10.1二元一次方程2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第十章 · 二元一次方程组 10.1 二元一次方程 1 1.知道二元一次方程的特征，了解一元二次方程的概念； 2.了解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性，会判断一对数值是否为某二元一次方程的解； 3.进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型． 学习目标 2 数学小课堂 你知道“元”的来历吗？ 朱世杰 (元代数学家) 金元时期的数学家 清末,李善兰用“天、地、人、物”分别代替英文字母x、y、z、w，于是，“天、地、人、物”成表示未知数的符号，而“元”，即为未知数的统称. 类比一元一次方程这个概念，你认为我们还有可能学习哪些方程？ 含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程. 3 数学小课堂 你能想到几种解法？ 鸡头＋兔头＝35 鸡脚＋兔脚＝94 4 数学小课堂 x + y =35 ① 2x +4 y =94 ② 解：设鸡有x只，兔有y只. 上有35头 下有94足 鸡兔数应同时满足方程①②的未知数的值 解：设鸡x只，则兔有（35-x）只. 方法一：设一个未知数 2x+4（35-x）=94 方法二：设两个未知数 5 新知探索 篮球比赛规则规定:赢一场得2分,输一场得1分.在某次中学生篮球联赛中,一支球队,比赛了若干场后，积20分. (1)这个问题中涉及哪些未知量？ (2)这些未知量之间存在什么相等关系？ (3)如果设赢了x场，输了y场，可以用什么式子表示问题中的 相等关系？ 2x+y=20 6 新知探索 篮球比赛规则规定:赢一场得2分,输一场得1分.在某次中学生篮球联赛中,一支球队,比赛了若干场后，积20分. (4) 你能列出输赢的所有可能情况吗？ 2x+y=20 x y 0 20 1 18 2 16 3 14 4 12 5 10 6 7 8 9 10 8 6 4 2 0 y=20-2x 7 新知探索 某球员在一场篮球比赛中共得35分(其中罚球得10分)，问：他分别投中了多少个两分球和三分球? 2x+3y+10=35 解：设他投中了x个两分球，y个三分球. 2x+3y=25 请你设计一张表格，列出这名球员投中的两分球和三分球的各种可能情况： 8 新知探索 2x+3y=25 x y 11 1 8 3 5 5 2 7 根据你所列的表格，回答下列问题： ①这名球员最多投中了多少个三分球？ ②这名球员除罚球外最多投中了多少个球？ ③如果这名球员除罚球外投中了10个球，那么他投中了几个两分球？几个三分球？ y= 9 新知探索 2x＋y＝20， x+y =35， 2x+4y =94， 下列方程有哪些共同的特点？ 2x＋3y＝25 1.只含有两个未知数 2.未知数的最高次数是1次 可以发现 3.方程的两边都是整式 二元 一次 整式方程 10 新知归纳 含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 二元一次方程的概念 二元一次方程的一般形式： ax+by=c (a≠0 b ≠0 ) 11 新知巩固 下列哪些是二元一次方程？哪些不是？ (1)3a＋4b＝5； (2)2x＋x2＝0；(3)4x＋π＝7； (4)－4m－2n＝1； (5)3x＋＝1; (6)ab＝3b－1. 解：(1)(4)是二元一次方程，(2)(3)(5)(6)不是二元一次方程． 判断一个方程是不是二元一次方程的方法： 一看原方程是不是整式方程且只含有两个未知数； 二看化简整理后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0且含未知数的项的次数都是1. 12 例题讲解 例1.若方程(m＋1)＋(n－2)y|m|＝0是关于x，y的二元一次方程，求m－n的值． 解：根据题意，得n2－3＝1，|m|＝1， ∴n＝±2，m＝±1. 又∵m＋1≠0，n－2≠0， ∴m≠－1，n≠2. ∴m＝1，n＝－2， ∴m－n＝1－(－2)＝3. 13 新知探索 你能找到适合方程2x+3y=25的一组x、y的值吗？你是怎样确定的？ 想-想： 它与一元一次方程的解有何区别？如何表示？ 类比一元一次方程的解，你能试着给二元一次方程的解下个定义吗？ 14 新知探索 二元一次方程的解 适合二元一次方程的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 如x=8，y=3就是方程2x+3y=25的一个解，记作： x=8 y=3 注意：一对数值必须用大括号合在一起，才是二元一次方程的一个解. 使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 一元一次方程的解一般是唯一的，二元一次方程的解是不是也是唯一的呢？ 15 新知探索 下面3对数值,有二元一次方程2x＋y＝3的解吗？二元一次方程3x＋4y＝2呢？ x＝－2 y＝2 x＝2 y＝-1 x＝0.5 y＝2 (1) (2) (3) 议一议： 你还能找到二元一次方程2x＋y＝3的其他解吗？ 其中正整数解有哪些？ 一般情况下，二元一次方程有无数组解 非负整数解呢？ 16 例题讲解 例2.把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式： （1）x+3y=7; (2)4x+3y=32 变式：把上述方程写成用含y的代数式表示x的形式： 17 新知应用 例3.若是方程4x－3y＝10的一个解，求m的值． 解：将代入方程4x－3y＝10 ， 得4(3m＋1)－3(2m－2)＝10. 解这个方程，得m＝0. 18 新知应用 例3.学校计划购买A，B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球(两种足球都买)，则该学校的购买方案共有多少种？ 解： 设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个．根据题意，得 60x＋75y＝1500，所以y＝20－x. ∵x，y均为正整数， ∴，，，， ∴该学校共有4种购买方案． 19 新知巩固 1.你能编拟一个所列方程为2x+y=5的实际问题吗？ 2.请写出一个以为解的二元一次方程. 20 课堂小结 这一节课你有什么收获?还有什么疑问? 21 课堂检测 1.下列方程是二元一次方程的是(　　) A．2x－y＝y B．xy＝－2 C．3x2－y＝5 D. +＝2 A 2.关于x、y的方程ax2+bx+2y=3是一个二元一次方程,则a、b的值分别为( ) A .a=0且 b=0 B.a=0或 b=0 C. a=0且 b≠0 D.a≠0且 b≠0 C 22 新知巩固 4.已知:5xm+7-2y2n-1=4是二元一次方程，mn= ； 3.已知方程(a＋2)x＋(b－3)y＝9是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是________，b的取值范围是________； a≠－2 b≠3 -6 5.已知 是方程2x-4y+2a=3一组解，则a=____; x=3 y=1 6.小彬拿20元钱到超市买了果汁x瓶，酸奶y瓶，找回7元，已知果汁每瓶2元，酸奶每瓶3元，则可列出关于x，y的二元一次方程为_______________． 2x＋3y＝20－7 23 课堂检测 7.已知x－ y＝1. (1)用含x的式子表示y；(2)用含y的式子表示x；(3)求当x＝1时y的值． 8.写出方程x+2y=5 在自然数范围内的所有解. x=1， y=2 x=3， y=1 x=5， y=0 24 课堂检测 9.把一根长13m的钢管截成2m长和3m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？ 答：2种.3m长1根、2m长5根以及3m长3根、2m长2根. 10.如图,等腰三角形ABC，AB=AC, 设AB＝x，BC＝y，周长为12. （1）列出关于x、y的二元一次方程； （2）求该方程的所有整数解. A B C 25 $