江苏省泰州中学2026届高三下学期第二次调研测试数学试题

2025-2026学年江苏省泰州中学高三下学期第二次调研测试 数学试题 命题人:黄萍 审题人:汤晓燕 时间:120分钟 满分:150分 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,则( ) A. B. C. D. 2.已知复数满足,则( ) A. B. C. D. 2 3.已知,,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.为了分析某次数学模拟考试成绩,在90分及以上的同学中随机抽取了100名同学的成绩,得到如下成绩分布表: 分数区间 人数 14 16 18 30 20 2 根据表中的数据,下列结论中正确的是( ) A. 所抽取的100名同学的成绩的中位数小于120 B. 所抽取的100名同学的成绩低于130所占比例超过 C. 所抽取的100名同学的成绩的极差不小于40且不大于60 D. 所抽取的100名同学的成绩的平均分数介于100至110之间 5.已知正六边形中,设,则( ) A. B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,若为偶函数,则的值可以是( ) A. B. C. D. 7.直线与x,y轴分别交于M,N两点,点在圆上,当面积最大时,( ) A. B. C. D. 8. 已知面积为1,边上的中线为,边上的中线为,且,则边的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 在正三棱柱中,为AB的中点,则下列结论一定成立的有( ) A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 10. 已知函数在处有极大值,则( ) A. B. C. 若时,的值域为,则的取值范围为 D. 曲线在点处的切线与曲线有两个不同的公共点 11. 已知抛物线的焦点为,准线为,点在上,,垂足为,直线与相交于,两点.若为的三等分点,则( ) A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 若,,若直线与线段AB有公共点,则实参数m的取值范围为. 13. 2025的正因数的个数为个.(用数字作答) 14.已知函数,,,,若函数与图象交点的横坐标记为,,记数列满足:,则数列的所有项之和为. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知数列的前n项和为,,. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前n项和. 16. 如图,在三棱台中,平面,为中点,. (1)证明:; (2)若,求直线与平面所成角的正弦值. 17. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动,为了解男女学生参与答题意愿的差异,男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”,“学生为男生”,据统计. (1)根据已知条件,完成下列列联表,并依据小概率值的独立性检验,能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关? 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则:假设甲每道题回答是否正确相互独立,且每次答对的概率均为. (i)若答题活动设置4道题,且答题规则如下:每次答一题,一旦答对,则结束答题;答错则继续答题,直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动,用表示在本次答题的题目数量,求的分布列和期望. (ii)若答题活动设置且道题,甲仅答对其中10道题的概率最大,求的值. 参考公式与数据:,其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆上顶点为,左焦点为,焦距为的面积为6,点为椭圆上一点,圆的面积为. (1)求椭圆的离心率; (2)过原点作圆的两条切线OM,ON分别交椭圆于M,N. (i)若直线OM,ON的斜率都存在,分别记为,求的值; (ii)求的最大值. 19. 已知函数,. (1)求函数的最值; (2)讨论函数在上极值点的个数; (3)设函数,若在定义域内有三个不同的极值点,,,且满足,求实数的取值范围. 学科网(北京)股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省泰州中学高三下学期第二次调研测试 数学试题 命题人：黄萍 审题人：汤晓燕 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的单调性，确定集合中的元素，再由交集运算即可求解. 【详解】因为是增函数，且， 所以满足的最小整数为3， 所以. 故选：D. 2．已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算求出，再根据复数的模求解. 【详解】因为,所以，故， 故选：A 3．已知，，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断． 【详解】由得，则 ，则，充分性成立； 由，若，，则，得不到，必要性不成立， 故 p是 q的充分不必要条件． 故选：A． 4.为了分析某次数学模拟考试成绩，在90分及以上的同学中随机抽取了100名同学的成绩，得到如下成绩分布表： 分数区间 人数 14 16 18 30 20 2 根据表中的数据，下列结论中正确的是（ ） A. 所抽取的100名同学的成绩的中位数小于120 B. 所抽取的100名同学的成绩低于130所占比例超过 C. 所抽取的100名同学的成绩的极差不小于40且不大于60 D. 所抽取的100名同学的成绩的平均分数介于100至110之间 【答案】C 【解析】 【分析】结合中位数定义判断A，计算成绩低于的同学所占比例判断B，根据极差的定义判断C，计算平均数的估计值判断D. 【详解】对于A选项，根据人数分布可知，所以所抽取的100名同学的成绩的中位数不小于120，所以A选项不正确； 对于B选项，所抽取的100名同学的成绩低于130的人数为， 故所抽取的名同学的成绩低于所占比例低于，所以B选项不正确； 对于C选项，所抽取的100名同学的成绩的极差最大值为，极差最小值大于，所以C选项正确； 对于D选项，成绩的平均分数，所以D选项不正确， 故选：C. 5.已知正六边形中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合正六边形性质可得，从而根据向量的线性运算即可求得答案. 【详解】由题意知正六边形中，设， 则, 故， 故选：C 6. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出后，利用三角函数对称性计算即可得. 【详解】， 由为偶函数，则，解得， 当时，，故的值可以是. 故选：D. 7.直线与x，y轴分别交于M，N两点，点在圆上，当面积最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设分析可得，要使面积最大，则与直线垂直，进而得到，，进而求解即可. 【详解】直线与x，y轴分别交于M，N两点，则， 由圆，即，则圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 则直线与圆相离，而点在圆上， 要使面积最大，则与直线垂直，而，则， 如图，此时三点共线，即，则， 所以. 故选：A 8. 已知面积为1，边上的中线为，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，由三角形面积公式得到，再由余弦定理得到，令，得到，再利用正弦函数的性质，即可求解. 【详解】设，易知为的重心， 又，结合重心性质可得：， 同时， 设，， 则， 则， 所以， 由余弦定理可得：， 令，整理得到， 又，其中，得到， 也即，当且仅当时取得等号，又，则， 所以， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正三棱柱中，为AB的中点，则下列结论一定成立的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】BC 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理可判断A的正误，由面面平行的性质可判断B的正误，根据线面垂直的判定定理可判断C的正误，利用反证法可判断D的正误. 【详解】对于A，取中点，连接DE交于点，连结， 若平面，因为平面平面，平面， 故，由正三棱柱可得， 故四边形为平行四边形，故，但，矛盾 故A错误； 对于B，如图，由矩形可得， 由正三棱柱可得，， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面，故B正确； 对于C，由正三棱柱可得平面， 而平面，所以， 因为是正的中线，所以， 而平面，故平面，故C正确； 对于D，若平面，因平面，故， 故矩形为正方形，由条件可知该结论不一定成立. 故选：BC. 10. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. B. C. 若时，的值域为，则的取值范围为 D. 曲线在点处的切线与曲线有两个不同的公共点 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用极大值和导数确定可判断A；再由三次函数的对称中心性质可得B；利用单调性可得C；由导数的意义结合切线方程可得D. 【详解】，， 因为函数在处有极大值，所以， 即，解得或3， 当时，， 当时，；当时，；当时，， 此时为极小值点，不符合题意， 当时，， 当时，；当时，；当时，， 此时为极大值点， 所以， 对于A，由以上可得，故A错误； 对于B，由于，令，则， 令，所以的二阶导数关于点对称， 代入到可得，所以关于点成中心对称， 即，故B正确； 对于C，因为，极大值，极小值，， 结合单调性可得当的值域为，则的取值范围为，故C正确； 对于D，由，所以切线方程为，即， 联立可得，解得， 即方程有三重根，所以曲线在点处的切线与曲线有1个不同的公共点，故D错误. 故选：BC. 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，垂足为，直线与相交于，两点．若为的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义结合余弦函数的定义可得A正确；由抛物线的定义结合余弦定理可得B错误；由二级结论结合三角形相似可计算判断C正确；在中由余弦定理可得D正确. 【详解】不妨设抛物线的方程为，则，准线方程为． 对于A，如图，记为准线与轴的交点，设，则，过作准线的垂线，垂足为， 则，故A正确； 对于B，连接，则，又由A可知，，则为正三角形，． 在中，由余弦定理得 ，故B错误； 对于C，由图易知，即， 从而，，由二级结论得，，可得，故C正确； 对于D，在中，，， 由余弦定理得，，故D正确． 故选：ACD．      三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定线段端点与直线的位置关系，先代入端点计算，再解不等式即可. 【详解】将 代入直线方程： ， 将 代入直线方程： ， 因为直线 与线段 有公共点， 所以，所以解集为 ， 即实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 13. 2025的正因数的个数为__________个.（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】对2025进行质因数分解，然后应用正因数个数定理计算结果即可. 【详解】因为， 则根据正因数个数定理，2025的正因数个数为个. 故答案为：15. 14.已知函数，，，，若函数与图象交点的横坐标记为，，记数列满足：，则数列的所有项之和为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查函数的对称性以及数列的性质．先分析函数和的对称性，确定它们图象的交点关于直线对称，再根据数列的定义，结合交点的对称性求出数列的所有项之和． 【详解】对于函数，其图象关于直线对称． 对于函数， 令，解得， ∴的图象关于直线对称． ∵与的图象都关于直线对称， ∴它们图象的交点也关于直线对称． 已知，设交点关于直线的对称点为， 则，即， 那么． 由于函数与图象的交点关于直线对称， ∴数列的项两两配对，每对的和都为0， 因此数列的所有项之和为0． 故答案为：0． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系即可求出通项公式. （2）根据错位相减法及等比数列前项和公式即可求出数列和. 【小问1详解】 已知①，当时，②， ①-②得：，所以. 当时， ，所以，满足. 因此数列是首项，公比的等比数列，通项公式为. 【小问2详解】 ， ， ， 相减可得：， 其中，是首项为，公比为的等比数列，其和为： 所以， 所以． 16. 如图，在三棱台中，平面，为中点，. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理可证明平面，再利用线面垂直性质可得答案； （2）建系，利用线面角的坐标运算公式可得答案. 【小问1详解】 平面平面， 又平面平面， 平面 ， 平面， 又，平面平面， 平面平面， 【小问2详解】 由（1）知直线两两垂直， 分别以为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示 依题意得 ，设平面的法向量，则 ，取 设与平面所成角为 ， 与平面所成角的正弦值为. 17. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. （ii）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为学生报名参加答题活动与性别有关联 （2）（i）；（ii）的分布列见解析, 【解析】 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成列联表，再计算出的值判断即可； （2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则，根据二项分布的概率性质建立不等式组即可求解；（ii）写出的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出的分布列及期望. 小问1详解】 因为，所以愿意报名参加答题活动人数为， 又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为，则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001； 【小问2详解】 （i）的所有可能取值为：1，2，3，4， ， 所以的分布列为： X 1 2 3 4 P 故. （ii）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则. 则， 假设最有可能答对题目的数量是10次，则 即： 解得，又，则； 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆上顶点为，左焦点为，焦距为的面积为6，点为椭圆上一点，圆的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）过原点作圆的两条切线OM，ON分别交椭圆于M，N. （i）若直线OM，ON的斜率都存在，分别记为，求的值； （ii）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）18 【解析】 【分析】（1）由焦距得，由面积得，，离心率. （2）（i）直线与圆相切，由距离公式得关于的方程，结合椭圆方程，韦达定理得. （ii）由得，代入椭圆化简得，用基本不等式得最大值. 【小问1详解】 依题意得， 【小问2详解】 （i）依题意得圆，椭圆，点为椭圆上一点 直线，与圆相切， 平方整理得为方程的两根 （ii）解法一：设由（i）知，所以， 整理得， 由基本不等式，得，当且仅当时等号成立 的最大值为18. 解法二：设，直线，代入得： 同理直线，代入得，由（i） 由基本不等式，得，当且仅当， 此时或等号成立. 的最大值为18. 19. 已知函数，. （1）求函数的最值； （2）讨论函数在上极值点的个数； （3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小值为，无最大值. （2）见解析. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数即可得到函数的单调性及最值. （2）对函数求导，作出函数简图，通过方程根的个数结合极值点两边正负号即可确定参数的范围. （3）化简函数并求导，分析有三个极值点时满足的条件，结合函数单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此在处取得极小值（也是最小值），此时. 无最大值. 所以函数的最小值为，无最大值. 【小问2详解】 由题意知，即讨论在上变号零点个数 对求导可得，. 极值点的个数等价于在上的解的个数，即在上的解的个数. 令（），则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时. 且当时，；时，. 当时，在上无解，此时在上无极值点； 当时，在上有2个解，此时在上有2个极值点； 当时，在上有1个解， 但在和上均大于零，故此时在上无极值点； 当时，在上无解，此时在上无极值点； 综上，当或时，无极值点；当时，有2个极值点. 【小问3详解】 ，其定义域为， 则，（）. 令，解得或. 设（），则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时， 且当时，；当时，. 因此的大致图象如图所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点，，，且为的一个根， 所以与有两个不同的交点（且不等于1），所以， 即在上有两个不同的正根（且不等于1）. 不妨设，则， 所以，即，，也即，， 所以 令（），则 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以在上单调递增. 因为， 因此当时，， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $