1.2菱形的性质与判定同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过基础巩固、综合应用、创新探究三层设计，实现从概念理解到动态问题解决的进阶，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|菱形定义、性质（边/角/对角线）、判定基础|单选题1-5直接考查概念，填空题12强化性质简单应用| |中档|菱形与平行四边形综合、尺规作图、折叠计算|单选题6-9结合图形变换，解答题17-18含基础证明与探究| |提高|动态问题、最值探究、多知识点融合|填空题15-16涉及动点与最值，解答题19-22综合几何证明与创新应用|

1.2菱形的性质与判定 一、单选题（本大题共11小题） 1．已知四边形的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是（ ） A. B. C. D. 2．如图，菱形中， ，则（ ） A. B. C. D. 3．如图，在菱形 中，对角线 与 交于点 ， ，垂足为 ，若  ，则 的大小为（      ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 5．如图，中，，，对角线，相交于点，点，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，其他条件不变，则四边形为菱形 C. 四边形是菱形 D. 6．如图，平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，．若将边向左平移，当四边形是菱形时，平移的距离是（　　） A．1 B．2 C．1或11 D．2或11 7．利用尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线．下列作法错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的边长为13，对角线，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（    ）    A．13 B．10 C．12 D．5 9．如图，中，，．利用直尺和圆规作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点；③分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，两点，连接，交于点，交于点，连接，．下列判断错误的是（     ） A． B． C．若，则四边形是菱形 D． 10．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 11．如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（    ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四条边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 二、填空题（本大题共5小题） 12．如图，在菱形中，， ，点是的中点，点为上一动点，将沿折叠，得到.若与菱形的对角线平行，则的长为________. 13．菱形中，点是边的中点，交直线于点.若，，则菱形的边长为________________. 14．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 15．如图，在菱形中，，．动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动，点P，点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．当时，与交于点H，四边形、四边形的面积分别为（）、（）．则的值为______． 16．如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共6小题） 17．如图1，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)①以下图形一定是“筝形”的是（   ） A．平行四边形    B．直角三角形    C．菱形    D．矩形 ②顺次连接“筝形”四边中点而得到的四边形是（   ） A．平行四边形    B．正方形    C．菱形    D．矩形 (2)如图2，已知圆的内接四边形的对角线交点O，且，若记，，，，的面积分别为：，，，，且，求证：四边形是“筝形”； (3)在（2）的条件下，以四边形的对角线与为坐标轴，以点O为坐标原点建立的平面直角坐标系，若四边形的面积为S，且同时满足三个条件：①；②四边形的周长为32；③； 若E为的中点，F为线段上一动点，连接，动点P从点E出发，以的速度沿线段匀速运动到点F，再以的速度沿线段匀速运动到点B，到达点B后停止运动，当点P沿上述路线运动到点B所需要的时间最短时，求点P走完全程所需的时间及直线的解析式． 18．学习平行四边形后，某数学兴趣小组对有一个内角为 的平行四边形的折叠问题展开研究，过程如下： 图（1） 图（2） 【探究发现】 如图（1），在平行四边形中， ，, 为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点.小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，并说明理由. 【探究证明】 取图（1）中的边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点.连接, ，如图（2）.求证：四边形是平行四边形. 【探究提升】 在图（2）中，四边形能否成为轴对称图形？如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由. 19．综合与实践 【问题情境】在学习了特殊平行四边形的性质后，同学们对菱形的性质进行了深入探究． 【观察发现与实践】如图，在菱形中，，E是对角线上任意一点，F是线段延长线上一点，且，连接、． （1）如图1，当E是线段的中点，且时，求的面积； （2）如图2，当点E不是线段的中点时，求证：； （3）如图3，当点E是线段延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 20．综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点E为的中点，点F是边上的一个动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为． （1）猜想验证：如图2，当点F与点C重合时，点恰好与点A重合，猜想四边形的形状，并说明理由． （2）深入探究：点F在边上移动（不与点B，C重合），当直线与边交于点H时． ①请用图3证明． ②连接，当是等腰直角三角形时，请直接写出边的长． 21．下面是小高同学设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程： 已知：如图1，是直角三角形，，是中点．求作：点，使得四边形是矩形．作法：①作射线； ②以点为圆心，为半径画弧交的延长线于点； ③连接、，所以四边形为矩形，点即为所求． 根据小高同学设计的尺规作图过程完成下列问题： （1）使用直尺和圆规，在图1中补全图形（保留作图痕迹）； （2）证明：四边形是矩形； （3）如图2，在矩形的边、上各有一点、，且经过中点，请在、上各找一点、，使得四边形为菱形（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹）． 22．问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立；若不成立，请说明理由． 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D B C B C D B D D B 12．或3 13．或 14． 15．解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ， ， 设点P运动的时间为，则，，，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，即，解得， ∴，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ，， ∴， ， ∴． 16．解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 17．（1）解：①∵平行四边形，直角三角形，矩形的邻边不一定相等， ∴平行四边形，直角三角形，矩形不是“筝形”； ∵菱形的邻边相等， ∴菱形是“筝形”； 故此题答案为C； ②如图所示，点E，F，G，H分别是，，，的中点，连接，，，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，； ∵点E，F，G，H分别是，，，的中点 ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵，， ∴； ∵点E，H分别是，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 故此题答案为D； （2）解：设，，，； ∵， ∴，，，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴四边形是“筝形”； （3）解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； 同理可得，， ∴四边形是平行四边形； 又∵， ∴四边形是菱形； ∵， ∴，， 如图，过点作于，过点作于．    ∵点的运动时间， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，； ∵， 在中，，， ∴， 由勾股定理， ∴点走完全程所需的时间为． 此时， 设直线的解析式为：， 则，解得：， 则直线的解析式为：． 18．将沿翻折得到，点的对称点为点, , . , , 四边形是菱形, . 为边的中点, 为边的中点, , . 四边形是平行四边形, , , , . 四边形是菱形, , , 四边形是平行四边形. 四边形能成为轴对称图形.或.由【探究证明】知，四边形是平行四边形.若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形.当四边形是矩形时，如图（1），过作于，过作于，则四边形为矩形. 图（1） , , . 设,则.在直角三角形中，由勾股定理得. 为中点, , . 四边形是矩形, . , , , , .在直角三角形中，由勾股定理得. , , . 当四边形是菱形时，如图（2），延长交于. 图（2） 设,则. 四边形是菱形, . , , 四边形是平行四边形, , , , , 是等边三角形, , , . 综上所述，四边形能成为轴对称图形, 的值为2或. 19．（1） （2）证明：如图2，作交于G， 由（1）知是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：成立，证明如下： 如图3，作交的延长线于H， 由（1）知是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 20．（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； （2）解：①延长交的延长线于点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ②当是等腰直角三角形时，分三种情况： 当时，则，，作，如图，则， ∵，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由①知：，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 当时，则，作于点，如图，由上可知：， 则，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 当时，则，，如图， 则， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 综上：的长为或或． 21．(1)解：如图所示：四边形为矩形，点即为所求， ； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）解：如图，连接并延长交于点，作的垂直平分线，分别交于点，交于点，连接、、、，则四边形即为所作， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由线段垂直平分线的性质可得，， ∴， ∴四边形为菱形． 22．（1）， 证明：四边形是菱形， ， ， 和为等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）①如图， E为BM的中点，是等边三角形， ， . ②①中的结论仍成立． 证明：延长至H，使，连接，NH， E为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， 又， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $