江苏省南通市2025届高三第三次调研暨苏北七市（宿迁、连云港、淮安、扬州、泰州、盐城、徐州）调研数学试题

南通市2025届高三第三次调研测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上 指定位置，在其他位置作答一律无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={-1<x<,B={0≤x<2,则AnB= A.{-1<x<2B.{0≤x<2}C.{0≤x< D.{-1<x< 2.复数z满足(Q+)z=i,则在复平面内，z对应的点所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3,第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下： 119.50,134.75,154.75,159.50,162.75,175.50,则该组数据的第40百分位数为 A.134.75 B.144.75 C.154.75 D.159.50 4.已知函数f()=x3-3x-1,曲线y=f(x)在点Q,f)处的切线与x轴平行，则a= A.-3 B.-1 C.0 D.1 5.在正项数列{an}中，设甲：am+n=aman,乙：{an}是等比数列，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D,甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6.已知函数f(x)=√5sin2x-2cos2x的图象关于直线x=对称，则tan2x0= A9 B.- C.5 D.5 数学试卷第1页（共4页） 7.设函数f(x)的定义域为R,(≠0)是()的极大值点，则 A,-x是(-x)的极小值点 B.一x是一f(x)的极大值点 C.-x,是-∫(-x)的极小值点 D.-x是fIxD的极大值点 8. 苦+长=1a>8>0的离心率为要，左、右焦点分别为R,及，过B的 已知椭圆c:号+上 2. 直线交C于A,B两点.若A仍1AB,则= 1BE A.2 B.3 C.4 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 己知a=log210,6=log影六，则 A.ab<0 B.4°.95=1 c.日8>1 D.logs 6=b- ab-b 10已知双量线C:若-号-1的左、右焦点分别为R,3,直线1：y=:交C于么，B 两点，则 A水要 B.AF I-1BF=2V3 C.A正·AE的最小值为-3 D.到1的距离的最大值为√ 11.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”， 在△ABC中，BC=l,BC边上的高等于anA,以△ABC的各边为直径向△ABC外 分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W,其“直径”为d,则 A.AB2+AC2=3 B.△MBC面积的最大值为互 C.当∠ABC=受时，d=5+1 2 D.d的最大值为6+！ 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若随机变量X~N0,o2),2P(X之0)=P(X≤2)=m,则m=— 数学试卷第2页（共4页） 13.已知函数f)满足f(+2)=f-2),且f()= 2cos5x,-1<x≤ 则方程3∫()=x 1-lx-2l,1<x≤3， 的实数解的个数为一 14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6.一个半径为1的小球在该容器内自由 运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知某校有甲、乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和 1名女生组成 (1)先从两队中选取一队，选取甲队的概率为子，选取乙队的概率为？，再从该队中随 机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率： (2)在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记X为乙队中男生与女生 人数之差，求X的分布列与期望 16.（15分) 已知数列{a,}是等差数列，记其前n项和为S,且5，=4s,42n=2a,+子 (1)求数列{a,}的通项公式： (2)将数列{a,}与{√S,的所有项从小到大排列得到数列{，}· ①求{b}的前20项和 17.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，点D在BC上，AD⊥DG: (1)证明：AD⊥平面BBCC; 数学试卷第3页（共4页） (2)若AB=AC=2反，AB⊥AC,二面角C-AC-D的大小为号。 ①求AC与平面ADC所成角的正弦值： ②点E在侧面ABB,A内，且三校锥E-ADC 的体积为号，求E的轨迹的长度。 18.(17分) 设0为坐标原点，抛物线C:y2=2x与C2:y2=2px(P>0)的焦点分别为R,F,R为 线段OR的中点.点4，B在C上（A在第一象限)，点2，B2在C2上，A2B2=248· (1)求曲线C2的方程： (2)设直线4B的方程为y=2x-2,求直线44的斜率； (3)若直线442与BB2的斜率之积为-2，求四边形442B2品面积的最小值. 19.(17分) 记a,=a42。，已知函数纠和g的定义域都为D,若存在，×∈D, 使得[因-g6创广c-x)≤0，当且仅当x=%,=1,2,m时等号成立，则称因 和g(x)在D上“m次缠绕” (1)判断∫(x)=si血x和g(x)=cosx在(0,2)上“几次缠绕”，并说明理由： 2)）设f因=血x+号，若/纠和f份)在(0，+四上“的次缩绕”，求a的取值范围： (3)记所有定义在区间(a,b)上的函数组成集合A,证明：给定m∈N”,对任意 F(x)∈A,都存在f(x),g()∈A,使得F()=f(x)+g(),且f(x)和g(x)在(a,b)上“m 次缠绕”. 数学试卷第4页（共4页） 南通市2025届高三第三次调研测试 数学参考答案与评分建议 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 2 3 4 5 6 8 C D D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9 10 11 ABD AC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.号 13.5 14.15π 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解】(1)设“选取一队是甲队”为事件A,“选取一队是乙队”为事件B,“随机选取一名 志愿者是男生”为事件C,则C=AC+BC,其中事件AC与BC互斥， P(C)=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)=P(A)P(CIA)+P(B)P(CIB). 因为C0-言-空PC=手， …3分 所以O号号号 所以该志愿者是男生的概率为？ …5分 (2)X的可能取值为1,3,5. 因为X==答-层- …7分 Px=竖-号 …9分 x==号-合5 …11分 数学参考答案与评分建议第1页（共10页） 所以X的分布列为 X 3 5 P 5 多 所以X的期望E()=1×号+3×号+5×号=3. …13分 16.(15分) 【解】(1)设等差数列{a,}的公差为d, 由S3=a5,得3a+3d=a+4d,即2a,=d. …2分 由a=20,+},取n=1,得4=2a+,即4=d- …4分 解得4=}，d=3 所以a,=n- …6分 2@由)知，3-+a-x-r, 2 所以瓦，=n …8分 因为a=n-}所以6=n 所以5=20×4+209x好-9 2 2 …11分 @因为62=6， …13分 所以当a=1时，京=16<2： 当n≥2时， <16+16[0-2+-+…+(n) =32-16<32. …15分 数学参考答案与评分建议第2页（共10页） 17.(15分) 【解】(1)在直三棱柱ABC-AB,C中，CC,⊥平面ABC, 因为ADC平面ABC,所以CC⊥AD. 又因为AD⊥DC,CC∩DC=C,CC,DCc平面BB,CC, 所以AD⊥平面BB,CC. …3分 (2)方法一： A C ①由AD⊥平面BB,CC,BCc平面BBCC, 所以AD⊥BC. 因为AB=AC=2√2，所以D是BC的中点. 过点C作CE⊥CD,垂足为E, 过点E作EF⊥AC,垂足为F, 连结CF,AE. 因为AD⊥平面BB,CC,CEc平面BB,CC, 所以AD⊥CE. 因为CD∩AD=D,GD,ADc平面ADC, 所以CE⊥平面ADC, 所以∠CAE是AC与平面ADC,所成角. 又EF是CF在平面ADC上的射影，EF⊥AC, 所以CF⊥AC, 所以∠CFE是二面角C-AC-D的平面角，即∠CFE=号， …6分 设CG=a,则CE=2a,cF=22a Va2+4√a2+8 品温中原得2 …8分 所以AE=6,CE=√2， 在直角三角形AEC中，an∠CAB=CS=5 AE 3 所以∠CAE=若，即AC与平面ADC所成角的正弦值为2， …10分 ②因为△ADC的面积S=2√2，点C到平面ADC的距离为√2， 所以三棱锥C-ADC的体积V=×25×V5=号， 因为D是BC的中点，所以三棱锥B-ADC的体积也是等， 所以点E轨迹为在侧面ABBA内，过点B且与平面ADC平行的线段 …12分 连结AC交AC于点O,所以O为AC的中点， 连结OD,AB,所以OD∥AB,即点E的轨迹为线段AB. 因为AB=25,所以点E轨迹的长度为2√5. …15分 (2)方法二： ①在直三棱柱ABC-ABG中，A4⊥平面ABC,AB⊥AC, 以{B,AC,A}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. 则D(√2，√2,0)，设B(22,0,a),C(0,22,a), 设平面ADC的法向量n,=(x,y,), 由=0得2+=0， n·AC=0,22y+ar=0, B 取x=1,得y=-1,:=22 数学参考答案与评分建议第4页（共10页） 所以平面4DC的一个法向量m=,-1,22）. …6分 又平面CAC的法向量%，=(1,0,0)， 所以cos弩=7 4n2 n &+2 解得a=2. …8分 所以m=0,-1,√2)，AC=(0,22,0), 所以网品- 设4C与平面ADC所成角为0，则si血0= …10分 ②因为AD⊥DC,AD=2,DC=2N2, 所以S=22. 因为三棱维E-ADG的体积为等， 所以E到平面ADC的距离为V2. …2分 因为E在侧面ABBA上，可设E(x,0,), E到平面ADC的距离为d= m·AE x+2.5, a 所以E在侧面ABBA上的运动轨迹是线段AB, 所以E的轨迹长度为2√5. …15分 18.(17分) 【解】(1)F(分，0)，由F为线段OS的中点得F,0), 所以曲线C2的方程为y2=4x. …3分 (2)设4(：，)，(2,2)，B(,),B(4) 数学参考答案与评分建议第5页（共10页） 联立-22消x,得少-y-20 乃=2，为=-1， 所以42,2.}-小 …5分 因为AB,=24B,所以 x4-5=-3, y4-片=6， 因为%=军=，所以-军=3 所以4+乃=2， …7分 所以为=4，名=安=4，即6(4,4， 4 直线46的斜率为吕=1。 …9分 (3)因为4（乃），4(22)，B(,3),B2(x4y4), 所以4B=(x-x,-),4B=(x4-4-乃)· 因为AB=246, 所以5=2-， 4-=20%-), 由y4-2=20y-片)代入①得y4+2=20%+), 饮为测用冬 …11分 因为名=号5=军 所以，=号，所以04=204，同理06，=208， 数学参考答案与评分建议第6页（共10页）