销售量 (1)开学第一月中，最小销售量是第______周，销售量最高的那周销售额是______元． (2)开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本） (3)为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价元； 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折． 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出? 【答案】(1)四， (2)元 (3)饭堂更希望方案一卖出 【分析】（1）根据正负数的意义找出最小销售量对应的周次，再计算销售量最高周的销售额即可． （2）先计算每周实际销售量，再利用盈利公式（盈利（售价成本）总销售量）计算总盈利． （3）分别计算两种方案下饭堂的利润，通过比较利润大小确定饭堂更倾向的方案． 【详解】（1）解：由表格数据可知，最小销售量对应的是第四周， 销售量最高的是第一周，实际销售量为块 销售额为元； （2）解：计算每周实际销售量第一周：块 第二周：块 第三周：块 第四周：块 总销售量为块 每块面包的盈利为元 总盈利为元 答：开学第一月的总盈利是元 （3）解：方案一：每块面包售价为元 饭堂的利润为元 方案二：块面包的利润为元 超过块的数量为块 这块面包的售价为元 这块的利润为元 总利润为元 饭堂更希望方案一卖出 题型四：有理数运算中的新定义型问题 16．（25-26七年级上·吉林长春·期中）a，b为有理数，若规定一种新的运算“*”，定义，请根据“*”的定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)5 【分析】（1）根据题目中给出的信息列式计算即可； （2）根据题目中给出的信息列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)6 (2)480 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 18．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义新运算：，如，计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键； （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义先算，再算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 19．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． 20．（25-26六年级上·山东泰安·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：________， =________． (2)关于除方，下列说法错误的是（   ） A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； B．对于任何正整数n，； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． =________；=_________；=_______ (4)想一想∶的圈次方写成幂的形式等于 ． (5)算一算： 【答案】(1) (2)C (3) ，， (4) (5) 【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断； （3）观察例题得到规律，一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，按规律得到结果； （4）根据定义写出答案即可； （5）根据圈a的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果. 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，4． （2）解：，， 由于， ， 其它三个选项均正确， 所以选项错误， 故选：C． （3）解：； ； ； 故答案为：；；； （4）解：的圈次方， 故答案为：； （5）解： ． 题型五：有理数运算中的规律探究问题 21．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）观察下列各式，回答问题 ，，… 按上述规律填空： (1)________________． (2)计算：________． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是从最简单的情形入手，找出规律，利用规律简化计算的方法． （1）首先可以看出等号的左边是1减去几的平方分之一，计算的结果是1减去几分之一乘1加上几分之一，由此规律直接得出答案即可； （2）根据（1）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：由题中前几个式子的规律得：， 故答案为：，； （2）解：由题意， ， 故答案为：． 22．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 23．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)计算：______； (3)利用你发现的规律计算值． 【答案】(1) (2)3025 (3)2800 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）根据题干中给定的式子，写出第5个式子即可； （2）根据题目中的规律进行计算即可． （3）利用（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：第五个式子为：． （2）解：由题意，得， 则 ． （3）解： ． 24．（25-26七年级上·福建厦门·期中）研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、有理数的混合运算． 根据题干中式子的变化规律写出第个式子； 根据中的规律写出第个式子； 根据中式子的变化规律可得：原式，再根据分数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第个式子， 第个式子， 第个式子， 第个式子， ， 第个式子， 故答案为：； （2）解：由中的规律可知，第个式子为， 故答案为：； （3）解：由 . 25．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 【答案】(1)49， (2)解：，理由见解析： ∵①， ②， ③， ④， …… ∴． (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）略 （3）解：原式 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $