第二章 有理数 专题2.2 有理数的运算技巧 2026-2027学年七年级数学苏科版上册

专题2.2 有理数的运算技巧 【新教材苏科版】 【知识讲解】 1 【题型1 对消与凑整】 2 【题型2 归类与组合】 3 【题型3 活用运算律】 4 【题型4 相互转化】 4 【题型5 倒数法】 5 【题型6 裂项相消】 6 【题型7 错位相消】 7 【题型8 数形结合】 9 【举一反三】 11 【知识讲解】 有理数的运算技巧 （1）对消与凑整 将相加得零的数结合计算，将和为整数的数结合计算． （2）归类与组合 将同类数（如正数或负数）归类计算，将相反数、分母相同或易于通分的数结合计算． （3）活用运算律 运用运算律改变运算顺序，正难则反，利用运算律改变次序，将复杂的数拆开来算． （4）裂项 常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，其 中分数的裂项是重点． 1 ( 2 (n为自然数) 3 4 （5）相互转化法 根据算式特点，将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算． （6）分组计算 将不同类别的数分别组合，同组的数先进行计算。分组的方法有:①符号相同的数分结合在一起;②互为相反数的两数分在一组;③能凑成整数的数结合在一起;④把分母相同的分数或易通风的分数结合在一起 （7）连锁约分 当计算式中有多个分数相乘，将分子、分母都化成乘积形式，观察分数当中分子分母的规律进行约分 【题型1 对消与凑整】 【例1】 计算； 【变式1-1】计算 【变式1-2】计算： 【变式1-3】计算： ； 【题型2 归类与组合】 【例2】 计算： (1)； (2)． 【变式2-1】用简便方法计算：． 【变式2-2】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算． 【变式2-3】计算：； 【题型3 活用运算律】 【例2】 计算：． 【变式3-1】用简便方法计算：. 【变式3-2】计算： 【题型4 相互转化】 【例4】计算：； 【变式4-1】利用运算律简便运算： ． 【变式4-2】计算： 【变式4-3】计算： (1)； (2)； 【题型5 倒数法】 【例5】请你先认真阅读材料： 计算：． 解：原式的倒数是 ． 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【变式5-1】简便计算：． 【变式5-2】计算： 【变式5-3】计算：． 【题型6 裂项相消】 【例6】阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ． 【变式6-1】计算：． 【变式6-2】计算：． 【变式6-3】数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 【题型7 错位相消】 【例7】阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为_____，第5项是_____． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到： 所以 （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：_____． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， ②－①得， ． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【变式7-1】求的值． 【变式7-2】计算： 【变式7-3】解决下列问题： (1) 计算： (2) 化简：． 【题型8 数形结合】 【例8】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 材料一：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令……① 等式两边同时乘以2，得……② 由②式减去①式，得，∴． 材料二：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是部分①的面积的一半，依此类推，∴． 阅读材料，解决问题： (1)利用材料一提供的方法，请你求出的值． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料二的启发的值为______． (3)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题： ______．（用含有n的式子表示） 【变式8-1】如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作． 进行的次数 1 2 3 n 剩下图形的面积 ____ ____ ____ (1)请将上表填写完整． (2)请利用这个几何图形求的值：　 　．(用含n的代数式表示) 【变式8-2】在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索： （1）某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为1的长方形纸片对折． （I）求图1中部分④的面积； （II）请你利用图形求的值； （2）请你利用备用图，再设计一个能求与的值的几何图形． 【变式8-3】数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．    (1)图中阴影部分的面积为　　； (2)受此启发，得到＝　　； (3)迁移应用：得到＝　　（直接写出答案即可）． 【举一反三】 1. 观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 2. 观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 3. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式：_________； (2)用含有的式子表示第个等式：_______（为正整数）； (3)求的值． 4. 定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 5. 已知x，y为有理数，规定一种新的运算，． (1)求的值； (2)求的值； (3)任意选取两个有理数(至少有一个为负数)分别填入与的与内，并比较两个运算结果，你能发现什么规律？ (4)设a，b，c为有理数，讨论与的关系，并用式子把它表示出来． 6. 探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算；” 然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；；； ；；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ①______；②______； (2)______；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)若，计算：的值． 7. 阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (3) 我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？例如：所以故加法的交换律仍然适用． 那么加法的结合律在*（加乘）运算中是否适用 （填“适用”或“不适用”） 8. 探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)计算： ① ② (2)归纳*运算的法则（文字语言或符号语言均可）：两数进行*运算时，_____________；特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，___________． (3)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 9. 如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 10. 对于有理数，，定义运算：，如． (1)计算的值； (2)计算的值． 11. 阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 12. 我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 13. 对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 14. 若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)请你猜测这种新的运算“*”是否具有乘法交换律？并写出验证过程． 15. 怎样简便怎样算 (1)； (2) (3) (4) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 有理数的运算技巧 【新教材苏科版】 【知识讲解】 1 【题型1 对消与凑整】 2 【题型2 归类与组合】 3 【题型3 活用运算律】 5 【题型4 相互转化】 5 【题型5 倒数法】 7 【题型6 裂项相消】 8 【题型7 错位相消】 11 【题型8 数形结合】 13 【举一反三】 18 【知识讲解】 有理数的运算技巧 （1）对消与凑整 将相加得零的数结合计算，将和为整数的数结合计算． （2）归类与组合 将同类数（如正数或负数）归类计算，将相反数、分母相同或易于通分的数结合计算． （3）活用运算律 运用运算律改变运算顺序，正难则反，利用运算律改变次序，将复杂的数拆开来算． （4）裂项 常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，其 中分数的裂项是重点． 1 ( 2 (n为自然数) 3 4 （5）相互转化法 根据算式特点，将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算． （6）分组计算 将不同类别的数分别组合，同组的数先进行计算。分组的方法有:①符号相同的数分结合在一起;②互为相反数的两数分在一组;③能凑成整数的数结合在一起;④把分母相同的分数或易通风的分数结合在一起 （7）连锁约分 当计算式中有多个分数相乘，将分子、分母都化成乘积形式，观察分数当中分子分母的规律进行约分 【题型1 对消与凑整】 【例1】 计算； 【答案】 【详解】解： 【变式1-1】计算 【答案】； 【详解】解： 【变式1-2】计算： 【答案】 【详解】解：原式． ． 【变式1-3】计算： ； 【答案】5 【详解】解： ； 【题型2 归类与组合】 【例2】 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2） ． 【变式2-1】用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式2-2】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算． 【答案】 【详解】解： 【变式2-3】计算：； 【答案】 解： 【题型3 活用运算律】 【例3】计算：． 【答案】 【详解】解： 【变式3-1】用简便方法计算：. 【答案】5 【详解】解：原式． 【变式3-2】计算： 【答案】 【详解】解： 【题型4 相互转化】 例【4】计算：； 【答案】 【详解】解： 【变式4-1】利用运算律简便运算： ． 【答案】 【详解】解： ． 【变式4-2】计算： 【答案】 【详解】 ． 【变式4-3】计算： (1)； (2)； 【答案】(1)18 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【题型5 倒数法】 【例5】请你先认真阅读材料： 计算：． 解：原式的倒数是 ． 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式的倒数是 ． 故原式． 【变式5-1】简便计算：． 【答案】 【详解】解：原式的倒数 ， 故原式． 【变式5-2】计算： 【答案】 【详解】解：原式的倒数为： ， 故原式． 【变式5-3】计算：． 【答案】 【详解】解： ， ∴． 【题型6 裂项相消】 【例6】阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ． 【答案】 【详解】解： = = = = =， 故答案为：． 【变式6-1】计算： ． 【答案】 【详解】解：依题意得： 【变式6-2】计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式6-3】数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 【答案】(1)120 (2) (3) 【详解】（1）解：， 故答案为：120； （2）解： ； （3）解： ． 【题型7 错位相消】 【例7】阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为_____，第5项是_____． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到： 所以 （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：_____． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， ②－①得， ． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3，243；（2）；（3） 【详解】解：（1）根据题意得：等比数列的公比为3，第5项是； 故答案为：3，243； （2）根据题意得：等比数列的通项公式：； 故答案为： （3）设①， 则②， 得， ． ∴． 【变式7-1】求的值． 【答案】 【详解】解：设①， 则②， 得， ． 【变式7-2】计算： 【答案】 【详解】设①， ②， ②①得， ， ， 故原式． 【变式7-3】解决下列问题： (1) 计算： (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设①， 则②， 则②①，得：； （2）解：①， ②， ②①，得： ， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原式， ， ．． 【题型8 数形结合】 【例8】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 材料一：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令……① 等式两边同时乘以2，得……② 由②式减去①式，得，∴． 材料二：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是部分①的面积的一半，依此类推，∴． 阅读材料，解决问题： (1)利用材料一提供的方法，请你求出的值． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料二的启发的值为______． (3)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题： ______．（用含有n的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：令①， 等式两边同时乘以5，得②， 由②式减去①式，得， ∴， ∴； （2）解：∵正方形边长为1， ∴正方形面积为1， ∵①是边长为1的正方形纸片面积的一半， ∴①的面积为， 依此类推②的面积为，③的面积为，… ∴求的值，即为求将图形分割下去空白部分的面积， ∴此时剩余阴影部分面积为：， ∴， 故答案为：； （3）解：令， 等式两边同时乘3得，， 由②式减去①式，得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作． 进行的次数 1 2 3 n 剩下图形的面积 ____ ____ ____ (1)请将上表填写完整． (2)请利用这个几何图形求的值：　 　．(用含n的代数式表示) 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）解：上表填写如下： 进行的次数 1 2 3 剩下图形的面积 （2）解：原正方形分成各个小长方形的面积之和为， ∴， 则， 故答案为：； 【变式8-2】在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索： （1）某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为1的长方形纸片对折． （I）求图1中部分④的面积； （II）请你利用图形求的值； （2）请你利用备用图，再设计一个能求与的值的几何图形． 【答案】（1）（I）；（II）；（2）见解析． 【详解】解：（1）（ⅰ）由题意可得，部分④的面积是； （ⅱ）由题意可得：； （2）可设计如图所示： （答案不唯一，符合题意即可）． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律、有理数的混合运算等知识点，明确题意并灵活利用数形结合的思想是解答本题的关键． 【变式8-3】数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．    (1)图中阴影部分的面积为　　； (2)受此启发，得到＝　　； (3)迁移应用：得到＝　　（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． 故答案为：． （2）由（1）知， ， 所以． 故答案为：． （3）由题知， 原式． 令①， 则②， 得， ， 即， 所以原式 ． 故答案为：． 【举一反三】 1. 观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 2. 观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 【答案】(1) (2)①306；②468． 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出第⑤个等式即可； （2）利用得出的规律计算各式即可． 【详解】（1）解：第⑤个等式：； 故答案为：； （2）解：①； ② ． 3. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式： ； (2)用含有的式子表示第个等式： （为正整数）； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ∴第个等式： ∴第五个等式为： ∴． （2）由（1）得，第个等式： ∴． （3）∵ …… ∴ ． 4. 定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 【答案】(1)①；；②； (2)①；② 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算 【详解】（1）解：① ， ， ， 故答案为：；． ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为． 故答案为：；． （2）解：①； ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， 这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、， 这个值的和的最小值是， 故答案为：． 5. 已知x，y为有理数，规定一种新的运算，． (1)求的值； (2)求的值； (3)任意选取两个有理数(至少有一个为负数)分别填入与的与内，并比较两个运算结果，你能发现什么规律？ (4)设a，b，c为有理数，讨论与的关系，并用式子把它表示出来． 【答案】(1)9 (2)1 (3)见解析 (4) 【详解】（1）解：． （2）解：， ． （3）解：如：选5和．(答案不唯一) ， ， 发现运算结果相等，即． （4）解：， ， 所以． 6. 探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算；” 然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；；； ；；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ①______；②______； (2)______；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)若，计算：的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加． ， 故答案为：， （2） 原式 故答案为： （3）根据题意可知，，即 ， 原式 7. 阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (2) 我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？例如：所以故加法的交换律仍然适用． 那么加法的结合律在*（加乘）运算中是否适用 （填“适用”或“不适用”） 【答案】(1)；；5 (2)同号为正，异号为负，并把绝对值相加；结果是这个数的绝对值 (3)不适用 【详解】（1）解：；；． （2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号为正，异号为负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，结果是这个数的绝对值； （3）解：不适用，举例说明：如 ， ∴ ∴加法的结合律在*（加乘）运算中不适用． 8. 探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)计算： ① ② (2)归纳*运算的法则（文字语言或符号语言均可）：两数进行*运算时，_____________；特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，___________． (3)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； (3)1或5 【详解】（1） 解：①； ②； （2）解：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方； （3）解：∵， ∴与异号， ． ∵m，n是整数， ∴或． ∴或． ∴或． 9. 如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 10. 对于有理数，，定义运算：，如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：依题意得： ； （2）解： ． 11. 阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①8；②82 (2)存在，2或6或 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵m，n为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴或或或， ∴的值为2或6或． 12. 我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解： ． 13. 对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)49； (2)109． 【详解】（1）解： ． 所以的值为49． （2）解： ； ． 所以的值为109． 14. 若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)请你猜测这种新的运算“*”是否具有乘法交换律？并写出验证过程． 【答案】(1) (2)这种新的运算“*”不具有乘法交换律，过程见解析； 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， 而， ∴这种新的运算“*”不具有乘法交换律； 15. 怎样简便怎样算 (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1)0(2) (3)1 (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $